專題03填空中檔題：方程與幾何綜合(原卷版+解析)

專題03填空中檔題：方程與幾何綜合一、填空題（43題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元一次不等式組，至少有2個整數解，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）4．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為．（結果不取近似值）5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）．6．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為．7．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點D為邊BC的中點，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內，得，連接，分別與邊AB交于點E，與AD交于點O．若，，則AD的長為．8．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┰谥?，，，點D是AB邊上一點，，連接CD，將沿CD翻折得到，其中與AB邊交于點E，，連接，則的長為．9．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┤魯祄使關于x的不等式組的解集為，且使關于y的分式方程的解為正數，則符合條件的所有整數m的和為．10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考一模）若關于x的不等式組有且只有四個整數解，且關于y的分式方程的解為非正數，則符合條件的所有整數a的和為．11．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，對角線，交于點O．以為直徑在上方作半圓，半圓與交于點E，再以B為圓心，為半徑作弧．若，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）

12．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考一模）若關于x的一元一次不等式組無解，且關于y的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．13．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學?？家荒＃┤鐖D，在邊長為5的正方形中，點E，F分別是上的兩點，BE⊥EF，，則的長為．14．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校?？家荒＃┤鐖D，在正方形中，對角線與相交于點，點在的延長線上，連接，點是的中點，連接交于點，連接，若，，則的長為．15．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校校考一模）若關于x的不等式組有且僅有四個整數解，關于y的分式方程有整數解，則符合條件的所有整數a的和是．16．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點E為邊上一點，將沿翻折到處，延長交于點G，延長交于點H，且，則的長是．17．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組無解，且使關于y的分式方程有整數解，則所有符合題意的整數a的值之和是．18．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若關于的一元一次不等式組有解，且關于的分式方程的解是正數，則所有滿足條件的整數的值之和是．19．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點是上的一點．過點作，交的延長線于點．連接，點是的中點，連接．若，，則線段的長為．20．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）在邊長為10的正方形中，點E為上一點，連接，將沿著折疊得到，連接、．若，且，則．21．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）如果關于的不等式組的解集為，且關于的分式方程有非負整數解，所有符合條件的的和是．22．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形中，點E是的中點，過點E作的垂線交正方形外角的平分線于點F，交邊于點M，連接交于點N，則的長為．23．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤絷P于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．24．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．25．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，D是邊上一點（點D不與A、B重合）．將沿著翻折，點B的對應點為點E，交于點F，如果，則．

26．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組至少有2個整數解，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之積是．27．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點M，再以點C為圓心，的長為半徑畫弧，交于點N.若，，則圖中陰影部分的面積為.

28．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，對角線、相交于點E，將沿著翻折到，連接，則的長為.

29．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？级＃┤絷P于的一元一次不?式組的解集為，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的的值之積為．30．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考二模）若關于y的分式方程有解，且關于x的一元一次不等式組有解且至多有2個整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是．31．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？级＃┤絷P于的不等式組的解集為，且關于的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是．32．（2023·重慶·重慶實驗外國語學校?？级＃┤鐖D，在正方形中，，對角線相交于點O．點F為中點，交于點G．點E是對角線上一點，且，交于點H，則的長為．33．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．34．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在矩形中，，E是上一點，把沿折疊得到，當點落在線段上時，的長為．35．（2023·重慶江津·重慶市江津中學校?？级＃┤絷P于的不等式組有且只有五個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則符合條件的所有整數的和為．36．（2023·重慶江津·重慶市江津中學校?？级＃┤鐖D，△ABO的頂點A在函數的圖象上，∠ABO=90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k的值為．37．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，連接平分交于點G，若，則的度數為．

