第1講實數(shù)(實數(shù)的有關(guān)概念和運算)(精練)(原卷版+解析)2

第1講：實數(shù)（實數(shù)的有關(guān)概念和運算）（精練）A基礎(chǔ)訓(xùn)練B能力提升A基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單選題1．（2022·重慶文德中學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列語句中，正確的是（）A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的C．無理數(shù)分為正無理數(shù)、0和負無理數(shù) D．無理數(shù)的平方一定是無理數(shù)2．（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）3的算術(shù)平方根是（）A．3 B． C． D．3．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）實數(shù)2，-3，0.6，，是無理數(shù)的為（

）A．2 B．-3 C．0.6 D．4．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，數(shù)軸上的點M表示的數(shù)可能是（

）A．﹣1 B． C．π D．15．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）實數(shù)，0，，，，0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次多一個0)中無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022·山東·樂陵市化樓鎮(zhèn)化樓中學(xué)七年級階段練習(xí)）定義一種新運算，計算的值為（

）A．7 B． C．1 D．47．（2022·山東·棗莊市第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列運算中錯誤的有（

）個①

②

③

④

⑤．A．4 B．3 C．2 D．18．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）若x，y為實數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-29．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學(xué)校九年級期中）估算在（

）A．4.8和4.9之間 B．4.9和5.0之間C．5.8和5.9之間 D．5.9和6.0之間10．（2022·廣東佛山·八年級階段練習(xí)）若，則估計m的值所在范圍是（

）A． B． C． D．11．（2022·山西實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)），，則的值為（）A．13.11 B． C．41.47 D．12．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．近似數(shù)6.9×104是精確到十分位B．將80360精確到千位為8.0×104C．近似數(shù)17.8350是精確到0.001D．近似數(shù)149.60與1.496×102相同13．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）若實數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，其中，則正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．14．（2021·廣西桂林·九年級階段練習(xí)）去年的一場疫情讓全球經(jīng)濟體的經(jīng)濟總量都發(fā)生了翻天覆地的變化，我國管控能力強、經(jīng)濟復(fù)蘇快，從而在世界經(jīng)濟的比重擴大，其中我國最大的經(jīng)濟體廣東和江蘇GDP超越巴西和俄羅斯位列世界經(jīng)濟體11和12位，其中廣東省GDP總額約16060億美元，用科學(xué)計數(shù)法表示16060為（

）．A．0.1606×106 B．1.606×105 C．1.606×104 D．16.06×10315．（2022·陜西·七年級階段練習(xí)）規(guī)定一種新運算：，如，則等于（

）A．－16 B．－12 C．4 D．12二、填空題16．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上表示的點可能是點______．17．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)八年級期中）規(guī)定：用符號表示一個不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：，，，（1）__________；（2）若__________．18．（2022·上海·上外附中八年級階段練習(xí)）若x，y滿足，則的平方根為___________．19．（2022·湖南·測試·編輯教研五八年級階段練習(xí)）圓周率，如果取近似數(shù)3.14，它精確到_______位，有_______個有效數(shù)字；如果取近似數(shù)3.1415926，它精確到_______位，有_____個有效數(shù)字．20．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）南北朝時期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是一種用程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法．其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有x，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知π，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)．現(xiàn)已知，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分數(shù)為_____．三、解答題21．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）計算：．22．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算(1)；(2)．23．（2022·山東·寧津縣德清中學(xué)七年級期中）計算：(1)；(2)24．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算(1)(2)(3)(4)B能力提升1．（2022·湖南·寧遠縣嶷山學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是．例如：，．(1)按照這個規(guī)定，請你計算的值；(2)按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)時，求的值．2．（2022·河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖1，這是一個由27個同樣大小的立方體組成的三階魔方，體積為27．(1)求出這個魔方的棱長：(2)圖中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長(3)如圖2．把圖1中的正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得點A與-1重合，那么點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為______．3．（2022·河南·鄭州市第七十三中學(xué)八年級階段練習(xí)）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，看到北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)課本43頁有這樣一道題目：如圖，兩個正方形的邊長分別是多少？你能借助這個圖形解釋嗎？小明想了想做出如下解答過程：“如圖，大正方形的面積為8，則它的邊長為；小正方形的面積為2，則小正方形的邊長為．借助這個圖形，可以得到大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，即．”老師夸贊小明做得非常好，繼續(xù)提出一個新的問題：你能設(shè)計一個圖形解釋嗎？請你畫出相應(yīng)的圖形并借助圖形幫助小明解答這個問題．4．（2022·江蘇·鹽城市初級中學(xué)八年級期中）二次根式的學(xué)習(xí)，我們不僅要關(guān)注二次根式本身的性質(zhì)、運算，還要用到與完全平方，不等式等相結(jié)合的一些運算，從而更好地指導(dǎo)我們解決生活實際問題．【問題提出】比較與（，）的大小，【問題探究】我們不妨特殊化問題，分別給a、b進行賦值．(1)比較下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）______；______；______(2)由（1）中各式猜想______（，），當(dāng)且僅當(dāng)a______b時，．猜想證明過程如下：=…請補全上述證明過程；(3)【靈活應(yīng)用】萬眾一心齊攜手，眾志成城抗疫情．其中，高速入檢處就解決臨時隔離問題用48米長的鋼絲網(wǎng)靠墻（墻的長度不限）圍建了6間相同的矩形隔離房．設(shè)每間隔離房的面積為S（米），當(dāng)每間隔離房的長、寬各為多少時，每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？5．（2022·山東煙臺·八年級期中）觀察下列等式：；；；……(1)【觀察猜想】根據(jù)以上規(guī)律歸納出：①______________．（不填中間式子）②_______________．（不填中間式子）(2)【論證猜想】請證明②這個等式．(3)【拓展運用】根據(jù)以上規(guī)律，求的值．6．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．第1講：實數(shù)（實數(shù)的有關(guān)概念和運算）（精練）A基礎(chǔ)訓(xùn)練B能力提升A基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單選題1．（2022·重慶文德中學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列語句中，正確的是（）A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的C．無理數(shù)分為正無理數(shù)、0和負無理數(shù) D．無理數(shù)的平方一定是無理數(shù)【答案】B【詳解】A項，無限小數(shù)中，無限循環(huán)小數(shù)就是有理數(shù)，A選項說法錯誤；B項，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，B選項正確；C項，無理數(shù)分為正無理數(shù)、負無理數(shù)，0是有理數(shù)；C選項說法錯誤；A項，無理數(shù)的平方一定是無理數(shù)說法錯誤．比如是無理數(shù)，的平方是2，不是無理數(shù)，D選項錯誤．故選：B．2．（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）3的算術(shù)平方根是（）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】解：3的算術(shù)平方根是，故選：C．3．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）實數(shù)2，-3，0.6，，是無理數(shù)的為（

