第02講空間向量基本定理（人教A版2019選擇性）

第02講空間向量基本定理

【人教A版2019】

模塊導(dǎo)航

?模塊一空間向量基本定理

?模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題

?模塊三課后作業(yè)

1.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p

—xa+yb-]-zc.

我們把｛。，b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步驟：

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合

相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底｛：,b,辦可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含

有:，b,c,不能含有其他形式的向量.

3.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常

用｛i,j,A｝表示.

(2)向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量均可以分解為三個(gè)向量xi,力，z?使得a=xi+力+z4.像

這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

考點(diǎn)剖析

【考點(diǎn)1用空間基底表示向量】

【例1.1](2023春?高二單元測(cè)試)如圖，在空間四邊形OABC中，成=E，麗=1，方=3且。M=2MA,

BN=NC,則說(shuō)等于()

c

A.-a+-b+-cB.-a+-b--c

332222

c1-2W?1一

C.--a+-b+-cD.-a——b+-c

322232

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)锽N=NC,即N為BC的中點(diǎn)，所以而=［（亦+擊）,

因?yàn)?。M=2AM,所以麗=:方，

MN^ON-OM=-（0B+0C）--0A=--a+-b+-c.

21J3322

故選：c.

【例1.2］（2023春?江蘇常州?高二校考階段練習(xí)）已知空間四邊形。ABC中，OA^a,OB=b,OC^c,

點(diǎn)M在8C上，且MB=2MC,N為。力中點(diǎn)，則而等于（）

A.靛—笆+家B.靛亨一部

C.——1aT——lMb+II-TcDTA.-IaT——b——2cT

232233

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用刀、礪和反表示出麗即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)辄c(diǎn)”在BC上，且MB=2MC,所以標(biāo)=(前，

所以麗=祝+加+加

11—

=-BC-OC+-OA

32

11

=-(OC-OB)-OC+-OX

1__?1_______>]_

=-OC--OB-OC+-OA

332

2一1一1一

=--OC--OB+-OA

332

2Tl"

=——c——r6+—a

332

故選：D.

【變式1.1］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-4/1的%中，尸為A%與&D的交

1一11一1

C.-Q.H—bH—cD.u—b—c

2222

【解題思路】利用空間向量線性運(yùn)算結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算作答.

【解答過(guò)程】在平行六面體力BCD-4%的。1中，因P為與公。的交點(diǎn)，則點(diǎn)尸是中點(diǎn)，

所以亦=CD+DP=-AB+^（DA+西）=-AB-^AD+［砧=-a-^b+|c.

故選：B.

【變式1.2］（2023秋?河南許昌?高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體/BCD-Z/iCiDi中，AC與BD

的交點(diǎn)為設(shè)耳瓦=%41%=瓦匹5=B則下列向量中與2瓦防相等的向量是（）

A.—a+b+2cB.a+b+2cC.CL-bHF2cD.—ci-b+2c

【解題思路】根據(jù)題意用向量去表示互面,再由百瓦=0用瓦=瓦承=a即可得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】

由圖可得瓦麗=氏方+詢=氏方+g前=瓦豆+1（反5+前）=c+1（-a+K）,

所以2瓦羽=2c-a+b.

故選：A.

【考點(diǎn)2由空間向量基本定理求參數(shù)】

【例2.1]（2023春?甘肅蘭州?高二校考期末）已知矩形力BCD,P為平面力BCD外一點(diǎn)，P41平面4BCD,

點(diǎn)M,N滿足兩=:而，麗=|麗.若麗=xJ§+y前+zZ?,貝i]x+y+z=（）

11

A.-1B.1C.—D.—

22

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】BC

因?yàn)辂??而，前=|而，

所以麗=PlV-PM=|PD-ipC=|（AD-X?）-1（ZC-XP）

=|（AD-^4P）-^（AB+AD-AP"）=-^AB+^AD-^AP,

因?yàn)?=久荏+y前+zZ?,所以％=—工，y=~>z=-

266

所以x+y+z—g.

故選：C.

