數(shù)學(xué)期末考重難點-初二君（滬科版）

第十一章平面直角坐標系

【知識網(wǎng)絡(luò)】

確定直線」二點的位置確定平面上點的位置

一條數(shù)軸

一個數(shù)3)

x軸上(x,0)

夕軸上(Oy)

表示地理位置I表示平移變換

形

(1)建立直角坐標系(1)點(X7)左移a個單位(方叩)狀

(2)確定比例尺?(2)點(xy)右移a個單位(x+ay)大

小

(3)按題意確定各地位置(3)點(xy)上移a個單位(x/a)不

變

(4)寫出各地的坐標(4)點(xy)下移a個單位Qya)

【要點梳理】

要點一、有序數(shù)對

把一對數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對，人們在生產(chǎn)生活中

經(jīng)常以有序數(shù)對為工具表達一個確定的意思，如某人記錄某個月不確定周期的零散收入，可用

(13,2000),(17,190),(21,330)-,表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，

但更多的人們還是用它來進行空間定位，如：(4,5),(20,12),(13,2),…，用來表示電

影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號.

要點二、平面直角坐標系

平面內(nèi)兩條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱直角坐標系.水平的數(shù)軸稱為x

軸或橫軸，向右為正方向；鉛直方向的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，向上為正方向，兩軸的交點0

是原點.如下圖：

II3'I

第二象限2第一象限

1■

-3-2-IO123x

IIIIV

第三象限_3第四象限

要點詮釋：

(1)兩條坐標軸將平面分成4個區(qū)域：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，x軸

與y軸上的點(包括原點)不屬于任何一個象限.

(2)在平面上建立平面直角坐標系后，坐標平面上的點與有序數(shù)對(x,y)之間建立了一

一對應(yīng)關(guān)系，這樣就將‘形'與‘?dāng)?shù)’聯(lián)系起來，從而實現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化.

(3)要熟記坐標系中一些特殊點的坐標及特征：

①x軸上的點縱坐標為零；y軸上的點橫坐標為零.

②平行于x軸直線上的點橫坐標不相等，縱坐標相等；

平行于y軸直線上的點橫坐標相等，縱坐標不相等.

③關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；

關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；

關(guān)于原點對稱的點橫、縱坐標分別互為相反數(shù).

④象限角平分線上的點的坐標特征：

一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；

二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反

數(shù).注：反之亦成立.

(4)理解坐標系中用坐標表示距離的方法和結(jié)論：

①坐標平面內(nèi)點P(x,y)到x軸的距離為|y1,至Uy軸的距離為|x|.

②x軸上兩點A(x”0)、B(x2,0)的距離為AB=|x「x2|；

y軸上兩點C(0,y)、D(0,y。的距離為CD上y「y2|.

③平行于x軸的直線上兩點A發(fā)i,y)、B(xz,y)的距離為AB=|x「x2|；

平行于y軸的直線上兩點C(x,%)、D(x,%)的距離為CD=1yi-y2|.

(5)利用坐標系求一些知道關(guān)鍵點坐標的幾何圖形的面積常用方法：切割、拼補.要

點三、坐標方法的簡單應(yīng)用

1.用坐標表示地理位置

(1)建立坐標系，選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向；

(2)根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐標軸上標出單位長度；

(3)在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名

稱.要點詮釋：

(1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標系的關(guān)鍵是確定原點

的位置.

(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來確定坐標軸上的單位長度.

2.用坐標表示平移

(1)點的平移

點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點(x,y)向右(或左)平移a個單

位長度，可以得到對應(yīng)點(x+a,y)(或(x-a,y));將點(x,y)向上(或下)平移b個單位長度，

可以得到對應(yīng)點(x,y+b)(或(x,y-b)).

要點詮釋：

上述結(jié)論反之亦成立，即點的坐標的上述變化引起的點的平移變換.

(2)圖形的平移

在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數(shù)a,相應(yīng)

的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減

去)一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度.

要點詮釋：

平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發(fā)生變化，其他點的坐標也進行了相應(yīng)的變化，反過

來點的坐標發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：

“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”.

