2022-2023學(xué)年江蘇高一年級下冊數(shù)學(xué)同步講義蘇教版2019必修第二冊第03講 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用含詳解

第n章解三角形

第03講正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

1.掌握正余弦定理的實際應(yīng)用1.實際模型抽象為正余弦定理問題

冊'知識精講

T.三用形內(nèi)角和定理-----------------------------------------------------------------------------

在△A8C中，A+B+C=g變形：*產(chǎn)=微一孝.

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BCA+BC

(3)sin--=cosy；(4)cos—-=sin,.

3.三角形中的射影定理

在^ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=bcosA+acosB.

Q能力拓展

考法01測量距離問題

(1)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A,B,望對岸的標(biāo)記物C,測得NCA8=30。,

NCBA=75°,4B=120m,則河的寬度是________m.

C

/DB

(2)如圖，為測量河對岸A,8兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C,。兩點，測得NAC8=60。，NBCD

=45°,ZADB=60°,NAOC=30°,貝ijA,B兩點的距離是________.

聲三

cD

【答案】(1)60(2)2Mm

【解析】(l)tan30°=7F；,tan75°=",

/\UUD

又40+08=120,：.ADtan30°=(120-AD)-tan750,

：.AD=6(hf3,故CZ)=60.

(2)在△BCD中，ZBDC=60°+30°=90°,ZBCD=45°,：.ZCBD=90°-45°=ZBCD,

.'.BD=CD=40,BC=y?+C￡>2=40&.

在△ACQ中，ZADC=30°,ZACD=600+45°=105°,

，ZCAD=180o-(30o+105o)=45°.

由正弦定理，得AC=W^*=20\/l

在AABC中，由余弦定理，得

AB2=4C2+BC2-2ACXBCXCOSZBCA=(20^2)2+(4Ch/2)2-2x4(h/2x2(hy2cos60°=2400,

：.AB=2(hj6,

故A,B兩點之間的距離為2Mm.

【方法技巧】

測量距離的基本類型及方案

A,B兩點間不可通或A,B兩點間可視，

類型A,B兩點都不可達(dá)

不可視但有一點不可達(dá)

--------rA-*,<

圖形——

:===

C^=^

CaD

測得CD="，ZBCD,

ZBDC,ZACD,Z

以點A不可達(dá)為ADC,ZACB,^.^ACD

先測角C,AC=b,

例，先測角3,C,中用正弦定理求AC；

方法BC=a,再用余弦定

BC=a,再用正弦在ABCD中用正弦定理

理求AB

定理求AB求BC；

在^ABC中用余弦定理

求A8

【跟蹤訓(xùn)練】

1.海上A,8兩個小島相距10海里，從A島望C島和8島成60。的視角，從B島望C島和A島成75。的視

角，則8,C間的距離是（）

A.1即海里B.粵^海里

C.5啦海里D.5乖海里

2.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為竽的軍事基地C和

D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在4處和8處，且403=30。，ZBDC=30°,ZDCA

=60°,ZACB=45°,如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離.

考法02測量高度問題

如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D現(xiàn)測得N8C。

=a,NBDC=B，CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為仇求塔高AB.

【方法總結(jié)】

測量高度問題的解題策略

⑴“空間，，向，，平面，，的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空

間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖所示，A,8是水平面上的兩個點，相距800m,在A點測得山頂C的仰角為45。,

/54。=120。，又在B點測得/ABO=45。，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高

CD.

考法03測量角度問題

某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護航

艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45。，距離為10海里的C處，并測得貨船

正沿方位角為105。的方向，以10海里/小時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以1即

海里/小時的速度前去營救，求護航艦的航向和靠近貨船所需的時間.