【例2.2]（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）設(shè)P—48C是正三棱錐，G是AaBC的重心，。是PG上的一點(diǎn)，

且加=防，若加=xR5+y兩+z無(wú)，則（久,y,z）為（）

A.信：，|）B.&祝）C-&輔D.&羽）

【解題思路】G是等邊AABC的重心，可得四=[荏+[*=]（麗一同）+:（定一演），再由仍=加,

可得而=1匹，而匹=同+前，從而可以將師用身,而，西表示出，進(jìn)而可求出（x,y,z）

【解答過(guò)程】因?yàn)槿忮FP-力BC是正三棱錐，G是△ABC的重心,

所以前=1而+］而=］（而—同）+：（定—四）

因?yàn)?。是尸G上的一點(diǎn)，且麗=詼，

所以前=1西，

因?yàn)閊^PA+AG,

所以而=|PG=jP4+1ZG

=21一PA+21/^1-PB+31一PC-32P_A\）

1111

=:而+yPB+4PC-^PA

2663

=-PA+-PB+-PC,

666

因?yàn)辂?XPA+yPB+zPC,

所以第=y=z=3

o

所以（無(wú),y,z）為（，，U，

故選：B.

【變式2.1］（2022?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如圖，在三棱錐。一力BC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是

線段。G上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱。4。8,。。于點(diǎn)。,日F,若麗=kOA,OE=mOB,

OF=nOC,貝心+工+!=（）

kmn

【解題思路】由空間向量基本定理，用瓦?，OB,反表示南，由。，E,F,M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)入出

使麗=XDE+iiDF,再轉(zhuǎn)化為麗=（1-A-ii）kOA+XmOB+unOC,由空間向量分解的唯一性，分析即

得解.

【解答過(guò)程】由題意可知，W=|OG=|(OX+ZG)=|[O3+|X1(XB+XC)]

?r11i?99

=j[ol+j(OB-Ol)+j(OC-OX)j=|ol+|oB+|oC

因?yàn)镈,E,F,〃四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)人心使麗=入赤+/z而，

所以而一而=\(0E-而)+fi(0F-0D),

所以麗=(1-A-ii)OD+WE+MOF=(1-A-^kOA+XmOB+finOC,

j(l-入-=,

所以]Am=1,

所以1+/+，=5(1_入一0+5入+/=5

故選：D.

【變式2.2](2022秋?河南?高二?？茧A段練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD—4/的。1中，M,N,H分

別在棱B%,BC,8A上，且滿足的=：西，BN=^BC,BH=^BA,。是平面/HN,平面4cM與平面

BiBDDi的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)前=久麗+y麗+2麗，貝1]%+丫+32=()

【解題思路】根據(jù)條件確定。點(diǎn)位置，再根據(jù)向量表示確定%,y,z的值，即得結(jié)果.

AD

【解答過(guò)程】

如圖，Q為AC與BD交點(diǎn),P為BQ中點(diǎn)，。為MQ與B/P作PT平行MQ交BBi于T.

如圖，貝(IT為BM中點(diǎn)，所以M7=±BM=±X±B81^-x-x4MB

2242412

所以瓦方=,前，

因止匕前=(西++d(而+期)=^BM+^BH+^BN,

因?yàn)榍?x而+yBN+zBM,所以z==1,y=%+y+3z=y.

故選：C.

【考點(diǎn)3正交分解】

【例3.1](2023春?高二課時(shí)練習(xí))已知伍/?是空間的一個(gè)單位正交基底，向量方=3+21+3*｛a+b^.-

瓦不是空間的另一個(gè)基底，向量萬(wàn)在基底｛方+石/-京｝下的坐標(biāo)為()

A?(1,+)B.(-|)|,3)C.1，3)D.(-1)|)3)

【解題思路】設(shè)p=x0+3)+y0-W+z3根據(jù)空間向量基本定理建立關(guān)于x,y,z的方程，解之即可得

解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)p=x(a+石)+y(a-b)+zc

=(%+y)a+(%—y)b+zc=a+2b+3c,

%+y=1(x=2

所以％—y=2,解得，v=_1，

z=3(2

Vz=3

所以向量力在基底總+b,a-衣｝下的坐標(biāo)為g-1<3).