【典型例題】

類型一、有序數(shù)對

1.數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(a,b)進入其中時，會得到一個新的數(shù)：

a+b+1.例如把(3,-2)放入其中,就會有3?+(-2)+1=8,現(xiàn)將數(shù)對(-2,3)放入其中得

到數(shù)m,再將數(shù)對(m,1)放入其中，得到的數(shù)是.

【思路點撥】解答本題的關(guān)鍵是正確理解如何由數(shù)對得到新的數(shù)，只要按照新定義的數(shù)的運

算，把數(shù)對代入a1+6+1求值即可.

【答案】66.

【解析】解：將(-2,3)代入,a2+b+l,得(-2)，3+1=8,

再將(8,1)代入,得8?+1+1=66,

故填：66.

【總結(jié)升華】解答此題的關(guān)鍵是把實數(shù)對(-2,3)放入其中得到實數(shù)m,解出m的值，即

可求出把(m,1)放入其中得到的數(shù).

舉一反三：

【變式】我們規(guī)定向東和向北方向為正，如向東走4米，再向北走6米，記作(4,6),則向

西走5米，再向北走3米，記作；數(shù)對(-2,-6)表示.

【答案】(-5,3)；向西走2米，向南走6米.

類型二、平面直角坐標系

第三象限內(nèi)的點P(x,y),滿足|x1=5,y'=9,則點P的坐標為.

【思路點撥】點在第三象限，橫坐標<0,縱坐標<0.再根據(jù)所給條件即可得到x,y的具

體值.

【答案】(-5,-3).

【解析】因為|x|=5,y'=9.所以x=±5,y=±3,又點P(x,y)在第三象限，所以x<0,

y<0,故點P的坐標為(-5,-3).

【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是記住各象限內(nèi)點的坐標的符號，第一象限(+,+);第二象

限+)；第三象限(-，-)；第四象限(+,-).

舉一反三：

【變式1】在平面直角坐標系中，點P(-3,4)到x軸的距離為(

).A.3B.-3C.4

【答案】C.

【變式2】如圖所示，小手蓋住的點的坐標可能為().

A.(5,2)B.(-6,3)C.(-4,-6)D.(3,-4)

【答案】D.

類型三、坐標方法的簡單應(yīng)用

如圖所示，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?，寫出圖中的各頂點的坐標.

【思路點撥】建立平面直角坐標系的關(guān)鍵是先確定原點，再確定x軸、y軸，建立不同的直

角坐標系，各頂點的坐標也不同.

【答案與解析】

解：建立直角坐標系如圖所示，則各點的坐標為(-4,0),(-3,0),(-3,-4),(3,-4),

(3,0),(4,0),(0,3),再建立不同的平面直角坐標系，寫出各頂點的坐標.(讀者自己

試試看)

【總結(jié)升華】選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼悼煞奖憬忸}，一般盡可能使大多數(shù)的點的坐標為整數(shù)且易

表示出來.

如圖，四邊形OABC各個頂點的坐標分別是0(0,0),A(3,0),B(5,2),C(2,

3).求這個四邊形的面積.

【思路點撥】分別過C點和B點作x軸和y軸的平行線，如圖，然后利用S四邊形ABCLS隈OHEF

-

-S△ABH-SACBESAOCF進行計算.

【答案與解析】

解：分別過C點和B點作x軸和y軸的平行線，如圖，

則E(5,3),

S四邊形ABCO=S矩形OHEF-SAABH-SACBE-S/kOCF

=5X3-1X2X2-1X1X3-1X3X2

222

=1Z

~2'

【總結(jié)升華】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標

軸的位置關(guān)系；會運用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積.

5.AABC三個頂點坐標分別是A(4,3),B(3,1),C(l,2).

