《應用統(tǒng)計學》第六章

第六章假設檢驗引導案例

哪種減肥藥的效果更好？某制藥廠為分析該廠生產(chǎn)的甲、乙兩種減肥藥的使用效果，將20個減肥志愿者分成兩組，每組10人，兩組志愿者分別服用甲、乙兩種減肥藥，為期三個月，測得試驗結果如表6-1所示。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，服用甲減肥藥的志愿者平均體重減少6.3斤，而服用乙減肥藥的志愿者平均體重減少6.4斤，但這并不能推斷乙減肥藥的效果更好。要想檢驗哪種減肥藥的效果更好，可以采用兩個總體均值之差的假設檢驗。通過檢驗發(fā)現(xiàn)，兩種減肥藥的效果其實并沒有顯著差異。第一節(jié)假設檢驗的基本問題第三節(jié)兩個總體參數(shù)的檢驗第二節(jié)一個總體參數(shù)的檢驗第一節(jié)假設檢驗的基本問題第三節(jié)兩個總體參數(shù)的檢驗第二節(jié)一個總體參數(shù)的檢驗一、假設檢驗的原理參數(shù)估計和假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，它們都是利用樣本數(shù)據(jù)對總體進行某種推斷，但是推斷的角度不同。參數(shù)估計討論的是用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的方法，總體參數(shù)在估計前是未知的；而假設檢驗則是對總體的概率分布或總體參數(shù)的值作出某種假設，然后利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立。二、假設檢驗的流程根據(jù)實際問題提出原假設和備擇假設（一）原假設是待檢驗的假設，又稱“0假設”，總是包含等號，可以是等式，也可以是不等式，用表示。在例6-1中，原假設采用等式的方式，即（分鐘）備擇假設是與原假設對立的假設，也稱“研究假設”，總是包含不等號，用表示。在例6-1中，備擇假設的表達式為：（分鐘）在提出原假設和備擇假設時，還需要注意單雙側問題，如例6-1就屬于雙側檢驗。在雙側檢驗中，只要或二者之中有一個成立，就可以拒絕原假設。在某些場合，我們關心的假設問題是帶有方向性的，有兩種情況：一種是所考察的數(shù)值越大越好，如燈泡的使用壽命、輪胎行駛里程數(shù)等；另一種是數(shù)值越小越好，如廢品率、生產(chǎn)成本等。根據(jù)人們的關注點不同，單側檢驗中可以有不同的方向。選取適當?shù)娘@著性水平a（二）在假設檢驗中，顯著性水平是指當原假設為真時，人們犯棄真錯誤的概率或風險。犯這種錯誤的概率用表示，統(tǒng)計學上把稱為假設檢驗中的顯著性水平，也就是決策中所面臨的風險。通常取較小的值，如0.01、0.05或0.10，這意味著，當作出不拒絕原假設的決策時，其正確的可能性為99%、95%或90%。選取適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量（三）如同參數(shù)估計一樣，假設檢驗也要借助于樣本統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷。用于假設檢驗問題的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。在具體問題中，選擇什么統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量，需要考慮的因素與參數(shù)估計中相同。例如，用于檢驗的樣本是大樣本還是小樣本，總體方差是已知還是未知等。例6-1為大樣本，總體方差未知，選取的檢驗統(tǒng)計量是z。確定此檢驗的拒絕域（四）根據(jù)給定的顯著性水平，由相關的概率分布表，查得臨界值，從而確定的拒絕域。臨界值就是拒絕域和不拒絕域的分界點。在雙側檢驗中，拒絕域在兩側，故臨界值為或，如圖6-1所示；在左單側檢驗中，拒絕域在左側，臨界值為或，如圖6-2所示；在右單側檢驗中，拒絕域在右側，臨界值為或，如圖6-3所示。例6-1為雙側檢驗，臨界值為。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值（五）在提出原假設和備擇假設，選取適當顯著性水平和檢驗統(tǒng)計量以后，接下來就要根據(jù)樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值，具體計算方法將在本章第二節(jié)進行詳細介紹。例如，例6-1中檢驗統(tǒng)計量的值為：作出決策（六）我們可以對臨界值和檢驗統(tǒng)計量的值進行比較來作出決策。若檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域，就拒絕原假設，否則就不拒絕原假設。例如，例6-1中檢驗統(tǒng)計量的值大于臨界值1.96，故拒絕原假設，即有證據(jù)表明航空公司銷售一張機票的平均時間不是2分鐘。我們還可以利用P值進行決策。P值是當原假設為真時，所得到的樣本觀察結果或更極端結果出現(xiàn)的概率。如果P值很小，說明這種情況發(fā)生的概率很小，而如果出現(xiàn)了，根據(jù)小概率原理，我們就有理由拒絕原假設。P值越小，我們拒絕原假設的理由就越充分。用P值進行決策時，不論單雙側檢驗，若，則不拒絕；若，則拒絕。P值是通過Excel函數(shù)計算得到的。例如，例6-1中，使用“NORMSDIST”函數(shù)，輸入2.67，得到的函數(shù)值為0.996263。這意味著在標準正態(tài)分布條件下，z值2.67左邊的面積為0.996263，因為是雙側檢驗，P值為曲線上方絕對值大于等于檢驗統(tǒng)計量絕對值部分的面積，如圖6-4所示。故最后的P值為：

