第十五章-剛體的平面運(yùn)動(dòng)

第十五章剛體的平面運(yùn)動(dòng)下一頁(yè)第十五章剛體的平面運(yùn)動(dòng)第一節(jié)

平面運(yùn)動(dòng)及其分解第二節(jié)平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度第三節(jié)平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度下一頁(yè)上一頁(yè)

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變，即剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。

如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的連桿下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第一節(jié)

平面運(yùn)動(dòng)及其分解行星齒輪滾動(dòng)車(chē)輪下一頁(yè)上一頁(yè)二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化①為固定平面。I②平面圖形S始終在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。P③作平動(dòng)。1A2A④A代表直線上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。1A2A

因此，平面圖形上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表剛體上所有各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

即：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身

平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。下一頁(yè)上一頁(yè)三、平面運(yùn)動(dòng)方程為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。對(duì)于每一瞬時(shí)t，都可以求出對(duì)應(yīng)的、、，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。AxAyj下一頁(yè)上一頁(yè)平面運(yùn)動(dòng)方程???íì===)()()(321tftfytfxAAj例如：車(chē)輪的運(yùn)動(dòng)。車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車(chē)輪隨同車(chē)廂的平動(dòng)和相對(duì)車(chē)廂的傳動(dòng)的合成。車(chē)輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）車(chē)廂（動(dòng)系）相對(duì)靜系的運(yùn)動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）''yAx車(chē)輪相對(duì)車(chē)廂（動(dòng)系）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）''yAx下一頁(yè)上一頁(yè)

動(dòng)系上的原點(diǎn)A稱(chēng)為基點(diǎn)。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)'C隨基點(diǎn)A的平動(dòng)繞基點(diǎn)A’的運(yùn)動(dòng)'C+下一頁(yè)上一頁(yè)平面圖形S在時(shí)間內(nèi)從位置運(yùn)動(dòng)到位置IPtD①以A為基點(diǎn)：隨基點(diǎn)A平動(dòng)到后，繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到'''BA1jD''BA②以B為基點(diǎn)：隨基點(diǎn)B平動(dòng)到后，繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到2jD'''BA''BA圖中看出：21'''''',////jjD=DBABAAB于是有2121212010,;,limlimeewwwwjj===DD=DD畗D畗Ddtddtdtttt下一頁(yè)上一頁(yè)結(jié)論：

①平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。（在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的，相同。因此，圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度稱(chēng)為平面運(yùn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度。）we下一頁(yè)上一頁(yè)

②基點(diǎn)的選擇是任意的。（一般取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn)）下一頁(yè)上一頁(yè)已知圖形角速度，A點(diǎn)速度，求B點(diǎn)速度。wAvBv取A為基點(diǎn)，將動(dòng)系固結(jié)于A點(diǎn)，動(dòng)系作平動(dòng)。取B為動(dòng)點(diǎn)，是為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。牽連速度，相對(duì)速度，方向垂直于AB，指向與一致。wAevv=ABvvBAr.==w根據(jù)速度合成定理：則B點(diǎn)速度為reavvv+=BAABvvv+=下一頁(yè)上一頁(yè)第二節(jié)平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度BAABvvv+=表明：

