重難點專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題(原卷版+解析)

重難點專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題【知識梳理】一、等腰三角形存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．1、知識內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長度時，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；（2）兩點間距離公式：設A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根．二、直角三角形存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問題1、知識內(nèi)容：在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標軸作為一個“天然”的直角存在，在解題時經(jīng)常會用到，作出垂直于坐標軸的直線來構造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計算來確定直角三角形．2、解題思路：（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；（2）計算出相應的邊長等信息；（3）根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標．【考點剖析】題型一：等腰三角形存在性1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點為D，其圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點，點B的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得以A，C，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出以為腰時點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·廣東汕頭·汕頭市潮陽實驗學校?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知．

(1)求拋物線的解析式；(2)點是線段上的一個動點（不與重合），過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時點的坐標．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．3．（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸于A，B兩點，交y軸于點C，．(1)直線過A，C兩點，①如圖1，求拋物線的解析式；②如圖1，將直線向右平移，A的對應點為B，且，以為一邊作等腰三角形，求N的坐標；(2)如圖2，M為拋物線第一象限上任意一點，直線交y軸于點H，若，求a的值．4．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與y軸交于點C．

(1)求的面積；(2)點P是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點P的坐標；(3)將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．題型二：直角三角形存在性5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式：(2)證明：為直角三角形：(3)在拋物線上除點外，是否還存在另外一個點，使是直角三角形？若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由．6．（2022·廣東梅州·一模）已知拋物線與軸有兩個不同的交點．(1)試確定的取值范圍．(2)設該拋物線與軸的交點為，，其中；拋物線與y軸交于點，如圖所示．①求該拋物線的表達式并確定點坐標和點坐標；②連接，動點以每秒個單位長度的速度由向運動，同時動點E以每秒個單位長度的速度由向運動，連接，當點到達點的位置時，、同時停止運動，設運動時間為秒．當為直角三角形時，求的值．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接．

(1)求A、B、C三點的坐標及拋物線的對稱軸；(2)若已知x軸上一點，則在拋物線對稱軸上是否存在一點Q，使得是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線經(jīng)過B，C兩點，已知，，且．