［【方法總結(jié)】測量角度問題的基本思路

測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,

再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解

【跟蹤訓(xùn)練】某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60。相距20(仍+1)海里的海面上有

一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時1隊尼海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預(yù)計臺風(fēng)中心

將從基地東北方向刮過且小+1小時后開始持續(xù)影響基地2小時.求臺風(fēng)移動的方向.北to

M分層提分

南B

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國職工愛國主義教育基地名單.某數(shù)學(xué)建模小組為測量塔的

高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場A地測得紀(jì)念塔頂。的仰角為45。，乙同學(xué)在二七廣場B地測

得紀(jì)念塔頂。的仰角為30。，塔底為C,（4,B,C在同一水平面上，OC_L平面ABC）,測得AB=63m,

NACB=30。，則紀(jì)念塔的高C￡＞為（）.

A.40mB.63m

C.404mD.636m

2.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A,8（如圖），要測量A,8兩點的距離，

測量人員在岸邊定出基線BC,測得8C=50m,ZABC=105,ZBCA=45\就可以計算出A,8兩點的

距離為（）.

A.20mB.25mC.40mD.50&m

3.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,若02+從＜02,則（）

A.AABC是銳角三角形B.&ABC是直角三角形

C.AABC是鈍角三角形D.AABC的形狀不確定

4.“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為36。的等腰三角形，暫且稱為“黃

金三角形A”.如圖所示，已知五角星是由5個“黃金三角形A”與1個正五邊形組成，其中豆加8。=叵」，

4

則陰影部分面積與五角形面積的比值為（）?

A石-1口石布+1n3V5

A.----------D.---rL?-------------LJ.----

45620

5.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=6cosA,則AABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

6.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是"中國十大歷史文化名樓”之一，

世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水

平的直線AC,如圖，測得ZZMC=30。，ZDBC=45°,AB=14米，則岳陽樓的高度CD約為（）（參考

數(shù)據(jù)：右=1.414、1.732)

D

A.18米B.19米C.20米D.21米

二、多選題

7.在中，有如下命題，其中正確的有（）

A.若〃=",8=60°,則AABC是等邊三角形

B.若sin22A=sin22B，則AABC是等腰三角形

C.若cos?A+sin?8+sin2c<1,則AABC是鈍角三角形

D.若a=4力=2,B=25。,則這樣的A/WC有2個

8.在AABC中，若m+A）:（a+c）：S+c）=9:10:ll,下列結(jié)論中正確的有（）

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6

B.zUBC是鈍角三角形

C.AABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則"8C外接圓的半徑為場

7

三、填空題

9.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生需測量某零件中圓弧的半徑.如圖，將三個半徑為20cm的小球放在圓弧上，

使它們與圓弧都相切，左、右兩個小球與中間小球相切.利用“十'’字尺測得小球的高度差。為8cm,則圓弧的

半徑為cm.

10.在t^ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,已知sinBsinC+2sin2C=sin2B，a=瓜,cos4=-；,

則^ABC的面積S為.

四、解答題

11.如圖，。是直角三角形ABC斜邊BC上一點，ACfDC.

(1)^ZDAC=30,求角/ADC的大小；

⑵若BD=2DC,且OC=1,求的長.

12.已知〃、b、。分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的邊，sinC+(2sinA=Z?sinB+csinC.

⑴求A；

⑵若“A的的面積為手，求會的周長

題組B能力提升練

一、單選題

1.如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔19km,速度為300km/h

，飛行員先在4處看到山頂?shù)母┙菫?5。，經(jīng)過2min后，又在8處看到山頂?shù)母┙菫?5。，則山頂?shù)暮０渭s

為（）（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：6=1.732）

C.6.3kmD.13.7km

2.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量

法是珠穆高峰測量法之一，如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有三點，且A,8,C在同一水平

面上的投影4,耳/滿足NAG4=45。，NAgG=60。，由C點測得8點的仰角為15。，與CG的差為

150,由8點測得A點的仰角為45。，則AC兩點到水平面AB￡的高度差懼-CR約為（)(73^1.732)

C.410D.560

2

3.△A3C的外接圓半徑R=2,角。=耳/，則3c面積的最大值為（）

A.GB.2GC.4D.

