專題09二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(原卷版+解析)

專題09二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征考點(diǎn)1：新定義；考點(diǎn)2：二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)；考點(diǎn)3：拋物線與x軸的交點(diǎn)。題型01新定義題型01新定義1．（易錯(cuò)題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′＝n﹣4；m＜0時(shí)，n′＝﹣n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（﹣2，3）的限變點(diǎn)是P2′（﹣2，﹣3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)﹣1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤32．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．下列函數(shù)的圖象中不存在“好點(diǎn)”的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y=2x D．y＝x23．若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜04．新定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，若“圖象數(shù)”是[m﹣1，m﹣2，m﹣3]的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝．5．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)滿足a＝b≠0，則稱點(diǎn)P為“對等點(diǎn)”．已知二次函數(shù)y＝x2+2mx﹣m的圖象上存在兩個(gè)不同的“對等點(diǎn)”，且這兩個(gè)“對等點(diǎn)”關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的值為．6．（易錯(cuò)題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x＜0)，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)例如：點(diǎn)（1，2）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（﹣1，3）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（﹣1，﹣3）．（1）若點(diǎn)（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y＝x+3圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)”，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的值為．7．如果拋物線y＝ax2+bx+c過定點(diǎn)M（1，1），則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線．（1）張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式．小敏寫出了一個(gè)答案：y＝2x2+3x﹣4，請你寫出一個(gè)不同于小敏的答案；（2）張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線y＝﹣x2+2bx+c+1，求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式，請你解答．題型02二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)題型02二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)8．若二次函數(shù)y＝|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（2，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y19．已知點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若c＜0，則a＜c＜b B．若c＜0，則a＜b＜c C．若c＞0，則a＜c＜b D．若c＞0，則a＜b＜c10．（易錯(cuò)題）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0 C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜011．（易錯(cuò)題）已知點(diǎn)A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點(diǎn)B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜112．若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為．13．（易錯(cuò)題）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y＝2x2+4x﹣2上的點(diǎn)，坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于線段AB的中點(diǎn)處，則AB的長為．14．已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2＝12﹣y1，求m的值．15．（易錯(cuò)題）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．題型03拋物線與x軸的交點(diǎn)題型03拋物線與x軸的交點(diǎn)16．若拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，P為這條拋物線的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）17．二次函數(shù)y＝x2+x+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，點(diǎn)P（m，n）是圖象上一點(diǎn)，那么下列判斷正確的是（）A．當(dāng)n＜0時(shí)，m＜0 B．當(dāng)n＞0時(shí)，m＞x2 C．當(dāng)n＜0時(shí)，x1＜m＜x2 D．當(dāng)n＞0時(shí)，m＜x118．（易錯(cuò)題）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，圖象上有一點(diǎn)M（x0，y0），在x軸下方，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a(chǎn)＞0 C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x219．二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A、B（m+2，0）與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線上，坐標(biāo)為（m，c），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是拋物線y＝x2+bx+1上的兩點(diǎn)，將拋物線y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則n的最小值為．22．（易錯(cuò)題）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達(dá)式及其圖象的對稱軸．（2）若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值．（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達(dá)式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（x0，0）時(shí)，求x0﹣m的值．

專題09二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征考點(diǎn)1：新定義；考點(diǎn)2：二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)；考點(diǎn)3：拋物線與x軸的交點(diǎn)。題型01新定義題型01新定義1．（易錯(cuò)題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′＝n﹣4；m＜0時(shí)，n′＝﹣n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（﹣2，3）的限變點(diǎn)是P2′（﹣2，﹣3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)﹣1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3解：由題意可知，當(dāng)m≥0時(shí)，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，﹣2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時(shí)，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴當(dāng)﹣1≤m＜0時(shí)，﹣2＜n′≤3，綜上，當(dāng)﹣1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3，答案：D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．下列函數(shù)的圖象中不存在“好點(diǎn)”的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+2 C．y=2x D．y＝x2解：∵橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，∴當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，A．x＝﹣x，解得x＝0；不符合題意；B．x＝x+2，此方程無解，符合題意；C．x2＝2，解得x＝±2，不符合題意；D．x＝x2﹣2x，解得x1＝0，x2＝3，不符合題意．答案：B．3．若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0解：將（k，2k）代入二次函數(shù)，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．∵（t+1）k2+tk+s＝0是關(guān)于k的二次方程，總有兩個(gè)不同的實(shí)根，∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s∵f（t）＞0，∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．答案：D．4．新定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，若“圖象數(shù)”是[m﹣1，m﹣2，m﹣3]的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝3．解：根據(jù)題意得y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m﹣3，把（0，0）代入得m﹣3＝0，解得m＝3．答案：3．5．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)滿足a＝b≠0，則稱點(diǎn)P為“對等點(diǎn)”．已知二次函數(shù)y＝x2+2mx﹣m的圖象上存在兩個(gè)不同的“對等點(diǎn)”，且這兩個(gè)“對等點(diǎn)”關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的值為12解：設(shè)這兩個(gè)“對等點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a．a(chǎn)）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+2mx﹣m得a2兩式相減得2a＝4am，解得m=1答案：126．（易錯(cuò)題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=y(x≥0)?y(x＜0)，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)例如：點(diǎn)（1，2）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（﹣1，3）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（﹣1，﹣3）．