專練03幾何綜合(A卷解答題)(原卷版+解析)

專練03幾何綜合（A卷解答題）1．如圖，從點(diǎn)O引射線OM，ON，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AC，BC，有∠ACB＝∠O．(1)如圖1，若AO∥BC，求證：AC∥ON；(2)如圖2，若∠ABC＝∠ABO，AC⊥OM，請(qǐng)求出∠CBD和∠O的度數(shù)的等量關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)C作CD∥OM交射線ON于點(diǎn)D．當(dāng)∠CDN＝8∠CBD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．2．如圖，在△CAE中，∠CAE＝90°，過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝CE，過點(diǎn)D作AE的垂線，垂足為點(diǎn)B．(1)求證：△CAE≌△ABD；(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC＝2：①求AF的長(zhǎng)；②連接BF，求BF的長(zhǎng)．3．如圖，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)．(1)如圖1，求證：∠ABC＝∠ADE；(2)如圖2，點(diǎn)G是DE上一點(diǎn)，連接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE．①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求線段DG的長(zhǎng)；②若AD＝20，點(diǎn)E到AD的距離與線段AG的長(zhǎng)度之比為5：4，求線段DE的長(zhǎng)．4．已知，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)不在一條直線上（如圖1）．(1)求證：BD＝AE；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為3和5，求AD的長(zhǎng)．5．如圖1，是正方形邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為6，線段上有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒沿向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)線段上另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒沿向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，連接，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，已知，，求的長(zhǎng)．6．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD＝AC，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF＝DE．連接AF．（1）求證：DE＝AB；（2）求證：AF∥BE；（3）當(dāng)AC＝BC時(shí)，連接AE，求證：AE2+DE2＝AD2．7．[閱讀理解]如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D，求線段AD的長(zhǎng)．解：設(shè)BD＝x，則CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知識(shí)遷移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D．i）如圖1，若BC＝14，求線段AD的長(zhǎng)；ii）若AD＝12，求線段BC的長(zhǎng)．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝，AC＝，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，交線段BC于點(diǎn)D，將△ABD沿直線AB翻折后得到對(duì)應(yīng)的△，連接CD′，若AD＝，求線段的長(zhǎng)．8．如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)E．（1）設(shè)∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠E的度數(shù)；（2）若EC∥AB，AC＝4，求線段CE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作∠ACB的角平分線交BE于點(diǎn)F，若CF＝3，求邊AB的長(zhǎng)．9．如圖，四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．10．如圖，直線，直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)分別在直線，上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，有，連接．（1）求證：；（2）是直線，上的兩點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，且．①求線段和的長(zhǎng)；②求線段的長(zhǎng)．11．在中，，，點(diǎn)D．F是線段AB上兩點(diǎn)，連結(jié)CD，過A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作于點(diǎn)M．（1）如圖1，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求的大??；（2）如圖2，若點(diǎn)D是線段BF的中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)，，，求FM的值．12．如圖，直線l1∥l2，直線l3交直線l1于點(diǎn)B，交直線l2于點(diǎn)D，O是線段BD的中點(diǎn)．過點(diǎn)B作BA⊥l2于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DC⊥l1于點(diǎn)C，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q，射線PO與射線QD相交于點(diǎn)N，連接PQ．（1）求證：點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)；（2）請(qǐng)判斷線段QN與線段BD是否相等，并說明理由．13．在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)D、E、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．（1）如圖1，求證：△ADB≌△AEC（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝∠DAE＝90°時(shí)，試猜想線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝∠DAE＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系式為：（不寫證明過程）14．如圖，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB為直角邊向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC為斜邊向外作等腰直角△BEC，連接DE．（1）按要求補(bǔ)全圖形；（2）求DE長(zhǎng)；（3）直接寫出△ABC的面積．15．我們定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．16．如圖1，已知矩形ABCD，連接AC，將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC，AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：DF=EF；（2）如圖2，若∠BAC=30°，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接DE，EG，求證：四邊形ADEG是菱形．