數(shù)字信號處理（第3版）課件 第02章 Z變換

第2章z變換2.1z變換的定義2.2z變換的收斂域性質(zhì)2.3z反變換2.4z變換的性質(zhì)2.1z變換的定義z是復(fù)數(shù)變量

單邊z變換的定義是本課程只要求雙邊z變換并以z的負冪次方表示對任意給定的序列x[n]，使其z變換收斂的所有z值的集合稱為z變換的收斂域(ROC:RegionofConvergence)

。z變換收斂的充分條件是若某個z值，例如在ROC內(nèi)，則全部在確定的圓上的z值也一定在收斂域內(nèi)。因此z變換是否收斂只取決于|z|，也就是說，ROC一定由z平面內(nèi)以原點為中心的圓環(huán)所組成，圓環(huán)的外邊界可以向外延伸至無窮大，內(nèi)邊界也可向內(nèi)縮小到包括原點。所以ROC常表示成如下的不等式形式常用z變換對當z變換收斂并且可以表示成一個簡單的有理函數(shù)，即使X(z)=0的z定義成零點；使X(z)=∞的z定義成極點。上式在z平面的非零區(qū)域（包括∞，不包括原點）有M個零點和N個極點（簡稱非零零點和非零極點）。除此之外，若M>N,則還有M-N階極點在z=0；若M<N,則還有N-M階零點在z=0。也就是說總是具有相同數(shù)目的零點和極點。在z平面上

“o”表示零點，

“x”表示極點。零點和極點零點和極點個數(shù)相等，不要漏掉z=0和z=∞處的零點或極點。極點:z=2,z=3;零點:z=1,z=0舉例2.2z變換的收斂域性質(zhì)ROC的邊界是圓，因為收斂條件取決于|z|ROC里面不能有極點，因為極點使z變換不收斂ROC的邊界上至少有1個極點，所以ROC都是以極點所在圓為邊界ROC是一個連續(xù)的區(qū)域5．有限長序列的ROC是整個平面（0和∞可能除外）X(z)是有限項級數(shù)之和，只要級數(shù)的每一項有界，則級數(shù)就收斂。因此收斂域是整個z平面，當包含z的正冪項（即x[n]是非因果序列）時，收斂域不包括z＝∞，當包含z的負冪項時，收斂域不包括z＝0。ROC一定在幅度（又稱模）最大的有限極點所在圓之外，當x[n]是非因果序列時，收斂域不包括z＝∞。

6．右邊序列的ROC是一個圓的外部（∞可能除外）ROC一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)，當x[n]在n>0有值時，收斂域不包括z=0。7．左邊序列的ROC是一個圓的內(nèi)部（0可能除外）雙邊序列z變換ROC的內(nèi)邊界是右邊序列的z變換中模最大的極點所在的圓，外邊界是左邊序列的z變換中模最小的極點所在的圓。如果右邊序列和左邊序列的ROC沒有交集，則雙邊序列的ROC不存在。8．雙邊序列的ROC是一個圓環(huán)或沒有ROC因果序列x[n]的z變換不包含z的正冪項，當時，，所以因果序列的z變換的ROC總是包含

。則其在單位圓上的z變換滿足即z變換在單位圓上收斂，所以ROC包含單位圓。9．因果序列的ROC包含z=∞10．絕對可和序列

絕對可和序列滿足若因果則包含∞若無n>0的項則包含0絕對可和序列：FT收斂，z變換的ROC包含單位圓圖示ROC性質(zhì)

舉例舉例2.3z反變換1．觀察法這一方法適用于表中列出的一些常用的變換。2．部分分式法是X(z)的整式部分的系數(shù)，可用長除法求出；

3．冪級數(shù)展開法只要把展開成冪級數(shù)：則級數(shù)的系數(shù)就是序列x[n]的樣本。在用長除法展開時，如果的ROC為一個圓的外部，則x[n]必為右邊序列，的分子分母應(yīng)按的升冪(或z的降冪)排列；如果ROC是一個圓的內(nèi)部，則x[n]必然是左邊序列，的分子分母應(yīng)按的降冪(或z的升冪)排列。舉例舉例…舉例2.4z變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)2.移位性質(zhì)3.乘以指數(shù)序列(z域尺度變換性質(zhì))4.線性加權(quán)(z域微分性質(zhì))舉例5.取共軛實數(shù)序列的z變換的復(fù)數(shù)零點（極點）以共軛對的形式存在證明6.時間反轉(zhuǎn)實偶序列的z變換的不在單位圓上的復(fù)數(shù)零點（極點）以共軛對和倒數(shù)對的形式4個一組地存在證明7.卷積性質(zhì)證明例題8.初值定理

如果x[n]是因果序列，那么證明9.終值定理如果x[n]是因果序列，且X(z)的極點處于單位圓以內(nèi)(單位圓上最多在z＝1處有一階極點)，那么證明

2.1正變換

2.2ROC的特點 右邊：圓內(nèi) 左邊：圓外