(1)將AABC向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得△ABG的三個頂點坐標分別

是什么？

(2)將AABC三個頂點的橫坐標都減去5,縱坐標不變，分別得到A?、B。、C2,依次連接由、

B,、C,各點，所得△AzB?與AABC的大小、形狀和位置上有什么關(guān)系？(3)

將4ABC三個頂點的縱坐標都減去5,橫坐標不變，分別得到小、B3>C3,依次連接A3、

Bs、G各點，所得4八38￡3與^ABC的大小、形狀和位置上有什么關(guān)系？

【答案與解析】

解：(l)Ai(5,1),Bx(4,-1),3(2,0).

(2)△A2B&與AABC的大小、形狀完全相同，在位置上是把4ABC向左平移5個單位得

到.

(3)AAsB3c3與4ABC的大小、形狀完全相同，在位置上是把4ABC向下移5個單位得到.

【總結(jié)升華】此題揭示了平移的整體性，以及平移前后的坐標關(guān)系是一一對應(yīng)的，在平移中，橫

坐標減小等價于向左平移；橫坐標增大等價于向右平移；縱坐標減小等價于向下平移；縱坐標增

大等價于向上平移.

舉一反三：

【變式】

(2015?欽州)在平面直角坐標系中，將點A(X,y)向左平移5個單位長度，再向上平移3

個單位長度后與點B(-3,2)重合，則點A的坐標是()

A.(2,5)B.(-8,5)C.(-8,-1)D.(2,-1)

【答案】D.

解：在坐標系中，點(-3,2)先向右平移5個單位得(2,2),再把(2,2)向下平移3

個單位后的坐標為(2,-1),則A點的坐標為(2,-1).

故選：D.

類型四、綜合應(yīng)用

▼6.三角形ABC三個頂點A、B、C的坐標分別為A(2,T)、B(1,-3)、C(4,-3.5).

(1)在直角坐標系中畫出三角形ABC；

(2)把三角形ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位，恰好得到三角形ABC,試寫

出三角形ABC三個頂點的坐標，并在直角坐標系中描出這些點；

(3)求出三角形ABC的面積.

【思路點撥】(1)建立平面直角坐標系，從中描出A、B、C三點，順次連接即可.

(2)把三角形AMG向右平移4個單位，再向下平移3個單位，恰好得到三角形ABC,即三

角形ABC向上平移3個單位，向左平移4個單位，得到三角形ABC,按照平移中點的變化

規(guī)律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.寫出三角形A3C三個頂點的坐標，從

坐標系中畫出圖形.

(3)把△ABC補成矩形再把周邊的三角形面積減去，即可求得△ABC的面積.

【答案與解析】解

(1)如圖1,

(2)如圖2,4(-2,2),Bi(-3,0),3(0,-0.5)；

yA

C

圖2

(3)把△ABC補成矩形再把周邊的三角形面積減去，

即可求得△ABG的面積=3X2.5-1-2.5-0.75=3.25.

...△AjBG的面積=3.25.

【總結(jié)升華】本題綜合考查了平面直角坐標系，及平移變換.注意平移時，要找到三角形各頂

點的對應(yīng)點是關(guān)鍵，然后割補法求出三角形ABC的面積。

舉一反三：

【變式】如果矩形ABCD的對角線的交點與平面直角坐標系的原點重合，且點A和點C的坐

標分別為(-3,2)和(3,2),則矩形的面積為().

A.32B.24C.6D.8

【答案】B

第十二章一次函數(shù)

【要點梳理】

要點一、一次函數(shù)與一元一次方程

一次函數(shù)丁=履+6（kW0,方為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)y=0時，就得到了一元一次方程

kx+b=0,此時自變量x的值就是方程履+6=0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化

為：當(dāng)某一個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=Ax+b（ZW0,萬為常數(shù)），確定它與x軸交點的

橫坐標的值.

要點二、一次函數(shù)與一元一次不等式

由于任何一4'一■元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+》<0或ax+Z?20或

ax+b^0（a、b為常數(shù),aWO）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)

y=ax+人的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范

圍.

要點詮釋：求關(guān)于x的一元一次不等式ax+6>0（a#0）的解集，從“數(shù)”的角度

看，就是x為何值時，函數(shù)y=ax+b的值大于0?從“形”的角度看，確定直線y=ax+b

在x軸（即直線y=0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.

