北師版九年級數(shù)學(xué)上冊教案教學(xué)設(shè)計

北師版九年級數(shù)學(xué)上冊教案教學(xué)設(shè)計第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定第1課時菱形的性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的紙片，對折兩次，折出一個直角，剪一刀，得到一個直角三角形，再將它展開得到一個四邊形．觀察得到的四邊形的形狀，它是一個怎樣的平行四邊形呢？今天我們來學(xué)習(xí)這種特殊平行四邊形——菱形．【教學(xué)與建議】教學(xué)：動手操作，感知菱形特征．建議：讓學(xué)生“動”起來，然后提問學(xué)生學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)要從哪幾個方面著手(類比平行四邊形的性質(zhì)).●置疑導(dǎo)入準(zhǔn)備四根等長的木棒拼成平行四邊形(隨意)，使其一邊慢慢地平移．提出問題：整個變化過程中四邊形是否一直是平行四邊形？直到相鄰兩邊長度相等時，四邊形與原平行四邊形有什么不同？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過圖形的變化讓學(xué)生感知菱形是平行四邊形中的一個特例．建議：感知菱形的兩個關(guān)鍵點：①平行四邊形，②一組鄰邊相等．●類比導(dǎo)入(1)畫一個平行四邊形ABCD.(2)在AD邊上截取AE＝AB，過點E作EF∥AB，交BC于點F.(3)提問：四邊形ABFE是平行四邊形嗎？它與平行四邊形ABCD有什么聯(lián)系，有什么區(qū)別？【教學(xué)與建議】教學(xué)：這個導(dǎo)入可以類比菱形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．建議：教師示范畫圖或者至少安排一名學(xué)生在黑板上畫圖．命題角度1利用菱形的性質(zhì)求線段長或角的度數(shù)菱形可以看成是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．【例1】如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點，PE⊥AB于點E，且PE＝4cm，則點P到BC的距離是(D)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【例2】如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.(1)若∠BAO＝55°，則∠ABO＝__35__°；(2)若AB＝5，AC＝6，則BD＝__8__．

命題角度2用菱形的性質(zhì)求最小值在菱形中求最短路線時，可借助“對稱”將其轉(zhuǎn)化成兩點之間的最短距離問題，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，從而找到最短路線．【例3】如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，點M，N分別是AB，BC邊上的中點，則MP＋PN的最小值是(B)A.eq\f(1,2)B．1C．eq\r(2)D．2命題角度3利用菱形的性質(zhì)進行證明解決此類問題運用全等三角形或等量代換進行證明．【例4】(1)如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的點，DE＝DF.求證：∠1＝∠2.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD.在△ADF和△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠D＝∠D，,DF＝DE，))∴△ADF≌△CDE(SAS).∴∠1＝∠2.(2)如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于點E，連接BE.求證：∠AFD＝∠CBE.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，DC＝BC，∠DCE＝∠BCE.又∵CE＝CE，∴△DCE≌BCE(SAS).∴∠CDE＝∠CBE.∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠CBE.高效課堂教學(xué)設(shè)計1．理解菱形的概念，了解它與平行四邊形之間的關(guān)系．2．會運用菱形的性質(zhì)進行簡單的推理和計算．▲重點菱形的概念和性質(zhì)．▲難點菱形性質(zhì)的靈活應(yīng)用．A積B01000101◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)【問題1】復(fù)習(xí)平行四邊形的定義及性質(zhì)．【問題2】下面的平行四邊形中，有什么共同的特征嗎？在教師指導(dǎo)下，由學(xué)生討論回答，教師歸納評價．本節(jié)課我們一起走進菱形，去研究菱形的性質(zhì)與判定．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】菱形的性質(zhì)1．結(jié)合以上特殊平行四邊形的性質(zhì)，你能給菱形一個定義嗎？歸納：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．2．(1)菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？(2)你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流．3．做一做：請同學(xué)們用你手中的菱形紙片折一折，回答下列問題：(1)菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？(2)菱形中有哪些相等的線段？歸納：通過上面的折紙活動，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱軸互相垂直；它的四條邊相等．【探究2】如何推理證明“菱形的四條邊相等，對角線互相垂直”這兩個性質(zhì)呢？(多媒體出示)已知：如圖，在菱形ABCD中，AB＝AD，對角線AC與BD相交于點O.求證：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.思考：(1)菱形是特殊的平行四邊形，你能從平行四邊形的性質(zhì)證明菱形的四條邊相等嗎？(2)可以利用什么性質(zhì)來證明AC⊥BD.說出你的想法，然后小組交流．證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的對邊相等).又∵AB＝__AD__，∴AB＝BC＝CD＝AD；(2)∵AB＝AD，∴△ABD是__等腰__三角形．又∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝__OD__(菱形的對角線互相平分).在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD.即AC⊥BD.歸納：eq\x(\a\al(定理菱形的四條邊相等．,定理菱形的對角線互相垂直．))【探究3】定理的拓展延伸通過對“菱形的對角線互相垂直”的證明過程，你還能發(fā)現(xiàn)菱形的對角線有什么性質(zhì)？方法提示：由折疊過程或等腰三角形“三線合一”推出菱形對角線的性質(zhì)．歸納：菱形的每條對角線平分一組對角．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P3例1)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長．【方法指導(dǎo)】菱形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝__AD__(菱形的四條邊相等)，__AC__⊥__BD__(菱形的對角線互相垂直)，OB＝OD＝eq\f(1,2)__BD__＝__eq\f(1,2)×6__＝__3__(菱形的對角線互相平分).在等腰三角形ABD中，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是__等邊__三角形，∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，∴OA＝__eq\r(AB2－OB2)__＝__eq\r(62－32)__＝__3eq\r(3)__，∴AC＝__2OA__＝__6eq\r(3)__(菱形的對角線互相平分).例2如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延長線于點E.求證：DE＝eq\f(1,2)BE.【方法指導(dǎo)】連接BD，由四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可證得DE⊥BD，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得DE＝eq\f(1,2)BE.證明：連接BD.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝eq\f(1,2)BE.◆活動4隨堂練習(xí)1．下列性質(zhì)中，菱形不一定具有的性質(zhì)是(C)A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．是軸對稱圖形2．教材P4隨堂練習(xí)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝eq\f(1,2)BD.在Rt△AOB中，AB＝5cm，AO＝4cm，由勾股定理，得OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(52－42)＝3(cm)，∴BD＝2OB＝6(cm).3．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，對角線AC與BD相交于點O，AC＝5cm.