（1）若點(diǎn)（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y＝x+3圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)”，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）．（2）若點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的值為42．解：（1）根據(jù)定義，點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，2）．（2）依題意，y＝﹣x2+16圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)y′=?∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16．∴x＝42．∴a的值為42．答案：（﹣1，2），42．7．如果拋物線y＝ax2+bx+c過定點(diǎn)M（1，1），則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線．（1）張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式．小敏寫出了一個(gè)答案：y＝2x2+3x﹣4，請你寫出一個(gè)不同于小敏的答案；（2）張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線y＝﹣x2+2bx+c+1，求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式，請你解答．解：（1）依題意，選擇點(diǎn)（1，1）作為拋物線的頂點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)是1，根據(jù)頂點(diǎn)式得：y＝x2﹣2x+2；（2）∵定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1＝1，∴c＝1﹣2b，∵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)c+b2+1＝2﹣2b+b2＝（b﹣1）2+1，∴當(dāng)b＝1時(shí)，c+b2+1最小，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小，此時(shí)c＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x．題型02二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)題型02二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)8．若二次函數(shù)y＝|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（2，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1解：∵經(jīng)過A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函數(shù)的對稱軸x=3∵B（0，y1）、D（2，y2）、E（2，y3）與對稱軸的距離B最遠(yuǎn)，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；答案：D．9．已知點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若c＜0，則a＜c＜b B．若c＜0，則a＜b＜c C．若c＞0，則a＜c＜b D．若c＞0，則a＜b＜c解：∵拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線開口向上，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴若c＜0，則c＜a＜b，故選項(xiàng)A、B均不符合題意；若c＞0，則a＜b＜c，故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意；答案：D．10．（易錯(cuò)題）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0 C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0解：如圖，由題意對稱軸為直線x＝1，觀察圖象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如圖1中，則y3y4＜0，選項(xiàng)A不符合題意，若y1y4＞0，如圖2中，則y2y3＜0，選項(xiàng)B不符合題意，若y2y4＜0，如圖3中，則y1y3＜0，選項(xiàng)C符合題意，若y3y4＜0，如圖4中，則y1y2＞0，選項(xiàng)D不符合題意，答案：C．11．（易錯(cuò)題）已知點(diǎn)A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點(diǎn)B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，解得x1＝﹣5，x2＝4，∴直線y＝3x+19與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣5，4，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，頂點(diǎn)為（﹣2，﹣5），把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，答案：A．12．若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為4．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，﹣4），∴頂點(diǎn)到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m，∴m＝4，答案：4．13．（易錯(cuò)題）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y＝2x2+4x﹣2上的點(diǎn)，坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于線段AB的中點(diǎn)處，則AB的長為217．解：∵原點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，∴A（x1，y1）與B（x2，y2）關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，∵y＝2x2+4x﹣2＝2（x+1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∴A點(diǎn)和B點(diǎn)在第一、三象限，設(shè)A點(diǎn)在第一象限，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣x1，﹣y1），∴y1＝2x12+4x1﹣2，﹣y1＝2x12﹣4x1﹣2，∴x1＝1，∴y1＝4，∴A（1，4）與B（﹣1，﹣4），∴AB=(1+1)2答案：217．14．已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2＝12﹣y1，求m的值．解：（1）把點(diǎn)（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，?2=a+b+113=4a?2b+1解得：a=1b=?4（2）由（1）得函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+1，把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，∴y2＝12﹣y1＝6，∵y1＝y(tǒng)2，且對稱軸為直線x＝2，∴m＝4﹣5＝﹣1．15．（易錯(cuò)題）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．解：（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（1，0）和（﹣3，0），∴a+b+3=09a?3b+3=0∴解得a=?1b=?2∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）∵y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，∵y＝ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A（n，3），（0，3），且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，∴由圖象的對稱性得n＝2m，∴m=n∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜n∴﹣4＜n＜﹣2；（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），∴拋物線對稱軸為直線x=?m+3m2∴?b2a∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：am①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．16．若拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，P為這條拋物線的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）解：設(shè)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4．對稱軸為直線x＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，?b∴（?b1）2﹣4×c解得c＝0，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4），∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），答案：A．題型03拋物線與x軸的交點(diǎn)題型03拋物線與x軸的交點(diǎn)17．二次函數(shù)y＝x2+x+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，點(diǎn)P（m，n）是圖象上一點(diǎn)，那么下列判斷正確的是（）A．當(dāng)n＜0時(shí)，m＜0 B．當(dāng)n＞0時(shí)，m＞x2 C．當(dāng)n＜0時(shí)，x1＜m＜x2 D．當(dāng)n＞0時(shí)，m＜x1解：∵a＝1＞0，∴開口向上，∵拋物線的對稱軸為：x=?b二次函數(shù)y＝x2+x+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，無法確定x1與x2的正負(fù)情況，∴當(dāng)n＜0時(shí)，x1＜m＜x2，但m的正負(fù)無法確定，故A錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)n＞0時(shí)，m＜x1或m＞x2，故B，D錯(cuò)誤，答案：C．18．（易錯(cuò)題）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，圖象上有一點(diǎn)M（x0，y0），在x軸下方，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a(chǎn)＞0 C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2解：A、當(dāng)a＞0時(shí)，∵點(diǎn)M（x0，y0），在x軸下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；當(dāng)a＜0時(shí)，若點(diǎn)M在對稱軸的左側(cè)，則x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)，則x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；綜上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本選項(xiàng)正確；B、a的符號不能確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x1、x0、x2的大小無法確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：A．19．二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為4．解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3，∴|x1﹣x2|＝4．20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A、B（m