2021年新初二數(shù)學(xué)北師大復(fù)習《生活中的軸對稱》

2021年新初二數(shù)學(xué)北師大新版專題復(fù)習《生活中的軸對稱》

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,BE平分NABC,EDJ_A8于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.立cmB.2cmC.3cmD.4cm

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內(nèi)角為120。，則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

3.（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點

B.三角形三條角平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點

D.三角形三條中線的交點

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,/XABC的面積為10,BD

平分NA8C,若M、N分別是B。、上的動點，則CM+MN的最小值為（)

A

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，OE為線段AB的垂直平分線.關(guān)X

ABC的周長為18,線段AE的長度為4,則△BCD的周長為（）

7.如圖，在△ABC中，A/平分NBAC,8/平分NA8C,點。是AC、BC的垂直平分線的

交點，連接40、BO,若N4/B=a,則NAOB的大小為（）

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在aABC中，點。在邊3c上，且滿足月8=AO=OC,過點

A.2a+3p=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90°D.20+丫=90°

9.（2020秋?臨沐縣期末）如圖，已知等腰△43。的底角NC=15°,頂點B到邊4c的距

離是3cm,則AC的長為（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

10.（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個動點P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.ScmD.10cm

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值k稱為這個等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰ZXABC的周長為13?！?，AB=5cm,則它的“優(yōu)美比”k

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△A5C中，NA=42°,點。是邊A上的一點，將4

88沿直線8翻折斜到CD,B'C交A8于點E,如果"D//AC,那么N3QC

=度.

13.（2020秋?南沼區(qū)期末）如圖，把一張長方形紙條ABCQ沿律折疊，若NA&T=68°,

14.（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△ABC中，ZBAC=120°,DE是AC的垂直平分

線，線段。E=2c/n,則8。的長為cm.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,8E平分NA8C,A。為邊上

的高，且AD=8。.則N3=

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,BP和CP分別平分NA8C刃NOCB,A。過點P,

且與AB垂直.若AO=8,則點P到BC的距離是.

BA

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NABC、NE4C的角平分線BP、AP相交于點P,

PM±BEtPNLBF,垂足分別為例、N.現(xiàn)有四個結(jié)論：

①CP平分NACr；?ZBPC=AZBAC；③NAPC=90°--IzABC；④SMPM+S&CPN

>S"PC.

其中結(jié)論正確的為.（填寫結(jié)論的編號）

0CN'

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點CO在線段A8的同側(cè)，CA=6,AB=14,BO=12,M

為AB中點，ZCMD=\20°.則CO的最大值為.

D

AMB

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，△AOB與△C08關(guān)于邊。8所在的直線成軸對稱，AO

的延長線交8C于點。.若NE。力=46°,ZC=22°,貝l」NAQC=°.

B

20.（2020秋?涕陽市期末）如圖所示，A、B兩個村子在河C。的同側(cè)，A、8兩村到河的

距離分別為AC=1切7,BD=3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊C。上建一水廠分別向A、B兩

村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在河8邊上選擇水廠位置O,

使鋪設(shè)水管的費用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費用為元.

B

A

——

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知：在△A8C中，AB=AC,8Q_LAC交AC于。，AO

平分/84C交BO于O,過。點作O七〃交AC于￡

（1）求證：BO=OCx

（2）若N8AC=56°,求NOOE的度數(shù).

22.（2020秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)E

是AC的垂直平分線，交A。于點八連接5戶.求證：AF=BF.

A

23.（2020秋?興化市期末）如圖，3c中，A3的垂直平分線分別交48、于點M、￡>,

AC的垂直平分線分別交AC、BC于點N、E,2X4。七的周長是7.

（1）求的長度；

（2）若NB+NC=60°,則/D4E度數(shù)是多少？請說明理由.

24.（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=62°,NB=78°,AC的垂直平

分線交3c于點O.

（1）求NBAO的度數(shù)；

（2）若A8=8,BC=11,求ZUBO的周長.

