期末考試點對點壓軸題訓練(一)(A卷18題)(原卷版+解析)(北師大版成都專用)

期末考試點對點壓軸題訓練（一）（A卷18題）1．如圖，中，，，是邊上一點，連接，過點作//交的延長線于點，過點作于，延長交于點，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長；(3)判斷，，之間的關系，并說明理由．2．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度數(shù)；(3)求證：CD＝2BF+DE．3．如圖，ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，∠BAC=∠DFE=90°，AB=AC，F(xiàn)D=FE，DEF的頂點E在邊BC上移動，在移動過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與線段CA相交于點Q．（1）如圖1，當E為BC中點，且BP=CQ時，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖2，當ED經過點A，且BE=CQ時，求∠EAQ的度數(shù)；（3）如圖3，當E為BC中點，連接AE、PQ，若AP=3，AQ=4，PQ=5，求AC的長．4．如圖，AD為△ABC的中線，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．（1）求證；DE⊥DF；（2）求證：△BDE≌△DCF；（3）求證：EF∥BC．5．已知：∠AOB＝60°小新在學習了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE＝120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．（1）如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD＝OE，再移動角尺使PD＝PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線OP是∠AOB的角平分線；（2）如圖2，小新在確認射線OP是∠AOB的角平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉了一定的角度，他認為旋轉后的線段PD和PE仍然相等．請問小新的觀點是否正確，為什么？（3）如圖3，在（2）的基礎上，若角尺旋轉后恰好使得DP∥OB，請判斷線段OD與OE的數(shù)量關系，并說明理由．6．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．7．如圖，點P，Q分別是等邊△ABC邊AB，BC上的動點（端點除外），點P從點A出發(fā)，沿AB向點B方向運動，同時，點Q從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC向點C方向運動．連接AQ，CP，AQ，CP交于點M．（1）求證：AQ＝CP；（2）求∠QMC的度數(shù)；（3）若點P，Q分別運動到AB，BC的延長線上，直線AQ，CP交于點M，請在備用圖中補全圖形，并求出∠QMC的度數(shù)．8．如圖，點C為線段AB上一點，以線段AC為腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，點E為CD延長線上一點，且CE＝CB，連接AE，BD，點F為AE延長線上一點，連接BF，F(xiàn)D．（1）①求證：△ACE≌△DCB；②試判斷BD與AF的位置關系，并證明；（2）若BD平分∠ABF，當CD＝3DE，S△ADE，求線段BF的長．9．如圖，已知四邊形，連接，其中，，，延長到點，得，點為上一點，連接、，交于點．（1）求證：；（2）若，，試探究、的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖2，連接，若，求的度數(shù)．10．如圖，在和中，，，，．連接，交于點O．(1)求證：；(2)求的度數(shù)：(3)小明同學對該題進行了進一步研究，他連接了，并提出了下面結論：平分．請給予證明．11．已知中，延長至點，使得．(1)如圖，連接，求證：≌；(2)如圖，過點作的平行線，與過點且平分的直線相交于當點落在的延長線上時：①試判斷與的數(shù)量關系，并證明；②已知，求的長．12．已知直線，點是直線上一個定點，點在直線上運動．點為平面上一點，且滿足設．(1)如圖，當時，______．(2)過點作直線平分，直線交直線于點．①如圖，當時，求的度數(shù)；②當時，直接寫出的值．13．如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與點，重合），連接，作，交線段于點．（1）當時，°，°，°；（2）當?shù)扔诙嗌贂r?≌，請說明理由．（3）在點的運動過程中，請直接寫出當是等腰三角形時的度數(shù)．14．已知AB∥CD，點E為直線AB、CD所確定的平面內一點．（1）如圖1，若AE⊥AB，求證：∠C+∠E=90°；（2）如圖2，點F在BA的延長線上，連接BE、EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，則∠BEF的度數(shù)為．（3）在（2）的條件下，如圖3，過點F作∠BFG=∠BFE交EC的延長線于點G，連接DF，作∠DFG的平分線交CD于點H，當FD∥BE時，求∠CHF的度數(shù)．15．如圖，在△ABC中．AB＝AC，點E在線段BC上，連接AE并延長到G，使得EG＝AE，過點G作GD∥BA分別交BC，AC于點F，D．（1）求證：AB＝GF；（2）若GD═10，AD＝3，求DC的長度；（3）在（2）的條件下，S△DCF＝7，求△ABC的面積．16．如圖，ABC中，過點A，B分別作直線AM，BN，且AMBN，過點C作直線DE交直線AM于D，交直線BN于E，設AD＝a，BE＝b．（1）如圖1，若AC，BC分別平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若a＝1，b＝，求AB的長；（3）如圖2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的長．