要點三、一元一次方程與一元一次不等式

我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個一元一次不等式的解集，這個不等式的解集

的端點值就是我們把不等式中的不等號變?yōu)榈忍枙r對應(yīng)方程的解.

要點四、如何確定兩個不等式的大小關(guān)系

ax+b>cx+d（。Wc,且。cw0）的解集=ax+b的函數(shù)值大于y=ex+d的

函數(shù)值時的自變量X取值范圍O直線y=ax+A在直線yex+d的上方對應(yīng)的點的橫坐

標范圍.

【典型例題】

類型一、一次函數(shù)與一元一次方程

fl、若直線丁=履+6與x軸交于（5,0）點，那么關(guān)于x的方程履+6=0的解為.

【答案】x=5

【解析】kx+b=0的解是直線y=丘+6與x軸交點橫坐標.

【總結(jié)升華】當(dāng)函數(shù)y=0時，就得到了一元一次方程入+6=0,此時自變量x的值就是

方程kx+b=0的解.

舉一反三：

【變式1】如圖，已知直線y=ax—6,則關(guān)于x的方程ax-1=6的解x=.

【答案】4；

提示：根據(jù)圖形知，當(dāng)y=l時，x—4,即ax-6=l時，x=4..,.方程ax-6=1

的解x=4.

【變式2】如圖，直線丁=履+）分別交》軸和丁軸于點A、B,則關(guān)于x的方程依+6=0

的解為.

提示：方程入+6=0的解其實就是當(dāng)y=0時一次函數(shù)，=丘+6與x軸的交點

橫坐標.由圖知：直線y=履+〃與x軸交于點（一2,0）,即當(dāng)x=—2時，y=履+6

=0.

類型二、一次函數(shù)與一元一次不等式

-3,0）、B（0,1）兩點，則不等式-kx-b<

x>3D.x<3

【思路點撥】求-kx-bVO的解集，即為kx+b>0,就是求函數(shù)值大于0時，x的取值范圍.

【答案】A；

【解析】解：...要求-kx-b<0的解集，即為求kx+b>0的解集,

，從圖象上可以看出等y>0時，x>-

【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題關(guān)鍵是

仔細觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點(交點、原點等)，做到數(shù)形結(jié)合.

舉一反三：

[一次函數(shù)與一元一次不等式，例2]

【變式】如圖，直線丁=依+》與坐標軸的兩個交點分別為A(2,0)和B(0,-3),則不

等式依+Z?+3N0的解集是()

【答案】A；

提示：從圖象上知，直線丁=日+6的函數(shù)值y隨x的增大而增大，與y軸的交點

為B(0,—3),即當(dāng)x=0時，y=-3,所以當(dāng)無20時，函數(shù)值依+6》—3.

3、直線A：、=左1尤+。與直線U：y=Qx在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示,

則關(guān)于X的不等式《1%+人>左21的解為()?

A.x>-lB.x<-lC.x<-2D.無法確定

【答案】B；

【解析】從圖象上看自X+>>%2X的解，就是找到/］在4的上方的部分圖象，看這部分圖象

自變量的取值范圍.當(dāng)了<-1時，klX+b>k2x,B.

【總結(jié)升華】本題考察了用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出表示

兩條直線的交點的橫坐標，再根據(jù)在上方的圖象表示的函數(shù)值大，下方的圖象表示的函數(shù)值小

來解題.

舉一反三：

【變式】直線/1：y=左科+5與直線4：y=魚x+c在同一平面直角坐標系中的圖象如圖

所示，則關(guān)于x的不等式匕x+6〈k2%+c的解集為()

A.x>lB.x<lC.x>—2D.x<—2

/=&x+b

,二檢x+c

【答案】B；

提示：y=匕％+6與直線4：y=&%+c在同一平面直角坐標系中的交點是(1，

—2),根據(jù)圖象得到％VI時不等式2+V成立.

C4、畫出函數(shù)y=2x+l的圖象，并利用圖象求：

(1)方程2x+1=0的解；

(2)不等式2x+l20的解集；

(3)當(dāng)yW3時，x的取值范圍；

(4)當(dāng)一3WyW3時，x的取值范圍.

