11-2-1第1課時三角形的內(nèi)角和-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊多維突破講與練人教版解

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《第十一章三角形》課題：11.2.1三角形的內(nèi)角第1課時三角形的內(nèi)角和知識點(diǎn)梳理知識點(diǎn)梳理★★★★★三角形內(nèi)角和定理◆（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．◆（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．◆（3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．◆（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用：主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；知識點(diǎn)訓(xùn)練知識點(diǎn)訓(xùn)練知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一1．（2021秋?仙居縣校級月考）已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，則∠B＝（）A．60° B．30° C．20° D．40°【分析】直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022?靖西市模擬）在△ABC中，∠A＝80°，∠B是∠C的4倍，則∠B等于（）A．85° B．80° C．75° D．70°【分析】根據(jù)題意設(shè)∠C是x°，則∠B就是4x°，根據(jù)內(nèi)角和為180°可列式為80°+x+4x＝180°，解得x，即可求解．【解答】解：設(shè)∠C是x°，則∠B就是4x°，根據(jù)題意可得：80°+x+4x＝180°，解得：x＝20，20×4＝80（度），∴∠B＝80°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練使用三角形內(nèi)角關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022春?商河縣期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．形狀無法確定【分析】利用∠A，∠B，∠C的關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理，求出具體的度數(shù)，即可求解．【解答】解：∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，∴△ABC為銳角三角形，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用∠A，∠B，∠C的關(guān)系求出具體度數(shù)．4．（2021?甘井子區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝50°，CD∥AB，則∠ACD的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝70°，∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A，∴∠ACD＝60°，解法二：∵∠B＝70°，CD∥AB，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝110°．∵∠ACB＝50°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)．知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二5．在△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且DE∥CB．若∠A＝60°，∠C＝70°，則∠BDE的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，再根據(jù)BD平分∠ABC，求出∠DBC，根據(jù)DE∥CB即可證明．【解答】證明：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°．∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝25°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定，解題關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定定理．6．如圖，一副直角三角板擺放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB與DE交于點(diǎn)M．若BC∥EF，則∠BMD的度數(shù)是（）A．75° B．105° C．120° D．90°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠EAB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)論．【解答】解：∵△ABC、△DEF是一副直角三角板，∴∠B＝30°，∠E＝45°．∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B＝30°，∵∠E+∠EAB+∠EMA＝180°，∴∠BMD＝180°﹣∠E﹣∠EAB＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“三角形的內(nèi)角和是180°”是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，按規(guī)定，一塊模板中AB、CD的延長線應(yīng)相交成85°角．因交點(diǎn)不在板上，不便測量，工人師傅連接AC，測得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此時AB、CD的延長線相交所成的角是不是符合規(guī)定？為什么？【分析】延長AB、CD交于點(diǎn)O，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC的度數(shù)即可．【解答】解：不符合規(guī)定．延長AB、CD交于點(diǎn)O，∵△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，∴∠AOC＝180°﹣∠BAC﹣∠DCA＝180°﹣32°﹣65°＝83°＜85°，∴模板不符合規(guī)定．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，是A、B、C三個村莊的平面圖，已知B村在A村的南偏西65°15′方向，C村在A村的南偏東15°方向，C村在B村的北偏東85°方向，求從C村觀測A、B兩村的視角∠ACB的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意∠BAC＝65°15′+15°＝80°15′，∠ABC＝85°﹣65°15′＝19°45′．在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°15′﹣19°45′＝80°．【點(diǎn)評】本題考查的是方向角的概念及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解答此題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)提升訓(xùn)練知識點(diǎn)提升訓(xùn)練【●基礎(chǔ)題●】1．（2021秋?安徽期中）在△ABC中，若∠A＝36°，∠B：∠C＝1：5，則∠C等于（）A．120° B．100° C．24° D．20°【分析】由題意知∠B=15∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠【解答】解：∵∠B：∠C＝1：5，∴∠B=15∠∵∠A+∠B+C＝180°，即36°+15∠C+∴∠C＝120°，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，利用內(nèi)角和定理列出∠C的方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?蓮湖區(qū)期末）已知△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，則∠A的度數(shù)為．【分析】利用題目條件結(jié)合三角形內(nèi)角和180°即可列出關(guān)于∠A的方程，進(jìn)而求出結(jié)果．【解答】解：又三角形內(nèi)角和定理可知：∠A+∠B+∠C＝180°，∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，解得：∠A＝35°．故答案為：35°．【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021秋?赫山區(qū)期末）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的一半時，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”．如果一個“半角三角形”的“半角”為15°，那么這個“半角三角形”的最大內(nèi)角的度數(shù)為．【分析】根據(jù)半角三角形的定義得出β的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求出另一個內(nèi)角即可．【解答】解：∵α＝15°，∴β＝2α＝30°，∴最大內(nèi)角的度數(shù)＝180°﹣15°﹣30°＝135°．故答案為：135°．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．4.如圖，李明同學(xué)在東西方向的濱海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測得燈塔P在北偏東30°方向上，則從燈塔P觀測A．B兩處的視角∠P的度數(shù)是（）A．30°B．32°C．35°D．