25.（2020秋?叢臺區(qū)校級期末）小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC將帶刻

度的直角尺OEMN按如圖所示擺放，使EM邊與08邊重合，頂點。落在OA邊上并標

記出點。的位置，量出OD的長，再重新如圖放置直角尺，在ON邊上截取OP=OD,

過點P畫射線OC,則OC平分NAO8.請判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

26.(2020秋?肥西縣期末)如圖，AABC是等邊三角形，。、E分別是BC、AC邊上的點,

連接AD.BE,且AD.BE相交于點P,ZAEB=ZCDA.

(1)求NBPO的度數(shù).

(2)過點8作3Q_LA。于。，若PQ=3,PE=1,求8K的長.

27.(2020秋?云南期末)如圖，在△A8C中，A。為N84C的平分線，OE_LAB于E,DF

JLAC于兄△ARC面積是15必加2,4Z?=20(W,AC=\Scm,求DE的長.

28.(2020秋?三明期末)在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角

形(頂點是網(wǎng)格線交點的三角形)ABC的頂點A,C的坐標分別為(-4,2),(-1,0).

(1)請在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標系；

(2)請作出△ABC關(guān)于y軸對稱的AA'B'C：

(3)寫出點"的坐標.

29.(2020秋?新賓縣期末)在如圖所示的平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個

單位長度的正方形，△48C的頂點在格點上.

(1)畫出△ABC關(guān)于)，軸對稱的△AbU；

(2)寫出A、B.C的對應(yīng)點4、B：C'的坐標;

(3)在)，軸上畫出點Q,使AQAC的周長最小.

30.(2020秋?九龍坡區(qū)校級期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,NABC的角平分線交AC

于點。，過點A作AE〃BC交8。的延長線于點E.

(1)若NBAC=50°,求NE的度數(shù).

(2)若尸是OE上的一點，^,AD=AF,求證：BF=DE.

B

2021年新初二數(shù)學(xué)北師大新版專題復(fù)習《生活中的軸對稱》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共io小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△48C中，ZACB=90°,BE平分NA8C,于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.^f^cmB.2cmC.3cmD.4cm

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)求解.

【解答】解：平分NA8C,EDLAB,ECVBC,

?.EC=ED=3ctn.

故選：C.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內(nèi)角為120°,則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

【考點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】因為三角形的內(nèi)角和為180。，所以120。只能為頂角，從而可求出底角.

【解答】解：???120。為三角形的頂角,

???底角為（180°-120°）4-2=30°.

故選：A.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等，從而可求出解.

3.（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

【考點】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：要在①，②，③.④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使

它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在區(qū)域②處.

故選：B.

【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確把握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點

B.三角形三條角平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點

D.三角形三條中線的交點

【考點】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】能力層次.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

【解答】解：???根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，

???三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，

故選：B.

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，要充分理解并加以運用性質(zhì)中的線段關(guān)系.

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面積為10,BD

平分NABC,若M、N分別是BZ）、8c上的動點，則CM+MN的最小值為（)

A

C.4.5D.6

【考點】三角形的面積：軸對禰-最短路線問題.

【專題】探究型；三角形：幾何直觀；應(yīng)用意識.

【分析】過C作CE_LA8于點E,交BD于點M',過點M'作M'NJ_8C于N',

則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的

最小值.

【解答】解：過C作。瓦LAB于點E,交B。于點M',過點M'作M'N'tBC于N',

如圖：

???80平分N4BC,M'E_LA8于點E,M'N'_LBC于N',

?'?"N'=M'E,

：，CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此時M與M'重合，N與N

重合，

???三角形ABC的面積為10,4B=4,

.\AX4*CE=10,

2

:,CE=5.

即CM+MN的最小值為5.

故選：B.

【點評】本題考查三角形中的最短路徑，解題的關(guān)鍵是理解CE的長度即為CM+MN最

小值.

