專題01冪運算的六種考法全攻略(原卷版+解析)

專題01冪運算的六種考法全攻略【知識點梳理】同底數(shù)冪的乘法：同底冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數(shù)）冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數(shù)積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數(shù)。同底數(shù)冪的除法運算：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（與冪的乘法為逆運算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數(shù)）。零指數(shù)冪：=1()；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：=（，p為正整數(shù)）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合運算中,始終要注意運算的順序。()的三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數(shù)）類型一、四個冪運算公式的逆向運用例1.已知，則的值為（）A． B． C．432 D．216例2.計算：___________．例3.已知，，則的值是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】計算3n·()=—9n+1,則括號內(nèi)應(yīng)填入的式子為()A．3n+1 B．3n+2 C．—3n+2 D．—3n+1【變式訓(xùn)練2】（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【變式訓(xùn)練3】（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c為正整數(shù)，求的值．【變式訓(xùn)練4】（1）已知用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：的值；②求：的值．（2）已知，求x的值．類型二、冪運算中的方程思想例1.（1）已知，試求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．例2.計算：(1)用簡便方法計算：（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）(2)若求的值例3.若22?16n＝（22）9，解關(guān)于x的方程nx+4＝2．【變式訓(xùn)練1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【變式訓(xùn)練2】己知，求x的值；【變式訓(xùn)練3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n為正整數(shù)，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【變式訓(xùn)練4】若（a＞0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；類型三、比較大小問題例1．已知，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．例2.若，則a與b的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定例3．設(shè)a＝255，b＝333，c＝422，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【變式訓(xùn)練1】若，則a，b，c中最小的是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．不能確定【變式訓(xùn)練2】若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】若，試比較a，b，c，d的大?。咀兪接?xùn)練4】閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時，指數(shù)大的冪也大，若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有，根據(jù)上述材料，回答下列問題．(1)比較大小：_________（填寫>、<或=）．(2)比較與的大小（寫出比較的具體過程）．(3)計算．類型四、代數(shù)式表示冪運算例1.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是________．例2.已知則用x的代數(shù)式表示y，結(jié)果為_______．例3.已知，請用含m、n的代數(shù)式表示．【變式訓(xùn)練1】若，，則用含的代數(shù)式表示為______．【變式訓(xùn)練2】若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】若x，y均為實數(shù)，，則_______．【變式訓(xùn)練4】已知，若實數(shù)a、b、c滿足等式，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求出、、之間的數(shù)量關(guān)系．類型五、“1”的問題例．若成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】若實數(shù)滿足，則的值不可以是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】方程的整數(shù)解的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5類型六、新定義問題例．我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am·an=am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，則h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的結(jié)果是（）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k【變式訓(xùn)練1】閱讀材料：定義：如果，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為，例如：，那么稱2是100的勞格數(shù)，記為．填空：根據(jù)勞格數(shù)的定義，在算式中，______相當(dāng)于定義中的n，所以______；直接寫出______；探究：某數(shù)學(xué)研究小組探究勞格數(shù)有哪些運算性質(zhì)，以下是他們的探究過程若a、b、m、n均為正數(shù)，且，，根據(jù)勞格數(shù)的定義：，______，∵∴，這個算式中，______相當(dāng)于定義中的a，______相當(dāng)于定義中的n，∴______，即，請你把數(shù)學(xué)研究小組探究過程補全拓展：根據(jù)上面的推理，你認(rèn)為：______．