平面向量基本定理教案 人教版

平面向量基本定理教案人教版學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：平面向量基本定理

2.教學(xué)年級和班級：高中數(shù)學(xué)，高二年級5班

3.授課時間：2022年10月12日

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）核心素養(yǎng)目標(biāo)1.知識與技能：使學(xué)生掌握平面向量基本定理的內(nèi)容，理解向量加法和數(shù)乘的運算規(guī)律，能夠運用基本定理解決實際問題。

2.過程與方法：通過小組討論、探究活動等方式，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和問題解決能力。

3.思維與探究：引導(dǎo)學(xué)生運用邏輯思維、分類討論等方法，深入理解平面向量基本定理的內(nèi)涵和外延，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

4.情感、態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識和創(chuàng)新精神，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)在實際生活中的重要作用。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

-平面向量基本定理的內(nèi)容及其應(yīng)用：向量加法和數(shù)乘的運算規(guī)律。

-向量的幾何表示和代數(shù)表示之間的轉(zhuǎn)換。

-運用平面向量基本定理解決線性方程組的問題。

-向量的模長和方向的概念及其運算。

2.教學(xué)難點：

-向量的加法和數(shù)乘運算的直觀理解。

-如何將實際問題轉(zhuǎn)化為向量問題。

-對平面向量基本定理的理解和運用。

-在解決線性方程組時，如何運用平面向量基本定理進行簡化。

詳細列明每個細節(jié)：

-向量的加法和數(shù)乘運算的直觀理解：向量的加法可以看作是兩個箭頭起點相同，將尾部連接起來，形成一個新的箭頭；數(shù)乘則可以看作是在箭頭上增加一個標(biāo)度因子，即拉伸或壓縮箭頭。

-將實際問題轉(zhuǎn)化為向量問題：例如，在物理中，力可以表示為一個向量，其大小和方向分別對應(yīng)力的大小和作用方向。

-對平面向量基本定理的理解和運用：理解向量加法和數(shù)乘的運算規(guī)律，能夠?qū)⒕€性方程組轉(zhuǎn)化為向量形式，并運用基本定理進行簡化。

-解決線性方程組時，運用平面向量基本定理進行簡化：例如，線性方程組ax+by=c可以轉(zhuǎn)化為向量形式(a,b)·(x,y)=c，然后運用基本定理求解。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《人教版高中數(shù)學(xué)》二年級上冊教材，以及與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的輔導(dǎo)書籍和練習(xí)冊。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如向量的幾何表示和代數(shù)表示的圖片，線性方程組的實例等。

3.實驗器材：如果涉及實驗，確保實驗器材的完整性和安全性，如尺子、量角器、橡皮筋等。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實驗操作臺等。在教室內(nèi)設(shè)置若干個小組討論區(qū)，每個區(qū)域配備一張桌子和幾把椅子，以便學(xué)生進行小組討論和實驗操作。

5.教學(xué)課件：制作與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)課件，包括向量的加法和數(shù)乘運算的動畫演示，平面向量基本定理的講解，線性方程組的解決方法等。

6.練習(xí)題庫：準(zhǔn)備與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的練習(xí)題庫，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題，以便在課堂上進行練習(xí)和鞏固所學(xué)知識。

7.教學(xué)反饋表：準(zhǔn)備教學(xué)反饋表，以便在課程結(jié)束后收集學(xué)生對本節(jié)課的教學(xué)意見和建議，以便改進教學(xué)方法和提高教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“平面向量基本定理”課題，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解平面向量基本定理的知識點。

-思考預(yù)習(xí)問題：針對預(yù)習(xí)問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺、微信群等，實現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

-作用與目的：幫助學(xué)生提前了解“平面向量基本定理”課題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過故事、案例或視頻等方式，引出“平面向量基本定理”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識點：詳細講解平面向量基本定理的知識點，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論、探究活動等方式，讓學(xué)生在實踐中掌握平面向量基本定理的應(yīng)用。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論、探究活動等方式，體驗平面向量基本定理的應(yīng)用。