17．圖1，在正方形中，，為線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．將沿所在直線對(duì)折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．（3）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，記的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．18．在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC邊上的中線AD＝6，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且ED＝AD．（1）求證：BE∥AC；（2）求∠CAD的大小；（3）求點(diǎn)A到BC的距離．專練03幾何綜合（A卷解答題）1．如圖，從點(diǎn)O引射線OM，ON，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AC，BC，有∠ACB＝∠O．(1)如圖1，若AO∥BC，求證：AC∥ON；(2)如圖2，若∠ABC＝∠ABO，AC⊥OM，請(qǐng)求出∠CBD和∠O的度數(shù)的等量關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)C作CD∥OM交射線ON于點(diǎn)D．當(dāng)∠CDN＝8∠CBD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)∠CBD+2∠O＝90°，理由見解析(3)【詳解】（1）證明：∵AO∥BC，∴∠OAB＝∠CBA，在△OAB和△CBA中，，∴△OAB≌△CBA（AAS），∴∠ABO＝∠BAC，∴AC∥ON；（2）解：∠CBD+2∠O＝90°，理由如下：在△AOB和△ACB中，，∴△AOB≌△ACB（AAS），∴∠OAB＝∠CAB，∵AC⊥OM，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB＝∠CAB＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABO＝180°﹣45°﹣∠O＝135°﹣∠O，即∠ABD+∠CBD＝135°﹣∠O，∵∠ABD＝∠O+∠OAB＝∠O+45°，∴∠O+45°+∠CBD＝135°﹣∠O，∴∠CBD+2∠O＝90°；（3）解：∵∠CDN＝∠CBD+∠BCD，∠CDN＝8∠CBD，∴∠BCD＝7∠CBD＝∠BCA+∠ACD＝∠O+∠ACD，∵CD∥OM，∴∠ACD＝∠OAC＝90°，∴7∠CBD＝∠O+90°，由（2）得，7×（90°﹣2∠O）＝∠O+90°，∴∠O＝36°，∴∠ABC＝135°﹣∠O＝99°．2．如圖，在△CAE中，∠CAE＝90°，過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝CE，過點(diǎn)D作AE的垂線，垂足為點(diǎn)B．(1)求證：△CAE≌△ABD；(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC＝2：①求AF的長(zhǎng)；②連接BF，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①；②【解析】（1）證明：∵AF⊥CE于點(diǎn)F，BD⊥AB于點(diǎn)B，∴∠AFC＝90°，∠B＝90°，∵∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠B，∵∠C+∠CAF＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAD，在△CAE和△ABD中，，∴△CAE≌△ABD（AAS）．（2）解：①如圖2，∵AC＝AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝AB＝1，∴CE＝＝＝，∵S△CAE＝CE?AF＝AC?AE，∴×AF＝×2×1，∴AF＝，∴AF的長(zhǎng)為．②如圖2，作BG⊥BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠FBG＝90°，∴∠EBF＝∠DBG＝90°﹣∠DBE，∵∠BEF+∠AEC＝180°，∠BDG+∠BDA＝180°，且∠AEC＝∠BDA，∴∠BEF＝∠BDG，∵AE＝BE，AE＝BD，∴BE＝BD，在△BEF和△BDG中，，∴△BEF≌△BDG（ASA），∴BF＝BG，EF＝DG，∵∠AFE＝90°，∴EF＝＝＝，∴DG＝，∵AD＝CE＝，∴DF＝AD﹣AF＝﹣＝，∴FG＝DF+DG＝+＝，∵BF2+BG2＝FG2，∴2BF2＝（）2，∴BF＝，∴BF的長(zhǎng)為．3．如圖，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)．(1)如圖1，求證：∠ABC＝∠ADE；(2)如圖2，點(diǎn)G是DE上一點(diǎn)，連接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE．①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求線段DG的長(zhǎng)；②若AD＝20，點(diǎn)E到AD的距離與線段AG的長(zhǎng)度之比為5：4，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)25【解析】(1)證明∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∵M(jìn)N∥BF，∴∠ADE＝∠DEF，∴∠ABC＝∠ADE；(2)解：連接AE，如圖所示：①由題知AG⊥DE，AD＝EG，DE＝7，設(shè)AD長(zhǎng)為x，則DG長(zhǎng)為7-x，在直角三角形中，由勾股定理可得：AD2=AG2+DG2即，解得，∴②∵AC⊥BF，∴點(diǎn)E到AD的距離為AC的長(zhǎng)，由題知AG⊥DE，在中，由三角形面積相等得：AD×AC＝DE×AG，∵，∴，∵AD＝20，∴DE＝25．4．已知，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)不在一條直線上（如圖1）．(1)求證：BD＝AE；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為3和5，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)BD=；(3)AD=．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△DCE是等邊三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD與△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE；（2）解：∵△DCE等式等邊三角形，∴∠CDE=60°，CD=DE=5，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=4，DE=5，∴AE=，∴BD=；（3）解：如圖2，過A作AH⊥CD于H，∵點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴∠CAH=30°，在Rt△ACH中，CH=AC=，由勾股定理得AH=，∴DH=CD-CH=5-，在Rt△ADH中，AD==．5．如圖1，是正方形邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為6，線段上有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒沿向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)線段上另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒沿向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，連接，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，已知，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】（1）解：∵四邊形為正方形，，即在和中，．（2）由題意，，，（3）作交于，連接∵四邊形是正方形，，，．，，，，在和中，，，，垂直平分，