【變式訓(xùn)練2】如果ac＝b，那么我們規(guī)定（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c．課后訓(xùn)練1．計算的值是（）A． B． C． D．2．已知，，則______．3．已知：，，則________．4．已知：，______．5．已知，則的值為______．6．已知，則的值__________．7．若與互為倒數(shù)，則的值是__________．8．若x，y均為實數(shù)，，則：（1）＝______x+y；（2）_______．9．已知，．（1）的值為______；（2）若，則的值為______．10．已知，則______．11．若，，，那么a、b、c三數(shù)的大小為______．（用“<”連接）12．閱讀：已知正整數(shù)，，，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程](1)比較大?。篲_____，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大?。?3)比較與的大?。?3．計算：(1)已知，求的值；(2)已知n為正整數(shù)，且，求的值．專題01冪運算的六種考法全攻略【知識點梳理】同底數(shù)冪的乘法：同底冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即：am·an=am+n，（m，n為正整數(shù)）冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即：(am)n=amn，其中m，n為正整數(shù)積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：(ab)m=ambm，其中m為正整數(shù)。同底數(shù)冪的除法運算：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（與冪的乘法為逆運算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數(shù)）。零指數(shù)冪：=1()；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：=（，p為正整數(shù)）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合運算中,始終要注意運算的順序。()的三種情況：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n為偶數(shù)）類型一、四個冪運算公式的逆向運用例1.已知，則的值為（）A． B． C．432 D．216【答案】C【詳解】解：∵，∴，故選：C．例2.計算：___________．【答案】【詳解】解：原式故答案為：．例3.已知，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故選C．【變式訓(xùn)練1】計算3n·()=—9n+1,則括號內(nèi)應(yīng)填入的式子為()A．3n+1 B．3n+2 C．—3n+2 D．—3n+1【答案】C【解析】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），∴括號內(nèi)應(yīng)填入的式子為-3n+2.故選C.【變式訓(xùn)練2】（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）576；（2）1【詳解】解：（1）；（2），，∴，．【變式訓(xùn)練3】（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c為正整數(shù)，求的值．【答案】（1）1（2）1024【詳解】解：（1）∵，∴，∴∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴．【變式訓(xùn)練4】（1）已知用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：的值；②求：的值．（2）已知，求x的值．【答案】（1）①；②；（2）【詳解】解：（1）①∵∴；②∵∴∴∴，（2）∵，，∴，∴，∴，∴．類型二、冪運算中的方程思想例1.（1）已知，試求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．【答案】（1）8；（2）2025【詳解】（1）∵∴∴；（2）∵，，∴．例2.計算：(1)用簡便方法計算：（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）(2)若求的值【答案】(1)；(2)16（1）解：；（2）解：∵∴．例3.若22?16n＝（22）9，解關(guān)于x的方程nx+4＝2．【答案】【詳解】解：22?16n＝（22）9變形為22?24n＝218，所以2+4n＝18，解得n＝4．此時方程為4x+4＝2，解得x=?1【變式訓(xùn)練1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【答案】1【詳解】解：∵9n+1﹣32n＝9n+1﹣9n＝9n（9﹣1）＝9n×8，而72＝9×8，∴當(dāng)9n+1﹣32n＝72時，9n×8＝9×8，∴9n＝9，∴n＝1．【變式訓(xùn)練2】己知，求x的值；【答案】x=4【詳解】解：，，x=4【變式訓(xùn)練3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n為正整數(shù)，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【答案】（1）-15；（2）8；（3）29【詳解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x?32y＝22x+5y＝23＝8；（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．【變式訓(xùn)練4】若（a＞0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；【答案】(1)(2)【詳解】（1）解得：（2）類型三、比較大小問題例1．已知，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解:,故選：B.例2.若，則a與b的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【詳解】解：∵，∴，故選A．例3．設(shè)a＝255，b＝333，c＝422，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】D【解析】∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝333＝（33）11＝2711,c＝422＝（42）11＝1611，∴c＜b＜a．