故選：A.

【例3.2】(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)｛用曲是單位正交基底，已知豆=t+j石=j+=E+若向量力

在基底僅五哥下的坐標(biāo)為(8,6,4),則向量/在基底｛用曲下的坐標(biāo)是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【解題思路】根據(jù)向量萬(wàn)在基底值區(qū)可下的坐標(biāo)為(8,6,4)得到萬(wàn)=12：+14；+10k,即可得到向量方在基底

｛U，%｝下的坐標(biāo).

【解答過(guò)程】因?yàn)橄蛄糠皆诨字?，右｝下的坐?biāo)為(8,6,4),所以萬(wàn)=83+6石+乖=81+丹+60+%)+

4(fc+T)=12；+14：+10%,所以向量力在基底(U，舟下的坐標(biāo)為(12,14,10).

故選：C.

【變式3.1](2023?高二課時(shí)練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正方體48czM祖GD中40/的中點(diǎn)為瓦0/的中點(diǎn)

為N,若以｛用，反，西｝為單位正交基底，則標(biāo)的坐標(biāo)為()

【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)，應(yīng)用空間向量加減的幾何表示可得麗=0?而+；?反+；?西，即得

MA/的坐標(biāo).

【解答過(guò)程】

由MN=DN-DM=DDi+D】N-DDX-DXM=%N-DXM=一;。遇=；(%&+%的)一

+D7D)^^DA+^DC-^DA-^^DD[=o-D1+|-PC+|-FD^,故麗=(0、,白.

故選：c.

【變式3.2](2023秋嘿龍江大慶?高二統(tǒng)考期末)值，右｝是空間的一個(gè)單位正交基底，萬(wàn)在基底但工?下的

坐標(biāo)為(2,1,5),則萬(wàn)在基底值+石3+靖+可下的坐標(biāo)為()

A.(一1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-3,2,1)

【解題思路】設(shè)向量方在基底｛方+H+E/+4下的坐標(biāo)為(x,y,z),根據(jù)空間向量基本定理得到方程組，解

得即可.

【解答過(guò)程】解：由題意向量方=2五+石+5落設(shè)向量力在基底但+瓦石+謂+可下的坐標(biāo)為(x,y,z),

...p=x(a+b)+y(b+工)+z(a+c),

???2a+6+5c=x(a+b)+y(b+c)+z(a+c)

(x+z=2

%4-y=1,解得Jy=2,

、y+z=5(.z=3

所以向量力在基底｛方+b^b+cfa+可下的坐標(biāo)為(一123),

故選：A.

模塊二

1.證明平行、共線、共面問(wèn)題

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量。，b(件Q),“〃分的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使。=勸.

(2)如果兩個(gè)向量a,6不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),

使p=xa+yb.

2.求夾角、證明垂直問(wèn)題

(1)6為a,8的夾角，貝ijcos。=3.

(2)若a,)是非零向量，貝！J力=0.

3.求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題

I?I=A/^?(1^1=y]^-AB).

4.利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路：

(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；

(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范圍；

(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得.

【注】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

考點(diǎn)剖析

【考點(diǎn)4證明平行、共線、共面問(wèn)題】

【例4.1](2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))如圖，正方體ABCD—&B1C1D1中，。為&C上一點(diǎn)，且巾=|中,

AD與/C交于點(diǎn)求證：g,0,M三點(diǎn)共線.

DiG

【解題思路】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求MC1〃。的關(guān)系，即可推理作答.

【解答過(guò)程】在正方體ABCD-A/iCiDi中，令荏=近而=另,麗*=3

布=|用］，BD與4c交于點(diǎn)M,即點(diǎn)M是4C的中點(diǎn)，

于是麗=MC+CO=-AC+工兩=-AC+-（AA［-AC）=-AC+-AA^

232363

=-（AB+AD）+-AAi--a+-b+-c,

6、731663

MC\=MC+CC\=+AA^=^（AB+AD）+AAi=^a+^b+c,

因此西=3麗，即百〃而，而直線MCi與直線M。有公共點(diǎn)M,

所以Ci，O,M三點(diǎn)共線.