-提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學(xué)生理解平面向量基本定理的知識點。

-實踐活動法：設(shè)計實踐活動，讓學(xué)生在實踐中掌握平面向量基本定理的應(yīng)用。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

-作用與目的：幫助學(xué)生深入理解平面向量基本定理的知識點，掌握定理的應(yīng)用。通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)“平面向量基本定理”，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與“平面向量基本定理”相關(guān)的拓展資源（如書籍、網(wǎng)站、視頻等），供學(xué)生進一步學(xué)習(xí)。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進行反思和總結(jié)。

-作用與目的：鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的平面向量基本定理的知識點和技能。通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理1.平面向量的定義

-向量：平面向量是有大小和方向的量，可以用箭頭表示。

-向量的表示：向量可以用字母表示，如a，并在字母后面加上箭頭符號，如→a。

-向量的坐標(biāo)表示：在二維坐標(biāo)系中，向量可以用(x,y)的形式表示，其中x表示向量在x軸上的分量，y表示向量在y軸上的分量。

2.向量的加法和數(shù)乘

-向量加法：兩個向量a和b的和向量c，表示為c=a+b。向量加法滿足交換律和結(jié)合律。

-數(shù)乘：向量a與實數(shù)k的乘積向量k·a，表示為k·a。數(shù)乘滿足分配律。

3.平面向量基本定理

-基本定理：如果向量a和向量b不共線，那么線性方程組ax+by=c有唯一解。

-解的形式：解的形式為x=(c/b-d/a)·b，其中d是向量a和向量b的叉乘的結(jié)果。

4.向量的模長和方向

-模長：向量a的模長表示為|a|，等于向量的長度。

-方向：向量a的方向可以用角度表示，用弧度或度來度量。

5.向量的數(shù)量積（點積）

-定義：向量a和向量b的數(shù)量積表示為a·b，等于a的模長乘以b的模長再乘以它們夾角的余弦值。

-性質(zhì)：數(shù)量積滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律。

6.向量的叉積（外積）

-定義：向量a和向量b的叉積表示為a×b，是一個向量，其模長等于a和b的模長的乘積，方向垂直于a和b所在的平面。

-性質(zhì)：叉積不滿足交換律和結(jié)合律，但滿足分配律。

7.向量的共線定理

-共線定理：如果兩個向量共線，那么它們可以表示為一個實數(shù)倍的關(guān)系，即存在實數(shù)k，使得a=k·b。

8.向量的線性相關(guān)性

-線性相關(guān)性：如果一組向量中存在至少兩個向量，它們不是零向量，且線性相關(guān)，則這組向量線性相關(guān)。

9.向量的基底

-基底：在一組線性相關(guān)的向量中，選擇其中的一個向量作為基底，其他的向量可以用基底的線性組合來表示。

10.向量的線性空間

-線性空間：向量的集合滿足向量加法和數(shù)乘的封閉性，構(gòu)成一個線性空間。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成課本第XX頁的練習(xí)題1-5，要求獨立完成，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

2.利用所學(xué)知識解決實際問題，如計算某個物體的速度、加速度等，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

3.完成課本第XX頁的練習(xí)題6-10，要求學(xué)生通過小組合作完成，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作能力。

作業(yè)反饋：

1.及時批改學(xué)生的作業(yè)，指出存在的問題，如計算錯誤、概念理解不清等。

2.對于學(xué)生的錯誤，給出具體的修改建議，如如何正確計算、如何理解相關(guān)概念等。

3.對于學(xué)生的正確解答，給予肯定和鼓勵，提高學(xué)生的自信心。

4.對于學(xué)生的創(chuàng)新解法，給予表揚和鼓勵，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

