江蘇省常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合P={x|y=x+1}，Q={y|y=xA.P∪Q=R B.Q?P C.P∩Q=? D.P?Q2.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?4,3)，則sin3π2+2αA.?2425 B.?725 C.3.已知向量a,b滿足a=4,b=10，且a在b上的投影向量為?15bA.π6 B.π3 C.2π34.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”在“進(jìn)步率”和“退步率”都是1%的前提下，我們可以把1+1%365看作是經(jīng)過365天的“進(jìn)步值”，1?1%365看作是經(jīng)過365天的“退步值”，則大約經(jīng)過(

)天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的100倍(參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043A.100 B.230 C.130 D.3655.已知sin(α?β)=13，cosαsinA.79 B.19 C.?16.已知函數(shù)fx=13x2?ax在區(qū)間A.?∞,2 B.?∞,0 C.2,+∞ D.0,+∞7.已知函數(shù)fx+1是R上的偶函數(shù)，且fx+2+f2?x=0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=loA.7 B.8 C.9 D.108.已知函數(shù)fx滿足f1=12，2fA.12 B.14 C.?1二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X～N2,4，則以下選項(xiàng)正確的是(

)A.若Y=X+2，則EY=4 B.若Y=2X+4，則DY=8

C.10.下列式子結(jié)果為?3的是(

)①tan②2sin③1+④1?tanA.① B.② C.③ D.④11.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得fx0=f′x0，則稱xA.f(x)=x2 B.f(x)=e?x C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線y=ex在x=0處的切線恰好是曲線y=lnx+a的切線，則實(shí)數(shù)a=13.已知函數(shù)f(x)=6sinx+sin3x的圖象y=f(x)與直線y=m在[0,2π]上有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為14.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0，ω>0，?π2<φ<π2的部分圖象如下圖所示，若f(x)在區(qū)間(?m,m)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知α,β都是銳角，且sinα=35(1)求sinα?β(2)求cosβ的值．16.(本小題12分)

第三次人工智能浪潮滾滾而來，以C?atGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.C?atGPT所用到的數(shù)學(xué)知碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.C?atGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于C?atGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：

現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子(如圖)，其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球．

(1)求摸出的球是黑球的概率；

(2)若已知摸出的球是黑球，請(qǐng)用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大．

17.(本小題12分)已知三棱錐P?ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=2,PA=AB=1，E為PB的中點(diǎn)，Q為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．(1)證明：AE⊥CP；(2)當(dāng)二面角A?PQ?C余弦值大小為64時(shí)，求BQ18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x2+aln(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍;(3)若f(x)+1≥g(x)+alnx對(duì)任意x≥1恒成立，求a19.(本小題12分)設(shè)n為大于3的正整數(shù)，數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，從中選取m項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，記為bm，如果對(duì)于任意的ii=1,2,?,m?2，均有bi?bi+1(1)若數(shù)列an為1,2,3,4,m=4，寫出an所有的(2)如果數(shù)列an公差為1,m=2k+1，證明：b(3)記“從數(shù)列an中選取m項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列bm為數(shù)列an的n?數(shù)列”的概率為Pm，證明：參考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.ABC

11.AC

12.2

13.5,314.5π615.解：(1)因?yàn)棣?β∈0,π2又因?yàn)閠anα?β=?1利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sin2α?β解得sinα?β(2)由(1)可得，cosα?β因?yàn)棣翞殇J角，sinα=35所以cos=4

16.解：(1)記事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，

則P(A)=P(A?)=12,P(B|A)=26=13,P(B|A?)=25，

由全概率公式得摸出的球是黑球的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)17.解(1)因?yàn)?/p>

PA⊥

平面

ABC,BC?

平面

ABC

，所以

PA⊥BC

，又

AB⊥BC

，所以

BC⊥

平面

PAB

，所以

BC⊥AE

，又

E

為

PB

的中點(diǎn)，所以

AE⊥PB

，所以

AE⊥

平面

PBC

，因?yàn)?/p>

PC?

平面

PBC

，所以

AE⊥CP

；(2)建系如圖，設(shè)

BQ=t,B0.0,0,Q取平面

APQ

的法向量

m=1,0,0設(shè)平面

CPQ

的法向量

n=x,y,z因?yàn)?/p>

QC=3,?t,0,PC=3,?1,?1

，由由

cos?m,n?=m解得

t=3

，或

t=32

，故

BQ=3

或

18.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=2x+ax?(a+2)=2x2?(a+2)x+ax=(x?1)(2x?a)x，

當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0,1)時(shí)f′(x)<0;x∈(1,+∞)時(shí)f′(x)>0;

當(dāng)a=2時(shí)，x∈(0,+∞)時(shí)f′(x)≥0;

當(dāng)0<a<2時(shí)，x∈(a2,1)時(shí)f′(x)<0;x∈(0,a2)∪(1,+∞)時(shí)f′(x)>0;

當(dāng)a>2時(shí)，x∈(1,a2)時(shí)f′(x)<0;x∈(0,1)∪(a2,+∞)時(shí)f′(x)>0;

綜上，a≤0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是(0,1)，遞增區(qū)間是(1,+∞);

a=2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(0,+∞)，無遞減區(qū)間;

0<a<2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(0,a2)和(1,+∞)，遞減區(qū)間是(a2,1)?;

a>2時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)和(a2,+∞)，遞減區(qū)間是(1,a2)；

(2)令g(x)=0得xlnx?x=a?1，

設(shè)?(x)=xlnx?x，則?′(x)=lnx，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?′(x)<0，?(x)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?′(x)>0，?(x)遞增，

?xmin=?1=?1，

因?yàn)閤→0時(shí)，?(x)→0，x→+∞時(shí)，?(x)→+∞，

要使直線y=a?1與函數(shù)?(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則?1<a?1<0，即0<a<1，故a的取值范圍是(0,1)，

故a的取值范圍是0,1；

(3)由f(x)+1≥g(x)+alnx得x2?x?xlnx≥a(x?1)，

當(dāng)x=1時(shí)上式顯然恒成立，

當(dāng)x>1時(shí)可轉(zhuǎn)化為x2?x?x19.解：(1)2，3，1，4；3，2，4，1(2)對(duì)于

m

項(xiàng)的數(shù)列

an

一個(gè)

n

—數(shù)列

bm因?yàn)閷?duì)于

ii=1,2,?,m?2

，均有

bi?bi+1bi?bi+2<0

，所以，

所以，

bm?1,bm

為考慮

bm

中去掉

bm

后的數(shù)列

b同理若數(shù)列

bm?1

為數(shù)列

an

的一個(gè)

n

一數(shù)列，則有

bm?2,b