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△A8C中，OE為線段人8的垂直平分線.若4

ABC的周長為18,線段AE的長度為4,則△BCO的周長為（）

A.10B.IIC.12D.14

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=2AE=8,DA=DB,根據(jù)三角形的周長公

式計算，得到答案.

【解答】解：???△/15c的周長為18,

：.AC+BC+AB=\St

TOE為線段AB的垂直平分線，AE=4,

：,AB=2AE=S,DA=DB,

???AC+BC=10,

/.△BCD的周長=8D+CD+BC=AD+CO+BC=4C+8C=10,

故選:A.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的

兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△A8C中，A/平分/B4C,平分/ABC,點。是AC、的垂直平分線的

交點，連接A。、BO,若NAlB=a,則NAOtf的大小為（）

A.aB.4a-360°C..la+90°D.1800-Aa

22

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】連接CO并延長至Q,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NA4B+N/84=180°-a,根

據(jù)角平分線的定義得到NC48+/C8A=360°-2a,求出NAC8,根據(jù)線段垂直平分線

的性質(zhì)得到。4=0。，OB=OC,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0CA=N04C,ZOCB=ZOBC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

計算，得到答案.

【解答】解：連接C。并延長至。，

*：NA/B=a,

：.ZIAB+ZIBA=\SO0-a,

???A/平分NBAC,8/平分NABC,

AZMfi=-lzC4?,N/BA=_1NCR4,

22

???NC4B+NC8A=2(N/A8+//8A)=360°-2a,

AZ4C?=180°-(/CAB+/CRA}=2n-1R0°,

???點。是4C、8C的垂直平分線的交點，

：.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,NOCB=ZOBC,

???ZAOD是△AOC的一個外角，

???NAOO=NOCA+NOAC=2/OC4,

同理，ZBOD=2ZOCB,

:.ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=4a-360°,

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理,

掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在dABC中，點。在邊8c上，且滿足A8=4O=OC,過點

。作OE_LA。，交AC于點E.設(shè)NBAO=a,NC4O=B，ACDE=y,貝ij()

A.2a+3p=180°B.3a+20=180°C.0+2丫=90°D.20+丫=90。

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三帝形；推理能力.

【分析】根據(jù)AB=AO=OC,ZB=ZADB,ZC=ZCAD=p,再根據(jù)三角形外角的性

質(zhì)得出/AED=B+Y，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得結(jié)論.

【解答】解：*：AB=AD=DC,ZBAD=a,

:,NB=NADB,ZC=ZCAD=p,

*：DEA_AD,

???NADE=90°,

：.ZCAD+ZAED=90°,

VZCDE=y,/AED=NC+NCDE,

???N4ED=Y+B，

.*.2P+Y=90°,

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2。2。秋?臨沐縣期木）如圖，已知等腰△A8C的底角NC=15°,頂點8到邊AC的距

離是3cm,則AC的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；兒何直觀.

【分析】???根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NB4O=30°,根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)

可求AB,進一步求得AC.

【解答】解：?.?等腰△ABC的底角NC=15°,

AZABC=15°,

：.ZBAD=\50+15°=30°，

在RtZXAOb中，ZD=90°，BD=3cm,

：.AB=2BD=6cm,

,,.AC=AB=6cm.

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求得N84Z）

=30。.

10.（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個動點P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.8cwD.10c/n

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀：運算能力；推理能力.

【分析】連接AP,由三角形的面積公式證得S/、ABP+&4CP=SA4BC，根據(jù)A8=4C即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：ZLA6c中，PELAB于E,PFA.ACF,48=AC=8厘米，△ABC

的面積為24平方厘米，尸是底邊8C上一個動點.

求：尸E+PF的值.

解:連接AP,

,：PELAB,PF1AC,

；?S“BP=PE,SAACP=—AC*PF,

22

S.MBP+SA/4CP=S.MBC,SAABC=24,

:.2AB?PE+-1AC?PF=24,

22

：.1AB（PE+PF）=24,

2

X

???PE+PF=?^^-=6cmf

8

故選：B.

