高等數學課件D124一階線性微分方程講解材料

一階線性微分方程機動目錄上頁下頁返回結束第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程第十二章9/27/2024高等數學課件一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程;機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件例2.

求方程的通解.解:注意x,y同號,由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R和電～解:列方程.已知經過電阻R的電壓降為Ri

經過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L都是常量,機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數為解的意義:機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件內容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件思考與練習判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件P281

1(3),(6),(9);2(5);6;

7(3),(5)作業(yè)第五節(jié)目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件備用題1.求一連續(xù)可導函數使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件2.設有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束9/27/2024高等數學課件(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數學家,位數學家.標和極坐標下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,