故選：D．【變式訓(xùn)練1】若，則a，b，c中最小的是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．不能確定【答案】C【詳解】解：∵，，，又∵，∴a，b，c中最小的是c，故C正確．故選：C．【變式訓(xùn)練2】若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，，，，故選：C．【變式訓(xùn)練3】若，試比較a，b，c，d的大?。敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海?，，又，，．【變式訓(xùn)練4】閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時，指數(shù)大的冪也大，若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有，根據(jù)上述材料，回答下列問題．(1)比較大?。篲________（填寫>、<或=）．(2)比較與的大?。▽懗霰容^的具體過程）．(3)計算．【答案】(1)>(2)(3)－4【解析】（1）解：由題意，對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有，可知．故答案為：>；（2）∵，，又∵，∴；（3）原式．類型四、代數(shù)式表示冪運算例1.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是________．【答案】a+b=c【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴，又∵=50=，∴a+b=c．故答案為：a+b=c．例2.已知則用x的代數(shù)式表示y，結(jié)果為_______．【答案】【詳解】解：∵故答案為：例3.已知，請用含m、n的代數(shù)式表示．【答案】【詳解】解：∵，∴．【變式訓(xùn)練1】若，，則用含的代數(shù)式表示為______．【答案】y=(x-1)2+3【解析】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x?1，

∵y＝3＋4m，∴y＝（x?1）2＋3，故答案為：y＝（x?1）2＋3．【變式訓(xùn)練2】若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以．故選：B．【變式訓(xùn)練3】若x，y均為實數(shù)，，則_______．【答案】1【詳解】解：∵，∴；又∵，∴∴，∴【變式訓(xùn)練4】已知，若實數(shù)a、b、c滿足等式，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求出、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）．（2）．（3）∵，∴．類型五、“1”的問題例．若成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意，得：，∴；故選D．【變式訓(xùn)練1】若實數(shù)滿足，則的值不可以是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，原方程可變?yōu)?，因此選項A不符合題意；B．當(dāng)時，原方程可變?yōu)椋虼诉x項B不符合題意；C．當(dāng)時，原方程可變?yōu)椋虼诉x項C符合題意；D．當(dāng)時，原方程可變?yōu)?，因此選項D不符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練2】方程的整數(shù)解的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：由題意可得，當(dāng)且，解得：；當(dāng)，解得：或；當(dāng)且是偶數(shù)，解得：；綜上所述：x的值有4個．故選：C類型六、新定義問題例．我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am·an=am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，則h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的結(jié)果是（）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k【答案】C【解析】解：∵h(yuǎn)（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）?h（n），∴h（2）=h（1+1）=h(1)?h(1)=k（k≠0）∴h（2n）=kn；∴h（2n）?h（2020）=kn?k1010=kn+1010．故選：C．【變式訓(xùn)練1】閱讀材料：定義：如果，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為，例如：，那么稱2是100的勞格數(shù)，記為．填空：根據(jù)勞格數(shù)的定義，在算式中，______相當(dāng)于定義中的n，所以______；直接寫出______；探究：某數(shù)學(xué)研究小組探究勞格數(shù)有哪些運算性質(zhì)，以下是他們的探究過程若a、b、m、n均為正數(shù)，且，，根據(jù)勞格數(shù)的定義：，______，∵∴，這個算式中，______相當(dāng)于定義中的a，______相當(dāng)于定義中的n，∴______，即，請你把數(shù)學(xué)研究小組探究過程補全拓展：根據(jù)上面的推理，你認(rèn)為：______．【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．【詳解】解：∵如果，那么稱a為n的勞格數(shù)，記為，∴，那么稱3是1000的勞格數(shù)，記為．∴在算式中，1000相當(dāng)于定義中的n，所以3；﹣8；∵，∴，∵，，∴＝pq，∴這個算式中，pq相當(dāng)于定義中的a，相當(dāng)于定義中的n，∴＝＋，即，設(shè)，，∴，，∵，∴＝a－b＝－，即－．故答案為：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．【變式訓(xùn)練2】如果ac＝b，那么我們規(guī)定（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）詳見解析【解析】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案為：3；2；4；（2）證明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c課后訓(xùn)練1．計算的值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：=====故選：A2．已知，，則______．【答案】1【詳解】∵，，，，，∴，，∴，，∴原式，故答案為1．3．已知：，，則________．【答案】【詳解】∵，，故答案為：．4．已知：，____