全稱量詞與存在量詞高一上學期數學人教A版（2019）必修一

1.5全稱量詞與存在量詞

學習目標1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.(重點)2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.(重點)3.會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假．(難點)4.會對全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定.（重點）引

入

我們知道，命題是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句，核心就是能判斷真假.

在數學中，經常會遇到含有變量的陳述句，這些陳述句在未給定變量的值之前無法確定語句的真假（我們一般把這種陳述句叫做開語句），如x+1>0，x2+y2=4等.

由于這種語句不能判斷真假，所以它不是命題，但是如果我們用一個短語來對其中變量的取值范圍進行限定，就可以使它變成一個命題，這種短語稱為量詞.

本節(jié)我們就來學習這種量詞以及如何正確地對含有一個量詞的命題進行否定.探究新知

問題1:

下列語句是命題嗎?(1)與(3)之間,(2)(4)之間有什么關系?(1)x>3;(2)2x+1是整數;(3)對所有的x∈R，x>3(4)對任意一個

x∈Z，2x+1是整數.是命題，真命題是命題，假命題不是命題不是命題(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“對所有的x∈R”，變成了一個命題。(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“對任意一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“所有的”，“任意一個”的短語稱為全稱量詞。并把(3)(4)稱為全稱量詞命題。課本P26--思考（1）全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞。并用符號“”表示.全稱量詞一般用來表示全體、所有的意思，常見的全稱量詞有:“所有的”,“任意一個”,“一切”,“每一個”,“任給”,“凡是”等.全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.?x∈M，p(x)探究新知：1.全稱量詞思考：全稱量詞命題中是否一定含有全稱量詞？不一定，比如全稱量詞命題“正方形是特殊的菱形”，中沒有全稱量詞。探究新知

問題2:

下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關系？(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個x∈R，使2x+1=3；(4)至少有一個x∈Z，x能被2和3整除.不是命題不是命題是命題，真命題是命題，真命題(3)對(1)中的變量x增加了一個限制“存在一個x∈R”，變成了一個命題。(4)對(2)中的變量x增加了一個限制“至少有一個x∈Z”,變成了一個命題。

在這里，我們把類似于“存在一個”，“至少有一個”的短語稱為存在量詞。并把(3)(4)稱為存在量詞命題。課本P27--思考探究新知：2.存在量詞（1）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞.一般用符號“”表示.

存在量詞通常用來表示一部分，個別的意思，常見的存在量詞有：“有些”，“有一個”，存在一個”，“對某些”，“有的”等..存在量詞命題“存在M中的一個x，p(x)成立”,可用符號簡記為（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.?x∈M，p(x)思考2：短語“至多有一個”是存在量詞嗎?不是.因為“至多有一個”包含了不存在的情形.

題型一

全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析經典例題例1判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；(3)存在二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸無交點．經典例題總結全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷

題型一

全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析變式訓練1經典例題

題型一

全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析將下列命題用“?”或“?”表示．(1)實數的平方是非負數；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一個負根。經典例題

題型二全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷例2

判斷下列全稱量詞命題的真假．(1)任意實數的平方均為正數．(2)函數y＝kx＋b為一次函數．(3)同弧所對的圓周角相等．(4)?x∈R，x2＋3≥3.變式訓練2經典例題

題型二全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷判斷下列存在量詞命題的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在對角線不互相垂直的菱形．(3)有些整數只有兩個正因數．經典例題總結1．全稱量詞命題真假的判斷對于全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”：(1)要證明它是真命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立；(2)要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常舉反例)2．存在量詞命題真假的判斷對于存在量詞命題“?x0∈M，p(x0)”：(1)要證明它是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可．(通常舉正例)(2)要判斷它是假命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)不成立．

題型二全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷探究新知

一般地，對一個命題進行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“?p”讀作“非p”或p的否定.例如，“56是7的倍數”的否定是“56不是7的倍數”；“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假。1．命題的否定與原命題的真假若原命題是真命題，則否定為假命題；若原命題為假命題，則否定為真命題。探究新知寫出下列命題的否定（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個素數都是奇數；（3）命題形式有什么變化？全稱量詞命題的否定變成了存在量詞命題。（1）“并非所有的矩形都是平行四邊形”，

也就是“存在一個矩形不是平行四邊形”；（2）“存在一個素數不是奇數”；（3）?x0∈M，?p(x0)存在量詞命題2．全稱量詞命題的否定任意改存在，后面反過來課本P29--探究探究新知寫出下列命題的否定（1）存在一個實數的絕對值是正數；（2）有些平行四邊形是菱形；（3）（1）“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，

也就是“所有實數的絕對值都不是正數”；（2）“每一個平行四邊形都不是菱形”；（3）命題形式有什么變化？存在量詞命題的否定變成了全稱量詞命題。3．存在量詞命題的否定

?x∈M，?p(x)全稱量詞命題存在改任意，后面反過來課本P30--探究

題型三

全稱量詞、存在量詞命題的否定經典例題變式訓練3-1經典例題

題型三

全稱量詞、存在量詞命題的否定變式訓練3-2經典例題

題型三

全稱量詞、存在量詞命題的否定(必修第一冊P30例4改編)(多選)已知命題p：?x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是A.p是真命題B.?p：?x∈R，x＋2>0C.?p是真命題D.?p：?x∈R，x＋2>0√√當x＝0時，x＋2≤0不成立，故p是假命題，故A錯誤；由含量詞命題的否定可知，p：?x∈R，x＋2≤0的否定為?p：?x∈R，x＋2>0，故D正確，B錯誤；?p是真命題，故C正確.經典例題

題型四由含量詞的命題求參數例4(1)已知對任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實數m的取值范圍；(2)已知存在實數x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求實數m的取值范圍．經典例題

題型四由含量詞的命題求參數變式訓練4-1已知M={x|a≤x≤a+1},(1)若“?x∈M,x+1>0”是真命題,求實數a的取值范圍;(2)若“?x∈M,x+1>0”成立,求實數a的取值范圍.(1)?x∈M,x+1>0是真命題,即a+1>0,解得a>-1,所以實數a的取值范圍是a>-1.(2)“?x∈M,x+1>0”成立,即a+1+1>0,解得a>-2,所以實數a的取值范圍是a>-2.變條件：若“?x∈M,x+1=0”成立,求實數a的取值范圍.-2≤a≤-1經典例題

題型四由含量詞的命題求參數若命題“?x∈R，x2＋x