（用含a，b的式子表示）17．（1）如圖1，點E在四邊形ABCD的邊BC上，EA＝ED，且∠AED＝∠B＝∠C．判斷AB、BC、CD三邊的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在線段BC上，CD＝3，點E是AC邊上一動點，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接BF，當AE的值為多少時，線段BF有最小值？并求出線段BF的最小值．18．如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點．(1)求度數(shù)；(2)求證：≌；(3)猜想線段，，的數(shù)量關系，并證明．19．在等邊ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，BD＝AE，BE與CD交于點O．(1)如圖1，填空：∠BOD＝°；(2)如圖2，以CO為邊作等邊OCF，連接AO、BF，那么BF與AO相等嗎？并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，若點G是BC的中點，連接GO，判斷BF與GO有什么數(shù)量關系？并說明理由．期末考試點對點壓軸題訓練（一）（A卷18題）1．如圖，中，，，是邊上一點，連接，過點作//交的延長線于點，過點作于，延長交于點，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長；(3)判斷，，之間的關系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由等腰三角形的性質及平行線的性質得，由等腰直角三角形的性質即可得；（2）用ASA可證，由全等三角形的性質得，證明，由全等三角形的性質得，即可得；（3）過點A作平分交CE于點M，證明，得，，證明得，即可得．【解析】(1)解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．(2)解：∵，∴，在和中，∴（ASA），∴，在和中，∴（AAS），∴，∵，∴．(3)，理由如下：解：如圖所示，過點A作平分交CE于點M，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∴（ASA），∴，，在和中，∴（SAS），∴，∴．【點睛】本題考查了三角形綜合題，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點并添加適當輔助線．2．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度數(shù)；(3)求證：CD＝2BF+DE．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】（1）先根據(jù)等角的余角相等證得，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得即可求解；（3）延長BF到G，使得，根據(jù)全等三角形的判定與性質證明，得到即可證得結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，在△BAC和△DAE中，∵，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴；（3）證明：延長BF到G，使得，∵，∴，在△AFB和△AFG中，∴，∴，∴，，∵，

∴，，，∴，，∴，∵，∴在△CGA和△CDA中，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等角的余角相等、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、線段的和差等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質，添加輔助線構造全等三角形求解線段問題是解答的關鍵．3．如圖，ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，∠BAC=∠DFE=90°，AB=AC，F(xiàn)D=FE，DEF的頂點E在邊BC上移動，在移動過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與線段CA相交于點Q．（1）如圖1，當E為BC中點，且BP=CQ時，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖2，當ED經過點A，且BE=CQ時，求∠EAQ的度數(shù)；（3）如圖3，當E為BC中點，連接AE、PQ，若AP=3，AQ=4，PQ=5，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）12【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點，利用SAS，可證得：△BPE≌△CQE；（2）證明△ABE≌△ECQ（AAS），由全等三角形的性質得出AE=EQ，由三角形內角和定理可求出答案；（3）在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，證明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性質得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，證明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ，則可求出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵E是BC的中點，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵∠AEQ=45°，∠B=45°，∴∠AEB+∠QEC=135°，∠AEB+∠BAE=135°，∴∠QEC=∠BAE，在△ABE和△ECQ中，∵，∴△ABE≌△ECQ（AAS），∴AE=EQ，∴∠EAQ=∠EQA=；（3）在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，由（1）知AE=CE，∠C=∠EAP=45°，∵在△CHE與△APE中：，∴△CHE≌△APE（SAS），∴HE=PE，∠CEH=∠AEP，∴∠HEQ=∠AEC﹣∠CEH﹣∠AEQ=∠AEC﹣∠AEP﹣∠AEQ=∠AEC﹣∠PEF=90°﹣45°=45°，∴∠HEQ=∠PEQ=45°，∵在△HEQ與△PEQ中：，∴△HEQ≌△PEQ（SAS），∴HQ=PQ，∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，三角形內角和定理的應用，全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．