第15講銳角三角函數(shù)及相關(guān)概念(6大考點(diǎn))(原卷版+解析)

第15講銳角三角函數(shù)及相關(guān)概念（6大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．銳角三角函數(shù)的定義（共3小題）1．（2021秋?北林區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，則sinA的值為（）A． B． C． D．以上都不對(duì)2．（2021秋?梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則下列三角函數(shù)值中，正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinB＝3．（2021秋?遂川縣期末）（1）已知2x＝3y，求；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求sinA的值．二．銳角三角函數(shù)的增減性（共3小題）4．（2021秋?大荔縣期末）如圖，半徑為3的⊙O內(nèi)有一點(diǎn)A，OA＝，點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，S△OPA等于（）A． B． C． D．15．（2021秋?周村區(qū)期末）已知cosα＝，則銳角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°6．（2021秋?寬城縣期末）比較大?。寒?dāng)0＜α＜45°時(shí)，sinαcosα．三．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共4小題）7．（2022?市南區(qū)校級(jí)開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．8．（2021秋?舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA＝（）A． B． C． D．29．（2021秋?永春縣期末）下列選項(xiàng)正確的是（）A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞110．（2022秋?蓬萊區(qū)期中）計(jì)算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α為銳角，sin（α+15°）＝，計(jì)算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共4小題）11．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，則tanB的值是（）A．3 B． C． D．12．（2022秋?永年區(qū)校級(jí)月考）已知tan（90°﹣α）＝，則銳角α的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．75°13．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）已知＜cosA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°14．（2021秋?益陽期末）若sin65°＝，則cos25°＝．五．特殊角的三角函數(shù)值（共9小題）15．（2021秋?利辛縣期末）已知tanα＝1，則銳角α的取值是（）A．α＝60° B．α＝45° C．α＝30° D．α＝75°16．（2021秋?孟村縣期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．無法確定17．（2022秋?巨野縣期中）∠β為銳角，且2cosβ﹣1＝0，則∠β＝（）A．30° B．60° C．45° D．37.5°18．（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)期中）sin45°?tan60°＝．19．（2021秋?唐河縣期末）在△ABC中，若∠A，∠B滿足，則∠C＝．20．（2021秋?南宮市期末）已知α是銳角，，則α＝；cosα＝．21．（2021秋?泗縣期末）如果（α、β為銳角），則α＝，β＝．22．（2021秋?禮泉縣期末）計(jì)算：cos60°+2tan45°﹣sin30°．23．（2022秋?奉賢區(qū)期中）計(jì)算：．六．計(jì)算器—三角函數(shù)（共2小題）24．（2022秋?濰城區(qū)期中）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算tan35°12'，按鍵順序正確的是（）A． B． C． D．25．（2022?越秀區(qū)校級(jí)二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是（）A． B． C． D．2．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若=1，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2021·山東東昌府·九年級(jí)期中）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計(jì)算時(shí)，構(gòu)造出如圖所示的圖形：在RtACD中，，，延長(zhǎng)到，，連接，得．根據(jù)此圖可求得的結(jié)果（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，斜邊，，點(diǎn)D在AB上，且，則的值是（）A． B．1 C． D．二、填空題5．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知a＝3，且，則以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形面積等于_____．6．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）若，則銳角______°．7．（2021·重慶八中九年級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，連接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，則點(diǎn)A到直線DF的距離為________．8．（2021·廣東·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE＝DG＝1，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，則＝________．9．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知⊙O的半徑OA=2，弦AB、AC分別為一元二次方程的兩個(gè)根，則∠BAC的度數(shù)為_______．10．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知是方程的一個(gè)根，θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，那么cosθ的值為________．11．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，中，，以AC為邊作等邊，過D作，垂足為E，若，，則______．三、解答題12．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解這個(gè)直角三角形．13．（2021·廣東·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°，解這個(gè)直角三角形．14．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．15．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算下列各式的值：（1）(結(jié)果保留根號(hào))（2）16．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；（2）．17．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．18．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．（1）求AB邊上的高CD；（2）求ABC的面積S；（3）求tanB．19．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊：對(duì)折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如圖⑥）．（1）求圖②中∠BCB′的大小；（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．20．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．（1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（1）），AF=求DE的長(zhǎng)．（2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（2）），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．