）A．2 B．-3 C．0.6 D．【答案】D【詳解】解：無理數(shù)是指無限不循環(huán)的小數(shù)，開方開不盡的數(shù)就是其中一種，∴是無理數(shù)，故選：D．4．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，數(shù)軸上的點M表示的數(shù)可能是（

）A．﹣1 B． C．π D．1【答案】B【詳解】解：如圖，設(shè)點表示的數(shù)為，則，則數(shù)軸上的點表示的數(shù)可能是．故選：B．5．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）實數(shù)，0，，，，0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次多一個0)中無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：無理數(shù)有，，共2個，故選：B．6．（2022·山東·樂陵市化樓鎮(zhèn)化樓中學(xué)七年級階段練習(xí)）定義一種新運算，計算的值為（

）A．7 B． C．1 D．4【答案】D【詳解】解：∵，∴故選D．7．（2022·山東·棗莊市第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列運算中錯誤的有（

）個①

②

③

④

⑤．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：①，①錯誤，②，②錯誤，③，③錯誤，④，④正確，⑤，⑤錯誤，運算錯誤的有4個故選：A8．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）若x，y為實數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【詳解】解：，，，，，，故選：B．9．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學(xué)校九年級期中）估算在（

）A．4.8和4.9之間 B．4.9和5.0之間C．5.8和5.9之間 D．5.9和6.0之間【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴；故選B．10．（2022·廣東佛山·八年級階段練習(xí)）若，則估計m的值所在范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，即，∴，即，∵，∴，故選：B．11．（2022·山西實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)），，則的值為（）A．13.11 B． C．41.47 D．【答案】C【詳解】解：∵∴，故選：C．12．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．近似數(shù)6.9×104是精確到十分位B．將80360精確到千位為8.0×104C．近似數(shù)17.8350是精確到0.001D．近似數(shù)149.60與1.496×102相同【答案】B【詳解】解：A選項，近似數(shù)6.9×104是精確到千位，故該選項不符合題意；B選項，將80360精確到千位為8.0×104，故該選項符合題意；C選項，近似數(shù)17.8350是精確到0.0001，故該選項不符合題意；D選項，近似數(shù)149.60精確到0.01，1.496×102精確到0.1，故該選項不符合題意；故選：B．13．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）若實數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，其中，則正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，，，互為相反數(shù)，原點在這兩個點構(gòu)成的線段的中點處，A、，，互為相反數(shù)，，，，該選項說法錯誤，不符合題意；B、，，，該選項說法錯誤，不符合題意；C、，，，該選項說法錯誤，不符合題意；D、，，，該選項說法正確，符合題意；故選：D．14．（2021·廣西桂林·九年級階段練習(xí)）去年的一場疫情讓全球經(jīng)濟體的經(jīng)濟總量都發(fā)生了翻天覆地的變化，我國管控能力強、經(jīng)濟復(fù)蘇快，從而在世界經(jīng)濟的比重擴大，其中我國最大的經(jīng)濟體廣東和江蘇GDP超越巴西和俄羅斯位列世界經(jīng)濟體11和12位，其中廣東省GDP總額約16060億美元，用科學(xué)計數(shù)法表示16060為（