4.測量珠穆朗瑪峰的高度一直受到世界關(guān)注，2020年12月8日，中國和尼泊爾共同宣布珠穆朗瑪峰的最

新高度為8848.86米.某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們曾用三角測量法對珠峰高度進行測量，其方法為：首

先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的

張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度.該興趣小組運用這一方法測量學(xué)校旗

45

桿的高度，已知該旗桿MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點A,B的距離為5m，測得ZMBA=0,

NMAB="-9,其中sin?=2，在A點處測得旗桿頂點的仰角為*,cose=g,則該旗桿的高度為（單位:

635

m)()

A.9B.12C.15D.18

5.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c.若cos?A+cos?C-cos?B+sinAsinC=1,且滿足

關(guān)系式苧+*=生臀等，則a+c的取值范圍是（）

bc3sinC

A.（收2因B.惇，竽

C.D.（3,2回

6.滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一

色”而流芳后世.如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為30。，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點B,測

得滕王閣頂端的仰角為45。，則滕王閣的高度最接近于（）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：73?1.732）

A.49米B.51米C.54米D.57米

二、多選題

7.在AABC中，下列說法正確的是（）

rr

A.若。=2/?sinA,則3=W

6

B.若A>8,則sinA>sinB

c.AB=2叵,ZB=45°，若AC=娓,則這樣的三角形有兩個

D.若從+。2>/,貝必43G為銳角三角形

8.在中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a:b:c=4:5:6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6B.△ABC是鈍角三角形

C.若c=6,則AABC的面積為巨巨D(zhuǎn).若c=6,則AABC內(nèi)切圓半徑為立

42

三、填空題

9.已知在ZkABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,若〃2=按+/—尻，。=3,貝必45。的周長的最

大值為，

10.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=0.6km,一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭8.已知

A8=lkm,水的流速為2km/h,若客船從碼頭A駛到碼頭5所用的時間為6min,則客船在靜水中的速度為

___________km/h.

B

水渣方向

四、解答題

11.已知a,b,C分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，4=百，且(75+b)(sinA-sinB)=(c-6)sinC.

⑴求角A

(2)若AABC為鈍角三角形，求AABC周長的取值范圍.

12.已知“8C的面積為S,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且4s=6伊一/_。2).

(1)求8的大??；

(2)若而且83=2,求S的最大值.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心。后轉(zhuǎn)向東北方。N,為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)

備修建一條繞城高速公路L，并在MO,CW上分別設(shè)置兩個出口48,若部分為直線段，且要求市中心。

與AB的距離為20千米，則A8的最短距離為()

B.40(0-1)千米

C.20(72+1)D.40(>/2+1)

2.在銳角AA3C中，角A,B,C所對的邊為a",c,若怨竺乎=吆+經(jīng)色，且$正（^+從一。?），

3sinAac^ABC4v'

則￡的取值范圍是（）

a+b

A.（6,26]B,（6,4石]c.[g用D.[6,2）

3.在一座尖塔的正南方地面某點A,測得塔頂?shù)难鼋菫?2。30',又在此尖塔正東方地面某點B,測得塔頂

的仰角為67。30',且A,5兩點距離為540m,在線段A8上的點C處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲螅瑒tC點到塔底

。的距離為（）

A.90mB.100mC.110mD.270m

二、多選題

4.如圖，AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,J若a=6,且G（acosC+ccosA）=2bsin8,

。是外一點，DC=\,DA=3,則下列說法正確的是（）

A.AABC是等邊三角形

B.若4C=2百，則A,B,C,。四點共圓

C.四邊形ABC。面積最大值為述+3

2

D.四邊形ABC。面積最小值為偵-3

2

三、填空題

5.拿破侖定理是法國著名的軍事家拿破侖?波拿馬最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊,

向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.在A43c中，

ZA=120°,以AB、BC、AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為。|、。?、0},若60no臺

的面積為26,則AABC的周長的取值范圍為.

四、解答題

TT

6.如圖，扇形OMN的半徑為右，圓心角為A為弧MN上一動點，B為半徑上一點且滿足

(1)若08=1,求AB的長；

(2)求面積的最大值.

