《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》第六章

第六章假設(shè)檢驗(yàn)引導(dǎo)案例

哪種減肥藥的效果更好？某制藥廠為分析該廠生產(chǎn)的甲、乙兩種減肥藥的使用效果，將20個(gè)減肥志愿者分成兩組，每組10人，兩組志愿者分別服用甲、乙兩種減肥藥，為期三個(gè)月，測(cè)得試驗(yàn)結(jié)果如表6-1所示。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，服用甲減肥藥的志愿者平均體重減少6.3斤，而服用乙減肥藥的志愿者平均體重減少6.4斤，但這并不能推斷乙減肥藥的效果更好。要想檢驗(yàn)?zāi)姆N減肥藥的效果更好，可以采用兩個(gè)總體均值之差的假設(shè)檢驗(yàn)。通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，兩種減肥藥的效果其實(shí)并沒(méi)有顯著差異。第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問(wèn)題第三節(jié)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問(wèn)題第三節(jié)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的原理參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)組成部分，它們都是利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行某種推斷，但是推斷的角度不同。參數(shù)估計(jì)討論的是用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的方法，總體參數(shù)在估計(jì)前是未知的；而假設(shè)檢驗(yàn)則是對(duì)總體的概率分布或總體參數(shù)的值作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否成立。二、假設(shè)檢驗(yàn)的流程根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)和備擇假設(shè)（一）原假設(shè)是待檢驗(yàn)的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”，總是包含等號(hào)，可以是等式，也可以是不等式，用表示。在例6-1中，原假設(shè)采用等式的方式，即（分鐘）備擇假設(shè)是與原假設(shè)對(duì)立的假設(shè)，也稱“研究假設(shè)”，總是包含不等號(hào)，用表示。在例6-1中，備擇假設(shè)的表達(dá)式為：（分鐘）在提出原假設(shè)和備擇假設(shè)時(shí)，還需要注意單雙側(cè)問(wèn)題，如例6-1就屬于雙側(cè)檢驗(yàn)。在雙側(cè)檢驗(yàn)中，只要或二者之中有一個(gè)成立，就可以拒絕原假設(shè)。在某些場(chǎng)合，我們關(guān)心的假設(shè)問(wèn)題是帶有方向性的，有兩種情況：一種是所考察的數(shù)值越大越好，如燈泡的使用壽命、輪胎行駛里程數(shù)等；另一種是數(shù)值越小越好，如廢品率、生產(chǎn)成本等。根據(jù)人們的關(guān)注點(diǎn)不同，單側(cè)檢驗(yàn)中可以有不同的方向。選取適當(dāng)?shù)娘@著性水平a（二）在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平是指當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，人們犯棄真錯(cuò)誤的概率或風(fēng)險(xiǎn)。犯這種錯(cuò)誤的概率用表示，統(tǒng)計(jì)學(xué)上把稱為假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平，也就是決策中所面臨的風(fēng)險(xiǎn)。通常取較小的值，如0.01、0.05或0.10，這意味著，當(dāng)作出不拒絕原假設(shè)的決策時(shí)，其正確的可能性為99%、95%或90%。選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（三）如同參數(shù)估計(jì)一樣，假設(shè)檢驗(yàn)也要借助于樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。用于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。在具體問(wèn)題中，選擇什么統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，需要考慮的因素與參數(shù)估計(jì)中相同。例如，用于檢驗(yàn)的樣本是大樣本還是小樣本，總體方差是已知還是未知等。例6-1為大樣本，總體方差未知，選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是z。確定此檢驗(yàn)的拒絕域（四）根據(jù)給定的顯著性水平，由相關(guān)的概率分布表，查得臨界值，從而確定的拒絕域。臨界值就是拒絕域和不拒絕域的分界點(diǎn)。在雙側(cè)檢驗(yàn)中，拒絕域在兩側(cè)，故臨界值為或，如圖6-1所示；在左單側(cè)檢驗(yàn)中，拒絕域在左側(cè)，臨界值為或，如圖6-2所示；在右單側(cè)檢驗(yàn)中，拒絕域在右側(cè)，臨界值為或，如圖6-3所示。例6-1為雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值為。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值（五）在提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，選取適當(dāng)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以后，接下來(lái)就要根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，具體計(jì)算方法將在本章第二節(jié)進(jìn)行詳細(xì)介紹。例如，例6-1中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為：作出決策（六）我們可以對(duì)臨界值和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值進(jìn)行比較來(lái)作出決策。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域，就拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。例如，例6-1中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值1.96，故拒絕原假設(shè)，即有證據(jù)表明航空公司銷售一張機(jī)票的平均時(shí)間不是2分鐘。我們還可以利用P值進(jìn)行決策。P值是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。如果P值很小，說(shuō)明這種情況發(fā)生的概率很小，而如果出現(xiàn)了，根據(jù)小概率原理，我們就有理由拒絕原假設(shè)。P值越小，我們拒絕原假設(shè)的理由就越充分。用P值進(jìn)行決策時(shí)，不論單雙側(cè)檢驗(yàn)，若，則不拒絕；若，則拒絕。P值是通過(guò)Excel函數(shù)計(jì)算得到的。例如，例6-1中，使用“NORMSDIST”函數(shù)，輸入2.67，得到的函數(shù)值為0.996263。這意味著在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布條件下，z值2.67左邊的面積為0.996263，因?yàn)槭请p側(cè)檢驗(yàn)，P值為曲線上方絕對(duì)值大于等于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值部分的面積，如圖6-4所示。故最后的P值為：

