高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊同步單元測試AB卷(新高考)專題4.2數(shù)列的概念(B)專項練習(xí)(原卷版+解析)

專題4.2數(shù)列的概念(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．32．（2022·陜西·乾縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，則（

）A．506 B．1011 C．2022 D．40443．（2022·陜西省洛南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））記數(shù)列前項和為，且數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B．C． D．5．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二階段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．1056．（2022·全國·高二課時練習(xí)）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖是按照，的分形規(guī)律生長成的一個樹形圖，則第10行的實心圓點的個數(shù)是（

）A．89 B．55 C．34 D．1447．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項，且，，是此數(shù)列的前n項和，則以下結(jié)論正確的是（

）A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，10．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值11．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商業(yè)功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三次有6個球，…，以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（

）A． B．C． D．12．（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足：，，若為的前項和，則（

）A． B．C．是遞增數(shù)列 D．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式_________.14．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））根據(jù)圖中的5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)變化規(guī)律，試猜測第個圖中有__________個點．15．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為第________項．16．（2022·上海·曹楊二中高二階段練習(xí)）對于函數(shù)，部分與的對應(yīng)關(guān)系如下表：數(shù)列滿足：，且對于任意的正整數(shù)，點都在函數(shù)圖象上，則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)求數(shù)列的通項公式．18．（2022·甘肅·寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．19．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二開學(xué)考試（文））已知數(shù)列前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和.20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求，，，，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過程）；(2)設(shè)，，求的最大值21．（2022·甘肅·寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，其前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）將正整數(shù)列1，2，3，4，5，…的各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：(1)寫出數(shù)表中第4行、第5行的各數(shù)；(2)寫出數(shù)表中第10行的第5個數(shù)；(3)數(shù)表中每一行的第1個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)表中每行的最后1個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試分別寫出數(shù)列、的遞推公式．專題4.2數(shù)列的概念(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由遞推公式可得數(shù)列是的周期數(shù)列，從而得解.【詳解】，且，，，，，所以數(shù)列是的周期數(shù)列，所以.故選：A2．（2022·陜西·乾縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，則（

）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【分析】根據(jù)累乘法得，再根據(jù)通項公式求解即可.【詳解】解：，，，，，，顯然，當(dāng)時，滿足，∴，.故選：D.3．（2022·陜西省洛南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））記數(shù)列前項和為，且數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)遞推式得到為下標(biāo)周期為4的數(shù)列，并求得，進(jìn)而求.【詳解】由題設(shè)，，，，，…所以是下標(biāo)周期為4的數(shù)列，且，則.故選：D4．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用累乘法計算可得.【詳解】解：因為，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故選：A5．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二階段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】由題意可將問題轉(zhuǎn)化為既是3的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，也即是21的倍數(shù)，即可得出，求得答案.【詳解】由題意可將問題轉(zhuǎn)化為既是3的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，也即是21的倍數(shù)，即，則，∴，故選：B6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖是按照，的分形規(guī)律生長成的一個樹形圖，則第10行的實心圓點的個數(shù)是（

）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【分析】記第行實心圓點的個數(shù)為，由圖中實心圓點個數(shù)的規(guī)律可知，由此即可計算出答案.【詳解】設(shè)第行實心圓點的個數(shù)為，由題圖可得，，，，，，，……，則，故，，，．故選：C．7．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分別確定每段的單調(diào)性，然后結(jié)合可得答案.【詳解】當(dāng)時，有，即；當(dāng)時，有，又，即，綜上，有，故選：C．8．（2022·上海·華師大二附中高二開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項，且，，是此數(shù)列的前n項和，則以下結(jié)論正確的是（