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。這種分析圖形上任一點(diǎn)速度的方法稱(chēng)為基點(diǎn)法。下一頁(yè)上一頁(yè)例1已知車(chē)輪沿直線作純滾動(dòng)，車(chē)輪半徑為R，輪心O的速度為，求A、B、C的速度。0v解：取O為基點(diǎn)即0=-AOOvvRvRvvoAOO===ww,BOOBvvv+=OOBOOBvRvvvv2)(2222=+=+=wOOCOOCCOCCvRvvvvvvv2,=+=+=+=w下一頁(yè)上一頁(yè)AOOAvvv+=00=+\=AOAAvvvQ二、速度投影法由于A，B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上BAABvvv+=任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系。由于恒有ABvBA^，因此將上式在AB上投影，有[][]ABAABBvv=速度投影定理即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等。這種求解速度的方法成為速度投影法。下一頁(yè)上一頁(yè)例2已知AB=30cm，CD=60cmrad/s6=w求CDwcm/s9.103cm/s3631=.==BcvvCDvCDc.=w由rad/s732.1rad/s3===CDvCCDw得解：cm/s180630=×=.=ABvBw連桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度投影定理o60o30o30o60BvCvCDwwACDB下一頁(yè)上一頁(yè)°=°30cos60coscBvv三、瞬心法1.速度瞬心的概念w/AvAP=則：PAAPvvv+=APAvAPv=.=w方向PA^，恰與Av反向。所以0=Pv即在某一瞬時(shí)必唯一存在速度等于零的一點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心。下一頁(yè)上一頁(yè)設(shè)某瞬時(shí)A的速度Av，圖形角速度w，沿Av方向取半直線AL，然后順w的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)至AL的位置，在AL′上取長(zhǎng)度°902.確定速度瞬心的方法v,,AAvAPAP^=w且P在Av和圖形角速度，①已知圖形上一點(diǎn)的速度Avw可以確定速度瞬心的位置。（P點(diǎn)）②已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)（純滾動(dòng)），則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心。下一頁(yè)上一頁(yè)順w轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)的方向一側(cè)?！?0③已知某瞬時(shí)平面上A、B兩點(diǎn)速度、AvBv的方向，且與不平行，AvBv過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作速度、AvBv的垂線、交點(diǎn)P即為該瞬時(shí)的速度瞬心。若與同向，AvBvABvvBA-=w若與反向，AvBvABvvBA+=w④已知某瞬時(shí)圖形上A、BAvBv兩點(diǎn)的速度、大小，ABvABvBA^^,且，下一頁(yè)上一頁(yè)⑤已知某瞬時(shí)圖形上A、B兩點(diǎn)的速度大小相等，方向相同。此時(shí)，圖形的瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處，圖形上各點(diǎn)速度0=w相等，這種情況稱(chēng)為瞬時(shí)平動(dòng)（此時(shí)各點(diǎn)的加速度不一定相等）下一頁(yè)上一頁(yè)例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)。此時(shí)連桿BC的圖形角速度，0=BCwBC桿上各點(diǎn)的速度都相等，但各點(diǎn)的加速度并不相等。下一頁(yè)上一頁(yè)設(shè)AB桿的角速度為，則w()ˉ×==2wABaanBB而的方向?yàn)樗街本€，ca瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同。cBaa14.速度瞬心法應(yīng)注意的問(wèn)題①平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱(chēng)為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度w.=APvA方向，指向與一致。wAP^②速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。③剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動(dòng)。④速度瞬心處的速度為零，加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。下一頁(yè)上一頁(yè)例3已知滑塊A以水平向右運(yùn)動(dòng)，桿AB的長(zhǎng)度為，Avl求AB與水平夾角為時(shí)滑塊B的速度及AB桿的jBv角速度為。ABw解：①瞬心法P為AB桿的速度瞬心jwsinlvPAvAAAB==jjjwcossinsinAAABBvlvlPBv=.=.=下一頁(yè)上一頁(yè)BAABvvvrrr+=jcotABvv=vvjjsincosABBAv==jwsinlvlvABAAB==②基點(diǎn)法取滑塊A為基點(diǎn)下一頁(yè)上一頁(yè)③速度投影法jcot.=ABvv，不能求BAw()jj-°×=90coscosBAvv取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)；取B為動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。nBABABAAeBaaaaaaaaa+====tt;;求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。已知：點(diǎn)A的加速度，圖形某一瞬時(shí)的角速度和Aa角加速度為、。we下一頁(yè)上一頁(yè)第三節(jié)平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度于是，由牽連平動(dòng)時(shí)加速度合成定理reaaaa+=可得如下公式：nBABAABaaaa++=t即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱(chēng)為基點(diǎn)法。其中：et.=ABaBA方向，指向與一致；2w.=ABanBA方向沿AB，指向A點(diǎn)。eAB^下一頁(yè)上一頁(yè)半徑為R的車(chē)輪沿直線作純滾動(dòng)，已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度，求半徑與軌道接觸點(diǎn)P的加速度。1例OvOa解：先求出，。ew輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心，RvO=\w（）以O(shè)為基點(diǎn)，有''POPOOPaaaa++=t其中：RvRvRRaaRaOOnPOOPO222)(,=.===.=wet由于此式在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，故RadtdvRdtdOO=.==1we（）下一頁(yè)上一頁(yè)做出加速度矢量圖，由圖中看出：nPOPaa=（與等值相反）OatPOa即：()RvaOP2=由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車(chē)輪沿固定的直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心。下一頁(yè)上一頁(yè)例4圖示四桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，，求，，，，。OwA