【例4.2］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，正方體4B（D-A'B'C力'的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為C'D'，A'D',

。力的中點(diǎn).求證：EF//AC.

［解題思路】利用空間向量基本定理和空間向量共線定理證明.

【解答過(guò)程】證明：設(shè)西=7,DC^j,加=］，

則｛1,J,k｝構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底.

所以前二亦一府二家一/=］。—，），CA^DA-DC^i-j.

所以前=grx

所以EF〃4C.

【變式4.1](2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知/,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面4BC外的任一點(diǎn)。，若點(diǎn)M滿

足的="就+而+而).

(1)判斷而瓦祝三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；

(2)根據(jù)(1)結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)由題知瓦5+萌+玩=3的，

：.OA-OM=OM-OB+OM-OC,

即=BM+CM=-MB-MC,

.?.“X用瓦祝共面.

(2)由(1)知，阮&麗，砒共面且基線過(guò)同一點(diǎn)

：.M,A,B,C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)Af在平面/8C內(nèi).

【變式4.2】(2022秋?湖北武漢?高二校考階段練習(xí))在正四棱錐P-4BCD中，點(diǎn)M,N,S分別是棱R4,PB,PC

上的點(diǎn)，且麗=xPA^PN=yPB^PS=zPC,其中x,y,z6(0,1].

(1)若x=l,y=5且PD〃平面MNS,求z的值；

(2)若久=|,y=g,且點(diǎn)DC平面MNS,求z的值.

【解題思路】(1)由PD〃平面MNS利用共面定理可得而=入麗+〃而再將麗、市轉(zhuǎn)化為用兩、PB.~PC

來(lái)表示，再利用空間向量的基本定理即可求解.

(3)由點(diǎn)DC平面MNS,可知。、M、N、S四點(diǎn)共面，再利用共面定理的推論即可求解.

【解答過(guò)程】(1)???西=%可，麗=、麗，閑=z玩且x=Ly=g,

?-,PM=PA,PN=^PB,

在正四棱錐P-ABCD中麗^BA+~BC,

可得而-~PB=TA-PB+~PC-PB,

即方=向一麗+玩

又PD〃平面MNS所以存在實(shí)數(shù)入、〃使得而=入麗+iiMS,

即方=X(PN-PM)+u腳-PM)=(-A-/2)R4++nzPC,

又麗=刀—麗+而且港、PB,無(wú)不共面，

_入一〃=1

3=-1解的Z-1.

"Z=1

(2)由(2)可知麗=同一麗+玩

又兩=xRA^PN=yPB^PS=z玩且x=|,y=

可得而=-PM-2PN+-PS

2z

又點(diǎn)De平面MNS,即D、M、N、S四點(diǎn)共面

所以：—2+工=1解得z=；.

【考點(diǎn)5幾何中的求夾角、證明垂直問(wèn)題】

【例5.1】(2023?江蘇?高二專題練習(xí))如圖，在平行六面體ZBCD-Z/iCiDi中，以頂點(diǎn)Z為端點(diǎn)的三條

棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60。，求BD1與47的夾角的余弦值.

【解題思路】設(shè)出基向量，然后根據(jù)圖形，結(jié)合幾何關(guān)系用基向量表示出時(shí)=-3+1+3AC=a+b.

進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量的模以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的定義公式得出西以及北夾角的余

弦值，即可得出答案.