(1)∠BAC＝__60°__，∠ABC＝__60°__；(2)對角線BD＝__5eq\r(3)__．◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會了哪些方法？先想一想，再分享給大家．教學(xué)說明：1.菱形的性質(zhì)定理：①菱形的四條邊相等；②菱形的對角線互相垂直．2．菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形，菱形的兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形．因此，有關(guān)菱形的問題，往往可轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形的問題來解決．作業(yè)：課本P4習(xí)題1.1中的T2、T3、T4.本節(jié)課重在探索菱形的性質(zhì)．在操作活動和觀察分析過程中發(fā)展學(xué)生的審美意識，進一步體會和理解說理的基本步驟，學(xué)會菱形的實際應(yīng)用．第2課時菱形的判定教師備課素材示例●情景導(dǎo)入如圖，將兩張等寬的紙條交叉，重合部分是四邊形ABCD，試說明它是什么特殊平行四邊形．【教學(xué)與建議】教學(xué)：動手操作增強學(xué)生的感性認(rèn)識，引入課題．建議：在學(xué)生操作時，教師要引導(dǎo)學(xué)生進行思考、分析．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入什么樣的四邊形是平行四邊形？它有哪些判定方法？邊：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．那么，菱形的判定有什么方法呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過復(fù)習(xí)平行四邊形知識導(dǎo)入課題，作好知識的鋪墊，激發(fā)學(xué)生對新知識的需求．建議：可以讓學(xué)生先回答問題，再小組討論菱形判定方法．●類比導(dǎo)入(1)如圖①所示，用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點處固定一個小釘子，做成一個可轉(zhuǎn)動的十字架，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形．任意轉(zhuǎn)動木條，圍成的四邊形總有什么特征？你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動木條，如圖②所示橡皮筋圍成的四邊形是菱形？你能證明你的猜想嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：類比操作感知菱形對角線的特征，引導(dǎo)學(xué)生得出菱形的判定方法．建議：在判定菱形的時候?qū)蔷€應(yīng)滿足：①當(dāng)確定四邊形是平行四邊形時，對角線互相垂直；②當(dāng)不確定四邊形是不是平行四邊形時，對角線互相垂直平分．命題角度1先判定是平行四邊形，再判定菱形判定方法：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【例1】(1)如圖，在?ABCD中，BD⊥AC，O為垂足，求證：?ABCD為菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO(平行四邊形的對角線互相平分).∵BD⊥AC，∴AD＝CD(中垂線的性質(zhì)).∴?ABCD是菱形(菱形的定義).(2)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由．解：四邊形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四邊形AEDF是菱形．命題角度2定義判定四邊形是菱形利用四邊相等的四邊形判定是菱形．【例2】如圖，AC＝8，分別以A，C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B和D.依次連接A，B，C，D，連接BD交AC于點O.判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由．解：四邊形ABCD為菱形．理由如下：由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四邊形ABCD為菱形．命題角度3補充條件證明四邊形是菱形此類試題綜合考查學(xué)生探索條件、倒序推理的能力．【例3】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長線上，且DE＝DF.給出下列條件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認(rèn)為這個條件是__①③__(填序號)．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．理解菱形的判定條件，掌握菱形的判定方法．2．會利用菱形的判定方法進行有關(guān)的推理和計算．▲重點菱形的判定方法．▲難點菱形判定定理的應(yīng)用．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)什么樣的四邊形是平行四邊形？它有哪些判定方法？邊：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．那么，菱形的判定有什么方法呢？◆活動2實踐探究交流新知【探究1】一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形1．菱形的定義是什么？菱形有哪些性質(zhì)？2．運用菱形的性質(zhì)進行菱形的判定，應(yīng)具備幾個條件？兩個條件：一是__平行四邊形__；二是__有一組鄰邊__相等．【探究2】菱形的判定定理1閱讀教材P5問題1：命題的證明需要哪些依據(jù)？問題2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？怎樣證明？(多媒體展示)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD.求證：?ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝__OC__．又∵AC⊥BD，∴直線BD是線段__AC__的__垂直平分線__，∴BA＝BC，∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).歸納：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【探究3】菱形的判定定理21．已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？你是怎么做的？思考并獨立完成后，與同伴交流．2．你所作的四邊形是菱形嗎？你能得到怎樣的結(jié)論？你能證明這個結(jié)論嗎？(多媒體展示)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四邊形ABCD是__平行四邊形__．又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是__菱形__．歸納：四邊相等的四邊形是菱形．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P6例2)已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝eq\r(5)，OA＝2，OB＝1.求證：?ABCD是菱形．【方法指導(dǎo)】利用菱形的性質(zhì)與判定及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是先根據(jù)勾股定理的逆定理得出△AOB為直角三角形．證明：在△AOB中，∵AB＝eq\r(5)，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).例2如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于點O，點E在AO上，且OE＝OC.(1)求證：∠1＝∠2；(2)連接BE，DE，判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由．【方法指導(dǎo)】小組討論?教師引導(dǎo)[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)]?學(xué)生展示?教師評價．解：(1)在△ABC和△ADC中，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；(2)四邊形BCDE是菱形．理由如下：連接BE，DE.∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.∵OE＝OC，∴四邊形BCDE是平行四邊形．又∵OC⊥BD，∴四邊形BCDE是菱形．◆活動4隨堂練習(xí)1．如圖，長方形ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD，AC，BC分別交于點E，O，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形．證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，EF⊥AC.∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,AO＝CO，,∠AOE＝∠COF，))∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四邊形AFCE是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形．2．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．