2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運算課時素養(yǎng)檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十八復(fù)數(shù)的乘、除運算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分)1.(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)z=i(2+i),則QUOTE=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】選D.由z=i(2+i)=-1+2i,則QUOTE=-1-2i.2.(2024·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)QUOTE的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.復(fù)數(shù)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以z的共軛復(fù)數(shù)QUOTE=QUOTE-QUOTEi,QUOTE對應(yīng)的點為QUOTE,位于第四象限.3.若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在其次象限,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-1,+∞)【解析】選B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因為該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在其次象限,所以QUOTE所以a<-1.4.若QUOTE+QUOTE=2,則n的值可能為()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.因為QUOTE=i,QUOTE=-i,所以in+(-i)n=QUOTEk∈N+,所以n的值可能為4.5.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1和z2對應(yīng)的點分別是A和B,則QUOTE=()A.QUOTE+QUOTEi B.QUOTE+QUOTEiC.-QUOTE-QUOTEi D.-QUOTE-QUOTEi【解析】選C.由題圖知,z1=-2-i,z2=i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi.6.若一個復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則稱此復(fù)數(shù)為“志向復(fù)數(shù)”.已知z=QUOTE+bi(a,b∈R)為“志向復(fù)數(shù)”,則()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=0【解析】選D.z=QUOTE+bi=QUOTE+bi=QUOTE+QUOTEi.由題意,得QUOTE=-QUOTE-b,即3a+5b=0.二、填空題(每小題4分,共8分)7.若復(fù)數(shù)z滿意:z·(1+i)=2,則|z|=________.

【解析】因為z·(1+i)=2,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i,故|z|=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·江蘇高考)若復(fù)數(shù)z滿意i·z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實部為________.

【解析】設(shè)z=a+bi,則i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,實部為2.答案:2三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知a∈R,復(fù)數(shù)z=QUOTE.(1)若z為純虛數(shù),求a的值;(2)在復(fù)平面內(nèi),若QUOTE對應(yīng)的點位于其次象限,求a的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,因為z為純虛數(shù),所以QUOTE=0,且-QUOTE≠0,則a=1.(2)由(1)知,QUOTE=QUOTE+QUOTEi,則點QUOTE位于其次象限,所以QUOTE,得-1<a<1.所以a的取值范圍是(-1,1).10.若f(z)=2z+QUOTE-3i,f(QUOTE+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因為f(z)=2z+QUOTE-3i,所以f(QUOTE+i)=2(QUOTE+i)+(QUOTE)-3i=2QUOTE+2i+z-i-3i=2QUOTE+z-2i.又因為f(QUOTE+i)=6-3i,所以2QUOTE+z-2i=6-3i.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由復(fù)數(shù)相等的定義,得QUOTE解得QUOTE所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.設(shè)z=QUOTE,則z的共軛復(fù)數(shù)為()A.-1+3i B.-1-3iC.1+3i D.1-3i【解析】選D.由z=QUOTE=QUOTE=1+3i,得QUOTE=1-3i.2.已知復(fù)數(shù)z滿意z·i2020=1+i2019(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A.-1 B.1 C.-i D.i【解析】選A.因為i4=1,所以i2020=i4×505=1,i2019=i4×504+3=-i,則z·i2020=1+i2019化為z=1-i,所以z的虛部為-1.3.(多選題)下列敘述正確的是()A.方程3x2-2x+1=0的兩個根互為共軛虛數(shù)B.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i3-QUOTE=iC.a=1是復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)為實數(shù)的充要條件D.a=6是復(fù)數(shù)QUOTE為純虛數(shù)的充要條件【解析】選ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,兩個根為共軛虛數(shù),選項A正確.i3-QUOTE=-i-QUOTE=-i-QUOTE=-i+2i=i,選項B正確.因為復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i為實數(shù)的充要條件是a=±1,所以a=1是復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)為實數(shù)的充分不必要條件,選項C不正確.因為QUOTE=QUOTE,所以當(dāng)a=6時,復(fù)數(shù)QUOTE為純虛數(shù),反之成立,選項D正確.4.已知集合M=QUOTE,i是虛數(shù)單位,Z為整數(shù)集,則集合Z∩M中的元素個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z為整數(shù)集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3個元素.二、填空題(每小題4分,共16分)5.已知i為虛數(shù)單位,則QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.答案:-16.已知i是虛數(shù)單位,z=QUOTE,則|z|=________.

【解析】因為QUOTE=QUOTE=i,所以z=QUOTE=QUOTE·QUOTE=i1009·QUOTE=i4×252+1·QUOTE=i·QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,|z|=1.答案:17.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________.

【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),依據(jù)=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以QUOTE解得QUOTE所以λ+μ=1.答案:18.計算QUOTE+QUOTE=________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-2.答案:-2三、解答題(共38分)9.(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=5,且(3+4i)z是純虛數(shù),求z.【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因為|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是純虛數(shù),所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.(12分)(2024·三明高一檢測)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=2-i+(4-2i)i.(1)求復(fù)數(shù)z的模|z|;(2)若z+mQUOTE+n=1+3i(m,n∈R,QUOTE是z的共軛復(fù)數(shù)),求m和n的值.【解析】(1)因為z=2-i+(4-2i)i,所以z=2-i+4i+2=4+3i,則|z|=QUOTE=5;(2)由(1)知z=4+3i,QUOTE=4-3i,所以z+mQUOTE+n=4+3i+m(4-3i)+n=1+3i,即4+4m+n+(3-3m)i=1+3i,所以QUOTE解得QUOTE11.(14分)若虛數(shù)z同時滿意下列兩個條件:①z+QUOTE是實數(shù);②z+3的實部與虛部互為相反數(shù).這樣的虛數(shù)是否存在?若存在,求出z;若不存在,請說明理由.【解題指南】假設(shè)存在虛數(shù)滿意題意,設(shè)虛數(shù)的代數(shù)形式,代入運算,看解方程組是否有解.【解析】假設(shè)存在虛數(shù)z滿意題意,設(shè)z=a+bi(a,b∈R且b≠0