4．如圖，AD為△ABC的中線，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．（1）求證；DE⊥DF；（2）求證：△BDE≌△DCF；（3）求證：EF∥BC．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）由角平分線的定義和平角的定義可求結論；（2）由“AAS”可證BDE≌DCF；（3）利用SAS證出EDF≌CFD，從而得出∠EFD=∠CDF，從而得出EF∥BC．【詳解】證明：（1）∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，∴∠PDE＝∠ADB，∠FDP＝∠ADC，∴∠EDF＝∠PDE+∠PDF＝∠ADB+∠ADC＝（∠ADB+∠ADC）＝90°，∴DE⊥DF；（2）∵BE⊥DE，DF⊥CF，∴∠BED＝∠DFC＝90°，∵∠BDE+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠BDE＝∠DCF，∵D是BC中點，∴BD＝DC，在BDE和DCF中，，∴BDE≌DCF（AAS），（2）∵BDE≌DCF，∴DE＝CF，在EDF和CFD中∴EDF≌CFD，∴∠EFD=∠CDF，∴EF∥BC．【點睛】此題考查的是角平分線的定義、全等三角形的判定及性質和平行線的判定，掌握角平分線的定義、全等三角形的判定及性質和平行線的判定是解決此題的關鍵．5．已知：∠AOB＝60°小新在學習了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE＝120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．（1）如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD＝OE，再移動角尺使PD＝PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線OP是∠AOB的角平分線；（2）如圖2，小新在確認射線OP是∠AOB的角平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉了一定的角度，他認為旋轉后的線段PD和PE仍然相等．請問小新的觀點是否正確，為什么？（3）如圖3，在（2）的基礎上，若角尺旋轉后恰好使得DP∥OB，請判斷線段OD與OE的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）正確，理由見解析（3）OE＝2OD，理由見解析【分析】（1）根據(jù)SSS證明△OPD≌△OPE（SSS），可得結論．（2）結論正確．如圖2中，過點P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．證明△PHD≌△PKE（ASA），可得結論．（3）結論：OE＝2OD．如圖3中，在OB上取一點T，使得OT＝OD，連接PT．想辦法證明PT＝OT，PT＝TE，可得結論．【詳解】（1）證明：如圖1中，在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD＝∠POE；（2）解：結論正確．理由：如圖2中，過點P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．∵∠PHO＝∠PKO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠HPK＝120°，∵∠DPE＝∠HPK＝120°，∴∠DPH＝∠EPK，∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH＝∠POK，∠PHO＝∠PKO＝90°，在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH＝PK，在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD＝PE；（3）解：結論：OE＝2OD．理由：如圖3中，在OB上取一點T，使得OT＝OD，連接PT．∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT，在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP，∵PD∥OB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°，∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE，∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．6．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質與判定及等邊三角形的性質與判定，解題的關鍵是構造輔助線證明三角形全等．7．如圖，點P，Q分別是等邊△ABC邊AB，BC上的動點（端點除外），點P從點A出發(fā)，沿AB向點B方向運動，同時，點Q從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC向點C方向運動．連接AQ，CP，AQ，CP交于點M．