解：(1)∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∵EF＝BE，∴EF＝BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，又∵BE＝BC，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2eq\r(3)，∴菱形的面積為4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：這節(jié)課你的主要收獲是什么？還有哪些困惑？教學(xué)說明：菱形判定定理的推導(dǎo)與證明．作業(yè)：課本P7習(xí)題1.2中的T1、T2、T3.經(jīng)歷菱形證明、猜想的過程，進一步提高學(xué)生的推理論證能力，體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法．在菱形的判定方法的探索與綜合應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動手能力及邏輯思維能力．第3課時菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入問題(1)菱形的對角線有什么位置關(guān)系？(2)菱形的對角線可以將菱形分割成什么樣的三角形？(3)知道AC，BD的長度，能求出菱形ABCD的面積嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：把菱形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進行研究．建議：讓學(xué)生明確菱形的對角線將菱形分成四個全等的三角形．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)菱形的概念：有一組__鄰邊相等__的平行四邊形叫做菱形．(2)菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的對角線互相垂直且每條對角線平分一組對角．(3)菱形的判定方法：①一組__鄰邊相等__的平行四邊形是菱形；②對角線__互相垂直__的平行四邊形是菱形；③四條邊__相等__的四邊形是菱形．【教學(xué)與建議】教學(xué)：復(fù)習(xí)菱形的性質(zhì)與判定，導(dǎo)入綜合應(yīng)用．建議：多媒體展示答案．命題角度1菱形對稱性的有關(guān)計算在菱形計算題中，可用“對稱”的方法找到相等的線段或角、圖形等．【例1】如圖，四邊形ABCD是菱形，點O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別是6和8時，則陰影部分的面積為__12__．命題角度2求菱形的面積菱形面積的兩種計算方法：①菱形的面積＝底×高；②菱形的面積等于對角線乘積的一半．【例2】(1)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝12，BD＝8，則菱形ABCD的面積與周長分別為(B)A．96，4eq\r(13)B．48，8eq\r(13)C．36，8eq\r(13)D．20，4eq\r(13)(2)若菱形的一個內(nèi)角為60°，一條較短的對角線長為6cm，則另一條對角線長為__6eq\r(3)__cm__，這個菱形的面積為__18eq\r(3)__cm2__．命題角度3利用菱形的性質(zhì)解決找規(guī)律問題一內(nèi)角為60°的菱形中較短對角線長等于菱形的邊長，較長對角線長等于邊長的eq\r(3)倍．若將菱形旋轉(zhuǎn)，則此規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)．【例3】如圖，在直角坐標(biāo)系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次，點B的落點依次為B1，B2，B3，B4，…，則點B2024的坐標(biāo)為__(1__350，0)__．命題角度4菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定，靈活解決菱形線段、周長、面積等問題．【例4】如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，AE與BF相交于點O，連接EF.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝eq\f(5,2)，求?ABCD的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形；(2)過點F作FG⊥BC于點G.∵四邊形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝eq\f(1,2)AE＝3，OB＝eq\f(1,2)BF＝4.∴BE＝eq\r(OB2＋OE2)＝5.∵S菱形ABEF＝eq\f(1,2)AE·BF＝BE·FG，∴FG＝eq\f(24,5).∴S?ABCD＝BC·FG＝(BE＋EC)·FG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,2)))×eq\f(24,5)＝36.高效課堂教學(xué)設(shè)計1．能靈活運用菱形的性質(zhì)定理及判定定理解決一些相關(guān)問題．2．掌握菱形面積的求法．3．經(jīng)歷菱形性質(zhì)定理及判定定理的應(yīng)用過程，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法．▲重點菱形的性質(zhì)與判定的理解和掌握．▲難點菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)提出問題：我們已經(jīng)研究了一個特殊的平行四邊形——菱形，它的定義是什么呢？有哪些性質(zhì)呢？(多媒體投影問題和答案)問題1：菱形的定義：__有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形__問題2：菱形的性質(zhì)：(邊)__對邊平行且四條邊相等__(角)__對角相等，鄰角互補__(對角線)__對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角__(對稱性)__既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形__◆活動2實踐探究交流新知【探究1】如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形嗎？為什么？【提示】先證明它是平行四邊形，再證明鄰邊相等．【探究2】若紙條的寬度是3，∠ABC＝60°，你會求菱形的面積嗎？你有幾種不同的方法？與同學(xué)交流．方法一：菱形是特殊的平行四邊形，可以用__底×高_(dá)_求菱形的面積．解：過點A作AE⊥BC于點E，在Rt△ABE中，∠B＝__60°__，AE＝__3__，設(shè)BE＝x(x＞0)，則AB＝__2x__．由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，即(2x)2＝32＋x2，解得x＝__eq\r(3)__，∴BE＝__eq\r(3)__，AB＝__2eq\r(3)__，S菱形ABCD＝BC·AE＝__2eq\r(3)×3__＝__6eq\r(3)__.方法二：菱形的對角線互相垂直，可以用__eq\f(1,2)AC·BD__，求菱形的面積．解：連接AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E.∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是__等邊__三角形．由方法(1)可知AB＝2eq\r(3)，∴AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，∴OA＝__eq\r(3)__．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝__3__，∴BD＝2OB＝2×__3__＝__6__．S菱形ABCD＝2S△ABC＝eq\f(1,2)AC·OB×2＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×__6__＝__6eq\r(3)__．歸納：菱形面積的計算公式：①如圖，S菱形ABCD＝AB·DE，即菱形的面積等于底乘高；②S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD，即菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P8例3)如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm.求：(1)對角線AC的長度；(2)菱形ABCD的面積．【方法指導(dǎo)】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，BE＝DE＝eq\f(1,2)BD，然后利用勾股定理計算出AE的長，進而可得答案；(2)將菱形分割成兩個三角形或四個直角三角形，進而求出整個菱形的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點E，∴∠AED＝90°(菱形的對角線互相垂直)，DE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)(菱形的對角線互相平分)，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(132－52)＝12(cm)，∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的對角線互相平分)；(2)菱形ABCD的面積＝△ABD的面積＋△CBD的面積＝2×△ABD的面積＝2×eq\f(1,2)×BD×AE＝2×eq\f(1,2)×10×12＝120(cm2).例2如圖，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點．