P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a，故拒絕原假設(shè)，得到與前面相同的結(jié)論。第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問(wèn)題第三節(jié)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)一、總體均值的檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)（一）樣本量大小是選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)要素。在大樣本量的條件下，如果總體為正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布；如果總體為非正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計(jì)量漸近服從正態(tài)分布。所以在這種情況下，我們可以把樣本統(tǒng)計(jì)量視為正態(tài)分布，這時(shí)可以使用z統(tǒng)計(jì)量。在小樣本條件下，要求總體服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，可以使用z統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，z統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（6-1）實(shí)踐中，在大樣本情況下，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，z統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（6-2）使用t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)（二）在樣本量較小的情況下，要求總體服從正態(tài)分布，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，進(jìn)行檢驗(yàn)所依賴的信息有所減少，這時(shí)只能使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本統(tǒng)計(jì)量服從t分布，應(yīng)采用t統(tǒng)計(jì)量。與正態(tài)分布相比，t分布更加扁平，在相同概率條件下，意味著推斷的精度下降，這是總體標(biāo)準(zhǔn)差未知所要付出的代價(jià)。t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（6-3）綜上所述，不同情況下總體均值的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如表6-3所示。二、總體比例的檢驗(yàn)在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要檢驗(yàn)總體比例是否為某個(gè)假設(shè)值。例如，檢驗(yàn)?zāi)痴n程的考試通過(guò)率、產(chǎn)品的合格率、種子的發(fā)芽率等，民意調(diào)查中也經(jīng)常用到總體比例檢驗(yàn)。進(jìn)行總體比例檢驗(yàn)時(shí)，提出的原假設(shè)表達(dá)式為，其中，“=”也可以替換為“”或“”。一般而言，在總體比例的檢驗(yàn)中，通常采用z統(tǒng)計(jì)量。有關(guān)比例問(wèn)題的調(diào)查往往都使用大樣本，而小樣本的結(jié)果是極不穩(wěn)定的，故總體比例服從二項(xiàng)分布，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，z統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（6-4）三、總體方差的檢驗(yàn)在假設(shè)檢驗(yàn)中，有時(shí)不僅需要檢驗(yàn)正態(tài)總體的均值、比例，還需要檢驗(yàn)正態(tài)總體的方差。例如，檢驗(yàn)產(chǎn)品性能的穩(wěn)定性、評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，就需要對(duì)方差進(jìn)行檢驗(yàn)?？傮w服從正態(tài)分布時(shí)，對(duì)總體方差進(jìn)行檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（6-5）第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問(wèn)題第三節(jié)兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)一、兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)總體的方差、已知，且兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布時(shí)，不論樣本量大小，都可以認(rèn)為由兩個(gè)獨(dú)立樣本算出的的抽樣分布服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為：

（6-6）此時(shí)，作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的z的計(jì)算公式為：

（6-7）兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)：獨(dú)立樣本（一）使用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)1式中，為總體1的均值，為總體2的均值。但兩個(gè)總體的方差、未知時(shí)，在大樣本量的情況下，可以用樣本的方差、來(lái)代替總體的方差、。此時(shí)，作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的z的計(jì)算公式變?yōu)椋?/p>

（6-8）當(dāng)兩個(gè)樣本都是獨(dú)立小樣本時(shí)，我們需要假定兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，當(dāng)兩個(gè)總體的方差、未知時(shí)，有以下兩種情況：（1）當(dāng)兩個(gè)總體的方差、未知，但知道。這個(gè)條件的成立，往往是從已有的大量經(jīng)驗(yàn)中得到的，或者事先進(jìn)行了關(guān)于兩個(gè)方差相等的檢驗(yàn)，并得到肯定的結(jié)論。這時(shí)，的估計(jì)為：

（6-9）式中，（6-10）使用t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)2于是，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式為：

（6-11）t的自由度為。（2）當(dāng)兩個(gè)總體的方差、未知，且沒(méi)有理由判定與相等時(shí)，即認(rèn)為。此時(shí)，的估計(jì)為：

（6-12）但此時(shí)的抽樣分布已不服從自由度為的t分布，而是近似服從自由度為v的t分布，v的計(jì)算公式為：

（6-13）這時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式為：

（6-14）使用匹配樣本進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，在大樣本的條件下，使用z統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，其計(jì)算公式為：

（6-15）式中，表示兩個(gè)匹配樣本對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)差值的均值；表示假定的差值；表示各差值的標(biāo)準(zhǔn)差。在小樣本情況下，假定兩個(gè)總體各觀測(cè)值的配對(duì)差服從正態(tài)分布，使用t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，其計(jì)算公式為：

（6-16）兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)：匹配樣本（二）綜上所述，不同情況下兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如表6-11所示。二、兩個(gè)總體比例之差的檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布，這兩個(gè)總體中具有某種特征單位數(shù)的比例分別為和，但和未知，可以用樣本比例和代替。提出的原假設(shè)表達(dá)式為