06圓綜合大題綜合原卷版+解析

06圓綜合1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，D是以為直徑的上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若的直徑為9，，求線段的長(zhǎng)．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．若．(1)求證：是的切線；(2)連接．若，，求的長(zhǎng)．3．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，D為上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，垂足為G．(1)求證:是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部點(diǎn)，連接，．若，的半徑為，，求的長(zhǎng)．5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，，，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證；(2)若，，，求的長(zhǎng)．6．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、的與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，是直徑，點(diǎn)在上，垂直于過點(diǎn)的切線，垂足為，且，(1)求的度數(shù)；(2)若長(zhǎng)為，求的半徑長(zhǎng)，8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國(guó)語學(xué)校校考一模）如圖，內(nèi)接于，平分交于，過點(diǎn)作分別交、延長(zhǎng)線于、，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若、的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，且，求的半徑．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、．(1)求證：；(2)若，，求的面積.10．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，連接．若的半徑為，求的長(zhǎng)．11．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．12．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是的切線，交于點(diǎn)．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長(zhǎng)度．13．（2023·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，在中，，，．延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使，連接，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)E，作弦，連接，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)求的長(zhǎng)．14．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，是的弦，C是外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)D，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．15．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長(zhǎng)．16．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)C作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求陰影部分面積．17．（2023·江蘇南通·校考一模）如圖，A，B，C三點(diǎn)在上，直徑平分，過點(diǎn)D作交弦于點(diǎn)E，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)M，若，，求的值．18．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，直線l與的外接圓相切于點(diǎn)B，D是l上一點(diǎn)，．(1)求證：與的外接圓相切；(2)若，則的長(zhǎng)是________．19．（2023·江蘇蘇州·校考一模）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F．連接、，若是的切線．(1)求證：；(2)若，，，求直徑的長(zhǎng)．20．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．(1)求證：是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑為1，求圖中弧所圍成的陰影部分的面積．21．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）問題背景：如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，，求證：．(1)方法感悟小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：如圖1-1，在上截取，連接，只需證明______，可得______即可；小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：如圖1-2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，只需證明______，可得______即可；(2)類比探究如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，是的直徑，，試用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展提升如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，若是的直徑，，，，則________．22．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在的邊上，與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，經(jīng)過上的點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求的值．23．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長(zhǎng)．24．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，線段交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作分別交、于點(diǎn)F、G，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．25．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，交于，連接．(1)問題解決：如圖1，若為中點(diǎn)，則________．(2)問題探究：如圖2，當(dāng)時(shí)，若四邊形的面積為54，求的長(zhǎng)．(3)拓展延伸：如圖3，作交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．06圓綜合1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，D是以為直徑的上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若的直徑為9，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再由平行線判定得出，利用其性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可證明；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得出，再由正弦函數(shù)得出，利用等邊對(duì)等角及等量代換得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵是的切線，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（2）連接，則，如圖，在中，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．由（1）知：，∴．∴．即：．解得：．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．若．(1)求證：是的切線；(2)連接．若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得，即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，進(jìn)而證明是的切線；（2）連接．根據(jù)是的直徑，得出，進(jìn)而根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，勾股定理得出，根據(jù)（1）的結(jié)論證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，即是的切線；（2）如圖所示，連接．∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，則，∵，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，D為上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，垂足為G．(1)求證:是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可證，可證，可得結(jié)論；（2）由切線的性質(zhì)可證四邊形是矩形，可得，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是半徑，∴是的切線；（2）如圖，連接，過點(diǎn)O作于H，∵，∴，∵與相切于點(diǎn)E，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部點(diǎn)，連接，．若，的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據(jù)，得出，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，；，，，的半徑為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，，，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明四邊形是平行四邊形，得出，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，（2）解：如圖所示，連接，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，又，∴，又∵，∴，∴，∵,，，∴，∴，解得：【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、的與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，與相切于點(diǎn)，推出，已知，得到，推出，進(jìn)而得到，得證平分；（2）連接，已知，得到，結(jié)合，得到，已知，得到，可求得，得到，進(jìn)一步證明，得到，即，已知，即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，與相切于點(diǎn)，，，，，，平分；（2）解：連接，，，又，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，是直徑，點(diǎn)在上，垂直于過點(diǎn)的切線，垂足為，且，(1)求的度數(shù)；(2)若長(zhǎng)為，求的半徑長(zhǎng)，【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖所示，連接，可證，，且，根據(jù)等腰三角形，三角形的外角和性質(zhì)即可求解；（2）如圖所示，連接，根據(jù)題意，構(gòu)成，根據(jù)含特殊角的直角三角形中邊的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∴，∵，∴，∴，∵是的外角，且，即是等腰三角形，∴，且，∴，∴，∴的度數(shù)為．（2）解：如圖所示，連接，∵是直徑，是的切線，∴，由（1）可知，，且，∴在中，，在中，，設(shè)，則，∴，即，解得，（負(fù)值舍去），即，∴，則的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，內(nèi)接于，平分交于，過點(diǎn)作分別交、延長(zhǎng)線于、，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若、的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，且，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）欲證明是切線，只要證明即可；（2）連接，根據(jù)等腰三角形的判定得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到，得到，由（1）知是的切線，由切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：，，，，如圖，連接，，交于，，則，，在中，，，，是半徑，是的切線；（2）如圖，連接，由（1）知是的切線，，，，∵四邊形內(nèi)接于，∴，，，，即，；（3）、的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，，由（2）得，，，由（1）知是的切線，，，，由（1）得，