(1)求證：四邊形BDEF是菱形；(2)AB＝10cm，求菱形BDEF的周長．【方法指導(dǎo)】(1)根據(jù)三角形的中位線定理及菱形的定義可證出結(jié)論；(2)根據(jù)中點的定義和菱形的四條邊相等可得菱形BDEF的周長．解：(1)∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，∴EF＝eq\f(1,2)BC，EF∥BC.同理可證DE＝eq\f(1,2)AB，DE∥AB.∴四邊形BDEF是平行四邊形．∵AB＝BC，∴EF＝DE，∴四邊形BDEF是菱形；(2)∵F是AB的中點，∴BF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)，∵四邊形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∴菱形BDEF的周長為4×5＝20(cm).◆活動4隨堂練習(xí)1．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點O，AC＝2cm，BD＝4cm，則菱形ABCD的面積是__4__cm2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，菱形ABCD的邊長是4cm，E是AB的中點，且DE⊥AB，則S菱形ABCD＝__8eq\r(3)__cm2.3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1∶2，周長是8cm.求：(1)兩條對角線的長度；(2)菱形的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1∶2，∴∠ABC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵菱形ABCD的周長是8cm，∴AB＝2cm，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝1(cm).∴OB＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)(cm)，AC＝2OA＝2×1＝2(cm).∴BD＝2OB＝2eq\r(3)(cm)；(2)S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)(cm2).◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：這節(jié)課的主要收獲是什么？教學(xué)說明：菱形性質(zhì)與判定的應(yīng)用，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系．作業(yè)：課本P9隨堂練習(xí)T1、T2習(xí)題1.3中的T1、T3.通過復(fù)習(xí)回顧菱形的性質(zhì)和判定，喚醒學(xué)生的記憶，然后給學(xué)生設(shè)置好一個個有梯度的問題，調(diào)動學(xué)生的求知欲，樹立勇于戰(zhàn)勝自我的信念．2矩形的性質(zhì)與判定第1課時矩形的性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入利用多媒體展示一組生活中的圖片，觀察圖中有哪些常見的平面圖形，從而引出矩形，進而探究矩形的定義及性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：從生活實例入手，感受生活中的矩形圖案．建議：選擇學(xué)生熟悉的圖片，也可以利用教室中可以看到的實物，比如黑板、門、窗等．●類比導(dǎo)入觀察思考，如圖(1)將兩長兩短的四根木條用小釘鉸合在一起，使等長的木條成為對邊，這樣就得到一個平行四邊形，即?ABCD；轉(zhuǎn)動這個四邊形使A′B′⊥B′C′時如圖(2)，就得到一個特殊的平行四邊形，你能說出這時平行四邊形A′B′C′D′是什么圖形嗎？有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，它具有平行四邊形所有的性質(zhì)，這節(jié)課來探究它的特殊性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過平行四邊形教具類比到矩形，體會矩形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系．建議：在展示平行四邊形教具的變化情況后讓學(xué)生說出矩形的特征．命題角度1利用矩形的性質(zhì)計算線段的長或角的度數(shù)矩形的對角線相等且互相平分．【例1】(1)如圖，矩形ABCD對角線AC＝8cm，∠AOD＝120°，則AB的長為__4__cm；eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝12，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長度為__3__．命題角度2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半利用直角三角形中線的性質(zhì)計算線段長度或面積等．【例2】(1)如圖，一根長am的木棍(AB)，斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行，請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離__不發(fā)生__(選填“發(fā)生”或“不發(fā)生”)變化．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，若AD＝6，DE＝5，則CD＝__8__．命題角度3利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，從而得到新的線段相等、角相等．【例3】(1)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE＝CF，連接OE，OF.求證：OE＝OF.證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.在△ODE和△OCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝CF，,∠EDO＝∠FCO，,OD＝OC，))∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴OE＝OF.(2)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且EF＝ED，EF⊥ED.求證：AE平分∠BAD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFE＝∠CED，,EF＝DE，,∠BEF＝∠CDE，))∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.高效課堂教學(xué)設(shè)計1．了解矩形的定義，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．2．發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并能運用矩形的性質(zhì)．▲重點矩形的概念及性質(zhì)．▲難點矩形的性質(zhì)在解決問題中的應(yīng)用．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)1．平行四邊形具有哪些性質(zhì)？2．菱形是特殊的平行四邊形，它具有哪些性質(zhì)？3．今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種特殊的平行四邊形——矩形，先來觀看平行四邊形角度變化的動畫．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】矩形的定義教師：同學(xué)們知道矩形特殊在什么地方嗎？我們來看一下矩形的定義：(課件展示變化的過程)歸納：有一個角是__直角__的__平行四邊形__叫做矩形(通常也叫長方形)．【探究2】矩形的性質(zhì)定理教師：同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：矩形是特殊的平行四邊形．教師：所以矩形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)．請同學(xué)們畫一個矩形，結(jié)合圖形探究一下，矩形除了具有一般平行四邊形的性質(zhì)外還有哪些特殊的性質(zhì)呢？學(xué)生動手畫圖，結(jié)合圖形思考并給出結(jié)論．教師結(jié)合學(xué)生給出的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生分別從邊、角、對角線三個方面來探究．我們說矩形是特殊的平行四邊形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形圖形)學(xué)生猜想：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等．教師：同學(xué)們給出了兩個特殊的性質(zhì)，對不對呢？我們一起來驗證一下：(課件展示)矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，對角線AC與DB相交于點O.求證：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)AC＝DB.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的對角相等)，AB∥DC(矩形的對邊平行).∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的對邊相等).在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB.歸納：eq\x(\a\al(定理矩形的四個角都是直角．,定理矩形的對角線相等．))