【思路點撥】可用兩點法先畫出函數(shù)y=2x+l的圖象，方程2x+1=0的解從“數(shù)”看就

是自變量x取何值時，函數(shù)值是0,從“形”看方程2x+l=0的解就相當(dāng)于確定直線y

=2x+l與x軸的交點，故圖象與x軸交點的橫坐標就是方程2x+l=0的解.同理：圖

象在x軸上方所有點的橫坐標的集合就構(gòu)成不等式2x+l>0的解集.

【答案與解析】

解：列表：

y10

---------------------\1、

在坐標系內(nèi)描點(0,1)和?-,0',并過這兩點畫直線，即得函數(shù)y=2x+l的圖象.如

2

圖所示.

（1）由圖象可知：直線y=2x+l與x軸交點1,

，方程2x+l=0的解為x=

在

點

根

右.

H

（2）由圖象可知：直線y=2x+l被點分成兩部分,-J

——-

I2

圖象在無軸的上方.故不等式2x+l>0的解集為；

2

（3）過點（0,3）作平行于無軸的直線交直線y=2x+l于點M,過M點作x軸的垂線，垂

足為N.則N點坐標為（1,0）；從圖象上觀察，在點（1,0）的左側(cè)，函數(shù)值yW3,

則當(dāng)yW3時，自變量x的取值范圍是xW1；

（4）過（0,—3）作x軸的平行線交直線y=2x+l于點P,過P作x軸的垂線，垂足為H,

則點H的坐標為（-2,0）.觀察圖象，在（一2,0）的右側(cè)，在（1,0）的左側(cè)，函數(shù)

值一3WyW3.當(dāng)一3WyW3時，自變量的取值范圍是一2WxWl.

【總結(jié)升華】仔細體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系：（1）

一元一次方程依+6=%（%是已知數(shù)）的解就是直線丁=丘+匕上丁=%這點的橫坐

標；（2）一元一次不等式+刈是已知數(shù)，且必<%）的解集就是直線V

=kx+b上滿足%（yW%那條線段所對應(yīng)的自變量的取值范圍；（3）一元一次不等式履

+〃W%（或日+62%）（%是已知數(shù)）的解集就是直線y=kx+b上滿足yW%（或y>

%）那條射線所對應(yīng)的自變量的取值范圍.

舉一反三：

【變式】（2015秋?蒙城縣校級月考）畫出函數(shù)y=2x+6的圖象，利用圖象：

（1）求方程2x+6=0的解；

（2）求不等式2x+6>0的解；

【答案】

（2）觀察圖象知：當(dāng)x>-3時，y>0,

故不等式2x+6>0的解為x>-3；

（3）當(dāng)-2WyW2時，-4WxW-2.

類型三、用一次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式的實際問題

Wr5、（1）如圖，是函數(shù)y=Ax+b的圖象，它與x軸的交點坐標是（一3,0）,則方程丘+6

=0的解是；不等式近+人>0的解集是.

（2）如圖：OC,AB分別表示甲、乙兩人在一次賽跑中.各自的路程S（米）和時間t（秒）

的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出一個正確的結(jié)論

【答案】

(1)x=—3；x<—3；

(2)根據(jù)圖象的性質(zhì)可以得到，兩個兩個函數(shù)的交點意義是當(dāng)x=9秒時，兩個人跑的路

程相等，即兩個人相遇；或者從圖象上看出乙的速度比甲的速度快.

【解析】

(1)從圖象上得到函數(shù)的增減性及與x軸的交點的橫坐標，即能求得方程kx+b=O的解

和不等式質(zhì)+人>0的解集.

(2)根據(jù)圖象的性質(zhì)可以得到，兩個兩個函數(shù)的交點意義是當(dāng)x=9秒時，兩個人跑的路

程相等，即兩個人相遇；或者從圖象上看出乙的速度比甲的速度快.