，，，，，，設(shè)，，，，解得：，的半徑．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、．(1)求證：；(2)若，，求的面積.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，得出，根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)圓的面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：連接，如圖所示：∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，負(fù)值舍去，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的面積公式，解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．10．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知：為的直徑，為圓心，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，連接．若的半徑為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由為的直徑，得出，由是的切線，得出，則，根據(jù)，得出，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角得出，等量代換即可求解；（2）連接，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，是的切線，，，，，，，；（2）如圖，連接，，，，，，，即，，，，，，的半徑為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，解題的難點(diǎn)是添加輔助線找相似三角形．11．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解(2)【分析】（1）首先根據(jù)直徑的性質(zhì)得到，然后結(jié)合即可證明出；（2）連接，首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)垂徑定理得到，利用三角形中位線的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴．∴．∵．∴；（2）解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，．∴在中，．∵，是的半徑，∴．∴為的中位線．∴．∴．∴．∴；【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的運(yùn)用，勾股定理，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．12．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，，，是的外接圓，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是的切線，交于點(diǎn)．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)等邊三角形，見解析(2)【分析】（1）如圖：連接，先說明是的直徑，則，即；根據(jù)是的切線可得，即；再根據(jù)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)是等邊三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根據(jù)即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：如圖：連接，∵，，是的外接圓，∴是的直徑，∴,∴，∵是的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接三角形、圓周角定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、定理是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在中，，，．延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使，連接，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)E，作弦，連接，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，，以此推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，以此得到，即可證明；（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可證明，以此得到平分，則，，再根據(jù)，以此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴，；∴，∵，∴，即，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖所示，∵，，弦，∴，∵，∴，∴，∵，即為等腰三角形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)答題時(shí)解題關(guān)鍵．14．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，是的弦，C是外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)D，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與的位置關(guān)系是相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求出，再根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，求出，求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，求出，再求出答案即可．【詳解】（1）直線與的位置關(guān)系是相切，理由是：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵過點(diǎn)O，∴直線與的位置關(guān)系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，扇形的面積計(jì)算和三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，是角平分線，以D為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)E．(1)直線與相切嗎？為什么？(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，進(jìn)而求得．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：過點(diǎn)作，垂足為，∵平分，，，∴，又∵為半徑，∴點(diǎn)在上，又∵，∴直線與相切；（2）∵，，∴，，，∵，由勾股定理可得，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能得出是解此題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)C作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求陰影部分面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，推出，得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理求得，然后利用含直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，，，，∴，，∵，，，是的切線；（2）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，如圖所示：為的直徑，，，，，，，∵，為等邊三角形，∴，陰影部分面積．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇南通·?？家荒＃┤鐖D，A，B，C三點(diǎn)在上，直徑平分，過點(diǎn)D作交弦于點(diǎn)E，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)M，若，，求的值．【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）先得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，利用全等三角形的判定得出，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：平分，．，．．，．，．．是半徑，是的切線．（2）連接，是的直徑，．，，．，．，，．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．18．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，直線l與的外接圓相切于點(diǎn)B，D是l上一點(diǎn)，．(1)求證：與的外接圓相切；(2)若，則的長(zhǎng)是________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為O，連接，根據(jù)，可得O為的外接圓的圓心，再由切線的性質(zhì)可得，然后結(jié)合，可得，即可；（2）連接，交于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，再證明，即可求解．【詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為O，連接．∵，∴是的外接圓的直徑．