A

B~PC

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，由三角形的面積公式

證得S/.ABP^-SAACP=SAABC是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值2稱為這個等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△48。的周長為13cm,AB=5cm,則它的“優(yōu)美比”美=0.6

或1.25.

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【分析】分兩種情況：A8為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，

即可得到它的優(yōu)美比匕

【解答】解：當A3腰時，則底邊=3cm；

此時，優(yōu)美比￡=3=0.6；

5

當A8為底邊時，則腰為4；

此時，優(yōu)美比2=$=1.25；

4

故答案為0.6或1.25.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NA=42°,點。是邊A上的一點，將4

88沿直線8翻折斜到AB'CD,B'。交48于點E,如果"D//AC,那么NBDC

=111度.

【考點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）.

【專題】三角形；幾何直觀.

【分析】設(shè)/BCD為a,NCBD為仇列出關(guān)于a+B的方程，求出a+R,即可求出NBDC.

【解答】解：設(shè)NBCD為a,/C8O為0,

YB'D//AC,

：.ZB'DC+ZACD=\SO0,

由對稱性知NBDC=NBDC,

.?.180°-(a+p)+180°-42°-(a+p)=180°,

.??a+B=69°,

???/BOC=180°-69°=lllc,

故答案為111.

【點評】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對稱變換，具有

對稱性，平行線的三個基本性質(zhì)要牢記于心.

13.(2020秋?南河區(qū)期末)如圖，把一張長方形紙條A8CO沿江折疊，若=68°,

【考點】翻折變換(折疊問題).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力.

【分析】設(shè)NO上b=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到N"'"=/Di*=x,利用平角的定義列方

程即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)NOE尸=工

,/把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，

???/￡>'EF=NDEF=x,

VZAED'=68°,NAED'+/?EF+DEF=\^°,

/.x+x+68°=180°,

???x=56°,

：?4DEF=/D'E尸=56°,

:?/AEF=NAED'+N。'瓦=124°,

故答案為：124°.

【點評】木題重點考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題.

14.（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△A8C中，N84C=120°,DE是4c的垂直平分

線，線段。E=2cm,則BD的長為852.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】連接AD,根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出N8=NC=30°,再根據(jù)線段垂

直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=CDt然后求HNC4O=30°,再求

出NB4O=90°,然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CO=2OE,BD=

乂。，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

【解答】解：連接AD,

在等腰△A8C中，NB4C=120°,

AZB=ZC=30°,

「DE是AC的垂直平分線，

：.AD=CD,

???NC4D=NC=30°,

：,ZBAD=ZBAC-ZCAD=120°-30°=90°,

在RtZXCDE中，CD=2DE,

在RtZXABD中，BD=2AD,

:?BD=4DE,

*：DE=2an,

???BD的長為8cm.

故答案為：8.

【點評】本題考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△48C中，AB=BC,BE平分/ABC,AO為BC邊上

的高，且AO=BO.則N3=22.5°.

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；兒何直觀.

【分析】求出NAO8=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出NAB。

=N8AO=45°,根據(jù)角平分線的定義求出N2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N8E4=

ZADB=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N2=N3即可.

【解答】解：TA。為3c邊上的高，

AZADB=90°,

*：AD=BD,

：.ZABD=ZBAD=1-（180°-ZADB）=45°,

2

〈BE平分N48C,

Z1=Z2=AZABD=22.5°,BELAC,

2

???NBE4=90°=NAOB,

???/3+N8EA+N4”E=180°,N2+NAOB+N8〃O=180°,NAHE=NBHD,

/.Z3=Z2=22.5°.

故答案為:22.5°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識

點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵.

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8P和CP分別平分NABC司NOC8,4。過點P,

且與A8垂直.若AO=8,則點P到BC的距離是4.