【探究3】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．教師：下面請同學(xué)們結(jié)合矩形的性質(zhì)來填空．(課件展示)練一練：如圖，在矩形ABCD中：①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__．教師：請同學(xué)們看圖并思考：在Rt△ABC中，斜邊AC上的中線是__OB__，它與斜邊的關(guān)系是OB＝__eq\f(1,2)__AC.學(xué)生：斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB＝eq\f(1,2)AC.歸納：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P13例1)如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求這個矩形對角線的長．【方法指導(dǎo)】矩形性質(zhì)的應(yīng)用．解：方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝__BD__(矩形的對角線相等)，OA＝OC＝eq\f(1,2)__AC__，OB＝OD＝eq\f(1,2)__BD__(矩形的對角線互相平分)，∴OA＝__OD__．∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB＝90°(矩形的四個角都是直角)，∴BD＝2__AB__＝2×__2.5__＝5.故這個矩形的對角線的長為5.方法二：∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×2.5＝5.例2如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，AE＝BC.求證：CE＝EF.【方法指導(dǎo)】CE，EF分別是BC，AE線段上的一部分，若AF＝BE，則問題得以解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又∵AE＝BC，AD＝BC，∴AD＝AE，∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AF＝BE.∵EF＝AE－AF，EC＝BC－BE，∴EF＝EC.此題還可以連接DE，證明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC.◆活動4隨堂練習(xí)1．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB，點G，H分別在AD，BC上，連接BG，DH，且BG∥DH，當(dāng)eq\f(AG,AD)等于多少時，四邊形BHDG為菱形(C)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,9)D．eq\f(3,8)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為__5__．3．教材P13隨堂練習(xí)．解：∵OA＝4，∴BD＝AC＝2OA＝8，AD＝BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：這節(jié)課你學(xué)到了什么？還有什么困惑嗎？教學(xué)說明：本節(jié)課學(xué)習(xí)了矩形的概念和性質(zhì)定理，知道矩形的對角線互相平分且相等，并會靈活應(yīng)用．作業(yè)：課本P13習(xí)題1.4中的T1、T2、T3.本節(jié)課在平行四邊形及菱形的教學(xué)后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會自主探索的方法，自己動手猜想驗證矩形的一些特殊性質(zhì)，對于一些相關(guān)矩形的計算也學(xué)會應(yīng)用轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法來解決．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠接受有關(guān)矩形的知識．但是學(xué)生的動手操作能力還有待提高．第2課時矩形的判定教師備課素材示例●情景導(dǎo)入小華想做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是他用兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作成矩形，你有什么辦法可以驗證他做的是矩形相框？看看誰的方法可行．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過提出問題引發(fā)學(xué)生的思考，同時讓學(xué)生感受在實際生活中矩形判定的應(yīng)用．建議：先讓學(xué)生提前完成相框的制作．●置疑導(dǎo)入(1)有一個角是__直角__的__平行四邊形__是矩形．(2)矩形的性質(zhì)：①矩形的四個角都是__直角__，②矩形的對角線__相等__．(3)提問：①對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？②有三個角是直角的四邊形是矩形嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過對矩形定義的復(fù)習(xí)進一步感受什么是矩形，導(dǎo)入條件證明矩形的方法．建議：問題提出后給學(xué)生一定的思考時間，可以給出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)．命題角度1補充條件判定矩形如果給定平行四邊形，那么補充的條件應(yīng)是一個直角或?qū)蔷€相等．【例1】(1)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB.添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是(B)A．AB＝BEB．BE⊥DCC．DC＝BED．CE⊥DEeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝2，若要使?ABCD為矩形，則DB的長應(yīng)該為__4__．命題角度2利用三個角是直角的四邊形判定矩形證明三個角是直角就可以判定四邊形是矩形．【例2】如圖，?ABCD的四個內(nèi)角的平分線是分別相交于E，F(xiàn)，G，H，試說明四邊形EFGH是矩形．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分別是∠DAB，∠ABC的平分線，∴∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠HBA＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．命題角度3定義法判定矩形先證明是平行四邊形，再證明有一個角是直角就可以得到矩形．【例3】如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接AF，CE，AC，若CA＝CB，求證：四邊形AECF是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊CD.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴AE＝eq\f(1,2)AB，CF＝eq\f(1,2)CD，∴AE∥CF，且AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵CA＝CB，E為AB的中點，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形．命題角度4根據(jù)對角線判定矩形利用對角線相等的平行四邊形證明矩形．【例4】如圖，E為?ABCD外一點，AE⊥EC，BE⊥ED，對角線AC，BD交于點O，試說明?ABCD是矩形．解：連接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O為AC的中點，在Rt△ACE中，得OE＝eq\f(1,2)AC，同理OE＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD，∴?ABCD為矩形．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．理解并掌握矩形的判定方法．2．通過矩形定義、判定等知識解決簡單的證明題和計算題．▲重點能夠用綜合法證明矩形的判定定理并利用定義和定理進行證明．▲難點矩形的判定證明方法及運用．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)事例引入：小華想做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是他用兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制成矩形，你有什么辦法可以驗證他做的是矩形相框嗎？看看誰的方法可行？◆活動2實踐探究交流新知【探究1】定義證明教師：矩形的定義是什么？學(xué)生：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．歸納：用矩形的定義判定：一個平行四邊形有一個角是直角，這個圖形是矩形．【探究2】對角線相等的平行四邊形是矩形．(課件展示)如圖，在?ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC＝DB.求證：?ABCD是矩形．注意：學(xué)生思考、交流后，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)：給出的條件與矩形的定義相比，少了哪個條件？怎么辦？教師：分析后課件展示過程．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴?ABCD是矩形．歸納：對角線相等的平行四邊形是矩形．