21．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE為⊙O的切線．（1）求證：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．22．（2021·重慶八中九年級(jí)期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，點(diǎn)D是射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ED，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上，作點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，將FD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得GD，連接AG，求證：AG＝CE；（3）如圖3，點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)過程中，延長(zhǎng)EC交AG于H，當(dāng)BH最大時(shí)，直接寫出的值．23．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b（a＜b）．將紙片任意翻折（如圖2），折痕為PQ．（P在BC上），使頂點(diǎn)C落在四邊形APCD內(nèi)一點(diǎn)C′，PC′的延長(zhǎng)線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻折，使A落在直線PM上一點(diǎn)A′，且A′M所在直線與PM所在直線重合（如圖3），折痕為MN．（1）猜想兩折痕PQ，MN之間的位置關(guān)系，并加以證明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后，兩折痕PQ，MN間的距離有何變化？請(qǐng)說明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°（如圖4），每次翻折后，非重疊部分的四邊形MC′QD，及四邊形BPA′N的周長(zhǎng)與a，b有何關(guān)系，為什么？第15講銳角三角函數(shù)及相關(guān)概念（6大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．銳角三角函數(shù)的定義（共3小題）1．（2021秋?北林區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，則sinA的值為（）A． B． C． D．以上都不對(duì)【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，則sinA＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2021秋?梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則下列三角函數(shù)值中，正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinB＝【分析】先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算，再利用排除法求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∴sinA＝，故選項(xiàng)A不符題意；cosA＝，故選項(xiàng)B不符題意；tanA＝＝，故選項(xiàng)C符合題意；sinB＝，故選項(xiàng)D不符題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，熟記在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?遂川縣期末）（1）已知2x＝3y，求；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求sinA的值．【分析】（1）根據(jù)題意得到＝，根據(jù)比例的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)勾股定理求出BC，再根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，則BC＝＝＝2，∴sinA＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是比例的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，熟記比例的性質(zhì)、正弦的定義是解題的關(guān)鍵．二．銳角三角函數(shù)的增減性（共3小題）4．（2021秋?大荔縣期末）如圖，半徑為3的⊙O內(nèi)有一點(diǎn)A，OA＝，點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，S△OPA等于（）A． B． C． D．1【分析】當(dāng)PA⊥OA時(shí)，∠OPA取得最大值，在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．【解答】解：如圖所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA時(shí)，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，OP＝3，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA?AP＝××＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形．解答此題的關(guān)鍵是找出“當(dāng)PA⊥OA時(shí)，∠OPA最大”這一隱含條件．5．（2021秋?周村區(qū)期末）已知cosα＝，則銳角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【分析】根據(jù)余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了銳角三角函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?．（2021秋?寬城縣期末）比較大?。寒?dāng)0＜α＜45°時(shí)，sinα＜cosα．【分析】先利用互余公式把余弦函數(shù)化為正弦函數(shù)，然后根據(jù)正弦值隨著角度的增大而增大去解．【解答】解：∵cosα＝sin（90°﹣α），而0＜α＜45°，∴90°﹣α＞α，∴sin（90°﹣α）＞sinα，即sinα＜cosα．故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。侨呛瘮?shù)的關(guān)系（共4小題）7．（2022?市南區(qū)校級(jí)開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴cos2A＝1﹣＝，∴cosA＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握sin2A+cos2A＝1是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA＝（）A． B． C． D．2【分析】利用平方關(guān)系求∠A的余弦值．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝＝.\故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1（∠A為銳角）．9．（2021秋?永春縣期末）下列選項(xiàng)正確的是（）A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【解答】解：如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，∴sin31°＝，cos31°＝，∴sin31°+cos31°＝+＝，∵BC+AC＞AB，∴+＞1，∴sin31°+cos31°＞1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的增減性，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?蓬萊區(qū)期中）計(jì)算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α為銳角，sin（α+15°）＝，計(jì)算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．【分析】（1）根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值以及二次根式的化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求出銳角α，再將α的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共4小題）11．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，則tanB的值是（）A．