）．A．0.1606×106 B．1.606×105 C．1.606×104 D．16.06×103【答案】C【詳解】解：16060=1.606×104．故選：C．15．（2022·陜西·七年級階段練習(xí)）規(guī)定一種新運算：，如，則等于（

）A．－16 B．－12 C．4 D．12【答案】B【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：原式．故選：B．二、填空題16．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上表示的點可能是點______．【答案】Q【詳解】解：∵，∴，∴表示的點可能是點Q．故答案為：Q．17．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)八年級期中）規(guī)定：用符號表示一個不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：，，，（1）__________；（2）若__________．【答案】

1

【詳解】解：∵，∴；故答案為1；．18．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙夒A段練習(xí)）若x，y滿足，則的平方根為___________．【答案】【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根為，∴的平方根為，故答案為：．19．（2022·湖南·測試·編輯教研五八年級階段練習(xí)）圓周率，如果取近似數(shù)3.14，它精確到_______位，有_______個有效數(shù)字；如果取近似數(shù)3.1415926，它精確到_______位，有_____個有效數(shù)字．【答案】

百分

三

千萬分

八【詳解】解：圓周率取近似數(shù)3.14，精確到百分位，有三個有效數(shù)字；如果取近似數(shù)3.1415926，精確到千萬分位，有八個有效數(shù)字．故答案為：百分，三；千萬分，八．20．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）南北朝時期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是一種用程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法．其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有x，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知π，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)．現(xiàn)已知，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分數(shù)為_____．【答案】【詳解】解：∵，∴利用“調(diào)日法”后可得到的一個更為精確的近似分數(shù)為：，∵，∴，∴再利用“調(diào)日法”后可得到的一個更為精確的近似分數(shù)為：，故答案為：．三、解答題21．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）計算：．【答案】【詳解】解：．22．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算(1)；(2)．【答案】(1)3(2)0【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．23．（2022·山東·寧津縣德清中學(xué)七年級期中）計算：(1)；(2)【答案】(1)10；(2)．【詳解】（1）；（2）24．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：===；（2）===；（3）=====；（4）===B能力提升1．（2022·湖南·寧遠縣嶷山學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是．例如：，．(1)按照這個規(guī)定，請你計算的值；(2)按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)時，求的值．【答案】(1)；(2)．（1）解：；（2）解：，當(dāng)時，原式．2．（2022·河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖1，這是一個由27個同樣大小的立方體組成的三階魔方，體積為27．(1)求出這個魔方的棱長：(2)圖中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長(3)如圖2．把圖1中的正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得點A與-1重合，那么點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為______．【答案】(1)3(2)面積為：5，邊長為：；(3)（1）設(shè)魔方的棱長為，則，解得：；（2）棱長為3，每個小立方體的邊長都是1，設(shè)正方形的邊長為，則解得，∴正方形的面積為，邊長為（3）正方形的邊長為，點與重合，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為：，故答案為：．3．（2022·河南·鄭州市第七十三中學(xué)八年級階段練習(xí)）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，看到北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)課本43頁有這樣一道題目：如圖，兩個正方形的邊長分別是多少？你能借助這個圖形解釋嗎？小明想了想做出如下解答過程：“如圖，大正方形的面積為8，則它的邊長為；小正方形的面積為2，則小正方形的邊長為．借助這個圖形，可以得到大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，即．”老師夸贊小明做得非常好，繼續(xù)提出一個新的問題：你能設(shè)計一個圖形解釋嗎？請你畫出相應(yīng)的圖形并借助圖形幫助小明解答這個問題．【答案】見解析．【詳解】解：如圖，大正方形的面積為2，則它的邊長為；小正方形的面積為，則小正方形的邊長為．借助這個圖形，大正方形的面積是小正方形的面積的4倍，∴大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，即，小正方形的邊長是大正方形邊長的一半，即4．（2022·江蘇·鹽城市初級中學(xué)八年級期中）二次根式的學(xué)習(xí)，我們不僅要關(guān)注二次根式本身的性質(zhì)、運算，還要用到與完全平方，不等式等相結(jié)合的一些運算，從而更好地指導(dǎo)我們解決生活實際問題．【問題提出】比較與（，）的大小，【問題探究】我們不妨特殊化問題，分別給a、b進行賦值．(1)比較下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）______；______；______(2)由（1）中各式猜想______（，），當(dāng)且僅當(dāng)a______b時，．猜想證明過程如下：=…請補全上述證明過程；(3)【靈活應(yīng)用】萬眾一心齊攜手，眾志成城抗疫情．其中，高速入檢處就解決臨時隔離問題用48米長的鋼絲網(wǎng)靠墻（墻的長度不限）圍建了6間相同的矩形隔離房．設(shè)每間隔離房的面積為S（米），當(dāng)每間隔離房的長、寬各為多少