【總結(jié)升華】認真體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.理解數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

第十三章三角形邊角關(guān)系、命題與證明

【知識網(wǎng)絡(luò)】

(-)證明的必要性(1)不能僅僅依靠經(jīng)瑜，觀察或?qū)嶒?/p>

\(2)必須一步一步，有根據(jù)地進行推理

(1)命題定義

(2)命題的組成

判定

〃平行線

(公理性質(zhì)

真命題A1)

判定J⑵

全等三角形4

(3)

性質(zhì)

證「平行線的判定與性質(zhì)

明定理1

(―)

三角形內(nèi)角和定理

「三角形內(nèi)角和的推論1

I推論*

三角形內(nèi)角和的推論2

r定義

假命題■

I說明一個命題是假命題可舉反例

(三)證明

【要點梳理】

要點一、定義、命題及證明

1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術(shù)語的意義的句子叫做定義.

2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

要點詮釋：

(1)每個命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由己知事項推出的事

項.

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認的真命題叫做公理.

(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.3.

證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過程

稱為證明.

要點詮釋：

(1)實驗、觀察、操作所得出的結(jié)論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結(jié)論.

(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過的定義、

基本事實、定理等.

(3)判斷一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一

個反例即可.

要點二、平行線的判定與性質(zhì)

1.平行線的判定

判定方法1:同位角相等，兩直線平

行.判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平

行.判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線

平行.

要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：

(1)若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點.

(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.要

點三、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.

推論：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

要點詮釋：

(1)由一個公理或定理直接推出的真命題，叫做這個公理或定理的推論.

(2)推論可以當(dāng)做定理使用.

【典型例題】

類型一、定義、命題及證明

C1.指出下列命題的條件和結(jié)論,并判斷命題的真假,如果是假命題，請舉出反例.

如果等腰三角形的兩條邊長為5和7,那么這個等腰三角形的周長為17.

【答案與解析】

解：條件:等腰三角形的兩條邊長為5和7

結(jié)論:等腰三角形的周長為17

是假命題；反例：當(dāng)腰長為7,底邊長為5時,周長為19

【總結(jié)升華】本題考查了命題與定理的相關(guān)知識.關(guān)鍵是明確命題與定理的組成部分，會判斷

命題的題設(shè)與結(jié)論.

舉一反三：

【變式1】某工程隊，在修建蘭定高速公路時，有時需將彎曲的道路改直，根據(jù)什么公理

可以說明這樣做能縮短路程().

A.直線的公理B.直線的公理或線段最短公理C.線段最短公理D.平行公理

【答案】B

【變式2】下列命題真命題是().

A.互補的兩個角不相等B.相等的兩個角是對頂角

C.有公共頂點的兩個角是對頂角D.同角或等角的補角相等

【答案】D

W2.敘述并證明三角形內(nèi)角和定理.

要求寫出定理、已知、求證，畫出圖形，并寫出證明過程.

【思路點撥】欲證明三角形的三個內(nèi)角的和為180°,可以把三角形三個角轉(zhuǎn)移到一個平角

上，利用平角的性質(zhì)解答.

【答案與解析】

定理：三角形的內(nèi)角和是180°；

已知：ZXABC的三個內(nèi)角分別為/A,ZB,ZC；

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如下圖，過點A作直線MN,使MN〃BC.

：MN〃BC,

AZB=ZMAB,/C=NNAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

VZMAB+ZNAC+ZBAC=180°（平角定義），

/.ZB+ZC+ZBAC=180°（等量代

換）.BPZA+ZB+ZC=180°.

【總結(jié)升華】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形的內(nèi)角和是

180。.類型二、平行線的判定與性質(zhì)

^^3.如圖所示，請你填寫-個適當(dāng)?shù)臈l件：，使AD//BC.

【思路點撥】欲證AD/7BC,結(jié)合圖形，故可按同位角相等、內(nèi)錯角相等和同旁內(nèi)角互補兩

直線平行來補充條件.

【答案】ZFAD=ZFBC,或/ADB=/CBD,或NABC+NBAD=18O°.

【解析】

解：本題答案不唯一，如：利用“同位角相等，兩直線平行”，可添加條件NFAD=/FBC；利用

“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，可添加條件/ADB=NCBD；利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平

行”，可添加條件NABC+NBAD=18（r.