【探究3】有三個角是直角的四邊形是矩形如圖，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是矩形嗎？學(xué)生：思考、交流后嘗試給出證明過程．教師：學(xué)生展示過程后點評、規(guī)范相應(yīng)的步驟．證明：在四邊形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．歸納：有三個角是直角的四邊形是矩形．試一試：一位工人師傅在修理一個矩形桌面時，手上只有一把刻度尺，他怎樣才能判斷該桌面是個矩形？請說明如何操作，并畫圖寫出證明過程．如果允許換工具，你還有其他方法嗎？學(xué)生1：用刻度尺測量對角線，如果相等則說明桌面是矩形．學(xué)生2：也可以用角尺，測量有三個角是直角，即可說明桌面是矩形．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P15例2)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求?ABCD的面積．【方法指導(dǎo)】先根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”判定?ABCD是矩形，再求出BC的長，從而可得?ABCD的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴?ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)，∴∠ABC＝90°(矩形的四個角都是直角).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∴S?ABCD＝AB·BC＝4×4eq\r(3)＝16eq\r(3).例2如圖，BD，BE分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分別為點E，D.求證：四邊形AEBD是矩形．【方法指導(dǎo)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平角的定義，得到∠EBD＝90°，再結(jié)合AE⊥BE，AD⊥BD，可以確定四邊形的三個內(nèi)角都是直角，根據(jù)“有三個角是直角的四邊形是矩形”就可以證明此四邊形是矩形．證明：∵BD，BE分別是∠ABC，∠ABP的平分線，∴∠ABD＋∠ABE＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ABP)＝90°，即∠EBD＝90°.又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∴四邊形AEBD是矩形(有三個角都是直角的四邊形是矩形).◆活動4隨堂練習(xí)1．下列說法正確的是(D)A．一組對邊平行且相等的四邊形是矩形B．一組對邊平行且有一個角是直角的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形D．一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形2．如圖，?ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件__AC＝BD(答案不唯一)__(只添加一個即可)，使?ABCD是矩形．3．如圖，?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E，F(xiàn)，G，H四點．求證：四邊形EFGH是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵?ABCD的四個內(nèi)角平分線分別相交于E，F(xiàn)，G，H四點，由角平分線性質(zhì)，得∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠ABH＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠ABH＝eq\f(1,2)(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：你這節(jié)課的主要收獲是什么？學(xué)習(xí)了幾種矩形的判定方法？教學(xué)說明：有一個角是直角的平行四邊形是定義判定．定理判定：1.對角線相等的平行四邊形是矩形．2．有三個角是直角的四邊形是矩形．作業(yè)：課本P16隨堂練習(xí)、習(xí)題1.5中的T1、T3.本節(jié)課是以體現(xiàn)學(xué)生主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的探索——猜想——證明的思維能力和綜合論證能力，提高學(xué)生的歸納、概括及轉(zhuǎn)化的思維能力為目的設(shè)計的，在教學(xué)中調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生能夠在老師的啟發(fā)、引導(dǎo)下積極地去探求——思考——歸納總結(jié)，合作交流完成學(xué)習(xí)目標(biāo)．第3課時矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入分小組歸納平行四邊形、菱形和矩形的性質(zhì)定理和判定定理．它們都有一些特殊的性質(zhì)，每一種圖形都有對應(yīng)的線段相等、對應(yīng)的角相等．線段和角之間的關(guān)系不是孤立的，它們可以相互轉(zhuǎn)化．因此，我們要學(xué)會靈活地運用這些知識，利用它們不斷的化未知為已知，進而解決相應(yīng)的問題．下面我們就來試一試．【教學(xué)與建議】教學(xué)：從知識的作用入手，讓學(xué)生感受到所給特殊圖形中隱含的條件．建議：結(jié)合具體問題教學(xué)生去思考、分析問題．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)矩形的定義：(2)矩形的性質(zhì)：①對邊平行且相等；②四個角都是直角；③對角線互相平分且相等；④既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．推理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．(3)矩形的判定方法：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了要記住這些概念和定理，更重要的是能靈活地運用它們解決實際問題．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過對矩形定義、性質(zhì)和判定的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生對知識及其生成的過程進行回憶、鞏固．建議：給學(xué)生一定時間思考相關(guān)定理的生成過程．命題角度1利用矩形的性質(zhì)進行相關(guān)的計算和證明由矩形的性質(zhì)得到相等的線段或角．【例1】如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形；(2)∵四邊形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝eq\r(32＋42)＝5.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA.又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.命題角度2矩形中的折疊問題矩形中折疊問題的本質(zhì)：(1)折疊前后兩部分是全等的；(2)利用軸對稱的性質(zhì)；(3)找出隱含的折疊前后的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．【例2】(1)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF.若AB＝4，BC＝8，則D′F的長為(C)A．2eq\r(5)B．4C．3D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處，F(xiàn)C交AD于點E.若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積是__10__．命題角度3矩形中最值問題通常利用矩形的軸對稱性作對稱點，將不同線段轉(zhuǎn)化到同一直線或同一三角形中．【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝eq\f(1,2)S△PCD，則PC＋PD的最小值為__4eq\r(5)__．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．運用矩形的性質(zhì)進行相關(guān)計算和證明．2．運用矩形的判定定理解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題．▲重點矩形的性質(zhì)及判定的運用．▲難點綜合運用矩形的性質(zhì)及判定定理．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)(出示課件)問題1：矩形的性質(zhì)及判定有哪些？問題2：如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1＋∠2的度數(shù)是__90°__．問題3：在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB＝__60°__，若OA＝3cm，則CD＝__3__cm__．◆活動2實踐探究交流新知(多媒體出示)如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE.求AE的長．展示問題：問題1：矩形有幾個性質(zhì)？問題2：矩形的對角線__相等__．問題3：AE，AD在Rt△AED中，且AD＝6，可以找__∠ADB__＝30°.