08圓大題綜合-【黃金沖刺】考前10天中考數(shù)學極限滿分沖刺(浙江專用)原卷版+解析

08圓大題綜合1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段，以為直徑作，在上取一點C，連接．延長至點D，連接，滿足．(1)求證：為切線；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．熟練掌握圓周角定理，以及弧長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江臺州·臺州市書生中學統(tǒng)考一模）如圖，直線經(jīng)過上的點M，并且，交于點N．(1)求證：直線是的切線；(2)當時，求的度數(shù)．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為延長線上一點，過點作的切線，切點為，作于點，連接，若，求：(1)的度數(shù)．(2)若的半徑為2，求的長．4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，以等腰的底邊為直徑作半圓，交、于點D、E．(1)證明：；(2)若，，求陰影部分面積．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，半徑為2，弦，A是弦所對優(yōu)弧上的一個點，連接并延長交點M，連接，過點B作，垂足為E．(1)求證：．(2)過點A作，分別交，于點H，D．求的長．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．(1)如圖1，的外接圓的圓心是點O，點D是弧的中點，畫一條弦把分成面積相等的兩部分；(2)如圖2，是的內(nèi)接三角形，且，過點B畫弦；(3)如圖3，是的內(nèi)接三角形，弦，畫的平分線交于點E．7．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為上一點，作的平分線交于點，過點作的切線，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，已知是的直徑，，弦與交于點F，過點D，A分別作的切線交于點P，與延長線交于點E．(1)求證：．(2)若，且，求的長．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓，已知是半圓的直徑．，平分，分別交半圓和于點，過點作，垂足為點，交于點．(1)求證：；(2)連接交于點，若，求的長．10．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖1，為的直徑，于點，，與交于點．(1)求證：．(2)若，求的長．(3)連結(jié)，如圖2，求證：．11．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，，點D平分，連接，，．(1)求證：．(2)過點D作，分別交于點E，F(xiàn)，交于點G．①若，，求線段的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若，求證：．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．12．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，為矩形的對角線，點在上，連接，是的外接圓與的延長線的一個交點，延長交圓于點，點恰好是的中點，連接，分別交，于點，，連接．(1)求證：．(2)求證：四邊形是菱形．(3)若恰好是的中點時，求的值．13．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，點O在的斜邊上，半圓O切于點D，切于點E，連結(jié)，Q為線段上一點，交于點P，已知，，設(shè)，．(1)求半圓O的半徑和的長．(2)若點Q在線段上．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．②在上取點F（不與點O重合），連結(jié)，當為等腰直角三角形時，求所有滿足條件x的值．(3)當經(jīng)過的中點G時，求的長．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為直徑，為上一動點，連接交于點，交于點，連接．(1)設(shè)∠為，請用表示的度數(shù)．(2)如圖1，當時，①求證：．②當，時，求半徑的長．(3)如圖2，當過圓心時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達式．15．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由。【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．16．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖1，已知內(nèi)接于，為的直徑，，，點是半圓上的一個動點，過點作交直徑于點．(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點，若，求；(3)如圖3，連接交于點，若，①求的長；②直接寫出的值為______．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，等腰內(nèi)接于，其中，點在上運動，，分別交、于點、，交于點．(1)求證：．(2)連結(jié)，當為的直徑時，①求證：．②連結(jié)，若∥，求的值．③連結(jié)，設(shè)，，請直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達式．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1，的直徑垂直弦于點E，點P為上的一點，連接并延長交于點Q，連接，過點P畫交的延長線于點F．若的直徑為10，．(1)求的長；(2)如圖2，當時，求的正切值；(3)如圖1，設(shè)．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若，求y的值．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，過點D作交于點E，的延長線與的延長線交于點F．(1)求證：是的切線．(2)若．①求的值．②當時，求的長．20．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D在上，，動點Q從A點出發(fā)沿線段以每秒1單位的速度運動，過點Q作，交射線于點P，點P關(guān)于點D的對稱點為，以為邊在上方作正方形，設(shè)點Q運動的時間為t秒．(1)當點P在線段上時，求的長（用t的代數(shù)式表示）．