3 B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，∵tanA＝3＝，∴tanB＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的前提．12．（2022秋?永年區(qū)校級(jí)月考）已知tan（90°﹣α）＝，則銳角α的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．75°【分析】根據(jù)特殊角的正切值解決此題．【解答】解：∵tan（90°﹣α）＝，α為銳角，∴90°﹣α＝30°．∴α＝60°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特殊角的正切值，熟練掌握特殊角的正切值是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）已知＜cosA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【解答】解：∵＝cos60°，sin80°＝cos10°，∴cos60°＜cosA＜cos10°，∴10°＜A＜60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯(cuò)．14．（2021秋?益陽期末）若sin65°＝，則cos25°＝．【分析】根據(jù)互余兩銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵65°+25°＝90°，∴cos25°＝sin65°＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互余兩銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系，理解“一個(gè)銳角的正弦值等于它余角的余弦值”是正確判斷的前提．五．特殊角的三角函數(shù)值（共9小題）15．（2021秋?利辛縣期末）已知tanα＝1，則銳角α的取值是（）A．α＝60° B．α＝45° C．α＝30° D．α＝75°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵tanα＝1，∴α＝45°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．16．（2021秋?孟村縣期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．無法確定【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A的度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝，∴∠A＝60°，∴∠B的度數(shù)為：90°﹣60°＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．17．（2022秋?巨野縣期中）∠β為銳角，且2cosβ﹣1＝0，則∠β＝（）A．30° B．60° C．45° D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵∠β為銳角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．18．（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)期中）sin45°?tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解答】解：原式＝×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．19．（2021秋?唐河縣期末）在△ABC中，若∠A，∠B滿足，則∠C＝105°．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值得出∠A＝30°，∠B＝45°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，則cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．20．（2021秋?南宮市期末）已知α是銳角，，則α＝60；cosα＝．【分析】求出tanα的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【解答】解：∵tanα﹣＝0，∴tanα＝，∵α是銳角，∴α＝60°，∴cos60°＝，故答案為：60°；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握tan60°＝是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?泗縣期末）如果（α、β為銳角），則α＝45°，β＝30°．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、特殊角的三角函數(shù)值解決此題．【解答】解：∵|1﹣tanα|≥0，≥0，∴當(dāng)（α、β為銳角），則tanα＝1，sinβ＝．∴α＝45°，β＝30°．故答案為：45°，30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．22．（2021秋?禮泉縣期末）計(jì)算：cos60°+2tan45°﹣sin30°．【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝+2×1﹣＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．23．（2022秋?奉賢區(qū)期中）計(jì)算：．【分析】將特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．六．計(jì)算器—三角函數(shù)（共2小題）24．（2022秋?濰城區(qū)期中）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算tan35°12'，按鍵順序正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)科學(xué)計(jì)算器的使用方法得出結(jié)論即可．【解答】解：科學(xué)計(jì)算器計(jì)算tan35°12'，按鍵順序是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查科學(xué)計(jì)算器的使用，熟練掌握科學(xué)計(jì)算器的使用方法是解題的關(guān)鍵．25．（2022?越秀區(qū)校級(jí)二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求值即可得出答案．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A選項(xiàng)，原式＝＝，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，原式＝＝＝0.8，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，原式＝＝＝0.8，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，原式＝＝＝0.6，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)∠A＝120°，得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，得出AD＝1，CD=，再根據(jù)，利用解直角三角形求出．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵AC＝2，∴AD＝1，CD＝，∴BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°是解決問題的關(guān)鍵．2．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若=1，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根據(jù)=1即可求得，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求得．【詳解】解：若=1，則∠A＝45°，∠B＝45°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．3．（2021·山東東昌府·九年級(jí)期中）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計(jì)算時(shí)，構(gòu)造出如圖所示的圖形：在RtACD中，，，延長(zhǎng)到，，連接，得．根據(jù)此圖可求得的結(jié)果（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)AC=BC=1，則AB=BD=，根據(jù)tan22.5°=計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長(zhǎng)CB使BD=AB，連接AD，得∠D=22.5°，

設(shè)AC=BC=1，則AB=BD=，