（1）求證：AQ＝CP；（2）求∠QMC的度數(shù)；（3）若點P，Q分別運動到AB，BC的延長線上，直線AQ，CP交于點M，請在備用圖中補全圖形，并求出∠QMC的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）60°；（3）120°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；（3）先補全圖形，由（1）可知△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴AQ＝CP；（2）∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）補全圖形如下：由（1）可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識的綜合應用．解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．解題時注意運用全等三角形的對應邊相等，對應角相等的性質．8．如圖，點C為線段AB上一點，以線段AC為腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，點E為CD延長線上一點，且CE＝CB，連接AE，BD，點F為AE延長線上一點，連接BF，F(xiàn)D．（1）①求證：△ACE≌△DCB；②試判斷BD與AF的位置關系，并證明；（2）若BD平分∠ABF，當CD＝3DE，S△ADE，求線段BF的長．【答案】（1）①見詳解；②AF⊥BD，理由見詳解；（2）7【分析】（1）①根據(jù)SAS即可證明△ACE≌△DCB；②延長BD交AF于H，由△ACE≌△DCB，可得∠BDC＝∠EAC，進而得∠AHB＝90°，即可得到結論；（2）先證明，可得BF=BA，再推出S△DCB=S△ACE=6，設DE=x，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）①∵以線段AC為腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，又∵CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）；②AF⊥BD，理由如下：如圖，延長BD交AF于H，∵△ACE≌△DCB，∴∠BDC＝∠EAC，∵∠CBD＋∠CDB＝90°，∴∠CBD＋∠EAC＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AF⊥BD；（2）∵BD平分∠ABF，∴∠ABH=∠FBH，∵AF⊥BD，∴∠AHB=∠FHB，又∵BH=BH，∴，∴BF=BA，∵CD＝3DE，S△ADE，∴S△ACE×4=6，∴S△DCB=S△ACE=6，設DE=x，則CD=3x，CE=x+3x=4x，∴BC=CE=4x，∴，解得：x=1（負值舍去），∴BA=3x+4x=7x=7，∴BF=7．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明△ACE≌△DCB是本題的關鍵．9．如圖，已知四邊形，連接，其中，，，延長到點，得，點為上一點，連接、，交于點．（1）求證：；（2）若，，試探究、的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖2，連接，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2），理由見詳解；（3）【分析】（1）由題意易得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質及角的和差關系可得，然后問題可求證；（2）利用全等三角形的性質和三角形內角和定理即可得出答案；（3）過點F作FM⊥FA交AC于點M，可得出△AFM為等腰直角三角形，再利用ASA證明△ADF≌△MCF即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）解：，理由如下：由（1）可得，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）解：過點F作FM⊥FA交AC于點M，如圖2所示：∵，∴△AFM是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴△ADF≌△MCF（ASA），∴，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質與判定及三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質與判定是解題的關鍵．10．如圖，在和中，，，，．連接，交于點O．(1)求證：；(2)求的度數(shù)：(3)小明同學對該題進行了進一步研究，他連接了，并提出了下面結論：平分．請給予證明．【答案】(1)見解析；(2)38°；(3)見解析【分析】（1）由“SAS”可證△BAD△CAE，由全等角形的性質可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性質可得∠ABD＝∠ACE，由三角形外角性質可得出答案；（3）過點A作AGBD于點G，AHCE于點H，可證明（AAS），可得AG＝AH，由角平分線的性質可得OA平分BOE．【解析】（1）解：如圖所示標注角度：∵∴即在和中∴（SAS）∴（2）解：∵∴設交于點F，則是和的外角∴，∴∵∴即的度數(shù)是38°（3）證明：過點作于G，于H，則，∴在和中∴（AAS）∴而于G，∴點A在的平分線上即平分【點睛】本題考查全等三角形的性質，三角形外角性質及角平分線的性質，解題時注意結合圖形分析已知條件與問題之間的位置關系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思考方向．11．已知中，延長至點，使得．(1)如圖，連接，求證：≌；(2)如圖，過點作的平行線，與過點且平分的直線相交于當點落在的延長線上時：①試判斷與的數(shù)量關系，并證明；②已知，求的長．【答案】(1)見解析；(2)①，證明見解析；②【分析】（1）由可證明≌；（2）①連接，證明≌，由全等三角形的性質得出；②由三角形外角的性質求出，得出，則，由直角三角形的性質得出，求出長，則可得出答案．