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝DO＝eq\f(1,2)__BD__(矩形的對角線相等且互相平分)，∠BAD＝90°(矩形的四個角都是__直角__).∵ED＝3BE，∴BE＝__OE__．又∵AE⊥BD，∴AB＝__AO__，∴__AB__＝__AO__＝__BO__，即△ABO是__等邊__三角形，∴∠__ABO__＝60°，∴∠ADB＝90°－__∠ABO__＝90°－60°＝30°.在Rt△AED中，∵∠ADE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)__AD__＝eq\f(1,2)×__6__＝__3__．歸納：綜合應(yīng)用矩形的性質(zhì)定理，要注意根據(jù)題意靈活選擇性質(zhì)定理．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P17例4)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形．【方法指導(dǎo)】矩形的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠CAN＝eq\f(1,2)∠CAM，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝eq\f(1,2)(∠BAC＋∠CAM)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.在△ABC中，∵AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°，∴四邊形ADCE是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形).例2如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．(1)求證：四邊形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面積．【方法指導(dǎo)】矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用．解：(1)∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵四邊形ADBE是平行四邊形，∴四邊形ADBE是矩形；(2)∵BC＝6，AD是BC邊上的中線，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝3.在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，由勾股定理，得AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(52－32)＝4.∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.◆活動4隨堂練習(xí)1．如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD＝60°，AD＝3，則AC的長是(C)A．2B．4C．6D．8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且DE＝CF，連接OE，OF.若OE＝5，則OF＝__5__．3．如圖，在四邊形ABCD中，H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連接BE，CF.(1)請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是__BE∥CF(答案不唯一)__(添加一個即可)，并證明；(2)在問題(1)中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形BFCE是矩形？請說明理由．解：(1)∵H是BC的中點，∴BH＝CH.∵BE∥CF，∴∠EBH＝∠BCF.又∵∠BHE＝∠CHF，∴△BEH≌△CFH(ASA)；(2)BH＝EH.理由如下：連接EC，BF.∵△BEH≌△CFH，∴BH＝CH，EH＝FH，∴四邊形BFCE是平行四邊形，又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四邊形BFCE是矩形．◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：這節(jié)課你的主要收獲是什么？教學(xué)說明：綜合運用矩形的性質(zhì)和判定解決數(shù)學(xué)問題．作業(yè)：課本P18隨堂練習(xí)、P19習(xí)題1.6中的T3、T4、T5.本節(jié)課在復(fù)習(xí)前一節(jié)課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，利用矩形的性質(zhì)和判定解決具體問題，在例題的選擇和設(shè)計上，注重知識向能力的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，同時訓(xùn)練學(xué)生清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和分析問題的能力．3正方形的性質(zhì)與判定第1課時正方形的性質(zhì)教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入在小學(xué)學(xué)過有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性質(zhì)呢？(1)邊的性質(zhì)：__正方形的四條邊都相等__；(2)角的性質(zhì)：__正方形的四個角都是直角__；(3)對角線的性質(zhì)：__正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角__；(4)對稱性：__軸對稱、中心對稱__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：歸納矩形、菱形的性質(zhì)探求正方形的性質(zhì)．建議：通過演示操作，發(fā)現(xiàn)正方形與矩形、菱形之間存在的特殊與一般的關(guān)系．●情景導(dǎo)入做一做：用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形．學(xué)生在動手中對正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識，并感知正方形與矩形的關(guān)系．今天我們先來學(xué)習(xí)正方形的有關(guān)知識．【教學(xué)與建議】教學(xué)：實際操作從矩形中折疊出正方形，感知正方形．建議：借助圖形的特征從邊、角、對角線、對稱性上分析．命題角度1利用正方形的性質(zhì)解決線段、角度的問題正方形的四條邊都相等，正方形的四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分．【例1】(1)如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，BE＝BC，則∠BEC為(C)A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別于正方形的頂點B，D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E.若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__13__．命題角度2利用正方形的性質(zhì)求解與面積有關(guān)的問題利用正方形軸對稱性可以將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【例2】(1)用兩條直線四等分正方形的面積，不同的畫法有(D)A．一種B．兩種C．三種D．無數(shù)種(2)如圖，正方形ABCD的邊長為1，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J.則圖中陰影部分的面積等于(B)A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)命題角度3利用正方形的性質(zhì)求最小值在矩形或正方形中，可以根據(jù)垂線段最短或根據(jù)兩點之間線段最短求最小值．【例3】(1)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點M為對角線BD上一動點，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為(B)A．4eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．1eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點，P為AC上的一個動點，PF＋PE的最小值是__eq\r(17)__．命題角度4正方形與其他圖形的組合綜合運用正方形、矩形、三角形等圖形的性質(zhì)，考查綜合運用所學(xué)知識推理論證的能力．【例4】(1)如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點的連線EF為邊的正方形EFGH的周長為(B)A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\r(2)＋1D．2eq\r(2)＋1(2)以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是__30°或150°__．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)定理．2．會利用正方形的性質(zhì)進行相關(guān)計算和證明．▲重點探索正方形的性質(zhì)定理．▲難點正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)顯示投影片：展示生活中有關(guān)正方形的圖片(多幅幻燈片)．