5.對于學(xué)生的合作成果，給予評價和反饋，指出合作中的優(yōu)點和需要改進的地方。教學(xué)反思與改進這節(jié)課結(jié)束后，我進行了教學(xué)反思，以評估教學(xué)效果并識別需要改進的地方。

首先，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解平面向量的概念時存在一定的困難。有些學(xué)生難以理解向量的大小和方向，導(dǎo)致他們在解決實際問題時出現(xiàn)錯誤。因此，我計劃在未來的教學(xué)中更加注重向量的直觀表示，如使用圖形和動畫來幫助學(xué)生理解向量的概念。

其次，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用平面向量基本定理解決問題時也存在問題。有些學(xué)生對基本定理的理解不夠深入，導(dǎo)致他們在解決問題時無法正確應(yīng)用。因此，我計劃在未來的教學(xué)中通過更多的實際例子來幫助學(xué)生理解平面向量基本定理的應(yīng)用，并鼓勵學(xué)生在課堂上積極提問和參與討論。

此外，我還發(fā)現(xiàn)學(xué)生在進行向量運算時容易出現(xiàn)計算錯誤。有些學(xué)生在計算向量加法和數(shù)乘時容易出錯，導(dǎo)致他們的答案不準(zhǔn)確。因此，我計劃在未來的教學(xué)中加強對向量運算的訓(xùn)練，通過更多的練習(xí)題來幫助學(xué)生熟練掌握向量運算的技巧。

最后，我認為課堂上的互動和討論還不夠充分。有些學(xué)生在課堂上不太愿意發(fā)言和參與討論，導(dǎo)致課堂氛圍不夠活躍。因此，我計劃在未來的教學(xué)中采取更多的互動式教學(xué)方法，如小組討論、提問和回答等，以鼓勵學(xué)生積極參與課堂討論并提高他們的思維能力。典型例題講解例題1：

題目：已知向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，求向量a+向量b和向量a×向量b。

解答：

向量a+向量b=(2+1,3+2)=(3,5)

向量a×向量b=(2*2-3*3,2*3-3*1)=(-4,6)

例題2：

題目：已知向量a=(2,3)，求向量a的模長。

解答：

向量a的模長|a|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13

例題3：

題目：已知向量a=(2,3)，求向量a的方向角。

解答：

向量a的方向角α=arctan(3/2)

例題4：

題目：已知向量a=(2,3)，求向量a的點積與向量b=(1,2)。

解答：

向量a×向量b=(2*2-3*1,2*1-3*2)=(4-3,2-6)=(1,-4)

向量a×向量b=|a|*|b|*cos(α)

|a|=√13

|b|=√5

cos(α)=(2*1+3*2)/(|a|*|b|)=(2+6)/13√5=8/13

點積a·b=|a|*|b|*cos(α)=√13*√5*8/13=4

例題5：

題目：已知向量a=(2,3)，求向量a的叉積與向量b=(1,2)。

解答：

向量a×向量b=(2*2-3*1,2*1-3*2)=(4-3,2-6)=(1,-4)

向量a×向量b的模長=|a|*|b|*sin(α)

|a|=√13

|b|=√5

sin(α)=√((2*2+3*2)-(2*1+3*1)^2)/(|a|*|b|)

sin(α)=√(4+9-2^2-3^2)/(13√5)=√(13)/(13√5)

向量a×向量b的模長=√13*√5*√13/(13√5)=√13板書設(shè)計①重點知識點：向量的定義、向量的加法和數(shù)乘、平面向量基本定理、向量的模長和方向、向量的數(shù)量積（點積）、向量的叉積（外積）、向量的共線定理、向量的線性相關(guān)性、向量的基底、向量的線性空間。

②關(guān)鍵詞：向量、加法、數(shù)乘、基本定理、模長、方向、點積、叉積、共線、線性相關(guān)、基底、線性空間。

③句：向量是有大小和方向的量，向量的加法和數(shù)乘滿