(2)當正方形的頂點F或E剛好落在的的邊上時，求t的值．(3)以為直徑作，當與的邊所在的直線相切時，請求出所有滿足條件的t的值．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．21．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，已知AB是半圓O的直徑，半徑，D是弧BC上的動點（不含點B，C），連接AC，作射線CD于點E．(1)猜想的度數(shù)，并說明理由(2)連接，若，求證：．(3)如圖2，作正方形，連接交于點G．若，，求的長．22．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，內(nèi)接于，直徑交于點E，滿足．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證：．(3)連結(jié)．①如圖2，若，，求的值．②如圖3，過點A作于點H，若長為1，，長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．23．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點是上一點，過點作的切線交的延長線于點，連結(jié)，．(1)求證：．(2)求證：．(3)如圖2，弦平分交于點．①若點為的中點，，求的長．②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達式．24．（2023·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動點，以為直徑構(gòu)造交于點（異于點）．在點，的運動過程中，始終滿足．(1)求證：．(2)如圖，連接，當時，求的直徑．(3)設(shè)為的中點，連接，在，的運動過程中，是否存在某一時刻，使為等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．25．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考三模）如圖，內(nèi)接于圓O，，點D為劣弧上動點，延長，交于點E，作交圓O于點F，連接．(1)如圖1，當點D為弧的中點時，求證：；(2)如圖2，若，，試用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若．①求證：；②求的值．08圓大題綜合1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段，以為直徑作，在上取一點C，連接．延長至點D，連接，滿足．(1)求證：為切線；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到，進而得到，得到，即可得證；（2）連接，圓周角定理，得到，利用弧長公式進行計算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，又為的半徑，∴為切線；（2）解：連接，∵，∴，∵，∴，∴的長．【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理以及求弧長．熟練掌握圓周角定理，以及弧長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江臺州·臺州市書生中學統(tǒng)考一模）如圖，直線經(jīng)過上的點M，并且，交于點N．(1)求證：直線是的切線；(2)當時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定推出，即可證明結(jié)論；（2）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)得出是等邊三角形，從而得到，即可求解．【詳解】（1）連接，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，又點M在上，∴直線是的切線；（2）連接，∵，∴，又，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，圓的切線證明，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為延長線上一點，過點作的切線，切點為，作于點，連接，若，求：(1)的度數(shù)．(2)若的半徑為2，求的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）連接，∵切于點，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，，且，∴∵，∴．∴．∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，以等腰的底邊為直徑作半圓，交、于點D、E．(1)證明：；(2)若，，求陰影部分面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，，證明，，可得，從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接，，，過作于，證明為等邊三角形，，而，，為等邊三角形，分別求解，，，同理可得：，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴．（2）如圖，連接，，，過作于，∵，，，∴為等邊三角形，，而，∴，，∴，為等邊三角形，∴，，，∴，，同理可得：，∴，，，同理可得：，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計算，熟練的利用等邊三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，半徑為2，弦，A是弦所對優(yōu)弧上的一個點，連接并延長交點M，連接，過點B作，垂足為E．(1)求證：．(2)過點A作，分別交，于點H，D．求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)為的直徑得到，再根據(jù)即可證明；（2）先根據(jù)，得到，，從而得到，再證明得到，最后通過勾股定理計算出即可得答案．【詳解】（1）證明：由題意得為的直徑，∴，∴∵，∴；（2）解：如下圖所示，連接，延長交于點N，連接∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圓周角定理證得．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．(1)如圖1，的外接圓的圓心是點O，點D是弧的中點，畫一條弦把分成面積相等的兩部分；(2)如圖2，是的內(nèi)接三角形，且，過點B畫弦；(3)如圖3，是的內(nèi)接三角形，弦，畫的平分線交于點E．