∴tan22.5°===，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為特殊角，屬于中考?？碱}型．4．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，斜邊，，點(diǎn)D在AB上，且，則的值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長(zhǎng)，利用正切的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵，∴又∵AB=3，BC=1∴，，∵Rt△BDE∴∵BC=1∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn)．二、填空題5．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知a＝3，且，則以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形面積等于_____．【答案】6【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形為直角三角形，進(jìn)而求得三角形的面積．【詳解】解：根據(jù)題意知解得所以a＝3，b＝4，c＝5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且∠C＝90°，所以．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理逆定理，求得的值是解題的關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）若，則銳角______°．【答案】40【分析】根據(jù)可得，，由此求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握：．7．（2021·重慶八中九年級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，連接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，則點(diǎn)A到直線DF的距離為________．【答案】【分析】證△ABF是等邊三角形，可得AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，由等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求AC，AD的長(zhǎng)，由面積法可求解．【詳解】解：如圖，連接AF，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠DAB＝120°，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∠ABC＝60°，AB＝CD＝6，∵將△ABE沿BE翻折，∴AB＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，∴∠AFC＝120°＝∠DCF，∵AH⊥BC，∴BH＝HF＝3，AH＝BH＝3，∵sin∠ACB＝＝，∴AC＝5，∴CH＝＝4，∴BC＝AD＝4+3，在△AFC和△DCF中，，∴△AFC≌△DCF（SAS），∴AC＝DF＝5，∵S△ADF＝×AD×AH＝，∴點(diǎn)A到直線DF的距離＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，求出DF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·廣東·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE＝DG＝1，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，則＝________．【答案】【分析】連接，證明，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，則，根據(jù)，即即可求解．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是正方形，又即是等腰直角三角形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知⊙O的半徑OA=2，弦AB、AC分別為一元二次方程的兩個(gè)根，則∠BAC的度數(shù)為_______．【答案】15°或75°75°或15°【分析】先用因式分解法解一元二次方程，求得兩根，設(shè)AB=2，AC=2，作出圖形，進(jìn)而分情況討論解直角三角形，進(jìn)而求得．【詳解】解：弦AB、AC分別為方程的兩個(gè)根，即x1=2，x2=2，設(shè)AB=2，AC=2．①如圖，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．∵AB=2，AC=2，∴AM=，∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2，∴AN=，在Rt△NAO中，.∠NAO=30°，∴∠BAC=②如圖，當(dāng)位于的兩側(cè)時(shí)，同理可得∠MAO=45°，∠NAO=30°，則∠BAC=75°．綜上所述，∠BAC=15°或75°故答案為：15°或75°．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解一元二次方程，垂徑定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．10．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知是方程的一個(gè)根，θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，那么cosθ的值為________．【答案】【分析】將代入方程，得出的值，從而得出的度數(shù)，進(jìn)而的解．【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，解得：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)值與一元二次方程根的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的根的意義以及特殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．11．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，中，，以AC為邊作等邊，過D作，垂足為E，若，，則______．【答案】【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，通過全等三角形，求得的長(zhǎng)度，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如下圖：∵為等邊三角形∴，∵∴在和中∴∴，，∵∴，∴∴∵，∴，故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造出全等三角形和直角三角形．三、解答題12．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解這個(gè)直角三角形．【答案】∠A＝60°，，c＝40【分析】直角三角形的兩個(gè)銳角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°則∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的兩銳角，三邊中的未知的元素．【詳解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，∴∠A＝90°-30°＝60°，，∴，∴c＝40，由勾股定理知，∴，解得：．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的條件，已知三角形的一邊與一個(gè)銳角，就可以求出另一個(gè)銳角與三角形的另外兩邊．13．（2021·廣東·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°，解這個(gè)直角三角形．【答案】，，【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角和為90°，以及∠A﹣∠B＝30°，可得，進(jìn)而根據(jù)即可求得，根據(jù)cos即可求得，即可求解【詳解】如圖，在中，∠C＝90°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴，∵∴cos【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．【答案】，，【分析】過D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，由平行線等分線段定理，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到E為CB中點(diǎn)，可得出DE為三角形ABC中位線，利用中位線定理得到AC=2DE，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及垂直定義得到DE垂直與CD，在直角三角形CDE中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到CE=2DE，利用勾股定理表示出DC與AD，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．