【總結(jié)升華】這是一道開放性試題，分清題設(shè)和結(jié)論：結(jié)論：AD〃:BC,題設(shè)可根據(jù)平行

線的判定方法，逐一尋找即可.

舉一反三：

【變式】如圖所示，已知/1=52。，Z2=52°,Z3=91°,那么N4=.

【答案】解：如圖，：/1=/2=52。,

；./3=/5=91。，

VZ5+Z4=180",

.?.Z4=180°-Z5=89°.

^^4.如圖，己知/ADE=ZB,Z1=Z2,那么CD〃FG嗎？并說明理由.

【答案與解析】

解：平行，理由如下：

因為/ADE=NB,所以DE/7BC（同位角相等，兩直線平行），

所以N1=NBCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又因為/1=/2（已知），

所以NBCD=/2.

所以CD/7FG（同位角相等，兩直線平行）.

【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見到角相等或互補，就應(yīng)該想到判斷直線是否平

行，見到直線平行就應(yīng)先想到角相等或角互補.

舉一反三：

【變式】如圖，已知Nl+N2=180°,Z3=ZB,試判斷/AED與/ACB的大小關(guān)系，并

說明理由.

A

【答案】ZAED=ZACB,理由如下：

VZ1+Z2=18O°,又Nl+N4=180°,

.\Z2=Z4.

；.AB〃EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

；.N5=N3.

又/3=/B,

.?.Z5=ZB.

.-.DE//BC（同位角相等，兩直線平行）.

.?.NAED=/ACB（兩直線平行，同位角相等）.

類型三、三角形的內(nèi)角和定理及推論

.請你利用“三角形內(nèi)角和定理”證明“四邊形的內(nèi)角和等于360。四邊形ABCD

如圖所示.

【思路點撥】將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形去解決.

【答案與解析】

證明：如下圖，連接ACVZB+ZBAC+ZACB=180°,

ZD+ZDAC+ZACD=180",

：.(ZB+ZBAC+ZACB)+(ZD+ZDAC+ZACD)=180°+180°.

，ZB+ZD+(ZBAC+ZDAC)+(ZACB+ZACD)=360°.

ZB+ZC+ZBAD+ZBCD=360°.

即四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°.

【總結(jié)升華】把不熟悉的多邊形分成熟悉的三角形，利用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和是

解題的關(guān)鍵，同理可以得到n邊形的內(nèi)角和公式為：(n—2)X180°.

6.圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為"8

字形如圖2,在圖1的條件下，ZDAB和/BCD的平分線AP和CP相交于點P,并且

與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出NA、/B、ZC>ND之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)仔細觀察，在圖2中"8字形"的個數(shù)：個；

(3)圖2中，當(dāng)/D=50度，NB=40度時，求/P的度數(shù).

(4)圖2中ND和NB為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND、NB之間存在著怎樣

的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)果，不必證明).

【答案與解析】解(1)VZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC,

.?.ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)①線段AB、CD相交于點O,形成"8字形"；

②線段AN、CM相交于點O,形成"8字形"；

③線段AB、CP相交于點N,形成"8字形"；

④線段AB、CM相交于點O,形成"8字形"；

⑤線段AP、CD相交于點M,形成"8字形"；

⑥線段AN、CD相交于點O,形成"8字形"；

故"8字形"共有6個；

(3)/DAP+ND=/P+/DCP,①

ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,②

ZDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點P,

.?.ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：

ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,

即2/P=/D+/B,

又：/D=50度，NB=40度，

；.2NP=50°+40°,

.?.ZP=45°；

(4)關(guān)系：2ZP=ZD+ZB.

由ND+Nl+/2=NB+/3+N4①

由NONC=NB+N4=NP+N2,②

①+②得：

ZD+2ZB+2Z1+2Z3=ZB+2Z3+2ZP+2Z1,

ZD+2ZB=2ZP+ZB,

即2NP=/D+NB.

【總結(jié)升華】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能

力.