第n章解三角形

第03講正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點

1.掌握正余弦定理的實際應(yīng)用1.實際模型抽象為正余弦定理問題

趣知遲精講

1.三角形內(nèi)角和定理

A+8冗Q

在△A8C中，A+B+C=n；變形：一2——2-2*,

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BCA+BC

(3)sin2-=cos,；(4)cos2-=sin,.

3.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；c=Z?cosA+〃cosB.

Q能力拓展

考法01測量距離問題

(1)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點4,B,望對岸的標(biāo)記物C,測得/。8=30。,

NCBA=75。,AB=120m,則河的寬度是________m.

ADB

(2)如圖，為測量河對岸A,B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C,Q兩點，測得NACB=60。，ABCD

=45。，乙4。8=60。，ZADC=30°,則A,B兩點的距離是________

二9

CD

【答案】(1)60(2)20>/6m

【解析】⑴tan300=*,tan750=累，

又AO+OB=120,.,.ADtan30°=(120-AD)tan750,

.-.AD=6O^3,故C￡>=60.

(2)在△SCO中，ZBDC=60o+30°=90°,NBCD=45。,；.NCBD=90。-45。=NBCD,

.-.BD=CD=40,BC=y]BD2+CD-=A^.

在△AC。中，NAZ)C=30°,ZACZ)=60°+45o=105o,

ZCAD=180°-(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得黎=2071

在aABC中，由余弦定理，得

A4-BGTACXBCXCOSNBCA=(2O\/2)2+"所產(chǎn)-2X40^2X20\/2cos600=2400,

.?,AB=2(h]6,

故4,8兩點之間的距離為2Mm.

【方法技巧】

測量距離的基本類型及方案

A,B兩點間不可通或A,8兩點間可視，

類型A,8兩點都不可達(dá)

不可視但有一點不可達(dá)

A,

---------------rA--<..一三

圖形二

C

CaD

測得CD=a,/BCD,

ZBDC,ZACD,Z

以點A不可達(dá)為ADC,ZACB,在△AC。

先測角C,AC=b,

例，先測角8,C,中用正弦定理求AC；

方法BC=a,再用余弦定

BC=a,再用正弦在△BCO中用正弦定理

理求AB

定理求AB求8C；

在△ABC中用余弦定理

求AB

【跟蹤訓(xùn)練】

1.海上A,B兩個小島相距10海里，從A島望C島和8島成60。的視角，從8島望C島和A島成75。的視

角，則B,C間的距離是（）

A.10>/3海里B.粵^海里

C.572海里D.5^6海里

【答案】D

C

【解析】如圖所示，根據(jù)題意，在△A8C中，4=60°,8=75。，48=10,?,.C=45。.由正弦芻行一

定理可得A而B下=B而C不即10后B近C；衣=5佩r-海里).故選D-\Y60y

22

2.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為華的軍事基地C和大、、

D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在4處和B處，且438=30。，ZBDC=3Q°,ZDCA/

=60。，NACB=45。，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離.

DC

【解析】'/NADC=NAOB+"08=60。，

又NOCA=60°,ZDAC=60°..\AD=CD=AC=^a.

在△BC7)中，NO8c=45°,%n30。=sin45。，，BC=￡a.

在△ABC中，由余弦定理得ABZMAG+BC2-"ZACBCcos45。=,〃+)!—2xW〃X幸aX‘=Ja2.

4oZ4Zo

：.A8=W4...藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離為乎〃

考法02測量高度問題

如圖，測量河對岸的塔高A8時，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩點C與D現(xiàn)測得NBCZ)

=a,/BDC=B，CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為仇求塔高4B.

【解析】在△BC￡＞中，NCBQ=兀一(a+夕).

BCCD

由正弦定理得

sinZBDCsinZCBD'

.CDsinNBDCs?sin/?

''K=sinNCBD=sin(a+p)，

,A_,一一5-sin5tan0

在RtAABC中,AB=BCtanZACB=~^.