【解答過(guò)程】設(shè)48=a,AD=b,AA1=c,

由已知可得N-b=a'C=b-C=lxlxcos60°=

因?yàn)?BA+BC+BB]=—AB+AD+AA1=-3+Z)-Fc,

AC=AB+AD=a+h,

所以,BD]=(—方+b+=五之+抉+矛—22,b+2b,c—22,c=1+1+1—2x[+2x；-2x[=

2,

~AC2=(a+fe)=a2+b2+2a-b=l+l+2x|=3,

BD],AC—(一3+b+,(方+b)=一方？—五,/7+方?b+Z72+Q,c+/7,c=-1—1-+—+1=1，

所以|西|=VL|前|=V3,

所以，cos（BDi/C）=靛而=正石=T-

故直線BO1與AC的夾角的余弦值為￡

O

【例5.2]（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）已知空間四邊形。/3C中，4AOB=4BOC=/.AOC,且OA=OB=OC,

M,N分別是。1,2C的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，求證：OG_L2C.

【解題思路】取定基底向量DX礪，比，并分別記為乙瓦乙再用基底表示出詬和品，然后借助數(shù)量積即可計(jì)

算作答.

【解答過(guò)程】在空間四邊形OABC^P，令瓦5=a^OB=K,OC=B則@=\b\=|c|,

令乙AOB=LBOC=LAOC=8,G是MV的中點(diǎn)，如圖，

B

則赤(曲+麗)=3E9+[(屈+覺(jué))]=;(a+fe+c),BC=OC-OB=c-b,

于是得樂(lè)?BC--(a+b+c)-(c—b')--(a-c—a-b+b-c—b2+c2—b-c)

44

=|(|a|2cos0—|a|2cos0—|a|2+|a|2)=0,

因此，OGIBC,

所以O(shè)GLBC.

【變式5.1](2023?全國(guó)?校聯(lián)考一模)如圖所示，已知空間四邊形N2CD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)

E,F,G分別是/瓦AD,CD的中點(diǎn).設(shè)麗=4，AC^b,AD^c.

（1）求證￡6，/2；

(2)求異面直線/G和CE所成角的余弦值.

【解題思路】(1)作出輔助線，利用三線合一證明出從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線

線垂直；

(2)用乙方片表達(dá)就與前，利用空間向量夾角公式求解異面直線NG和C￡所成角的余弦值.

【解答過(guò)程】(1)證明：連接

因?yàn)榭臻g四邊形/BCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,且E,G分別是Z8,CD的中點(diǎn)，

所以AC==AD,

故CE1AB,DE1AB,

又因?yàn)镃ECDE=E,CE,DEciF?CDE,

所以4B1平面CDE,

因?yàn)镋Gu平面CDE,

所以AB1EG.

(2)由題意得：ACD,AABD均為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1,

所以4G=EC=f

AG=|(h+c),EC=^(BC+AC)=^(AC-AB+AC')=b-^a,

所以前.就=+司.江.B+忑V

11一1一1

=———|a|-|b|cos60°+—|c|-|b|cos60°——|a|-|c|cos60°

2424

-2-8+4—8-

設(shè)異面直線AG和CE所成角為仇

則cose=|cos(Mrc)|=a

22

【變式5.2】(2022秋?天津?yàn)I海新?高二?？茧A段練習(xí))已知平行六面體ABCD-48也15的底面是邊長(zhǎng)為

1的菱形，且NCiCB=HCD=乙BCD=pDD1=2.

(1)證明：DDX1BD；

(2)求異面直線C&與AB夾角的余弦值.

【解題思路】(1)由題，選定空間中三個(gè)不共面的向量為基向量，只需證明西?麗=0即可;

(2)用基向量求解向量C&HB的夾角即可，先計(jì)算向量的數(shù)量積，再求模長(zhǎng)，代值計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】設(shè)方=五，CB^b,CC^^c

由題可知：方,右兩兩之間的夾角均為多且同=1=的，同=2

(1)由西?麗=瓦丁麗一函

=c-(a—b^=c-a—c-b=l-1=0

所以DD11BD即證.

(2)由CA-1—CD+DA+AA^=a+6+c,又力B=—a

所以|西^=]0+3+3[荏[=]

又C41,AB——a■(a+b+c)———

則cos<CA^AB>=靛贏=_帚=_繆

又異面直線夾角范圍為(0,歲

所以異面直線夾角的余弦值為袈.

