2021屆江西省南昌市高三一模數(shù)學(xué)理試題解析版

2021屆江西省南昌市高三一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合，然后計算，再由正弦函數(shù)的值域計算集合，與求交集即可求解.【詳解】或，所以，，所以，故選：D.2．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)模的計算公式計算可得；【詳解】解復(fù)數(shù)滿足，,．故選：．3．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，則＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，可求得的值.【詳解】由得，所以，所以，所以，所以.故選：D4．如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上【答案】C【分析】由已知可得四邊形為平面四邊形，且，，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：，，，則，且，又，，，則，且，，且，四邊形為平面四邊形，故直線，一定共面，故錯誤；若直線與平行，則四邊形為平行四邊形，可得，與矛盾，故錯誤；由，且，，，可得直線，一定相交，設(shè)交點為，則，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，，即直線，一定相交，且交點一定在直線上，故正確，錯誤．故選：．5．中，角，，所對的邊分別為，，，滿足，，，則（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得，進(jìn)而利用正弦定理求得．【詳解】解：由題意可知，，由正弦定理可知，所以．故選：．6．如圖，將框圖輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，則的圖象（）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于點對稱【答案】D【分析】由框圖得到分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)性質(zhì)驗證選項得解.【詳解】由框圖得到分段函數(shù)畫出圖象如下則由圖得D正確故選D7．已知直線的方程是，則“原點在直線的右上方”是“點”在直線的右上方的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】若原點在直線：的右上方，則，可得，若點在直線：的右上方，則，可得，因為可得出，但得不出，所以是的充分不必要條件，即可得“原點在直線的右上方”是“點”在直線的右上方的充分不必要條件，故選：A.8．已知正數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的范圍，得到的范圍，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可得答案.【詳解】因為，，，所以，，，，和的圖象如圖：由圖可知，又，所以.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象求解是解題關(guān)鍵.9．許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素，更具神韻，數(shù)學(xué)賦予了建筑活力，數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知下面左圖是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形）型建筑，右圖是其中截面最細(xì)附近處的部分圖象.上、下底面與地面平行.現(xiàn)測得下底直徑米，上底直徑米，與間的距離為80米，與上下底面等距離的處的直徑等于，則最細(xì)部分處的直徑為（）A．10米 B．20米 C．米 D．米【答案】B【分析】利用題中的條件，建立直角坐標(biāo)系，可以求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可解出．【詳解】解：建立如圖的坐標(biāo)系，依題意，與間的距離為80米，與上下底面等距離的處的直徑等于，根據(jù)雙曲線的對稱性，點與點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以，則由題意可知，，，，設(shè)雙曲線方程為：，，解得，，，故選：．10．已知，則（）A．或1 B．或－1C．或1 D．或－1【答案】A【分析】由根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式將化為可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以，所以或，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求解是解題關(guān)鍵.11．如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為，截面半徑為（為常量），油面高度為，油面寬度為，儲油量為（為變量），則下列說法：①是的函數(shù)②是的函數(shù)③是的函數(shù)④是的函數(shù)其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐個分析可得答案.【詳解】因為，所以，所以是的函數(shù)，故④正確；因為，所以，對于的每一個取值，都有2個與之對應(yīng)，所以不是的函數(shù)，故③不正確；由知，對于的每一個取值，都有2個與之對應(yīng)，而對于的每一個取值，弓形的面積都有一個取值與之對應(yīng)，所以根據(jù)柱體體積公式可知，對于的每一個取值，都有2個與之對應(yīng)，所以不是的函數(shù)，故②不正確；根據(jù)根據(jù)柱體體積公式可知，對于每一個確定的，都有唯一的一個與之對應(yīng)，對于每一個確定的，都有唯一的與之對應(yīng)，所以是的函數(shù)，故①正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.12．已知的最小值為0，則正實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為的圖象在函數(shù)的圖象的上方相切，利用兩個函數(shù)的圖象以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的最小值為0，所以的圖象在函數(shù)的圖象的上方相切，因為，所以的圖象與軸的交點在軸負(fù)半軸上，由圖可知當(dāng)正數(shù)最小時，直線與在內(nèi)的圖象相切，設(shè)切點為，因為，所以，即，因為，所以，所以，由得.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為的圖象在函數(shù)的圖象的上方相切是解題關(guān)鍵.二、填空題13．已知，則向量夾角的余弦值為_________．【答案】【分析】先計算，再由即可求解.【詳解】因為，所以，因為所以，故答案為：.14．的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)二項展開式的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】因為的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以，所以，其通項公式為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15．2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競賽，我為處于領(lǐng)先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進(jìn)行臨床試驗，對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如下：調(diào)查人數(shù)300400500600700感染人數(shù)33667并求得與的回歸方程為，同期，在人數(shù)為10000的條件下，以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為，則估計該疫苗的有效率為__________．