設(shè)，則，，∵在中，，，6．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD＝AC，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF＝DE．連接AF．（1）求證：DE＝AB；（2）求證：AF∥BE；（3）當(dāng)AC＝BC時(shí)，連接AE，求證：AE2+DE2＝AD2．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【詳解】證明：（1）∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴DE＝AB；（2）∵DC＝AC，DE＝EF，∴CE是△DAF的中位線，∴AF∥BE；（3）∵△ABC≌△DEC，∴BC＝CE，∵AC＝BC，∴AC＝BC＝CE，∴△BAE是直角三角形，∴AB2+AE2＝BE2，∵AB＝DE，AD＝2AC＝2BC＝BE，∴AE2+DE2＝AD2．7．[閱讀理解]如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D，求線段AD的長(zhǎng)．解：設(shè)BD＝x，則CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知識(shí)遷移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D．i）如圖1，若BC＝14，求線段AD的長(zhǎng)；ii）若AD＝12，求線段BC的長(zhǎng)．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝，AC＝，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，交線段BC于點(diǎn)D，將△ABD沿直線AB翻折后得到對(duì)應(yīng)的△，連接CD′，若AD＝，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）i）12；ii）14或4；（2）【詳解】（1）i）解：設(shè)BD=x，則CD=14-x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2．解得：x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝；ii）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如圖，∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，∴BD=，DC=，∴BC=BD+DC=5+9=14，②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，如圖，則BC=DC-BD=9-5=4；（2）∵AB＝，AC＝，AD＝，AD⊥BC，∴BD=，DC=，過點(diǎn)D′作D′F⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵將△ABD沿直線AB翻折后得到對(duì)應(yīng)的△，∴BD′=BD=，設(shè)BF=x，D′F=y，則x2+y2=()2，又∵，即：4x+2y=25，∴x=或（舍），∴y=5，即：D′F=5，∴CF=BF+BD+CD=++5=15，∴=．8．如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)E．（1）設(shè)∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠E的度數(shù)；（2）若EC∥AB，AC＝4，求線段CE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作∠ACB的角平分線交BE于點(diǎn)F，若CF＝3，求邊AB的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）4；（3）【詳解】解：（1）設(shè)∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y(tǒng)，則有，可得∠E＝∠A＝α．（2）∵EC∥AB，∴∠ABE＝∠E，∵∠ABC＝2∠ABE，∠A＝2∠E，∴∠A＝∠ABC，∠E＝∠CBE，∴CA＝CB＝4，CE＝CB＝4.（3）如圖，連接AF，過點(diǎn)C作CT⊥BE于T，延長(zhǎng)CF交AB于R．∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠FCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝90°，∵CF＝3，CE＝4，∴EF＝＝＝5，∵S△CEF＝?EC?CF＝?EF?CT，∴CT＝，在Rt△BCT中，BT＝＝＝，∵CB＝CE，CT⊥BE，∴BT＝TE，∴BE＝2BT＝，∴BF＝BE﹣EF＝﹣5＝，∵CA＝CB，CF平分∠ACB，∴CR⊥AB，BR＝AR，設(shè)BR＝x，RF＝y(tǒng)，則有，解得（不符合題意的解已經(jīng)舍棄）．∴AB＝2BR＝．9．如圖，四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】解：（1）∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=DE，由折疊可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED，又EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EOF（HL）；（2）△ABE折疊得到△GBE，∴AB=BG，∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∴AB=DC，∴BG=CD；（3）∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，∴設(shè)CD=x，則DF=x，則BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，即BE2=x2+42，且EF2=DE2+DF2，即EF2=42+（x）2，且BF2=BC2+CF2，即BF2=82+（x）2，∵∠AEB=∠GEB，∠DEF=∠GEF，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF2=BE2+EF2，∴82+（x）2=x2+42+42+（x）2，解得：x=，即CD=．10．如圖，直線，直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)分別在直線，上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，有，連接．（1）求證：；（2）是直線，上的兩點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，且．①求線段和的長(zhǎng)；②求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】解：（1）如圖所示：∵直線l1//l2，∴∠BAC=∠ABD，∵CE⊥l3，∴∠AEC=90°∵DF⊥l3，∴∠BFD=90°∴∠AEC=∠BFD又∵CE=DF∴△AEC?△BFD(AAS)∴AC=BD又∵AB=BA，∴△ACB?△BDA(SAS)∴BC=AD，∠ABC=∠BAD∴AD//BC（2）①設(shè)CM=x，則CE=CM=x，AC=2?x∵CM=CE，BC=BC，∠BMC=∠BEC=90°∴Rt△BMC?Rt△BEC，∴BE=BM=在Rt△BMA中，AB=，∴AE==1在Rt△AEC中，AE2+CE2=AC2即12+x2=(2?x)2解得x=即CE=CM=，AC=②過點(diǎn)D作DH⊥l1于點(diǎn)H，則有∠DHA=90°=∠BMC∵AD//BC，∴∠DAH=∠BCM又∵AD=CB∴△DAH?△BCM,∴AH=CM=，DH=BM=∴CH=AC?AH=過點(diǎn)P作PN⊥l2于點(diǎn)N，易得PN=BM=DH，∠DHC=∠PNQ=90°∵l1//l2，PQ//CD，∴∠DCH=∠PQN∴△DHC?△PNQ∴NQ=HC=在△PBQ中，∵PQ=BP，PN⊥BQ,∴NQ=BN=∴BQ=111．在中，，，點(diǎn)D．F是線段AB上兩點(diǎn)，連結(jié)CD，過A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作于點(diǎn)M．（1）如圖1，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求的大小；（2）如圖2，若點(diǎn)D是線段BF的中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)，，，求FM的值．【答案】（1）∠CAE=22.5°；（2）見解析；（3）FM=．【詳解】（1）解：如圖中，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠B=45°，∵AE⊥CD，EC=ED，∴AC=AD，∴∠CAE=∠DAE=22.5°，∴∠CAE=22.5°；（2）證明：過點(diǎn)B作BN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