【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】過點P作PE_LBC于￡根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得％

=PE,PD=PE,那么依據(jù)A￡>=8,進而求出PE=4.

【解答】解：如圖所示，過點P作/^，8。于￡

*：AB//CD,%_LAB,

：.PDLCD,

*：BP和CP分別平分N4BC和NDCB,

:?PA=PE,PD=PE,

：,PE=PA=PD,

VM+PD=AD=8,

：,R\=PD=4,

：,PE=4,即點尸到3c的距離是4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助

線是解題的關(guān)鍵.

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NA8C、NE4C的角平分線BP、A尸相交于點P,

PMA.BE,PN1BF,垂足分別為例、N.現(xiàn)有四個結(jié)論：

①CP平分NACR②N8PC=2N8AC；③NAPC=90°?2/ABC；④SMPM+SACPN

22

>S^APC-

其中結(jié)論正確的為一①②③.（填寫結(jié)論的編號）

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；運算能力；推理能力.

【分析】①作POL4C于。.杈據(jù)角平分線性質(zhì)得到PM=PN,PM=PD,得到

=PD,于是得到點P在N4C戶的角平分線上，故①正確；

②根據(jù)三角形的判定和性質(zhì)得到AO=4M,ZAPM=ZAPD,CD=CN,/NPC=NDPC,

于是得到NAPC=_^/MPM故②正確；

③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到NABC+90。+NMPN+90。=360°,求得NABC+NMQN=

180°,于是得到NAPC=90°-AZABC,故③正確；

2

④根據(jù)角平分線定義得到NnCF=NA8C+N84C,NPCN=2/ACF=NBPC+L/

22

ABC,得到N8PC=』N8AC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S^APM^CPN=S^APC.故④

2

不正確.

【解答】解：①作PO_LAC于O.

??78平分NABC,用平分NE4C,PMLBE,PN1BF,

.??產(chǎn)用=尸N,PM=PD,

:,PM=PN=PD,

???點P在N4CF的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的立分線上）,

故①正確；

②;PB平分/ABC,CP平分/ACr，

:,NABC=2NPBC,NAC尸=2NPC凡

■:NACF=NABC+NBAC,/PCF=/PBFMBPC,

:?/BAC=2/BPC,

AZBPC=^ZBAC,故②正確；

2

@9：PMA.AB,PNLBC,

：.ZABC+900+NMPN+90。=360°,

AZABC+ZMPN=iS00,

，NAPC=90°-2NABC,故③正確；

2

④???P8平分N4BC,PC平分乙AC凡

，NACF=NABC+NBAC,ZPCN=2/ACF=ZBPC+^-ZABC,

22

:.ZBAC=2ZBPC,

JN8PC=2NR4C,故本小題正確；

2

,:S&APD=S^APM，S&CPD=SMPN，

:.SAPM+SdCPN=sMPC，故④不正確.

綜上所述，①②③正確.

故答案為：?@?.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到角的兩邊距離

相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細分析便不難求

解.

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點8在線段A8的同側(cè)，C4=6,A8=14,BD=12,M

為AB中點，ZCA/D=120°.則CD的最大值為25.

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點4',點B關(guān)于。M的對稱點"，證明

MB）為等邊三角形，即可解決問題.

【解答】解：如圖，作點4關(guān)于CM的對稱點1，點8關(guān)于。M的對稱點夕.

D

VZCA/D=120°,

AZAMC+ZDMB=60°,

：.^CMA'+/DMB'=60°,

???NA'MB1=60°,

*：MA'=MB',

???△A'MB'為等邊三角形

VCD<CAZ+A'B'+B'O=C4+AM+BO=6+7+12=25,

???CO的最大值為25,

故答案為25.

【點評】本題考杳翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用兩點之間線段最短解我最值問題，屬于中考

?？碱}型.

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，AAOB與ACOB關(guān)于邊所在的直線成軸對稱，AO

的延長線交BC于點。.若N6OO=46°,NC=22°,則乙4DC=70°.