）A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得【答案】A【分析】利用特殊值的思路，分別令、來去判斷即可.【詳解】令，則所有的奇數(shù)項都為1，偶數(shù)項都為5，此時，故C選項錯誤；令，則所有的奇數(shù)項都為2，偶數(shù)項都為4，此時，，故BD選項錯誤，綜上所述，A選項正確.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，，，，…，由此得到答案.【詳解】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為，則，，，，…，n=1時，A、D不合題意；而中不包含，由此可得數(shù)列滿足.故選：B．10．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達(dá)式及時，的關(guān)系，算出數(shù)列通項公式，即可判斷A、B、C選項的正誤.的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當(dāng)時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B錯誤；當(dāng)時，，故C正確；因為的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時，取得最大值，故D正確.故選：CD.11．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商業(yè)功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三次有6個球，…，以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首項根據(jù)數(shù)列特征得到，，判斷出AB選項，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用累加法求出，從而求出，得到C正確；D選項可舉出反例.【詳解】根據(jù)題意，可知，且，故A錯誤，B正確，因為，所以，所以，C正確；因為，故D錯誤.故選：BC12．（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足：，，若為的前項和，則（

）A． B．C．是遞增數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】利用遞推式求出可判斷A；利用遞推式求出可判斷B；利用得與同號，且可判斷C；由得，然后利用累項求和可判斷D.【詳解】，，時，，時，故A正確；時，所以，故B錯誤；由得與同號，又，所以，所以，所以是遞增數(shù)列，故C正確；由得，所以，，，，以上各式累加得，即，所以，當(dāng)時，，所以，故D正確.故選：ACD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式_________.【答案】【分析】由先求得，再根據(jù)求得的表達(dá)式，驗證首項，即可得答案.【詳解】,故當(dāng)時，；當(dāng)時，，不適合上式，，故答案為：.14．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））根據(jù)圖中的5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)變化規(guī)律，試猜測第個圖中有__________個點．【答案】【分析】本題首先可以觀察題目所給的五個圖像，找出每個圖形之間有什么聯(lián)系，然后通過每個圖形之間的聯(lián)系猜想出通項公式，得出結(jié)果【詳解】圖(1)只有1個點，無分支，故個數(shù)為1；圖(2)除中間1個點外，有兩個分支，每個分支有1個點，故個數(shù)為；圖(3)除中間1個點外，有三個分支，每個分支有2個點，故個數(shù)為；圖(4)除中間1個點外，有四個分支，每個分支有3個點，故個數(shù)為；圖(5)除中間1個點外，有五個分支，每個分支有4個點，故個數(shù)為；…；猜測第個圖中除中間一個點外，有個分支，每個分支有個點，故第個圖中點的個數(shù)為故答案為：15．（2022·江蘇·常熟市王淦昌高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為第________項．【答案】4【分析】由，與1比較大小，分析數(shù)列的單調(diào)性，即得解【詳解】由題意，，故，令，解得；令，解得；故時，；時，，故數(shù)列的最大項為第4項.故答案為：416．（2022·上?！げ軛疃懈叨A段練習(xí)）對于函數(shù)，部分與的對應(yīng)關(guān)系如下表：數(shù)列滿足：，且對于任意的正整數(shù)，點都在函數(shù)圖象上，則______.【答案】【分析】推導(dǎo)出對任意的，，再利用數(shù)列的周期性可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，，，以此類推可知，對任意的，，且，因此，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可求得其前3項；（2）由由可得,兩式相減即可求得答案.（1）由數(shù)列滿足，可得：時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）由可得，兩式相減可得，也適合該式，故數(shù)列的通項公式.18．（2022·甘肅·寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.【分析】（1）分別令，，求出，即可；（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1滿足上式，∴an＝.19．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二開學(xué)考試（文））已知數(shù)列前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知前n項和，可用計算通項公式.（2）通過裂項相消法計算數(shù)列的前n項和.（1）由題可知，當(dāng)時，綜上：（2）20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求，，，，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過程）；(2)設(shè)，，求的最大值【答案】(1)，，，，猜想：.(2).【分析】（1）利用，和的遞推關(guān)系，可求得的值，由此猜想.（2）由，可求得的通項公式，代入并化簡，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得的