P值遠遠小于a，故拒絕原假設，得到與前面相同的結論。第一節(jié)假設檢驗的基本問題第三節(jié)兩個總體參數(shù)的檢驗第二節(jié)一個總體參數(shù)的檢驗一、總體均值的檢驗使用統(tǒng)計量進行檢驗（一）樣本量大小是選擇檢驗統(tǒng)計量的一個要素。在大樣本量的條件下，如果總體為正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計量服從正態(tài)分布；如果總體為非正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計量漸近服從正態(tài)分布。所以在這種情況下，我們可以把樣本統(tǒng)計量視為正態(tài)分布，這時可以使用z統(tǒng)計量。在小樣本條件下，要求總體服從正態(tài)分布，且總體標準差已知時，可以使用z統(tǒng)計量。當總體標準差已知時，z統(tǒng)計量的計算公式為：

（6-1）實踐中，在大樣本情況下，當總體標準差未知時，可以用樣本標準差S代替，z統(tǒng)計量的計算公式為：

（6-2）使用t統(tǒng)計量進行檢驗（二）在樣本量較小的情況下，要求總體服從正態(tài)分布，如果總體標準差未知，進行檢驗所依賴的信息有所減少，這時只能使用樣本標準差，樣本統(tǒng)計量服從t分布，應采用t統(tǒng)計量。與正態(tài)分布相比，t分布更加扁平，在相同概率條件下，意味著推斷的精度下降，這是總體標準差未知所要付出的代價。t統(tǒng)計量的計算公式為：

（6-3）綜上所述，不同情況下總體均值的檢驗統(tǒng)計量如表6-3所示。二、總體比例的檢驗在實際應用中，常常需要檢驗總體比例是否為某個假設值。例如，檢驗某課程的考試通過率、產(chǎn)品的合格率、種子的發(fā)芽率等，民意調查中也經(jīng)常用到總體比例檢驗。進行總體比例檢驗時，提出的原假設表達式為，其中，“=”也可以替換為“”或“”。一般而言，在總體比例的檢驗中，通常采用z統(tǒng)計量。有關比例問題的調查往往都使用大樣本，而小樣本的結果是極不穩(wěn)定的，故總體比例服從二項分布，當樣本量足夠大時，z統(tǒng)計量的計算公式為：

（6-4）三、總體方差的檢驗在假設檢驗中，有時不僅需要檢驗正態(tài)總體的均值、比例，還需要檢驗正態(tài)總體的方差。例如，檢驗產(chǎn)品性能的穩(wěn)定性、評估投資風險時，就需要對方差進行檢驗。總體服從正態(tài)分布時，對總體方差進行檢驗使用統(tǒng)計量，統(tǒng)計量的計算公式為：

（6-5）第一節(jié)假設檢驗的基本問題第三節(jié)兩個總體參數(shù)的檢驗第二節(jié)一個總體參數(shù)的檢驗一、兩個總體均值之差的檢驗當兩個總體的方差、已知，且兩個總體均服從正態(tài)分布時，不論樣本量大小，都可以認為由兩個獨立樣本算出的的抽樣分布服從正態(tài)分布，標準差為：

（6-6）此時，作為檢驗統(tǒng)計量的z的計算公式為：

（6-7）兩個總體均值之差的檢驗：獨立樣本（一）使用統(tǒng)計量進行檢驗1式中，為總體1的均值，為總體2的均值。但兩個總體的方差、未知時，在大樣本量的情況下，可以用樣本的方差、來代替總體的方差、。此時，作為檢驗統(tǒng)計量的z的計算公式變?yōu)椋?/p>

（6-8）當兩個樣本都是獨立小樣本時，我們需要假定兩個總體都服從正態(tài)分布，當兩個總體的方差、未知時，有以下兩種情況：（1）當兩個總體的方差、未知，但知道。這個條件的成立，往往是從已有的大量經(jīng)驗中得到的，或者事先進行了關于兩個方差相等的檢驗，并得到肯定的結論。這時，的估計為：

（6-9）式中，（6-10）使用t統(tǒng)計量進行檢驗2于是，檢驗統(tǒng)計量t的計算公式為：

（6-11）t的自由度為。（2）當兩個總體的方差、未知，且沒有理由判定與相等時，即認為。此時，的估計為：

（6-12）但此時的抽樣分布已不服從自由度為的t分布，而是近似服從自由度為v的t分布，v的計算公式為：

（6-13）這時，檢驗統(tǒng)計量t的計算公式為：

（6-14）使用匹配樣本進行檢驗時，在大樣本的條件下，使用z統(tǒng)計量進行檢驗，其計算公式為：

（6-15）式中，表示兩個匹配樣本對應數(shù)據(jù)差值的均值；表示假定的差值；表示各差值的標準差。在小樣本情況下，假定兩個總體各觀測值的配對差服從正態(tài)分布，使用t統(tǒng)計量進行檢驗，其計算公式為：

（6-16）兩個總體均值之差的檢驗：匹配樣本（二）綜上所述，不同情況下兩個總體均值之差的檢驗統(tǒng)計量如表6-11所示。二、兩個總體比例之差的檢驗設兩個總體服從二項分布，這兩個總體中具有某種特征單位數(shù)的比例分別為和，但和未知，可以用樣本比例和代替。提出的原假設表達式為