【考點】軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】根據(jù)NAOC=N4+NABO,求出NA,NA3。即可.

【解答】解：???△A08與ACOB關(guān)于邊。8所在的直線成軸對稱,

△AO跆△CO8,

AZA=ZC=22°，/ABO=/CBO,

ZBOD=ZA+ZABO,

???NA8O=46°-22°=24°,

???NA8O=2NABO=48°,

AZADC=ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案為：70.

【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

20.(2020秋?涕陽市期末)如圖所示，4、B兩個村子在河。。的同側(cè)，4、8兩村到河的

距離分別為AC=l&m，BD=3bn,CD=3km.現(xiàn)在河邊C。上建-一水廠分別向4、B兩

村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O,

使鋪設(shè)水管的費用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費用為100000兀.

B

■

A

_di_________QL__

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【分析】構(gòu)造出以4,8為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式計算即可求出4'B,

再乘以單價計算即可得解.

【解答】解：如圖，作出以A'8為斜邊的直角三角形，

*：AC=lkmfBD=3km,CD=3km,

：.AfE=CD=3kni,8E=3+1=4(km),

由勾股定理得，A'B=Q§2+42=5(kin),

20000X5=100000(元).

答：鋪設(shè)水管的總費用100000元.

故答案為：100000.

B

【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，勾股定理，熟練掌握最短路線的確定方

法是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共10小題)

21.(2020秋?九龍坡區(qū)校級期末〕已知：在5c中，AB=AC,5O_LAC交4c于O,AO

平分NR4C交3。于。，過。點作。七〃8C交4C于￡

(1)求證：BO=OCx

(2)若NB4C=56°,求NOOE的度數(shù).

【考點】平行線的性質(zhì)：等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三用形；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)三角形全等證明對應(yīng)邊相等；

(2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等就出底角的度數(shù)，根據(jù)得N3DC=90°,求出

N4B。的度數(shù)，進而求出ND8C的度數(shù)，最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可證明.

【解答】解：(1)???A。平分NR4C,

，N8AO=NO4C,

在△4BO和△ACO中，

rAB=AC

<ZBA0=Z0AC?

A0=A0

.??△ABOdACO(SAS),

:?BO=OC.

(2)VBD1AC,

AZBDC=90°,

AZABD=ZBDC-ZBAD=90°?56°=34°,

*：AB=AC,

AZABC=ZACB=A(1800-ABAC}=62°,

2

：?/DBC=/ABC?/ABD=62°-34°=28°,

VOE//BC,

：.ZDOE=ZDBC=2S°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是求出NOBC的度數(shù).

22.(2020秋?玄武區(qū)期末)如圖,在中，AR=AC.AD是△ARC的角平分線，F(xiàn)F.

是AC的垂直平分線，交AO于點凡連接8立求證：AF=BF.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD,ADYBC,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得

BF=CF=AF.

【解答】證明：連接CF,

:.BD=CD,AD±BCf

:,BF=CF,

?.?尸E垂直平分AC,

：.AF=CF,

：.AF=BF,

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性

質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

23.（2020秋?興化市期末）如圖，△A8C中，A8的垂直平分線分別交48、BC于點M、D,

AC的垂直平分線分別交AC、BC于點N、E,ZXAOE的周長是7.

（1）求8c的長度；

（2）若NB+NC=60°,則ND4E度數(shù)是多少？請說明理由.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC,根據(jù)三角形的周長公

式計算，得到答案；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ND4B=N8,Z￡AC=ZC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解答】解：（1）???QM是線段A8的垂直平分線，

:?DA=DB,

同理，EA=EC,

，:ZXAOE的周長為7,

：.DA+DE+EA=7,

：.BC=DA+DE+EC=1；

（2）ND4E度數(shù)是60°,

理由如下：,:DA=DB,EA=EC,

:?NDAB=NB,NE4C=NC，

VZB+ZC=60°，

ZADE-^ZAED=2ZB+2ZC=\20°,

：.ZDAE=\S00-120°=60c.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直

平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

24.（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△4BC中，NB4C=62°,N5=78°,AC的垂直平

分線交于點。.