38．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）關于x的分式方程的解為非負數，且關于y的不等式組的解集為，則符合條件的整數a的值之和是．39．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校?？既＃╆P于的不等式組的解集為，且關于的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數的和為．40．（2023·重慶·三模）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程=1的解是整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．41．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤绻P于y的分式方程有整數解，且關于x的不等式組有且只有兩個整數解，那么符合條件的所有整數a的值之和是．42．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？既＃┤絷P于的不等式組的解集為，且關于的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數的值的和是．43．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考三模）若關于的一元一次不等式組的解集為；且關于y的分式方程有負整數解，則所有滿足條件的m的整數值之和是．

專題03填空中檔題：方程與幾何綜合一、填空題（43題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元一次不等式組，至少有2個整數解，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程有正整數解，確定出a的值，相加即可得到答案．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式的解集為，∵不等式組至少有2個整數解，∴，解得：；∵關于y的分式方程有非負整數解，∴解得：，即且，解得：且∴a的取值范圍是，且∴a可以?。?，3，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為．【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得，再解分式方程可得且，從而可得且，然后將所有滿足條件的整數的值相加即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵關于的不等式組的解集為，，解得，方程可化為，解得，關于的分式方程的解為正數，且，解得且，且，則所有滿足條件的整數的值之和為，故答案為：13．【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）【答案】【分析】先根據特殊角的銳角三角函數值，求出，進而求出，再根據扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形，，以B為圓心，的長為半輕畫弧，交于點E，，，在中，，，，，S陰影．故答案為：．【點睛】本題考查了由特殊角的三角函數值求角度數，矩形的性質，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知識點并熟練運用是解題的關鍵．4．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，分別以點，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為．（結果不取近似值）【答案】【分析】連接BD交AC于點G，證明△ABD是等邊三角形，可得BD＝2，然后根據菱形的性質及勾股定理求出AC，再由S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．【詳解】解：連接BD交AC于點G，∵四邊形是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵，∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝，∴，∴AC＝，∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，扇形的面積公式等，在求陰影部分面積時，能夠將求不規(guī)則圖形的面積轉化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關鍵．5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）．【答案】【分析】利用矩形的性質求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，扇形的面積等知識，正確的識別圖形是解題的關鍵．6．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為．【答案】【分析】根據折疊的性質得到DE為的中位線，利用中位線定理求出DE的長度，再解求出AF的長度，即可求解．【詳解】解：∵將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合，∴DE垂直平分AF，，，，∵DE∥BC，∴，，，∴，∴，∴，即D為AB的中點，∴DE為的中位線，∴，∵AF＝EF，∴是等邊三角形，在中，，，∴，∴，∴四邊形ADFE的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質等內容，掌握上述基本性質定理是解題的關鍵．7．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點D為邊BC的中點，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內，得，連接，分別與邊AB交于點E，與AD交于點O．若，，則AD的長為．【答案】3【分析】利用翻折的性質可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長度，即可求出AD的長度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點，∵點D為邊BC的中點，O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了翻折的性質，三角形的中位線的判定和性質，以及平行線分線段成比例的性質，掌握三角形的中位線的判定和性質，以及平行線分線段成比例的性質是解題的關鍵．8．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┰谥校?，，點D是AB邊上一點，，連接CD，將沿CD翻折得到，其中與AB邊交于點E，，連接，則的長為．【答案】【分析】先求解，結合折疊性質可得：，證明，可得，可得，設，解得：，可得，，過作于，求解，，再結合勾股定理可得答案．【詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴，結合折疊性質可得：，∴，∴，∴，∴，設，∵，，∴，，∴，解得：，（經檢驗不合題意舍去）∴，，過作于，∴由可得：，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，靈活運用以上知識，作出適當的輔助線是解本題的關鍵．9．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┤魯祄使關于x的不等式組的解集為，且使關于y的分式方程的解為正數，則符合條件的所有整數m的和為．【答案】10【分析】根據不等式組的解集確定m的取值范圍，再根據分式方程的解為正數，得出m的所有可能的值，再進行計算即可．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵整數m使關于x的一元一次不等式組的解集是，∴，解分式方程得：，且，∵分式方程的解是正數，∴，∴，且，∵為整數，∴，∴符合條件的所有整數k的值之和為，故答案為：10．【點睛】本題考查分式方程的整數解，解一元一次不等式組，掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，理解分式方程的整數解的意義是正確解答的前提．10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┤絷P于x的不等式組有且只有四個整數解，且關于y的分式方程的解為非正數，則符合條件的所有整數a的和為．【答案】【分析】先求出不等式組和分式方程的解，再根據解的情況確定a的范圍，即可求解．【詳解】解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為，∵不等式組有且只有四個整數解，∴，即，解得，∵解為非正數，∴且，即且，∴符合條件的整數a有，∴符合條件的所有整數a的和為，故答案為：．【點睛】本題考查了解不等式組和解分式方程，根據不等式組的解的情況和分式方程的解的情況確定出a的范圍是解題的關鍵．11．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，對角線，交于點O．以為直徑在上方作半圓，半圓與交于點E，再以B為圓心，為半徑作弧．若，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）

