專題11二次函數(shù)與單線段最值問題-挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（學(xué)生版）

中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）專題11二次函數(shù)與單線段最值問題

【例1】（2022?襄陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長(zhǎng)度的最大值．【例2】（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的垂線段，垂足為Q點(diǎn)．當(dāng)PQ＝時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【例4】（2022?雅安）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．1．（2020?河北模擬）已知拋物線C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的對(duì)稱軸為x＝4，C為頂點(diǎn)，且A（2，0），C（4，﹣2）【問題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點(diǎn)M，交拋物線C于點(diǎn)N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當(dāng)線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段MN的長(zhǎng)度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），現(xiàn)將其沿x軸以1個(gè)單位每秒的速度向右平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請(qǐng)求出t的取值范圍．2．（2018秋?寧城縣期末）已知，如圖，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點(diǎn)（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸DH上求作一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對(duì)稱軸向左移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．3．（2021?橋西區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，求線段DE的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2022?和平區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)D是y軸左側(cè)的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AO，DO，當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在第二象限時(shí)，在平面內(nèi)存在一條直線，這條直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)F，在第三象限交于點(diǎn)G，且點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，到直線FG的距離都相等，請(qǐng)直接寫出線段FG的長(zhǎng)．5．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）連結(jié)AD，點(diǎn)E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過E作EF∥AD交拋物線于點(diǎn)F（F在E的右側(cè)），過點(diǎn)F作FG∥x軸交ED于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，求HF的長(zhǎng)．6．（2021?南崗區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，連接CG交x軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，ON的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，連接PB，將線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，點(diǎn)D恰好落在y軸上，點(diǎn)E在線段OB上，連接PE，點(diǎn)Q在EB的延長(zhǎng)線上，且EQ＝PE，連接DQ交PE于點(diǎn)F，若PE＝3PF，求QN的長(zhǎng)．7．（2021?涼山州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．8．（2022?無錫二模）已知拋物線y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若M、N是第一象限的拋物線上不同的兩點(diǎn)，且△BCN的面積總小于△BCM的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若D為拋物線的頂點(diǎn)，P為第二象限的拋物線上的一點(diǎn)，連接BP、DP，分別交y軸于點(diǎn)E、F，若EF＝OC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．9．（2021?乳源縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，連接AM，CM，求△AMC的面積；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線CA的解析式；（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，DG⊥CA于點(diǎn)G，若E為GA的中點(diǎn)，求m的值．（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．11．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點(diǎn)A（﹣1，5）和點(diǎn)B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2021?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m+1．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減?。偾髆的取值范圍；②當(dāng)PQ≤7時(shí)，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．13．（2020?武漢模擬）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）如圖1，過點(diǎn)A的直線y＝ax+a交y軸正半軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE∥y軸交AD于E，求證：AF＝DE．（3）如圖2，直線DE：y＝kx+b與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，滿足DF＝FE．若a＝1，求點(diǎn)F坐標(biāo)．14．（2020?哈爾濱模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過坐標(biāo)軸上A、B和C三點(diǎn)，連接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q在第四象限的拋物線上且橫坐標(biāo)為t，連接BQ交y軸于點(diǎn)E，連接CQ、CB，△BCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；（3）已知點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接CQ，DH所在直線是拋物線的對(duì)稱軸，連接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x軸交拋物線于點(diǎn)R，HQ＝HR，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．15．（2019?衡陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB．請(qǐng)問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2020?天津）已知點(diǎn)A（1，0）是拋物線y＝ax2+bx+m（a，b，m為常數(shù)，a≠0，m＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1，m＝﹣3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（m，0），與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝2．①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE＝EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是？17．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（2020?濱州）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（h，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)F（2，1）為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知直線l是過點(diǎn)C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D（4，3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)△DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．19．（2016?巴彥淖爾）如圖所示，拋物線y＝ax2﹣x+c經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)A（6，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交直線y＝2x﹣2于點(diǎn)C，且直線y＝2x﹣2與x軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y＝2x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