（疫苗的有效率為；參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果保留3位有效數(shù)字）【答案】【分析】先求出線性回歸方程中的值，從而可求，再根據(jù)題設(shè)中的計算方法可求疫苗的有效率.【詳解】由題設(shè)表格中的數(shù)據(jù)可得，故，故，而，故疫苗有效率為，故答案為：.16．如圖，是圓臺的軸截面，，過點與垂直的平面交下底圓周于兩點，則四面體的體積為__________．【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)交于，連接，過作，交于，可證，根據(jù)軸截面的各線段的長度可求體積.【詳解】如圖，連接，設(shè)交于，連接，過作，交于，因為平面，平面，又平面，故.因為梯形是圓臺的軸截面，故平面平面，因為，平面，平面平面，故平面，而平面，故，而，故平面，而平面，故，同理，而為底面圓的直徑，故為的中點，故為等腰三角形，所以.如圖，在梯形中，因為，，而，故，故為等腰直角三角形，故，故，故，所以，故四邊形為平行四邊形，結(jié)合可得為矩形，故.在底面圓中，設(shè)底面圓的圓心為，則，故，故.故答案為：.【點睛】方法點睛：三棱錐體積的計算，關(guān)鍵是選擇合適的底面和頂點，在計算過程中，注意垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.三、解答題17．已知為公差不為0的等差數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件求得數(shù)列的公差，即可求得其通項公式；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得，再利用裂項相消法求得其前項和即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，由題設(shè)可得：，又，，解得：，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，．18．如圖三棱柱中，，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，是棱的中點．（1）求證：平面；（2）設(shè)是的中點，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證，，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證結(jié)論；（2）先證兩兩垂直，再以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為側(cè)面是矩形，所以，又因為，且，所以平面，所以，因為側(cè)面是菱形，，是棱的中點，所以，又，所以平面.（2）由（1）知，平面，所以，由平面，，所以平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，得，取，則，所以，取平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明兩兩垂直，再以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.19．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若在上單調(diào)遞增，求證：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號可求得結(jié)果；（2）根據(jù)恒成立得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，,,令得，當(dāng)時，，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），令，得或，因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以，所以，所以，令，則，令，則，所以在上遞增，又，所以時，，，當(dāng)時，，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）問，求導(dǎo)后，對分類討論是解題關(guān)鍵，第（2）問利用恒成立求出是解題關(guān)鍵.20．為加強(qiáng)防疫宣傳，某學(xué)校舉行防疫知識問答競賽，競賽共有兩類題，第一類是5個中等難度題，每答對一個得10分，答錯得0分，第二類是數(shù)量較多、難度相當(dāng)?shù)碾y題，每答對一個得20分，答錯一個扣5分．每位參加競賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4個回答（每個題抽后不放回），要求第二類題中至少抽2個．學(xué)生小明第一類5題中有4個答對，第二類題中答對每個問題的概率都是．（1）若小明選擇從第一類題中抽兩個題，求這次競賽中，小明共答對3個題的概率；（2）若小明第一個題是從第一類題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他建議，后面三個題應(yīng)該選擇從第二類題中抽出多少個題回答？【答案】（1）；（2）第二類題目中選道.【分析】（1）小明共答對3個題有兩種情況：第一類題目答對道，第二類題答對道或第一類題目答對道，第二類題答對道，分別求概率再相加即可求解；（2）有兩種情況：第一類題目選道，第二類題目選道或第一類題目選道，第二類題目選道，分別計算兩種情況下后三道題目得分的期望，即可求解.【詳解】（1）小明共答對3個題有兩種情況：當(dāng)?shù)谝活愵}目答對道，第二類題答對道時，第一類題目答對道概率為，第二類題答對道概率為，此時小明共答對3個題概率為，當(dāng)?shù)谝活愵}目答對道，第二類題答對道時，第一類題目答對道概率為，第二類題答對道概率為，此時小明共答對3個題概率為，所以小明共答對3個題的概率為，（2）由題意知：有以下兩種情況：第一類題目選道，第二類題目選道，第二類題目答對的數(shù)學(xué)期望為，答錯的期望為，所以這三道題得分的數(shù)學(xué)期望為分，第一類題目選道，第二類題目選道，由于小明第一個題是從第一類題中抽出并回答正確，則剩下的個題中有個會做，第一題得分的期望為分，第二題得分的期望為分，所以這三道題得分的數(shù)學(xué)期望為分，因為，所以應(yīng)從第二類題目中選道.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點選對正確的分布模型，才可準(zhǔn)確求出概率以及數(shù)學(xué)期望，作出正確的決策.21．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的動直線與拋物線交于兩點，直線過點，且點關(guān)于直線的對稱點．（1）求拋物線的方程，并證明直線是拋物線的切線；（2）過點且垂直于的直線交軸于點，，與拋物線的另一個交點分別為，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．【答案】（1）；證明見解析；（2）.【分析】（1）由題意可得直線是的中垂線可得，即準(zhǔn)線為，即可求解；計算即可求證；（2）設(shè)設(shè)，，，，由可得與的關(guān)系，進(jìn)而可得的范圍，分別設(shè)出直線、的方程與拋物線方程聯(lián)立可以求出的橫坐標(biāo)，由三角形的面積公式化簡結(jié)合的范圍即可求解.【詳解】（1）因為點與點關(guān)于直線對稱，所以直線是的中垂線，因為點在直線上，所以，由，，可知與直線垂直，所以直線是拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為，可得點，所以，從而直線的斜率為，又因為拋物線方程，得，所以過點的切線斜率為，所以直線是拋物線的切線；（2）設(shè)，，，，由題意可得：，即，得，因為，所以，令直線的方程為，聯(lián)立整理可得，可得，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理可得，可得，即，同理可得：，因此，，所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