【答案】【分析】連接點E和中點F，交于點G，易證為等邊三角形，求出，再證明為等邊三角形，即可求出和，最后根據陰影部分的面積即可求解．【詳解】解：連接點E和中點F，交于點G，∵四邊形為菱形，，∴，，，∵，∴為等邊三角形，，在中，，∴，∵，∴為等邊三角形，則，∵點F為中點，∴，∴，∵，∴為中位線，則，∵，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則則圖形的面積，解題的關鍵是掌握求扇形面積的方法和步驟，得出陰影部分的面積．12．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學?？家荒＃┤絷P于x的一元一次不等式組無解，且關于y的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】【分析】先解不等式組，根據不等式組無解，得出，解分式方程，根據分式方程的解為正整數，得出，求其和，即可求解．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∵不等式組無解∴解得：，解分式方程解得：∵或∴或∵分式方程的解為正整數，∴，且解得：，∵∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查含參數的分式方程和含參數的不等式組，掌握由解集倒推參數范圍是解本題關鍵．13．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考一模）如圖，在邊長為5的正方形中，點E，F分別是上的兩點，BE⊥EF，，則的長為．【答案】【分析】由于，所以過E作的垂線交于N，交于M，證明，設，利用列出方程，再運用勾股定理即可求解．【詳解】解：過E作的垂線交于N，交于M，如圖，∵是正方形，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，為對角線，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，∴，在，,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，利用，構造一線三直角的全等模型，是解決此題的突破口．14．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校?？家荒＃┤鐖D，在正方形中，對角線與相交于點，點在的延長線上，連接，點是的中點，連接交于點，連接，若，，則的長為．【答案】【分析】根據三角形中位線的性質得出，進而得出，勾股定理求得，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：∵在正方形中，對角線與相交于點，點是的中點，，∴點O是的中點，∴，∵，∴，在中，,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．15．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校?？家荒＃┤絷P于x的不等式組有且僅有四個整數解，關于y的分式方程有整數解，則符合條件的所有整數a的和是．【答案】【分析】根據不等式組的整數解的個數確定a的取值范圍，再根據分式方程的整數解確定a的取值范圍，從而求出符合條件的所有整數即可得結論．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∵不等式組有且僅有四個整數解，∴解得：，解解得：且，∵是整數，，，∴，則符合條件的所有整數a的和是，故答案為：．【點睛】本題考查了不等式組的整數解、分式方程的解，解決本題的關鍵是根據不等式組的整數解的個數及分式方程的解確定a的取值范圍．16．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點E為邊上一點，將沿翻折到處，延長交于點G，延長交于點H，且，則的長是．【答案】【分析】過E作于M，根據矩形性質和折疊性質，結合勾股定理求得，，證明，求得，，設，證明四邊形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可．【詳解】解：過E作于M，則∵四邊形是矩形，∴，，∵沿翻折到處，∴，，，設，則，在中，由勾股定理得，∴，則，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，，