【解析】（1）證明：，，，在和中，，≌；（2）解：①，證明：連接，，，，，，，，又，，，，，又，≌，；②，，設，，平分，，又，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質和判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．12．已知直線，點是直線上一個定點，點在直線上運動．點為平面上一點，且滿足設．(1)如圖，當時，______．(2)過點作直線平分，直線交直線于點．①如圖，當時，求的度數(shù)；②當時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）延長與相交于點，根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)三角形外角定理可得，代入計算即可得出答案；（2）①延長與相交于點，如圖，根據(jù)角平分線的性質可得出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角定理可得，即可得出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質即可得出答案；②根據(jù)平行線的性質可得的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角和，即可得出答案．【詳解】（1）解：；延長與相交于點，如圖，，，，，．（2）解：①延長與相交于點，如圖，，平分，，，，，；②．如圖，，，，平分，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟練應用平行線的性質進行計算是解決本題的關鍵，在平行線中遇到拐點問題，經常過拐點作平行線或延長截線來解題．13．如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與點，重合），連接，作，交線段于點．（1）當時，°，°，°；（2）當?shù)扔诙嗌贂r?≌，請說明理由．（3）在點的運動過程中，請直接寫出當是等腰三角形時的度數(shù)．【答案】（1）；；；（2）當DC=3時，△ABD≌△DCE，理由詳見解析；（3）當∠BDA=或時，△ADE是等腰三角形

【分析】（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質求出∠AED，最后用三角形的內角和定理求出∠DAE；（2）先利用等式的性質判斷出∠BAD＝∠CDE，再用全等三角形的性質得出CD＝AB，即可得出結論；（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質求出∠AED，再用三角形外角的性質求出∠CDE，最后用平角的性質即可得出結論．【詳解】解：（1）∵∠BDA＝110°，∠ADE＝50°，∴∠CDE＝180°?∠BDA?∠ADE＝180°?110°?50°＝20°，∵∠C＝50°，∴∠AED＝∠CDE＋∠C＝20°＋50°＝70°，在△ADE中，∠DAE＝180°?∠ADE?∠AED＝180°?50°?70°＝60°，故答案為：20，70，60；（2）當DC＝3時，△ABD≌△DCE，理由：在△ABD中，∠BAD＋∠BDA＝180°?∠B＝130°，∵∠BDA＋∠EDC＝180°?∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠C，△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝3；（3）∵△ADE是等腰三角形，∴①當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝50°，∵∠C＝50°，∴點E與點C重合，不符合題意，舍去，當AD＝ED時，∠AED＝（180°?∠ADE）＝65°，∴∠CDE＝∠AED?∠C＝15°，∴∠BDA＝180°?∠ADE?∠CDE＝115°，當AE＝DE時，∠AED＝180°?2∠ADE＝80°，∴∠CDE＝∠AED?∠C＝30°，∴∠BDA＝180°?∠ADE?∠CDE＝100°，即當△ADE是等腰三角形時∠BDA的度數(shù)為115°或100°．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質，平角的意義，三角形外角的性質，等腰三角形的性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．14．已知AB∥CD，點E為直線AB、CD所確定的平面內一點．（1）如圖1，若AE⊥AB，求證：∠C+∠E=90°；（2）如圖2，點F在BA的延長線上，連接BE、EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，則∠BEF的度數(shù)為．（3）在（2）的條件下，如圖3，過點F作∠BFG=∠BFE交EC的延長線于點G，連接DF，作∠DFG的平分線交CD于點H，當FD∥BE時，求∠CHF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）67.5°【分析】（1）首先延長BA，則易得AB∥CD，然后由兩直線平行，同位角相等，即可證得∠E+∠C=90°；（2）延長BF，交CE與G，則易得∠EGB=90°，然后由三角形內角和定理得出2∠AEF+2∠AEB=90°，即可得出∠BEF=45°；（3）根據(jù)平行線的性質得出∠D=∠BFD=∠B，根據(jù)三角形的外角性質得出∠CHF=∠DFG+∠D，然后根據(jù)已知條件和三角形內角和定理即可求得∠CHF=∠BFE+∠B=(180°﹣∠BEF﹣∠B)+∠B=(180°﹣45°﹣∠B)+∠B=67.5°．【詳解】（1）延長BA，交CE與F，如圖1：∵AB∥CD，∴∠EFA=∠C，∴∠EAB=∠EFA+∠E=∠E+∠C，∵AE⊥AB，∴∠E+∠C=90°；（2）延長BF，交CE與G，如圖2：∵AB∥CD，CE⊥CD，∴∠EGB=90°，∴∠GEB+∠B=90°，∵∠GEF=∠AEF，∠AEB=∠B，∴2∠AEF+2∠AEB=90°，∴∠AEF+∠AEB=45°，即∠BEF=45°，故答案為：45°；（3）如圖3，∵∠CHF=∠DFH+∠D，∠DFH=∠DFG，∴∠CHF=∠DFG+∠D，∵AB∥CD，F(xiàn)D∥BE，∴∠D=∠BFD=∠B，∴∠DFG=∠BFG﹣∠B，∴∠CHF=∠DFG+∠D=(∠BFG﹣∠B)+∠B=∠BFG+∠B，∵∠BFG=∠BFE，∴∠CHF=∠BFE+∠B=(180°﹣∠BEF﹣∠B)+∠B=(180°﹣45°﹣∠B)+∠B=67.5°．