(1)試求出點B的坐標．(2)分別求出直線和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點是x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線于點M，交直線于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若平分時，試求Q點的坐標；(3)在點P的運動過程中，是否存在點Q，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標：若不存在，請說明理由．10．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）數(shù)學興趣小組同學們對二次函數(shù)（n為正數(shù)）進行如下探究：(1)同學們在探究中發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖像除與y軸交點不變外，還經(jīng)過一個定點，請寫出點坐標；(2)有同學研究后認為，該二次函數(shù)圖像頂點不會落在第一象限，你認為是否正確，請說明理由；(3)若拋物線與x軸有兩個交點，且交點與頂點構成的三角形是直角三角形，請幫興趣小組同學求出的值.11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．題型三：等腰三角形存在性12．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點、（點在點的右側），與y軸交于點，點為該拋物線的對稱軸上的點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點和點(1)求該拋物線的函數(shù)表達式及其頂點坐標．(2)將該拋物線平移，所得拋物線經(jīng)過點，且與y軸交于點B．如果以點A，O，B為頂點的三角形是等腰直角三角形，那么應將拋物線怎樣平移？為什么？14．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．15．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點A，過點A作y軸的垂線與此拋物線交于點B，點A與點B不重合．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______；(2)當拋物線經(jīng)過坐標原點時，①求此拋物線所對應的二次函數(shù)表達式；②當(m為常數(shù))時，y的最小值為，求m的值；(3)若點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為，當以點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出a的值．【過關檢測】一、單選題1．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，線段BC⊥y軸交此拋物線于點D，且CD＝BC，則△ABC的面積為（）A．24 B．12 C．6 D．32．（2022·江蘇·九年級專題練習）拋物線y＝x2上有三個點A、B、C，其橫坐標分別為m、m+1、m+3，則的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋·四川涼山·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，與y軸交于點，P為AC上的一個動點，則有以下結論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④4．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，點D、點E分別是BC、AC邊上的點，DE//AB則S△BDE的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2022春·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，則下列結論：①2a+b＝0；②2c>3b；③當△ABC是等腰三角形時，a的值有2個；④當△BCD是直角三角形時，a＝．其中正確的個數(shù)（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，正方形的邊在軸上，，在拋物線上，連結，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．7．（2021·四川成都·一模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為D，其圖像與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，與y軸負半軸交于點C．在下面四個結論中：①；②；③只有當時，是等腰直角三角形；④使為等腰三角形的值可以有兩個．其中正確的結論有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2022秋·浙江·九年級階段練習）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)的圖象在x軸及其上方的部分向右平移得到，這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的logo．經(jīng)測量，該圖案兩個頂點間的距離與底部跨度的比值為，點P是與的交點，若恰好為等腰直角三角形，則a的值為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線交x軸于，，交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結論：①；②；③；④當是等邊三角形時，拋物線解析式為．其中正確的有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，且經(jīng)過點，對稱軸是直線，下列說法：①；②是關于x的方程的一個根；③若點，是函數(shù)圖像上的兩點，則；④設該拋物線與坐標軸的交點為，，，若是等腰三角形，則，其中正確的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┰谌鐖D所示的平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+x+2與x軸交于點M、N（M在N左側），與y軸交于點A，點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，經(jīng)過點M的射線MD與y軸負半軸相交于點C，與拋物線的另一個交點為D，∠BMN=∠NMD，點P是y軸負半軸上一點，且∠MDP=∠BMN，則點P的坐標是_______．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線與坐標軸交于點、、，點在直線下方的拋物線上運動，當時，點的坐標為____．13．（2023秋·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期末）如圖拋物線與直線相交于點A，B，與y軸交于點，若為直角，則當時自變量x的取值范圍是_______．14．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的點在軸的負半軸上，拋物線的頂點為，且經(jīng)過點、．若為等腰直角三角形，則的值是__________________．15．（2022秋·九年級單元測試）已知點A是直線上一動點，以點A為頂點的拋物線交y軸于點B，作點B關于x軸的對稱點C，連接AB、AC．若△ABC是直角三角形，則點A的坐標為___．16．（2022秋·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習）拋物線交x軸負半軸于點A，點B是拋物線上一動點，且點B在第二象限，以AB為邊，作等腰直角三角形ABP.其中，當點Р恰好在y軸上時，點Р的坐標為____________.17．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．點P為拋物線對稱軸上一點．以為邊在的下方作等邊三角形，則當點P從點D運動到點E的過程中，點Q經(jīng)過路徑的長度為______．18．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，點的坐標是，點的坐標是，拋物線的對稱軸交軸于點，連接．點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當是以為腰的等腰三角形，則點的縱坐標是______．三、解答題19．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點，，對稱軸是，與軸相交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為拋物線對稱軸上一動點，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．20．（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線L：與x軸交于，與y軸交于點．

(1)求拋物線L的表達式和頂點坐標D；(2)將拋物線L平移得到，拋物線的頂點坐標為E，的對稱軸與x軸交于點F．若以O，E，F(xiàn)為頂點的三角形與全等，請你寫出平移過程，并說明理由．21．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）如圖，拋物線經(jīng)過，B兩點，且與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)F是直線上一動點，M為拋物線上一動點，若為等腰直角三角形，請求出點M的坐標．22．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知關于x的二次函數(shù)（m為常數(shù)）圖象的頂點為D．(1)求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有交點；(2)如果當時，y的最大值為3，求m的值；(3)當時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點為A，B（點A在點B左側）．二次函數(shù)圖象對稱軸上是否存在一點G，使得是等腰三角形？若存在，直接寫出點G的坐標，若不存在，請說明理由．23．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線l，l交x軸于點D．