設，∵∴四邊形是矩形，∴，，在中，，，由勾股定理得，則，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定與性質、翻折性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理，綜合運用相關知識求解是解答的關鍵．17．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組無解，且使關于y的分式方程有整數解，則所有符合題意的整數a的值之和是．【答案】【分析】不等式組變形后，根據無解確定出的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有非負整數解，確定出滿足條件的值，進而求出之和．【詳解】解∶解不等式得：，解不等式得，∵一元一次不等式組無解，∴，解得，解分式方程，得，∵關于的分式方程有整數解，∴或∴或或或，時，，原分式方程無解，故將舍去，∴符合條件的所有整數的和是，故答案為【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．18．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若關于的一元一次不等式組有解，且關于的分式方程的解是正數，則所有滿足條件的整數的值之和是．【答案】【分析】先解不等式組，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程有正數解，確定出的值，相加即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，關于的一元一次不等式組有解，，解得：，分式方程去分母得：，解得：，是正數，且，且，滿足條件的整數的和為，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．19．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點是上的一點．過點作，交的延長線于點．連接，點是的中點，連接．若，，則線段的長為．【答案】【分析】首先根據正方形的性質，可證得，可得，再利用勾股定理，可求得的長，再根據直角三角形的性質，即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，在與中，，，，在中，，，在中，點是的中點，，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，求得的長是解決本題的關鍵．20．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）在邊長為10的正方形中，點E為上一點，連接，將沿著折疊得到，連接、．若，且，則．【答案】【分析】解：過點作，由正方形的性質可得，，利用，，可得，，由勾股定理可得，，可知，，由折疊可知，，則，由勾股定理可得：，即：，解出方程求出，即可得．【詳解】解：過點作，∵正方形邊長為1，∴，，∵，∴，即：，∵，即，由勾股定理可得：，∴，，即：，同理可得：，則，∴，由折疊可知，，則，由勾股定理可得：，即：，解得：，即：，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質，翻折的性質，勾股定理及解直角三角形，作垂線構造直角三角形是解決問題的關鍵．21．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）如果關于的不等式組的解集為，且關于的分式方程有非負整數解，所有符合條件的的和是．【答案】【分析】根據不等式組的解法及分式方程的解法求解即可得到答案．【詳解】解：由①得；由②得；關于的不等式組的解集為，；由，解得，關于的分式方程有非負數解，，且，，；綜上所述，，關于的分式方程有非負整數解，或或，所有符合條件的的和是，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式組及分式方程求參數，熟練掌握一元一次不等式組的解集求法及分式方程解法是解決問題的關鍵．22．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形中，點E是的中點，過點E作的垂線交正方形外角的平分線于點F，交邊于點M，連接交于點N，則的長為．【答案】【分析】根據正方形的性質、相似三角形的判定和性質，可以求得和的長，然后根據，即可求得的長．【詳解】解：作交于點H，作于點K，則，∴四邊形是矩形，∵BF平分，∴，∴四邊形是正方形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵正方形的邊長為6，點E是的中點，∴，設，則，∴，解得，即；∵，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，設，則，∴，解得，即，∵，∴，∴，∴，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線，熟練運用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．23．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤絷P于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】5【分析】根據不等式組的解集確定a的取值范圍，再根據分式方程的解為非負整數，進而確定a的所有可能的值，再求和即可．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，不等式組的解集為，，解得，解，可得，，，解得，∵分式方程的解是非負整數，，且y為整數，或是5的正整數倍，整數a可能的值為13或8或3或或或，∵，整數a可能的值為13或8或3或或，∴符合條件所有的整數a的和為：．故答案為：5．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程，解題的關鍵是根據所給分式方程的解為非負整數求出a可能的值．24．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】13【分析】解出一元一次不等式組的解集，根據不等式組的解集為，列出不等式，求出a的范圍；解出分式方程，根據方程的解是正整數，列出不等式，求得a的范圍；檢驗分式方程，列出不等式，求得a的范圍；綜上所述，得到a的范圍，最后根據方程的解是正整數求得滿足條件的整數a的值，求和即可．【詳解】解：由①解得，，由②解得不等式組的解集為，，解得，解方程，去分母，得：，解得：，此方程的解是正整數，，解得，，，，，且，能使是正整數的a的值為5、8，所有滿足條件的整數a的值之和是：，故答案為：．【點睛】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的解；熟練掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，對分式方程切勿遺漏增根的情況是解題的關鍵．25．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，D是邊上一點（點D不與A、B重合）．將沿著翻折，點B的對應點為點E，交于點F，如果，則．