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連接交于點F，連接，并延長交于點E，問題得解；（2）連接并延長交于點D，連接，問題得解；（3）連接交于點N，連接，并延長交于點F，連接交于點E，問題得解．【詳解】（1）如圖，連接交于點F，連接，并延長交于點E，即弦即為所求；證明∵點D是弧的中點，∴，∴，∴；（2）如圖，連接并延長交于點D，連接，即弦即為所求；證明：連接，如圖，∵，，∴垂直平分，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；（3）如圖，連接交于點N，連接，并延長交于點F，連接交于點E，即平分；∵，∴，∵，∴，∴，根據(jù)（2）中方法可證明垂直平分，∴，∴，∴平分．【點睛】本題主要考查作圖，運用了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，為上一點，作的平分線交于點，過點作的切線，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，，，為的直徑，，是圓周角，是圓心角，所對弧相同，根據(jù)圓周角定理即可求解；（2）如圖2，過點作于點，連接，可證四邊形是矩形，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵是的切線，∴，，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵是圓周角，是圓心角，所對弧相同，∴，∴，∴．（2）解：如圖2，過點作于點，連接，∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握切線的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，已知是的直徑，，弦與交于點F，過點D，A分別作的切線交于點P，與延長線交于點E．(1)求證：．(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，由題意知，則，由，可得，由，可知，則，由，可得，結(jié)論得證；（2）由，可知，設(shè)，則，，，由，可知，則，在中，由勾股定理得，即，求出滿足要求的值為1，則，，，，由，即，計算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵切于，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，設(shè)，則，，，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去），，∴，，∴，，∵，即，解得，∴的長為6．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓，已知是半圓的直徑．，平分，分別交半圓和于點，過點作，垂足為點，交于點．(1)求證：；(2)連接交于點，若，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于得到，再根據(jù)垂直定義得到及角平分線即可得到即可解答；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等邊對等角即可得到，再利用垂直平分線的定義及等邊三角形的判定即可得到是等邊三角形，最后利用弧長公式即可解答．【詳解】（1）證明：∵是半圓的直徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴點是的中點，∴垂直平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴的長為:，【點睛】本題考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的定義，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，掌握直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖1，為的直徑，于點，，與交于點．(1)求證：．(2)若，求的長．(3)連結(jié)，如圖2，求證：．【答案】(1)見解析(2)的長為(3)見解析【分析】（1）由為的直徑，于點得，又由，得到，從而得到，即，即可得證；（2）連接，由（1）得：，，從而得到，則，設(shè)，則，在中，，即，即可得到答案；（3）連接交于，則，通過證明，得到，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可得到，最后由，即可得到答案．【詳解】（1）證明：為的直徑，于點，，，，，即，；（2）解：如圖所示：連接，，由（1）得：，，，為的直徑，于點，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，的長為；（3）解：如圖所示：連接交于，，，，在和中，，，，，為半徑，，，，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，添加恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，，點D平分，連接，，．(1)求證：．(2)過點D作，分別交于點E，F(xiàn)，交于點G．①若，，求線段的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）由點D平分，可得，則，由，可得，則，進而結(jié)論得證；（2）證明四邊形是菱形，則，，證明，則，即，求解即可；②由，可得，，由，可得，證明，則，即，如圖，連接，，說明，則，進而結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：∵點D平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①解：由（1）可知，，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴線段的長為；②證明：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，如圖，連接，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．12．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，為矩形的對角線，點在上，連接，是的外接圓與的延長線的一個交點，延長交圓于點，點恰好是的中點，連接，分別交，于點，，連接．(1)求證：．(2)求證：四邊形是菱形．(3)若恰好是的中點時，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)得到是圓的直徑，再利用垂徑定理即可得到；（2）利用垂徑定理得到垂直平分，再利用平行線的判定及矩形的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)菱形的判定即可解答；（3）利用相似三角形的判定得到，，再利用相似三角形的性質(zhì)得到即可解答．