【方法總結(jié)】

測量高度問題的解題策略

(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面,

將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路.

【品艮蹤訓(xùn)練】

1.如圖所示，A,8是水平面上的兩個點，相距800m,在A點測得山頂C的仰角為45。,

ZBAD=120°,又在B點測得NABO=45。，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高

CD.

【解析】由于CO_L平面A8O,NCAO=45°,所以C￡)=AD

因此只需在△ABO中求出4。即可，

在△ABO中，ZBDA=180o-45°-120°=15o,

.?.?..,800X-5^

A8_____AZ)?ABsm450_______2

由sin15°=sin450'HAD=sin15°=^6~^/2

4

=800(^3+l)(m).

即山的高度為800(^3+l)m.

考法03測量角度問題

某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護航

艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45。，距離為10海里的C處，并測得貨船

正沿方位角為105。的方向，以10海里/小時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以1所

海里/小時的速度前去營救，求護航艦的航向和靠近貨船所需的時間.

［【解析】設(shè)所需時間為亡小時，則48=1即，，CB=lOt,在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得

ABi1=AC1+BC1-2ACBCcos120°,

可得(1即力2=102+(10)-2義lOXIOrcos120°,

整理得21—1=0,解得f=1或f=一氐舍去).

所以護航艦需要1小時靠近貨船.

此時A8=10V§,8c=10,

在△48C中,由正弦定理得sinNC4B=sin120°'

10X近

z.八BCsin120021

所以smZCAB=-而一=[即=],

所以/。8=30°,

所以護航艦航行的方位角為75°.

【方法總結(jié)】測量角度問題的基本思路

測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，

再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解

【跟蹤訓(xùn)練】某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60。相距20（小+1）海里的海面上有

一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時1隊尼海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預(yù)計臺風(fēng)中心

將從基地東北方向刮過且小+1小時后開始持續(xù)影響基地2小時.求臺風(fēng)移動的方向....

【解析】如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B,開始影響基地時臺風(fēng)中心為C,基地剛好不受\

影響時臺風(fēng)中心為。，則8,C,。在一直線上，且40=20,AC=20.“忘\

由題意A8=20（小+1）,DC=2即,南B

8c=（小+1>1即.在△AOC中，

因為OC2=AO2+AG,

所以NO4C=90°,N40c=45°.

在△A8C中，由余弦定理得

化+4」一叱S

cosNBAC=2ACAB=2'

所以N8AC=30°,又因為8位于4南偏東60°,

60°+30°+90°=180°,又。位于A的正北方向，

又因為N4OC=45°,所以臺風(fēng)移動的方向為北偏

45°

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國職工愛國主義教育基地名單.某數(shù)學(xué)建模小組為測量塔的

高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場A地測得紀(jì)念塔頂。的仰角為45。，乙同學(xué)在二七廣場B地測得

紀(jì)念塔頂。的仰角為30。，塔底為C,（A,B,C在同一水平面上，OCJ?平面ABC）,測得AB=63m,

ZAC8=30。，則紀(jì)念塔的高?！?gt;為（）.

A.40mB.63m

C.405/3mD.636m

【答案】B

如圖所示，ADAC=45,ZCBD=30\ZACB=30°,設(shè)塔高為加，因為。CJ_平面A3G所以

DCLCA.DCVCB,

222222

所以AC=〃Z,3C=GmAB=AC+BC-2AC-BC-cosZACB,BP63=/n+3w-2x>/3Wx,

2

解得m=63.故選:B.

2.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A,5（如圖），要測量A,5兩點的距離，

測量人員在岸邊定出基線BC,測得8c=50m,ZABC=105,ZBCA=45\就可以計算出A,8兩點的

距離為（）.