（1）求NA4O的度數(shù)；

（2）若48=8,BC=11,求A4BO的周長.

【考點】角的計算；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；運算能力.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=CZ）,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC4O=NC=40。，得到答案；

（2）根據(jù)三角形的周長公式計算即可.

【解答】解：（1）???NBAC=62°,NB=78°,

Z.ZC=180°-ZBAC-ZB=180°-62°-78°=40°,

二?OF垂直平分AC,

：.AD=CD,

???NCAO=NC=40°,

：.Z8AD=ZBAC-ZCAD=62°-40°=22°；

（2）*：AD=CD,AB=8,BC=11,

:.AABD的周長=AB+4D+8O=A8+CD+5O=AB+BC=8+U=19.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平

分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

25.（2020秋?叢臺區(qū)校級期末）小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC：將帶刻

度的直角尺。EMN按如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點。落在OA邊上并標

記出點。的位置，量出。力的長，再重新如圖放置直角尺，在ON邊上截取。尸=0￡),

過點P畫射線OC，則OC平分N4O艮請判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOPO=NPOM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NZ)PO=

ZDOP,由等量代換得到NPOM=NOOP,由此可判斷小明的做法可行.

【解答】解：小明的做法可行.理由如下：

在直角尺OEMN中，QN〃EM,

???NDPO=NPOM,

?:DP=OD,

:.ZDPO=/DOP,

:.ZPOM=NDOP,

???OC平分NAOS.

【點評】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能靈活

應(yīng)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

26.(2020秋?肥西縣期末)如圖，ZSABC是等邊三角形，。、E分別是BC、AC邊上的點，

連接A。、BE,且4＞、8七相父子點尸,4AEB=4CDA.

(1)求NBP。的度數(shù).

(2)過點8作伙2_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求8E的長.

【考點】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三帝形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，ZABC=ZC=60°,又根據(jù)NAEB=NCD4,

進而求得NE8C=NBA。，即可得出答案：

（2）根據(jù)題意求得NP5Q=30>,再根據(jù)直角三角形中30°的角的性質(zhì)求出8P的長度，

即可得出答案.

【解答】解：（1）由△48C是等邊三角形可得，

ZA5C=ZC=60°,

VZADC=ZABC+ZBAD,/AEB=NC+/EBC,^AEB=ZCDA,

:?/BAD=/EBC,

■:/BPD=ZABE+ZBAD,

：.NBPD=ZABE+ZEBC=NABC=60°；

（2）,??80_1_人。于。，

AZBQP=90°,

VZBPD=60°,

???/P8Q=90°?NBPO=30°,

在RtZ\BP。中，

???PQ=3,NP8Q=30°,

:.BP=2PQ=6,

又〈PE=1,

：.BE=BP+PE=6+\=7.

【點評】此題考查了等邊二角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊二角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（2020秋?云南期末）如圖，在aABC中，AO為NBAC的平分線，OE_LAB于E,DF

_LAC于尸，△ABC面積是152cm2,AB=20。小AC=18c??,求OE的長.

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)5。叱=545。+限4。，再利用角平分線的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：?.?4￡＞為NB4C的平分級，DE_L4B于E,DFA.ACF,

:,DE=DF,

,**sMBC=s&ABaSdACD，

工5MBC=yXABXDE4XACXDF，

乙乙

「△ABC面積是152cm2,AB=20cfn,AC=\Scm,

???152=/x20XDE,X18XDF，

:.\0DE+9DF=152,

?:DE=DF,

A19DE=152,

，OE=8.

【點評】本題主要考查了三角形面積的計算方法，以及角平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

28.（2020秋?三明期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角

形（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）A8C