【考點(diǎn)6幾何中的求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題】

【例6.1](2023秋?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在平行六面體ABCD-4/1的小中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為

1的正方形，A4i=2,44148=441AD=120°,求西的長(zhǎng).

【解題思路】設(shè)荏=a,AD=bAA[=c,計(jì)算|西|=|a-b+c|=J|a-fo+c|2可得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)荏=a^D=3,雙=c,

則同=|同=1,?=2,a-b=O,c-a=c-b=2xlxcosl20°=-1,

因?yàn)镺B】=DA+AA^+—3—/?+c,

所以|西|-|a-h+c|=J|a-h+c|2-y/a2+b2+c2-2a-b+2a-c-2b-c=瓜

【例6.2](2023秋?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在平行六面體ABCD-48停1。1中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為

1的正方形，44=2,AATAB=^AD=120°.求線段2的的長(zhǎng).

【解題思路】設(shè)通=五，AD=b,AA1=c,由=W+3+引=J@+B+司2計(jì)算可得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)荏=N，AD^b,旃*=3

貝IJ同=同=1,?=2,a-b=0,

c-a=c-b=2x1xcosl20°=-1,

;宿^AC+~CC[^AB+AD+題^a+b+c,

\AC^\=\a+b+c\=J(a+b+c)2

=J同2+同2+同2+2(a-b+b-c+c-a)

=Vl2+l2+22+2(0-l-l)=V2.

，線段4的的長(zhǎng)為

【變式6.1]（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形力BCD中，ABAC1,=90。，沿它

的對(duì)角線力C將AACD折起，使力B與CD成60。角，求此時(shí)B刀兩點(diǎn)間的距離.

【解題思路】利用空間向量線性運(yùn)算可得前=明+*+前，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可求得|前「，進(jìn)而得

到所求結(jié)果.

【解答過(guò)程】???四邊形力BCD為平行四邊形，：.AB//CD,又“CD=90°,二“48=90°,

■.AC-CD^O,AC-BA^O,

???在空間四邊形4BCD中，AB與CD成60°角，二<BA,CD>=60。或120。，

又前=BA+AC+CD,|BO|2=|網(wǎng)之+囤2+?西2+2麗.而+2而.CD+2AC-CD=3+2xlx

1Xcos<麗，前>,

當(dāng)〈瓦5,前>=60。時(shí)，|前『=4,前|=2,即此時(shí)兩點(diǎn)間的距離為2；

當(dāng)〈瓦?，前>=120。時(shí)，|前|=2,\BD\=V2,即此時(shí)B,D兩點(diǎn)間的距離為加；

綜上所述：8刀兩點(diǎn)間的距離為2或VI

【變式6.2]（2022秋?河南洛陽(yáng)?高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體/8QX4//GD中，48=/。=44尸1,

ZBAD=ZBAAi=60°,/。44/=120°.求:

B

（1）荏?沏的值.

（2）線段的長(zhǎng)

【解題思路】（1）直接套用向量的內(nèi)積公式即可;

（2）選?。?，AC,而;｝作為一組基底，宿用基底表示

=J（而+西+瓦初尸代入求解即可得出答案.

【解答過(guò)程】（1）而?而=|而|?|加|cos＜麗，而〉

=1xlcos60°

=1

2,

(2)選取｛荏，AC,麗｝作為一組基底，

則4cl=/8+BBi+9

則|宿卜

=J(而+西+甌)2

=J(AB)2+(西尸+(F^C\)2+2-AB-BB[+2-AB-~B^C[+2■西?~B^C1

=J|AB|2+|西,+|B^Q|2+2-AB-~BB[+2-AB-+2■兩-

=V12+l2+l2+2xlxlcos600+2x1xlcos600+2x1xlcosl20°

模塊三N課后作業(yè)。|

1.（2023春?甘肅天水?高二?？计谥校┮阎臻g向量下列命題正確的是（）

A.若有與石共線，3與?共線，貝呢與2共線

B.若乙另/非零且共面，則它們所在的直線共面

C.若五方/不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量力，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得p=xZ+y1+z及

D.若乙后不共線，向量^=而+〃3（人,“eR且入〃40）,則何區(qū)可可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

【解題思路】根據(jù)共線向量、共面向量、空間向量的基本定理、基底等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正

確答案.