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，∴，是圓的直徑，∵點是的中點，∴，∴，∴，∴．（2）證明：∵，是圓的直徑，∴垂直平分，∴，∴∵，∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形，∴是菱形．（3）連接，設(shè)．∵，，∴∵，∴，∴，∵恰好是的中點，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵點是的中點，是菱形，∴，∵，∴∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂徑定理，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，點O在的斜邊上，半圓O切于點D，切于點E，連結(jié)，Q為線段上一點，交于點P，已知，，設(shè)，．(1)求半圓O的半徑和的長．(2)若點Q在線段上．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．②在上取點F（不與點O重合），連結(jié)，當為等腰直角三角形時，求所有滿足條件x的值．(3)當經(jīng)過的中點G時，求的長．【答案】(1)半徑為2，的長(2)①；②或(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理先求出的長，再證得四邊形是正方形，然后設(shè)半圓O的半徑為r，則，，再根據(jù)，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得，再由，即可求解；②根據(jù)，可得，然后分兩種情況：當?shù)妊苯堑难鼮闀r；當?shù)妊苯堑难鼮闀r，即可求解；（3），可得，連接，先證得點G在上，然后過點G作于點N，設(shè)交于點R，可得是等腰直角三角形，從而得到，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而得到，可求出x的值，從而得到的長度，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵半圓O切于點D，切于點E，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)半圓O的半徑為r，則，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即半圓O的半徑為2，的長；（2）解：①由（1）得：，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即y關(guān)于x的函數(shù)表達式為；②由①得：，∴，即，∴，當?shù)妊苯堑难鼮闀r，，則，∴，∴，即，∴，∴，解得：；當?shù)妊苯堑难鼮闀r，，，過點P作，則，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，解得：，綜上所述，滿足條件的x的值為或；（3）解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，如圖，連接，∵點G為的中點，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴點G在上，過點G作于點N，設(shè)交于點R，∴是等腰直角三角形，∴，由（1）得：，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，解得：，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為直徑，為上一動點，連接交于點，交于點，連接．(1)設(shè)∠為，請用表示的度數(shù)．(2)如圖1，當時，①求證：．②當，時，求半徑的長．(3)如圖2，當過圓心時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)①證明見解析，②(3)【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，進而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及同弧所對的圓周角相等得出，即可求解．（2）①連接．證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；②過點作，垂足為．根據(jù)，同弧所對的圓周角相等得出，則，，進而求得，，．由可得，由勾股定理得．（3）連接交于點．得出為的中位線，可得，得出，根據(jù)，則，令，則，，繼而求得，即可求解．【詳解】（1）為直徑，，又，，．，，．（2）①連接．，，，，，．，，又，，，，，．②過點作，垂足為．，，，，，，．由，得．．，，∵∴．由勾股定理得．（3）解：如圖所示，連接交于點，，，，為直徑，．為中點．為的中位線，，．，，，．，，令，則，，，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，求函數(shù)表達式，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點A，B在直線l2上，點C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由?！净A(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點P是上一點，過點P作弦于點P，點F是上的點，且滿足，連接交于點E，若，，求的半徑．【答案】[教材呈現(xiàn)]：面積相等，理由見解析；[基礎(chǔ)鞏固]：；[嘗試應(yīng)用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈現(xiàn)]根據(jù)平行線與三角形的面積公式解答即可；[基礎(chǔ)鞏固]連接，設(shè)的半徑為，利用正方形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形面積公式得，同理，，可得即可求出陰影面積與圓面積的比；[嘗試應(yīng)用]連接，過點O作于點H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，從而可得，利用勾股定理求出，最后求得結(jié)果；[拓展提高]連接，先由垂徑定理得出，，從而可得，設(shè)，則，由勾股定理求出的長，最后求得結(jié)果．