【詳解】解：過D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝DE．設(shè)DE＝k，則CD＝，AC＝2k．在Rt△ACD中，．∴，．．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：三角形中位線定理，平行線等分線段定理，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．15．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算下列各式的值：（1）(結(jié)果保留根號(hào))（2）【答案】（1）；（2）2【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）sin30°·cos30°-tan30°＝．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．16．（2021·黑龍江龍鳳·九年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．17．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，．【分析】首先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)代數(shù)式，并根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出x的值，然后代入求解即可．【詳解】解：，將代入得：原式=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值．18．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．（1）求AB邊上的高CD；（2）求ABC的面積S；（3）求tanB．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用三角形的面積公式即可得；（3）先根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】解：（1）如圖，，，；（2），；（3）在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了求三角函數(shù)值，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．19．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊：對(duì)折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如圖⑥）．（1）求圖②中∠BCB′的大??；（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）∠BCB′=60°；（2）是，理由見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得∠BCB′的度數(shù)；（2）首先根據(jù)題意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度數(shù)，然后由折疊的性質(zhì)知：GH是線段CC′的對(duì)稱軸，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)知：B′C=BC，在Rt△B′FC中，∵FC是斜邊B′C的一半，∴∠FB′C=30°，∴∠BCB′=60°即∠BCB′=60°；（2）圖⑥中的△CGC'是正三角形理由如下：∵GC平分∠BCB′，∴∠GCB=∠GCC′=∠BCB′=30°，∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，由折疊的性質(zhì)知：GH是線段CC′的對(duì)稱軸，∴GC′=GC，∴△GCC′是正三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與正三角形的判定，以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．（2021·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．（1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（1）），AF=求DE的長(zhǎng)．（2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（2）），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)AF，AD的長(zhǎng)可以求得DF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊知EF＝AF，再根據(jù)勾股定理即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，則折痕與AE的交點(diǎn)O即是其外接圓的圓心．設(shè)DE＝x，根據(jù)三角形ADE的中位線定理求得OM＝x，進(jìn)一步表示出ON的長(zhǎng)．根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑得到AE＝2ON，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解．再根據(jù)直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長(zhǎng)，從而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到FG＝2OF．【詳解】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得EF=AF=．∴DF=AD-AF=．在Rt△DEF中，DE=．（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AO=EO．取AD的中點(diǎn)M，連接MO．則MO=DE，MODC．設(shè)DE=x，則MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ONCD，∴∠CNM=180°-∠C=90°，∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．∵△AED的外接圓與BC相切，∴ON是△AED的外接圓的半徑，∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2．解這個(gè)方程，得x=．∴DE=，OE=2-x=．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90°可得，即FO=．又ABCD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．∴FG=2FO=．∴折痕FG的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題通過矩形紙片折疊，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認(rèn)識(shí)新事物的能力，本題對(duì)圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準(zhǔn)確理解、方程思想的運(yùn)用意識(shí)和策略等具有可再抽象性．21．（2020·北京·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE為⊙O的切線．（1）求證：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)題意證明OD為△ABC的中位線，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證明DE⊥BC；（2）連結(jié)BD，證明∠C=∠BDE，進(jìn)而求得CE=2DE=4，BE=DE=1，根據(jù)OD為△ABC的中位線即可求得⊙O的直徑．【詳解】解：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵D為AC的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC（2）解：連結(jié)BD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BDE+∠CDE=90°，而∠CDE+∠C=90°，∴∠C=∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC==，∴CE=2DE=4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE==，∴BE=DE=1，∴BC=BE+CE=5，∵OD為△ABC的中位線，∴OD=BC，∴AB=BC=5，即⊙O的直徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、正切的定義，添加輔助線，證明∠C=∠BDE是解題的關(guān)鍵．22．（2021·重慶八中九年級(jí)期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，點(diǎn)D