2024-2025學(xué)年廣西名校高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣西名校高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={1,2a+1}，B={3,a?1,3a?2}，若A?B，則a=(

)A.?2 B.?1 C.1 D.32.若復(fù)數(shù)z是方程x2?4x+5=0的一個(gè)根，則|z|=(

)A.3 B.3 C.5 D.3.在平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠A=45°，DE=2EC，則A.1 B.32 C.2 D.4.已知sin(π4+α)=3sin(πA.?45 B.?35 C.5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2+aA.634 B.63 C.312 6.已知a=e4+1e，b=log32，c=log5A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a7.已知點(diǎn)P在拋物線M：y2=4x上，過(guò)點(diǎn)P作圓C：(x?2)2+y2=1的切線，若切線長(zhǎng)為2A.5 B.29 C.6 D.8.根據(jù)公式sin3α=3sinα?4sin3α，sin10°的值所在的區(qū)間是A.(17,16) B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某品牌新能源汽車2024年上半年的銷量如下表：月份t12345銷量y(萬(wàn)輛)11.712.413.813.214.6根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.銷量的極差為3.6 B.銷量的平均數(shù)為13.5

C.銷量的第40百分位數(shù)為13.8 D.銷量的中位數(shù)為13.210.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?π6A.當(dāng)ω=2時(shí)，?π是f(x)的一個(gè)周期

B.將f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是奇函數(shù)，則ω的最小值為2

C.若存在x1,x2∈[?π6,π6ω](x1≠11.已知雙曲線C：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為α的直線l與雙曲線的右支交于A、A.雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為3

B.π3<α<2π3

C.△ABF1的周長(zhǎng)的最小值為16

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=sin2x+3x+1，且f(a)=4，則f(?a)=______．13.將一個(gè)底面半徑為2，高為3的圓柱形鐵塊熔鑄成一個(gè)實(shí)心鐵球，則該實(shí)心鐵球的表面積為_(kāi)_____．14.已知有A，B兩個(gè)盒子，其中A盒中有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，B盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.甲從A盒，乙從B盒各隨機(jī)抽取一個(gè)球，若兩球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入A盒中，若兩球不同色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入B盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，A盒中有8個(gè)球的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，已知4S=3(b2?a2?c2)．

(1)求∠B的大??；

(2)16.(本小題15分)

某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個(gè)電子元件組裝而成，這三個(gè)電子元件在生產(chǎn)過(guò)程中的次品率均為18.組裝過(guò)程中不會(huì)造成電子元件的損壞，當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)電子元件都不是次品時(shí)，產(chǎn)品能正常工作，否則該產(chǎn)品為次品．

(1)設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望；

(2)設(shè)A=“任取一件產(chǎn)品為次品”，B=“該產(chǎn)品僅有一個(gè)電子元件是次品”，求P(B|A)；

(3)安排質(zhì)檢員對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢查，確保沒(méi)有次品流入市場(chǎng).現(xiàn)有兩種方案，

方案一：安排三個(gè)質(zhì)檢員先行檢測(cè)這三個(gè)元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線；

方案二：安排一個(gè)質(zhì)檢員檢測(cè)成品，若發(fā)現(xiàn)次品，則進(jìn)行電子元件的更換，保證產(chǎn)品能正常工作.更換電子元件的費(fèi)用為15元/個(gè)．

已知每位質(zhì)檢員的月工資為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品80017.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PBD⊥底面ABCD，PB=PD=2，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形．

(1)求證：PA=PC；

(2)E是棱PA上一點(diǎn)，若AC與平面BDE所成角為60°，求四棱錐E?ABCD的體積．18.(本小題17分)

橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為223，過(guò)點(diǎn)P(a,b)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，|MN|=25．

(1)求橢圓E的方程．

(2)設(shè)A，B分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線AB，NB19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax?1(a∈R)，且x軸是曲線y=f(x)的切線，

(1)求f(x)的最小值；

(2)證明：1n+1+1n+2+…+12n<ln2(n∈N?)；參考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9.AB

10.ABC

11.BCD

12.?2

13.12π

14.177015.解：(1)由4S=3(b2?a2?c2)，

可得4×12acsinB=3(b2?a2?c2)，

由余弦定理，可得sinB=?3cosB，

即tanB=?3，又B∈(0,π)，

所以B=2π3；

(2)因?yàn)锳B⊥BE16.解：(1)根據(jù)題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，

易知P(X=0)=(1?18)3=343512，P(X=1)=C31X0123P343147211可得期望值為E(X)=0×343512+1×147512+2×21512+3×1512=192512=38；

(2)由(1)可知P(A)=1?343512=169512，P(AB)=147512，

則P(B|A)=P(AB)P(A)=147512169512=147169；17.(1)證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OP，

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以AC⊥BD，且點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，

又平面PBD⊥底面ABCD，平面PBD∩底面ABCD=BD，AC?平面ABCD，

所以AC⊥平面PBD，

因?yàn)镺P?平面PBD，所以AC⊥OP，

又點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

所以PA=PC．

(2)解：因?yàn)镻B=PD，O是BD的中點(diǎn)，所以BD⊥OP，

結(jié)合(1)可得，OA，OB，OP兩兩垂直，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，C(?1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,?1,0)，P(0,0,3)，

所以CA=(2,0,0)，DB=(0,2,0)，PA=(1,0,?3)，

設(shè)PE=λPA=(λ,0,?3λ)，λ∈[0,1]，

則DE=DP+PE=(0,1,3)+(λ,0,?3λ)=(λ,1,3?3λ)，

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，則n?DB=2y=0n?18.解：(1)由題意得e=ca=1?b2a2=223，所以ba=13，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(a,b)的直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，直線斜率為ba=13，

則此時(shí)直線l的方程為y=13x，設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)M(x0,y0)，

不妨取x0>0，則N(?x0,?y0)，且y0=13x0①，

因?yàn)閨MN|=25，所以x02+y02=5②，

由①②可得x0=322，y0=22，M(322,22)，

所以92a2+12b2=1ba=13，解得a=3b=119.(1)解：由f(x)=lnx+ax?1(a∈R)得f′(x)=1x?ax2，

因切線方程為y=0，令f′(x)=1x?ax2=0，得x=a，故可知切點(diǎn)為(a,0)，

所以f(a)=lna+aa?1=0，得a=1，

故f(x)=lnx+1x?1，f′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故f(x)的最小值為f(1)=0．

(2)證明：由(1)可知f(x)=lnx+1x?1