∴O為的外接圓的圓心．∵直線l與相切于點(diǎn)B，∴．

∵，∴．∵，∴．∴，即．

又∵點(diǎn)C在上，

∴與相切，即與的外接圓相切．（2）解：如圖，連接，交于點(diǎn)E，∵是的切線，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，是的外接圓的直徑，∴，，∴，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇蘇州·校考一模）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F．連接、，若是的切線．(1)求證：；(2)若，，，求直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和圓周角定理即可證明；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓周角定理，平行線的性質(zhì)切線的性質(zhì)等先證明，在中，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴；（2）如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∵，，∴由勾股定理得，∵，∴，

∴，∴，在中，設(shè)，則，∵，∴，解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．(1)求證：是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑為1，求圖中弧所圍成的陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再由與圓相切證明四邊形是矩形即可；（2）可根據(jù)進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：連接，是⊙的直徑，點(diǎn)O在上，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，與⊙O相切于點(diǎn)D，，四邊形是矩形，，是⊙O的半徑，且，是⊙O的切線．（2）解：連接，則，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，

，，，，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定綜合問題和求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是證明直線與半徑垂直，用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，利用了平行四邊形、矩形以及正方形的判定和性．21．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）問題背景：如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，，求證：．(1)方法感悟小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：如圖1-1，在上截取，連接，只需證明______，可得______即可；小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：如圖1-2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，只需證明______，可得______即可；(2)類比探究如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，是的直徑，，試用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展提升如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，若是的直徑，，，，則________．【答案】(1)，，，；(2)，證明見解析；(3)．【分析】（1）如圖1-1，在上截取，連接，可得，證明是等邊三角形，可證明，得出，則結(jié)論得證；如圖1-2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，證明是等邊三角形，則，，，證明，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，是的直徑，得到，，由得到，，則是等腰直角三角形，則，證明，則，即可得到結(jié)論．（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，求出，再證明，得到，即可得到答案．【詳解】（1）小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明如下：，，如圖1-1，在上截取，連接，，是等邊三角形，，，，，，；小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：如圖1-2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，，，∴，是等邊三角形，，，∵，∴，∴；故答案為：，，，；（2），證明如下：如圖2，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，是的直徑，，，，，，是等腰直角三角形，

，，，∴，，

，．即；（3）如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴，∵∴，∵，，∴，∵∴，在中，，設(shè)∴，，

∴，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在的邊上，與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，經(jīng)過上的點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求的值．【答案】(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）如圖：連接交于，先說明；再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)等量代換可得即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意可得、，設(shè)的半徑為，，則；再根據(jù)勾股定理列方程組求解即可；（3）如圖：設(shè)交于，連接，過M作，由勾股定理可得，進(jìn)而得到；再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，進(jìn)而得到；由等腰三角形的性質(zhì)可得，然后再根據(jù)圓周角定理、切線的性質(zhì)以及等量代換可得，最后根據(jù)正切的定義即可解答．【詳解】（1）解：如圖：連接交于，∵點(diǎn)在的邊上，即是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴是的垂直平分線，，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)∴∴∴是的切線．（2）解：∵，，∴,設(shè)的半徑為，，則∵∴,即，解得：∴的半徑長(zhǎng)為3．（3）解：如圖：設(shè)交于，連接，過M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直徑∴，即∵∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑和的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，理由見解析(2)的半徑為3.5，【分析】（1）如圖：