【答案】【分析】由等邊對等角可得，根據折疊的性質可得，，，進而得到，再根據平行線的性質可推出，，得到，，于是設，則，，最后根據平行線的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，根據折疊的性質可得，，，，∴，∵，∴，∴，，∴，，設，則，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質、折疊的性質、平行線的性質，利用條件，推理論證出，是解題關鍵．26．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若關于x的一元一次不等式組至少有2個整數解，且關于y的分式方程的解是正整數，則所有滿足條件的整數a的值之積是．【答案】【分析】先解不等式組，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程有正整數解，確定出的值，相乘即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，則根據題意可知，不等式組的解集為：，關于的一元一次不等式組至少有2個整數解，則該不等式的整數解至少包含：，，，解得：，分式方程去分母得：，解得：，∵，∴，是正整數，且，∴或，或，滿足條件的整數的積為，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟以及解分式方程的步驟是解題關鍵．27．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點M，再以點C為圓心，的長為半徑畫弧，交于點N.若，，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】【分析】根據,即可求得即,得到,圖中陰影部分的面積等于扇形的面積減去圖形的面積即可.【詳解】連接,

∵，,,∴，∴,∴,∴陰影部分的面積為，故答案為：【點睛】本題主要考查了扇形的面積計算，矩形的性質，解直角三角形等，應用扇形面積的計算方法進行求解是解決本題的關鍵.28．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，對角線、相交于點E，將沿著翻折到，連接，則的長為.