A

A.20mB.25mC.40mD.50夜m

【答案】D

【解析】由三角形內(nèi)角和定理可知：ABAC=180°-ZACB-ZABC=30",

ABBC=-8=5。=050萬

由正弦定理得:sin/4CBsinZ.BACa』，

T2

故選：D

3.在A4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若則（)

A.AABC是銳角三角形B.△ABC是直角三角形

C.AABC是鈍角三角形D.AABC的形狀不確定

【答案】C

【解析】因為/+匕2<°2,

所以cosC="+"———<0,

2ab

所以角C是鈍角，

所以AABC是鈍角三角形，

故選：C

4."黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為36。的等腰三角形，暫且稱為“黃

金三角形A'.如圖所示，已知五角星是由5個"黃金三角形A"與1個正五邊形組成，其中$抽18。=避二

4

則陰影部分面積與五角形面積的比值為（）.

A

/5-1石r\/5+1k3石

45620

【答案】B

【解析】如圖所示，

生LRC/s-1

依題意，在三角形ABC中，.1RO2右T，故必=上1；

Sin18=就=丁AC2

所以些=在二1,

AB2

設(shè)AABC的面積為X,則△BCD面積為避二lx,同理△CEF的面積為叵口X,

22

△CDE的面積為x,

2x+2-^~~~-x

2

則陰影部分面積與五角形面積的比值為一7r~-

2-^^-x+Gx

2

故選：B.

5.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若c=6cosA,則AABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】c=Z?cosA,所以sinC=cosAsin8.在△ABC中，sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB,故

sinAcos8=0,

Jr

因為sinA。0,所以cos8=0,因為0<8<兀，所以8=5，故AMC為直角三角形.

故選：C.

6.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為"江南三大名樓"，是"中國十大歷史文化名樓”之一,

世稱“天下第一樓".因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水

平的直線AC,如圖，測得皿C=30。，NDBC=45°,A8=14米，則岳陽樓的高度CO約為（）（參

考數(shù)據(jù)：0=1.414、x/3?1.732)

D

A.18米B.19米C.20米D.21米

【答案】B

【解析】RtlDC中，NQAC=30°，則4c=&C￡)，RABDC中，ZDBC=45°.則3C=C￡>,

14

由AC-BC=AB得辰D-CD=14=>CD==7(73+1)?19.124CD約為19米.

A/3-1

故選：B

二、多選題

7.在AABC中，有如下命題，其中正確的有（）

A.若從=4,8=60。，則AABC是等邊三角形

B.若sin?2A=sin?28，則AABC是等腰三角形

C.若cos?A+sin28+sin2c<1，則AABC是鈍角三角形

D.若“=4,6=2,8=25°,則這樣的AABC有2個

【答案】ACD

【解析】A中由=ac及62=a2+C?-2accos60。得"=c,所以A4?C是等邊三角形，A正確.

B選項中，如4=60。,8=30。時，AABC不是等腰三角形，所以B錯誤；

C選項中，化簡為si/B+sin2c<1-cos24=sin2A,由正弦定理得從+c?</,再由余弦定理得cosA<0,

所以AA3C是鈍角三角形，C選項正確；

D選項中知asin8</?<a成立，所以這樣的三角形有2個，D選項正確.

故選：ACD

8.在AA8C中，若(a+b):(a+c):g+c)=9:10:ll,下列結(jié)論中正確的有()

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6

B.△48C是鈍角三角形

C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則△ABC外接圓的半徑為必

7

【答案】ACD

【解析】由題意，設(shè)a+6=9xM+c=10x,0+c=llx,解得a=4x,b=5x,c=6x；

所以sinA:sin3:sinC=4:5:6,A正確;

由以上可知C最大，cosC=(旬2+(5x)2-(6x)2=&c為銳角,B錯誤；

2x4xx5x8

,,-r.&-?(<(5x)2+(6x)2-(4x)23

由以上可知nA最小，cosA=」^—―――-=一，

2x5xx6x4

、91

cos2A=2cosA-l=2x-----1=-,BPcosC=cos2A,

168

因為C為銳角，2A為銳角，所以C=2A,C正確；

因為cosC=所以sinC=>/l-cos2c=辿,

88

設(shè)^ABC外接圓的半徑為，，則由正弦定理可得2r=—=㈣

sinC7

所以r=D正確故選ACD.