教師活動：操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的問題：1．同學(xué)們觀察顯示的圖片后，有什么聯(lián)想？正方形的四條邊有什么關(guān)系？四個角呢？2．正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？3．正方形具有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生活動：觀察屏幕上所展示的生活中的正方形圖片，進行聯(lián)想．易知：正方形的四條邊都相等(小學(xué)已學(xué)過)；正方形的四個角都是直角(小學(xué)已學(xué)過)．試驗活動：教師拿出矩形按下圖折疊，然后展示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要矩形有一組鄰邊相等，這樣的矩形就是正方形；同樣，教師拿出活動菱形框架，框架變形過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要菱形有一個內(nèi)角為90°，這樣的特殊菱形也是正方形．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】正方形的概念問題：什么樣的圖形叫做正方形？歸納：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．有一個角是直角的__菱形__是正方形．有一組__鄰邊相等__的矩形是正方形．【探究2】正方形的性質(zhì)組織學(xué)生聯(lián)想正方形還具有哪些性質(zhì)，板書畫出一個正方形，如下圖：學(xué)生活動：觀察、聯(lián)想到它是矩形，所以具有矩形的所有性質(zhì)；它又是菱形，所以具有菱形的一切性質(zhì)．歸納：正方形的性質(zhì)：(1)邊的性質(zhì)：對邊__平行且相等__，四條邊都__相等__．(2)角的性質(zhì)：四個角都是__直角__．(3)對角線的性質(zhì)：兩條對角線__互相垂直平分__且__相等__，每條對角線__平分一組對角__．(4)對稱性：是__軸對稱圖形__，有__四__條對稱軸，也是__中心__對稱圖形．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P21例1)如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE＝CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【方法指導(dǎo)】正方形的性質(zhì)及三角形全等的應(yīng)用．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個角都是直角)，∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF；(2)延長BE交DF于點M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，∴∠CBE＋∠F＝90°，∴∠BMF＝90°，∴BE⊥DF.例2如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，連接AC，BD相交于點O，CE平分∠ACD交BD于點E，求DE的長．【方法指導(dǎo)】過點E作EF⊥DC于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理即可求出DE的長．解：過點E作EF⊥CD于F.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴EF＝DF.∵CE平分∠ACD交BD于點E，∴EO＝EF.又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，∴Rt△CEO≌Rt△CEF.∵正方形ABCD的邊長為1，∴AC＝eq\r(2)，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，∴CF＝CO＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝DC－CF＝1－eq\f(\r(2),2)，在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(2)－1.◆活動4隨堂練習(xí)1．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(A)A．對角線互相平分B．對角線相互垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直平分且相等2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為(C)A．14B．15C．12D．173．已知正方形ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A的坐標(biāo)為(0，1)，點B的坐標(biāo)為(0，0)，則點C，D的坐標(biāo)分別為__(1，0)__和__(1，1)__．(只寫一組)4．如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊DC，BC上，AG⊥EF，垂足為G，且AG＝AB，求∠EAF的度數(shù)．解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠FAG.同理可證：∠GAE＝∠DAE，∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°.◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動：你這節(jié)課的收獲是什么？教學(xué)說明：正方形的性質(zhì)：四個角都是直角、四條邊都相等，對角線互相垂直平分且相等，靈活運用其性質(zhì)和定義解決數(shù)學(xué)問題．作業(yè)：課本P22習(xí)題1.7中的T1、T2、T3、T4.本節(jié)課讓學(xué)生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基礎(chǔ)上，小組討論得出正方形的性質(zhì)，有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)．通過學(xué)生的動手操作，討論如何剪成正方形，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和思維能力．第2課時正方形的判定教師備課素材示例●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等，且有一個角為直角的__平行四邊形__叫正方形．(2)正方形的性質(zhì)：①__四__條邊都__相等__；②__四__個角都是__直角__；③對角線__相等__，并且互相__垂直平分__，每條對角線__平分__一組對角；④是__軸對稱__圖形，且有__四條__對稱軸．(3)正方形是特殊的__矩形__，特殊的__菱形__，也是特殊的__平行四邊形__，因而正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．(4)討論：正方形的判定方法有哪些？正方形的判定既判定四邊形是__矩形__，又判定四邊形是__菱形__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過復(fù)習(xí)正方形的定義和性質(zhì)，導(dǎo)入學(xué)習(xí)正方形的判定．●類比導(dǎo)入我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請?zhí)钊胂聢D中．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過填寫，讓學(xué)生理解正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形．建議：類比平行四邊形、矩形、菱形與正方形的聯(lián)系與區(qū)別．命題角度1添加條件判定正方形結(jié)合四邊形已知條件進行推理判定正方形．【例1】(1)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，下列四種選法錯誤的是(B)A．①②B．②③C．①③D．③④(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需要增加一個條件是__AC＝BD(或AB⊥BC等)__(填一個即可)．命題角度2利用矩形判定四邊形是正方形在判定一個矩形是正方形時，找到對角線互相垂直或有一組鄰邊相等即可．【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N.(1)求證：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．證明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四邊形MPND是正方形．命題角度3利用菱形判定四邊形是正方形在判定一個菱形是正方形的時候，證明有一個直角或?qū)蔷€相等即可．【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA＝2，OB＝2.∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(2).同理可求得AD＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，DC＝2eq\r(2).∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四邊形ABCD為菱形．∵BD＝AC＝4，∴四邊形ABCD為正方形．命題角度4特殊四邊形的綜合應(yīng)用正方形是一種特殊的四邊形，利用正方形的性質(zhì)探索線段、角之間的問題．【例4】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一