∴∠BNC=90°，∵AE⊥CD，∴∠CEA=∠BNC=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCN=90°，∴∠CAE=∠BCN，在△AEC和△CNB中，，∴△AEC≌△CNB，∴CE=BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD，∴∠FMD=∠BND=90°，∵若點(diǎn)D是線段BF的中點(diǎn)，∴FD=BD，在△FMD和△BND中，，∴△FMD≌△BND，∴FM=BN，∴CE=FM；（3）如圖中，在線段AE上取點(diǎn)G，使得AG=CE，連結(jié)CF、EF，∵AF=FB，AC=BC，∠ACB=90°，∴CF⊥AB，CF=AF，∵∠FAG+∠ADE=90°，∠ADE+∠FCE=90°，∴∠GAF=∠ECF，∵AG=CE，∴△AGF≌△CEF，∴FG=EF，∠AFG=∠CFE，∴∠EFG=∠AFC=90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠GEF=45°，∴∠MEF=90°-45°=45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EF=FM，∴AE-CE=AE-AG=EG=EF=2FM，即2FM，∴FM=．12．如圖，直線l1∥l2，直線l3交直線l1于點(diǎn)B，交直線l2于點(diǎn)D，O是線段BD的中點(diǎn)．過點(diǎn)B作BA⊥l2于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DC⊥l1于點(diǎn)C，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q，射線PO與射線QD相交于點(diǎn)N，連接PQ．（1）求證：點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)；（2）請(qǐng)判斷線段QN與線段BD是否相等，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）相等，理由見解析【詳解】解：（1）連接AE，PE，QE，如圖∵點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ∵AB⊥l2，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°∴P，A，Q三點(diǎn)在同一條直線上∴點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)．（2）QN＝BD，理由如下：連接PB∵點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8∵l1//l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7＋∠9＝90°，∴∠8＋∠10＝90°，∴∠9＝∠10又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB//CD∴∠6＝∠9，∴∠5＋∠6＝∠9＋∠10即∠OBP＝∠ODN∵O是線段BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD在△BOP和△DON中∴△BOP≌△DON∴BP＝DN，∴BE＝DN∴QN＝DQ＋DN＝DE＋BE＝BD13．在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)D、E、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．（1）如圖1，求證：△ADB≌△AEC（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝∠DAE＝90°時(shí)，試猜想線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝∠DAE＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系式為：（不寫證明過程）【答案】（1）見解析；（2）CD＝AD+BD，理由見解析；（3）CD＝AD+BD【詳解】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD，∴DH＝＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，故答案為：CD＝AD+BD．14．如圖，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB為直角邊向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC為斜邊向外作等腰直角△BEC，連接DE．（1）按要求補(bǔ)全圖形；（2）求DE長(zhǎng)；（3）直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】解：（1）如圖所示（2）連接DC

解：∵△ABD是等腰直角三角形,

AB=，∠BAD=90°.

∴AB=AD=，∠ABD=45°.

由勾股定理得DB=2.

∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°.

∵BC=2.

∴BC=BD.

∴△BCD是等邊三角形.

∴BD=CD=2.

∴D點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上.

又∵△BEC是等腰直角三角形.

∴BE=CE，∠CEB=45°

∴E點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上.

∴DE垂直平分BC.

∴BF=BC=1，

∠BFE=90°

∵∠FBE=∠BEF=45°

∴BF=EF=1

Rt△BFD中，BF=1，BD=2由勾股定理得DF=,

∴DE=DF+EF=.（3）∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ABC≌△DAC.用△DBC的面積減去△ABD的面積除以2即可得到△ABC的面積.△DBC的面積為=，△ABD的面積為.所以△ABC的面積為.15．我們定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②GE＝【詳解】（1）證明：∵垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①證明：連接BG、CE相交于點(diǎn)N，CE交AB于點(diǎn)M，如圖2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