舉一反三：

【變式】在△ABC中，/A=50°,/B=70°,則/C的外角等于.

【答案】120。

第十四章全等三角形

【知識網(wǎng)絡(luò)】

解決問題

【要點梳理】

【高清課堂：388614全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識要點】

要點一、全等三角形的判定與性質(zhì)

一般三角形直角三角形

邊角邊(SAS)

兩直角邊對應(yīng)相等

角邊角(ASA)

判定一邊一銳角對應(yīng)相等

角角邊(AAS)

斜邊、直角邊定理(HL)

邊邊邊(SSS)

對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角，相等

性質(zhì)

(其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等)

備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等

要點二、全等三角形的證明思路

f找夾角“SAS

已知兩邊］找直角―HL

找另一邊f(xié)SSS

'邊為角的對邊告找任一角fAAS

f找夾角的另一邊f(xié)SAS

＜已知一邊一角,

邊為角的鄰邊填盍端嗎篇1依ASA

俄夾邊f(xié)ASA

已知兩角《

(找任一邊f(xié)AAS

要點三、角平分線的性質(zhì)

1?角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線

三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.

4.與角平分線有關(guān)的輔助線

在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；

在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.

要點四、全等三角形證明方法

全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相

似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三

角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.

可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.

1.證明線段相等的方法：

(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.

(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

(3)等式性質(zhì).

2.證明角相等的方法：

(1)利用平行線的性質(zhì)進行證明.

(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.

(3)利用角平分線的判定進行證明.

(4)同角(等角)的余角(補角)相等.

(5)對頂角相等.

3.證明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直)的方法；

可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.

4.輔助線的添加：⑴

作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍

長中線法；(3)作以角

平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用

截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.

5.證明三角形全等的思維方法：

(1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)

現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.

(2)如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)

圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.

(3)如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之

出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).

【典型例題】

類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定

V1、問題背景：

(1)如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,

CD上的點.且/EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問

題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明4ABE之AADG,再證明4AEF2AAGF,

可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

探索延伸：

(2)如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點，

且NEAF=1<BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

2

【思路點撥】(1)延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明4ABE之△ADG,可得AE=AG,

再證明4AEF之△AGF,可得EF=FG,即可解題；

(2)延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明4ABE0AADG,可得AE=AG,再證明

△AEF^AAGF,可得EF=FG,即可解題.

【答案與解析】

證明：(1)在4ABE和4ADG中，

fDG=BE

'ZB=ZADG，

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.\AE=AG,ZBAE=ZDAG,

?/ZEAF=1ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

ZEAF=ZGAF,

在AAEF和AGAF中，

'AE=AG

<NEAF=/GAF，

AF=AF

.,.△AEF^AAGF(SAS),

.*.EF=FG,

,-,FG=DG+DF=BE+DF,

/.EF=BE+DF；

故答案為EF=BE+DF.

(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,

圖2

在ZkABE和Z\ADG中,

'DG=BE

<NB=/ADG，

AB=AD

/.△ABE^AADG(SAS),

.*.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

?.?ZEAF=1ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

/.ZEAF=ZGAF,

在AAEF和AGAF中，

'AE=AG

'NEAF=NGAF，

AF=AF

.,.△AEF^AAGF(SAS),

.\EF=FG,

,/FG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+DF.

【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中

求證△AEF04AGF是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖，已知：AE±AB,AD±AC,AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE.

【答案】

證明：VAE±AB,ADXAC,

.?.ZEAB=ZDAC=90°

AZEAB+ZDAE=ZDAC+ZDAE,即NDAB=NEAC.

在ADAB與AEAC中，

ZDAB=ZEAC

<AB=AC

ZB=ZC

.'.△DAB^AEAC(ASA)

；.BD=CE.

類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形

(1).作公共邊可構(gòu)造全等三角形：

如圖：在四邊形ABCD中，AD〃CB,AB〃CD.

求證：ZB=ZD.

【思路點撥】ZB與ND不包含在任何兩個三角形中，只有添加輔助線AC,根據(jù)平行線的性

質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.

【答案與解析】

證明：連