【詳解】∵，，，同底等高∴[基礎(chǔ)鞏固]連接∵∴同理，∴∴陰影面積與圓面積的比為；[嘗試應(yīng)用]連接，過點O作于點H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]連接∵為直徑，于點P∴，又∵∴∴，∴，設(shè)，則∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，設(shè)半徑為r，則解得∴的半徑為6【點睛】此題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系及勾股定理等知識點，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握兩條平行線之間的距離處處相等．16．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖1，已知內(nèi)接于，為的直徑，，，點是半圓上的一個動點，過點作交直徑于點．(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點，若，求；(3)如圖3，連接交于點，若，①求的長；②直接寫出的值為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①2；②【分析】（1）延長交于點，根據(jù)平行弦的性質(zhì)得出，進而得出，進而即可求解；（2）延長交于點，根據(jù)為的直徑，，，得出，進而根據(jù)弧的關(guān)系，證明，即可求解；（3）①證明，即可求解；②勾股定理求得，證明，得出，證明，求得，進而求得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長交于點，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，延長交于點，∵為的直徑，，，∴，設(shè)，則∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）①由（1）可知，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；②∵∴∵，∴∵∴∴∴∴∵∴∴∴解得：∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理平行弦問題，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，已知正切求邊長，求余弦，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，等腰內(nèi)接于，其中，點在上運動，，分別交、于點、，交于點．(1)求證：．(2)連結(jié)，當為的直徑時，①求證：．②連結(jié)，若∥，求的值．③連結(jié)，設(shè)，，請直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達式．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②；③【分析】（1）證明即可；（2）①利用圓周角定理證明，進而證明，則可得，即可得證；②利用圓周角定理，平行線的性質(zhì)等證明，，再證明，得出，進而得出，可求出，即可求；③連結(jié)，令，利用圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)可得，再證明得出，從而得出，利用等角對等邊得出，設(shè)設(shè)，，可求，，利用勾股定理可求，再證明，得出即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即；（2）解：①證明∵為直徑，∴∵由（1）知，∴，∴，∴②連結(jié)．∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴③過程如下：連結(jié)，令，∵，∴，∴∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，設(shè)，，∴，∵，∴，∴為直徑，∴，在中：∵，∴，∵為直徑，∴，∴，又，∴∴，即．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識，明確題意，添加合適的輔助線找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1，的直徑垂直弦于點E，點P為上的一點，連接并延長交于點Q，連接，過點P畫交的延長線于點F．若的直徑為10，．(1)求的長；(2)如圖2，當時，求的正切值；(3)如圖1，設(shè)．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若，求y的值．【答案】(1)8(2)(3)①；②【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解；（2）連接．得到是的直徑，．在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此即可求解；（3）①證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；②證明和，推出，，求得，得到；過點P作于點H，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】（1）解：如圖，連接．∵直徑，∴，．∴，即，∴．∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴是的直徑，∴．在中，，∴；（3）解：①如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．∴；②如圖，連接．∵，∴．①∵．∴，∴，②①②得，．∵，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．連接，∵是直徑，∴．∴．過點P作于點H，，∴，∴．在中，，∴．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，過點D作交于點E，的延長線與的延長線交于點F．(1)求證：是的切線．(2)若．①求的值．②當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)①；②【詳解】（1）解：（1）如圖，連結(jié)．．．．為的半徑，是的切線．（2）解：①連結(jié)．由（1）得，．是的直徑，．．，．．．．．．．②由①得，．，．．即．．【點睛】本題考查了切線的證明，相似三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角比等知識點，正確輔助線的添加是解題關(guān)鍵．20．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D在上，，動點Q從A點出發(fā)沿線段以每秒1單位的速度運動，過點Q作，交射線于點P，點P關(guān)于點D的對稱點為，以為邊在上方作正方形，設(shè)點Q運動的時間為t秒．(1)當點P在線段上時，求的長（用t的代數(shù)式表示）．(2)當正方形的頂點F或E剛好落在的的邊上時，求t的值．