概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件3.1隨機變量及其分布

§3.1二維隨機變量及其分布延遲符例如

抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重Y，以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量

(三個坐標)（X，Y，Z）來確定的等等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計一般地,設(shè)是一個隨機試驗,它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機變量,由它們構(gòu)成的一個維向量叫做維隨機向量或

維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.延遲符二維隨機變量的分布函數(shù)定義

設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,

y，二元函數(shù)稱為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡稱為（X,Y)的分布函數(shù).分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋

將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,

那么分布函數(shù)在點處的函數(shù)值就是隨機點落在下面圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(1)F(x,y)分別關(guān)于x

和y

單調(diào)不減.概率論與數(shù)理統(tǒng)計分布函數(shù)F(x，y)的性質(zhì)(3)F(x,y)關(guān)于x或y都是右連續(xù)的，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(4)對任意的有證：x1x2y1y2概率論與數(shù)理統(tǒng)計

設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為,則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計延遲符二維離散型隨機變量

定義

若二維隨機變量(X,Y)的所有可能的取值是有限對或可列無限對不同值，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量.稱為(X,Y)的分布律，或X與Y的聯(lián)合分布律.二維離散型隨機向量(X,Y)的分布律可用下列表格給出XYx1x2...xi...y1

y2

...

yj

…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………概率論與數(shù)理統(tǒng)計二維離散型隨機變量的分布律具有性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計

例把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解

X

可取值0,1,2,3，Y

可取值1,3概率論與數(shù)理統(tǒng)計X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1

a

0.20.05求:(1)常數(shù)a的取值;(2)P{X≥0,Y≤1};(3)P{X≤1,Y≤1}.例(X,Y)的分布律為解

(1)由∑pij=1得:a=0.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)P{X≥0,Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P{X≤1,Y≤1}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.75=P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1

a

0.20.05概率論與數(shù)理統(tǒng)計二維連續(xù)型隨機變量定義

設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，若存在非負可積函數(shù)，使得對于任意實數(shù)，都有

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，函數(shù)f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度或X與Y聯(lián)合概率密度.(X,Y)的概率密度f(x,y)的性質(zhì)：（1）非負性（2）歸一性（3）當f(x,y)連續(xù)時，概率論與數(shù)理統(tǒng)計（4）若D是Oxy平面上的任一區(qū)域，則隨機點(X,Y)落在D內(nèi)的概率為：概率論與數(shù)理統(tǒng)計在幾何上，上式表示隨機點(X,Y

)落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率等于以D為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積.解

(1)由得所以

k=61概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)xy1/2o概率論與數(shù)理統(tǒng)計

例:設(shè)二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)為(1)求概率密度f

(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解

(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計常見的兩種二維連續(xù)型隨機變量的分布(一)均勻分布定義

設(shè)D是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(二)二