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中．AB＝AC，點E在線段BC上，連接AE并延長到G，使得EG＝AE，過點G作GD∥BA分別交BC，AC于點F，D．（1）求證：AB＝GF；（2）若GD═10，AD＝3，求DC的長度；（3）在（2）的條件下，S△DCF＝7，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABE≌△GFE，可解答；（2）根據(jù)等腰三角形和平行線的性質得：∠C＝∠DFC，所以DF＝DC，設DC＝x，則AB＝AC＝3+x，根據(jù)DG＝10列方程可解答；（3）連接AF，根據(jù)同高三角形面積的比等于對應底邊的比可得△ADF的面積，同理得△AFG的面積，由（1）中△ABE≌△GFE，則△ABE與△GFE的面積相等，利用面積和可得結論．【詳解】（1）證明：∵GD∥BA，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和△GFE中，∵，∴△ABE≌△GFE（AAS），∴AB＝GF；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵GD∥BA，∴∠B＝∠DFC，∴∠C＝∠DFC，∴DF＝DC，設DC＝x，則AB＝AC＝3+x，∵DG＝10，∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，∴x＝，∴DC＝；（3）解：連接AF，∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC，∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝，∴S△ADF：7＝3：，∴S△ADF＝6，同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG，即6：S△AFG＝：，∴S△AFG＝，由（1）知：△ABE≌△GFE，∴S△ABF＝S△AFG＝，∴S△ABC＝+6+7＝．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，同高等底的三角形的面積關系，解題的關鍵在于熟悉對應的幾何性質定理，并且能夠想到利用同高等底三角形的面積比來求三角形面積．16．如圖，ABC中，過點A，B分別作直線AM，BN，且AMBN，過點C作直線DE交直線AM于D，交直線BN于E，設AD＝a，BE＝b．（1）如圖1，若AC，BC分別平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若a＝1，b＝，求AB的長；（3）如圖2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的長．（用含a，b的式子表示）【答案】（1）90°；（2）；（3）DC＝b?a．【分析】（1）由AC，BC分別平分∠DAB和∠EBA，求出∠CAB＝∠MAC＝∠MAB，∠CBA＝∠NBC＝∠NBA，進而得出∠BAC＋∠ABC＝(∠MAB＋NBA)，由AM∥BN，得出∠MAB＋∠NBA＝180°，代入計算即可得到結果；（2）在AB上取一點F，使AF＝AD＝1，連接CF，證明△AFC≌△ADC，再證明△BFC≌△BEC，AB＝AF＋BF，代入計算即可求得結果；（3）在EB上截取EH＝EC，連接CH，先證明△ECH，△ABC均為等邊三角形，再證明△DAC≌△HBC，即可得到DC＝BE?AD＝b?a．【詳解】解：（1）如圖1，∵AC平分∠MAB，∴∠CAB＝∠MAC＝∠MAB，同理，∠CBA＝∠NBC＝∠NBA，∵AM∥BN，∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∴∠BAC＋∠ABC＝(∠MAB＋NBA)＝90°，∴∠ACB＝180°?（∠CAB＋∠ABC）＝180°?90°＝90°；（2）如圖1，在AB上取一點F，使AF＝AD＝1，連接CF，在△AFC和△ADC中，，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠AFC，∵AM∥BN，∴∠ADC＋∠BEC＝180°，∵∠AFC＋∠BFC＝180°，∴∠BFC＝∠BEC，∵∠FBC＝∠EBC，BC＝BC，∴△BFC≌△BEC（AAS），∴EB＝BF＝，∴AB＝AF＋BF＝1＋＝；（3）如圖2，在EB上截取EH＝EC，連接CH，∵AC＝AB，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵EC＝EH，∠DEB＝60°，∴△ECH為等邊三角形，∴∠ECH＝∠EHC＝60°，∴∠BHC＝120°，∴AM∥BN，∴∠ADC＋∠DEB＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADC＝∠CHB，∠DAC＋∠DCA＝60°，∵∠DCA＋∠ACB＋∠HCB＋∠ECH＝180°，∴∠DAC＋∠HCB＝60°，∴∠DAC＝∠HCB，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH＝HE，CD＝BH，∴AD＋DC＝BE，∴DC＝BE?AD＝b?a．【點睛】本題考查全等三角形綜合題，全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造等邊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．17．（1）如圖1，點E在四邊形ABCD的邊BC上，EA＝ED，且∠AED＝∠B＝∠C．判斷AB、BC、CD三邊的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在線段BC上，CD＝3，點E是AC邊上一動點，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接BF，當AE的值為多少時，線段BF有最小值？并求出線段BF的最小值．【答