【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，若元與石共線，石與1共線，當(dāng)石為零向量時(shí)，

N與工不一定共線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，若五非零且共面，則它們所在的直線不一定共面，

比如正方體上底面的兩條對(duì)角線，和下底面的一條對(duì)角線，

對(duì)應(yīng)的向量共面，但直線不共面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，若不方不共線，向量工=立+〃］（入,〃eR且"70）,

則方5下共面，所以云石/不能構(gòu)成基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知五，石，工是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）

A.3a,a—b,a+2bB.2b,b—2a,b+2a

C.a,2b,b-cD.c,a+c,a—c

【解題思路】利用空間向量的基底的定義，逐項(xiàng)判斷作答.

【解答過(guò)程】向量滴了1是不共面的三個(gè)向量，

對(duì)于A,32=2（3—3）+0+2石），則向量3五萬(wàn)一M五+2石共面，A不能構(gòu)成空間基底；

對(duì)于B,2b=（b-2a）+（b+2a）,則向量2另工-23石+2五共面，B不能構(gòu)成空間基底；

對(duì)于D,2寸=（五+4一（五—3，則向量工，方+己方一力共面，D不能構(gòu)成空間基底；

對(duì)于C,假定向量乙2H共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)入1入2，使得五=2入-+入2@-研，

（1=0

整理得,一（2入1+入2）石+入2工=6，而向量方而不共面，則有12入1+入2=0，顯然不成立，

（入2=。

所以向量五,2石,3-2不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C能構(gòu)成空間基底.

故選：C.

3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）若優(yōu)衣｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）

A.2a—b,a+h—c,7a+5h+3c

B.2a+/?,a+h+c,7a+5b+3c

C.2a+b,a+b+c,6a+2b+4c

D.2方一b,方+b—c,6方+4b+2c

【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理以及空間基底逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).

【解答過(guò)程】解：對(duì)于A,設(shè)7a+5b+3c=入（2a—b）+〃（a+b—c）=（2入+〃）a+（〃—入）b—,

2入+〃=7

所以，〃—入=5,此方程組無(wú)解，所以2五—b,ab—c973+5b+32不共面；

、一〃=3

對(duì)于B,因?yàn)?（2a+b）+3（a+b+c）=7N+Sb+3c,所以2五+b,蒼+b+乙73+Sb+3工共面；

對(duì)于C,設(shè)6,+2b+或=A（2a+&）+/i（a+&+c）=（2入+〃）五+（〃+入）b+〃高

2入+〃=6

所以〃+入=2,此方程組無(wú)解，所以2五+反a+fe+c,63+2另+4工不共面；

.〃二4

對(duì)于D,設(shè)6。+46+2。=入（2（1—b）+〃（a+b—c）=（2入+〃）a+（〃—入）b—

2入+〃=6

所以，〃—入=4,此方程組無(wú)解，所以2五—匕，方+b—工，6五+4b+2m不共面；

、—[1=2

故選：B.

4.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐。一ABC中，G是^ABC的重心,M是線段OG的中點(diǎn)，若前=xOA+

yOB+zOC,貝！J%+y+z=（）

113

A.--B.-C.--D.1

244

【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，用基底表示出相關(guān)向量，根據(jù)空間向量基本定理，即可求得答案.

【解答過(guò)程】如圖在三棱錐0-4BC中，連接4G并延長(zhǎng)交BC于。，

則。為BC的中點(diǎn)，

B

M是線段。G的中點(diǎn)，G是AABC的重心，

貝麗=[(一m+福=-|0X+lx|^4D=-1o2+|AD

1—>11―>—>1—,1—>—>

^--OA+-x-(AB+AC)^--OA+-(AB+AC)

11

=--OA+-(OB-OA+OC-OA)

26

^--OA+-OB+-OC,

666'

故％=_3y=[z=J,故x+y+z=_"

oooZ

故選：A.