40°【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題；【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了方向角，利用三角形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．5．（2021春?黔西南州期末）如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．150° B．240° C．300° D．330°【分析】如圖，分別在△ABC和△ADE中，利用三角形內(nèi)角和定理求得，∠1+∠2＝150°，∠3+∠4＝150°，則易求（∠1+∠2+∠3+∠4）的度數(shù)．【解答】解：如圖，在△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣30°＝150°．在△ADE中，∠3+∠4＝180°﹣30°＝150°，所以∠1+∠2+∠3+∠4＝300°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和是180度．6．將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠5的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：如圖，在△ADE中，∵∠A+∠1+∠2＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），在△BMN中，∵∠B+∠3+∠4＝180°，∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，∴∠5＝220°﹣180°＝40°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的三角形的內(nèi)角和定理，找到每一個三角形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．7．（2020春?南關(guān)區(qū)月考）如圖，△ABC中，∠ABC：∠C＝5：7，∠C比∠A大10°，BD是△ABC的高，求∠A與∠CBD的度數(shù)．【分析】由∠ABC：∠C＝5：7，設(shè)∠ABC＝5x，∠C＝7x，然后由∠C比∠A大10°，可得：∠A＝7x﹣10，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠A和∠C的度數(shù)，然后由BD是△ABC的高，可得：∠BDC＝90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠CBD的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABC：∠C＝5：7，∴設(shè)∠ABC＝5x，∠C＝7x，∵∠C比∠A大10°，∴∠A＝7x﹣10，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，即：7x﹣10+5x+7x＝180°，解得：x＝10，∴∠C＝7x＝70°，∠A＝7x﹣10＝60°，∵BD是△ABC的高，∴∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝20°．【點(diǎn)評】此題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．解題的關(guān)鍵是：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A和∠C的度數(shù)．【●提升題●】8．（2021春?閔行區(qū)校級月考）下列說法中錯誤的是（）A．三角形的三個內(nèi)角中，最多有一個鈍角 B．三角形三個內(nèi)角中，至少有兩個銳角 C．直角三角形中有兩個銳角互余 D．三角形中兩個內(nèi)角和必大于90°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，一一判斷即可．【解答】解：A、三角形的三個內(nèi)角中，最多有一個鈍角，正確．B、三角形三個內(nèi)角中，至少有兩個銳角，正確．C、直角三角形中有兩個銳角互余，正確．D、三角形中兩個內(nèi)角和必大于90°，錯誤，比如鈍角三角形的兩個銳角的和小于90°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用三角形內(nèi)角和定理解決問題．9．如圖，已知△ABC中，BD，CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點(diǎn)O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度數(shù)是（）A．97° B．117° C．63° D．153°【分析】根據(jù)角平分線的定義可知∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BOC＝180°-12（∠ABC+∠ACB），由∠A的度數(shù)可得∠ABC【解答】解：∵BD，CE分別是△ABC的角平分線，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°-12∠ABC-＝180°-12（∠ABC+∠∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°-12×126°故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，涉及角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，將CA沿DE翻折，點(diǎn)A落在F處，∠CEF、∠BDF、∠A三者之間的關(guān)系是（）A．∠CEF＝∠BDF+∠A B．∠CEF﹣3∠A＝∠BDF C．∠CEF＝2（∠BDF+∠A） D．∠CEF﹣∠BDF＝2∠A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CEF＝∠A+∠AOE，∠AOE＝∠F+∠BDF，從而可得∠CEF＝∠A+∠F+∠BDF，由折疊性質(zhì)可得∠A＝∠F，從而可得∠CEF＝2∠A+∠BDF，即可求解．【解答】解：如圖，∵∠CEF＝∠A+∠AOE，∠AOE＝∠F+∠BDF，∴∠CEF＝∠A+∠F+∠BDF，由折疊性質(zhì)可得：∠A＝∠F，∴∠CEF＝2∠A+∠BDF，∴∠CEF﹣∠BDF＝2∠A，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確利用△AOE和△DOF的內(nèi)角和關(guān)系．11．如圖，點(diǎn)D為△ABC的角平分線AE延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)，若∠B＝80°，∠C＝50°，則∠D的度數(shù)是（）A．10° B．13° C．15° D．17°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAB的度數(shù)，在△ABE中，利用三角形內(nèi)角和求出∠AEB的度數(shù)，從而可得∠D的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AD是角平分線，∴∠BAE=12∠BAC＝在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝75°，∴∠AED＝∠DEF＝75°，在△DEF中，∵DF⊥BC，∴∠DFE＝90°，∠D＝180°﹣∠DFE﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣75°＝15°，故答案為：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線和高，三角形的內(nèi)角和定理，垂線等知識，注意綜合運(yùn)用三角形的有關(guān)概念是解題關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，BE⊥AC于點(diǎn)E，交DA的延長線于點(diǎn)F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，和對頂角相等即可求出結(jié)果．【解答】解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝124°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD=12∴∠FAE＝62°，∵BE⊥AC，∴∠FEA＝90°，∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠FAE＝28°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?白銀期末）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，∠CAB與∠BDC的平分線AP、DP相交于點(diǎn)P，求證：∠B+∠C＝2∠P．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】證明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交線中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交線中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分別平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．【●拓展題●】14．如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【分析】連接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可得出五角星的五個角之和．【解答】解：連接CD，設(shè)BD與CE交于點(diǎn)O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行推理是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度數(shù)．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），則∠DAE＝