(3)以為直徑作，當與的邊所在的直線相切時，請求出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）在中，由勾股定理得，則，在中，即，解得，根據(jù)，求解即可；（2）由題意知，分在之間和在點右側(cè)兩種情況求解：①當在之間時，如圖1，剛好落在的的邊上，由題意知，，即，解得，由正方形的性質(zhì)可得，由，可得，計算求解即可；②當在點右側(cè)時，如圖2，剛好落在的的邊上，由題意知，，，則，由正方形的性質(zhì)可得，，由，即，計算求解滿足要求的值即可；（3）由題意知，分情況求解：①當P點在線段之間，如圖3，與相切于點，連接，連接并延長交于，則四邊形是矩形，，，解得，，，，解得，根據(jù)，即，求出值即可；②當P點在之間時，如圖4，與相切于點E，此時與B重合，則，即，求出值即可；③當P點在右側(cè)，如圖5，與相切于點F，此時P與B重合，，即，求出值即可；④當P點在線段的延長線，如圖6，與相切于點，連接，連接并延長交于，則四邊形是矩形，，由題意知，則，同①可知，，，根據(jù)，即，求出值即可．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，∴，由題意知，在中，即，解得，∴，∴；（2）解：由題意知，分在之間和在點右側(cè)兩種情況求解：①當在之間時，如圖1，剛好落在的的邊上，由題意知，，即，解得，∵正方形，∴，∵，∴，解得，∴時，剛好落在的的邊上；②當在點右側(cè)時，如圖2，剛好落在的的邊上，由題意知，，，則，∵正方形，∴，，∵，即，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，∴時，剛好落在的的邊上；綜上所述，或時，正方形的頂點F或E剛好落在的的邊上；（3）解：由題意知，分情況求解：①當P點在線段之間，如圖3，與相切于點，連接，連接并延長交于，則四邊形是矩形，，由題意知，，，∵，∴，解得，∵，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，解得，∴時，與的邊所在的直線相切；②當P點在之間時，如圖4，與相切于點E，此時與B重合，∴，即，解得，∴時，與的邊所在的直線相切；③當P點在右側(cè)，如圖5，與相切于點F，此時P與B重合，，∴，解得，∴時，與的邊所在的直線相切；④當P點在線段的延長線，如圖6，與相切于點，連接，連接并延長交于，則四邊形是矩形，，由題意知，則，同①可知，，，∵，∴，解得，∴時，與的邊所在的直線相切；綜上所述，的值為或或或時，與的邊所在的直線相切．【點睛】本題考查了正切、余弦，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．21．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，已知AB是半圓O的直徑，半徑，D是弧BC上的動點（不含點B，C），連接AC，作射線CD于點E．(1)猜想的度數(shù)，并說明理由(2)連接，若，求證：．(3)如圖2，作正方形，連接交于點G．若，，求的長．【答案】(1)，理由見解析；(2)見解析(3)．【分析】（1）先證明是等腰直角三角形，推出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及鄰補角的定義即可求解；（2）證明是等腰直角三角形，推出，再證明，利用圓心角、弦的關(guān)系即可證明；（3）連接，證明是線段的垂直平分線，設(shè)，得到，，，利用正方形的性質(zhì)求得，，證明B、E、F、C四點共圓，推出，利用勾股定理列式計算求得a的值，據(jù)此計算即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下，∵半徑，且，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴；（2）證明：如圖，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵半徑，，∴，∴；（3）解：連接，由（2）得是等腰直角三角形，∴，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴B、E、F、C四點共圓，∴，∴，∴，即，整理得，∴(負值已舍)，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．22．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，內(nèi)接于，直徑交于點E，滿足．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證：．(3)連結(jié)．①如圖2，若，，求的值．②如圖3，過點A作于點H，若長為1，，長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)見解析(3)①；②【分析】（1）連結(jié)，由是的直徑得到，由，在中，，即可得到打答案；（2）設(shè)的度數(shù)為m，則，再證明，即可得到結(jié)論；（3）①如圖，連結(jié)，設(shè)的半徑為r，證明，則，得到，解得，由勾股定理逆定理可得，即為直角三角形，，則垂直平分，則為正三角形，得到平分，求出，即可得到答案；②連結(jié)，作等腰三角形，使得F點落在上，證明，則，在中，由，得到，進一步得到，由，即，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：連結(jié)，∵是的直徑，∴，∵，，在中，，；（2）設(shè)的度數(shù)為m，則，，，在中，由三角形內(nèi)角和得，，，；（3）①如圖，連結(jié)，設(shè)的半徑為r，∵，∴是等腰三角形，∵內(nèi)接于，∴所在直線垂直平分，∴平分，，，，，又，，，，，，解得，，由勾股定理逆定理可得，即為直角三角形，，垂直平分，∴，∴為正三角形，∵平分，，；②連結(jié)，作等腰三角形，使得F點落在上，，，，，，，，又，，，，在中，，，，，即，，∴，即，【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、函數(shù)關(guān)系式等知識，綜合性較強，難度稍大，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點是上一點，過點作的切線交的延長線于點，連結(jié)，．(1)求證：．(2)求證：．(3)如圖2，弦平分交于點．①若點為的中點，，求的長．②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達式．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①；②【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)直徑所對圓周角是直角，得出，等量代換