5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）在四面體OABC中，點(diǎn)M在。A上，且。M=2MA,N為BC的中點(diǎn)，若說(shuō)=+

^OB+yOC,則使G與M、N共線的久的值為（）

44

A.1B.2C.2￡D.-4

33

【解題思路】根據(jù)G,M,N三點(diǎn)共線，進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】?jī)?*屈+而），OM

假設(shè)G,M,N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)人使得

OG=WN+（1-X）OM

入__?__,2（1-入）__

=2（OB+OC）+^y^（M

2（1—入）一A_.入一

=---------OA+-OB+-0C

322

^-OA+-OB+-0C,

344

「2（1—入）1

3

得，解得％=1,入=

故選：A.

6.（2023春?江西南昌?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的

正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，

得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體，如圖，點(diǎn)、P,A,B,C,D為該半正多面體的頂點(diǎn)，若肉=N,PB=b,

PC=c,則而=（）

D1TMlT

A.-1a+b+^cB.-a—b——c

22

C.—bH—cD.—Q+b—c

2222

【解題思路】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】如下圖所示而=PA+AC=PA+,2BD=PA+2PD-2彘,

所以麗=-IpX+PB+=-1a+fo+|c.

7.(2023春?高二單元測(cè)試)已知/,B,C三點(diǎn)不共線，。是平面/8C外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M

與點(diǎn)/,B,C一定共面的是()

A.OM=OA+OB+OCB.OM=OA+2OB+3OC

C.OM=-OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

222333

【解題思路】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在入分使得砧=詼+〃*，由此

得出正確選項(xiàng).

【解答過(guò)程】不妨設(shè)。(0,0,0),4(1,0,1),B(OOl),C(0,1,1).

對(duì)于A選項(xiàng)，OM=OA+OB+OC=(1,1,3),由于M的豎坐標(biāo)3>1,故M不在平面4BC上，故A選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，OM^OA+2OB+3OC=(1,3,6),由于M的豎坐標(biāo)6>1,故“不在平面4BC上，故B選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，OM=|OA+|OB+|OC-由于M的豎坐標(biāo)|>1,故M不在平面4BC上，故C

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng),DM=^OA+^OB+^OC=&jl)，由于M的豎坐標(biāo)為1,故M在平面ABC上,也即A,B,C,M

四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：

由西=(礪+(■+(祀，得DM—礪=((加—成)+((歷_旗)，

即而？=（而+］猊，故存在入=〃=/使得/前=兀通+生化成立，也即4B,C,M四點(diǎn)共面.

故選：D.

8.（2023春?江西撫州?高一統(tǒng)考期末）把邊長(zhǎng)為2企的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD與

平面CBD所成二面角的大小為60。，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（）

A.-B.--C.--D.-

4433

【解題思路】畫出圖形，利用空間向量基本定理轉(zhuǎn)化求解即可

【解答過(guò)程】如圖，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)锳B=BC=CD=AD=2&，4BAD=乙BCD=90°,

所以。力=。8=OC=。。=2,OC1BD,OA1BD,

所以乙4OC為平面ABD與平面CBD所成二面角的平面角，即N71OC=60°,

所以AAOC為等邊三角形，所以2C=2,

因?yàn)槟?而+麗+方，

2

所以正2=（AD+DB+JC},

所以4=而2+而2+阮2+2而?DB+2AD-BC+2DB-BC,

所以4=8+16+8+2x2魚x4cos乎+2x2魚x2V2cos（AD,BC）+2x4x2&cos今，

即16cos（而函=4,得cos（前，園=%

所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為:，

4

故選：A.

9.（2023春?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體48CD-中，E,尸分別在棱和

上，且。尸=工。。1.記前=x四+y而+z標(biāo)，若x+y+z=±則空=（）

24BBi

【解題思路】設(shè)第=入，由空間向量的線性運(yùn)算可得前=一荏+亦+（;-人）瓦匕，由空間向量基本定理

DD1\2/

即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)城=人，因?yàn)?7=前+麗+而+罰=一入西-而+沏+工西