【答案】【分析】連接，交于點，說明為的中位線，再利用勾股定理列方程即可解決問題．【詳解】解：連接，交于點，

將沿著翻折到，垂直平分，四邊形是矩形，，，是的中位線，，在中，由勾股定理得，，，設，則，，解得，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，熟練掌握翻折的性質是解題的關鍵．29．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考二模）若關于的一元一次不?式組的解集為，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的的值之積為．【答案】35【分析】先解一元一次不等式組得出a的取值范圍，再解分式方程得a的范圍，最后綜合求出滿足條件的a的值，即可求得．【詳解】解：解不等式，去分母得：，解得：，解不等式移項合并同類項得：，∵關于的一元一次不?式組的解集為∴由“同大取大”得：a≤7；解分式方程：，分式方程去分母，得：，移項合并同類項得：，系數化為1得：，∵方程的解為非負整數，∴，又∵a≤7，∴滿足條件的整數a可以取7，-1，-5其積為．故答案為：35．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，正確掌握解分式方程和一元一次不等式組是解題關鍵，分式方程有解必須滿足公分母不為零，這是本題的易錯點．30．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考二模）若關于y的分式方程有解，且關于x的一元一次不等式組有解且至多有2個整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】26【分析】根據分式方程有解，確定，根據有解且至多有2個整數解，，確定計算即可．【詳解】∵解分式方程，解得：，∵，∴，∵的解集為；的解集為，∵有解且至多有2個整數解，∴，解得，故a的整數解為7，8，9，10，∵，故符合題意a的整數解為7，9，10，∴，故答案為：26．【點睛】本題考查了解分式方程，不等式組的整數解，正確理解題意是解題的關鍵．31．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？级＃┤絷P于的不等式組的解集為，且關于的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是．【答案】24【分析】根據不等式組的解集確定a的取值范圍，再根據分式方程的解為非負整數，進而確定a的所以可能的值，再求和即可．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，由于不等式組的解集為，∴，解得，關于y的分式方程的解為，且，由于分式方程的解是非負整數，∴整數a可能的值為3或8或13，∴符合條件所有的整數a的和為：3+8+13=24．故答案為：24．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程，理解一元一次不等式組的解集以及分式方程的解是解決問題的關鍵．32．（2023·重慶·重慶實驗外國語學校校考二模）如圖，在正方形中，，對角線相交于點O．點F為中點，交于點G．點E是對角線上一點，且，交于點H，則的長為．【答案】【分析】如圖所示，過點F作于M，先利用勾股定理求出，則，再求出；證明是等腰直角三角形，得到，則，設，則，證明，得到，解方程求出；證明，求出，則，即可求出．【詳解】解：如圖所示，過點F作于M，∵四邊形是正方形，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵點F為中點，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，即，解得或（舍去），∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．33．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】【分析】由一元一次不等式組的解集為，可求出，解分式方程可得，結合分式方程的解為負整數且，即可得出整數a的值，再求它們的和即可得出答案．【詳解】，解不等式得：，解不等式得：，∵關于x的一元一次不等式組的解集為，∴，∴，解分式方程得：，∵分式方程的解為負整數且，∴是負整數且，∴或，∴所有滿足條件的整數a的值之和是，故答案是．【點睛】本題主要考查了分式方程的解以及解分式方程、一元一次不等式組的解集，正確求解分式方程和一元一次不等式組是解題的關鍵，注意分式有意義的條件．34．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在矩形中，，E是上一點，把沿折疊得到，當點落在線段上時，的長為．【答案】1【分析】先由矩形的性質，，再由折疊的性質得到，，再由勾股定理求出，設，則，，在由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由折疊的性質可得，，∴，∴，設，則，，在，由勾股定理得：，∴，解得，∴的長為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解題的關鍵．35．（2023·重慶江津·重慶市江津中學校?？级＃┤絷P于的不等式組有且只有五個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則符合條件的所有整數的和為．【答案】14【分析】由關于的不等式組可得，關于的分式方程可得，再根據不等式組有且只有五個整數解和分式方程的解為非負整數即可得到的值，進而求解．【詳解】解：解關于的不等式組，得，關于的不等式組有且只有五個整數解，可取6、5、4、3、2．要取到2，且取不到，，，，解關于的分式方程，得，關于的分式方程解為非負整數，，，且是2的整數倍，又，，的取值為6、8，的所有整數和為，故答案為：14．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的解法及分式方程的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法及分式方程的解法是解題的關鍵．36．（2023·重慶江津·重慶市江津中學校?？级＃┤鐖D，△ABO的頂點A在函數的圖象上，∠ABO=90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k的值為．【答案】【分析】根據題意得出，得到相似三角形，利用相似三角形的性質得到三角形之間的面積關系，利用反比例函數系數的幾何意義可得答案．【詳解】解：，，四邊形MNQP的面積為3，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，反比例函數系數的幾何意義，掌握以上知識是解題的關鍵．37．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，連接平分交于點G，若，則的度數為．

【答案】/55度【分析】根據正方形的性質可得，，，從而證明，得，再由角平分線的定義可得，再根據直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、直角三角形的性質，熟練掌握正方形的性質和全等三角形的判定證明是解題的關鍵．38．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）關于x的分式方程的解為非負數，且關于y的不等式組的解集為，則符合條件的整數a的值之和是．【答案】【分析】分別解分式方程和不等式組，從而得出a的范圍，再確定整數a的值．【詳解】解分式方程得∵∴∴∵方程的解為非負數∴∴且解不等式組得∵不等式組的解集為∴∴且∴符合條件的整數a為共有個∴