(1)求點A、B、C的坐標；(2)點P是拋物線上的動點，過點P作軸于點M，點N在y軸上，且點N在點M上方，是否存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與全等，若存在，請求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．24．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接，過點A、C作直線．(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)點P為直線下方拋物線上一動點，過點P作交于點F，過點P作交x軸于點E，求的最大值及此時點P的坐標．(3)在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點M；連接，把線段沿直線平移，記平移后的線段為，當以、、M為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．25．（2022·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于、兩點點在點的左側，交軸于點將直線以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)，交軸于點，交拋物線于另一點．

(1)求直線的解析式；(2)點是第一象限內(nèi)拋物線上一點，當?shù)拿娣e最大時，求出此時點的坐標；(3)如圖，將沿射線方向以每秒個單位的速度平移，記平移后的為，平移時間為秒，當為等腰三角形時，求的值．

重難點專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題【知識梳理】一、等腰三角形存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．1、知識內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長度時，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；（2）兩點間距離公式：設A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根．二、直角三角形存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問題1、知識內(nèi)容：在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標軸作為一個“天然”的直角存在，在解題時經(jīng)常會用到，作出垂直于坐標軸的直線來構造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計算來確定直角三角形．2、解題思路：（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；（2）計算出相應的邊長等信息；（3）根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標．【考點剖析】題型一：等腰三角形存在性1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點為D，其圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點，點B的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得以A，C，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出以為腰時點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為(2)存在，符合條件的點M有3個，其坐標分別為或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設點M的坐標為，分兩種情況討論：①當時；②當時，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴代入得解得∴拋物線解析式為．（2）解：存在；由（1）得：拋物線解析式為，∴對稱軸，當時，解得或1，∴點A的坐標為，∵點C坐標為，設點M的坐標為，由勾股定理，得，，，∵為等腰三角形的腰，①當時，即．解得，∴，；②當時，即，解得，∴；綜上，符合條件的點M有3個，其坐標分別為或或；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式、三角形問題，掌握解題方法是關鍵．2．（2023·廣東汕頭·汕頭市潮陽實驗學校?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知．

(1)求拋物線的解析式；(2)點是線段上的一個動點（不與重合），過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時點的坐標．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，四邊形的面積最大，最大值為，此時(3)存在，滿足條件的點坐標為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式得出對稱軸為直線，進而得出，求得直線的解析式為，設，則，進而得出，根據(jù)四邊形的面積，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）先利用勾股定理求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分和，結合坐標與圖形求解即可．【詳解】（1）將代入拋物線解析式得，解得拋物線解析式為（2）拋物線的對稱軸為直線設直線的解析式為，將點坐標代入得解得直線的解析式為設，則四邊形的面積當時，四邊形的面積最大，最大值為，此時

（3），，當時，點坐標為或，當時，點坐標為，當時，設則，解得：，則點坐標為，綜上所述，滿足條件的點坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸于A，B兩點，交y軸于點C，．(1)直線過A，C兩點，①如圖1，求拋物線的解析式；②如圖1，將直線向右平移，A的對應點為B，且，以為一邊作等腰三角形，求N的坐標；(2)如圖2，M為拋物線第一象限上任意一點，直線交y軸于點H，若，求a的值．【答案】(1)①；②N點坐標為或或，或或或(2)【分析】（1）①待定系數(shù)法即可求解；②求出，，分、兩種情況，分別求解即可；（2）求出直線的解析式為、直線的解析式為，進而求解．【詳解】（1）解：①直線過，兩點，，將、點坐標代入，，解得，拋物線的解析式為；②當時，，解得或，，將直線向右平移，的對應點為，平移后的直線的解析式為，，，，，，過點作軸交于點，，，，，，，，，，當時，或或，；當時，或或；綜上所述：點坐標為或或，或或或；（2）解：，，設，直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，，，，，解得．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．4．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與y軸交于點C．

(1)求的面積；(2)點P是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點P的坐標；(3)將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．【答案】(1)18(2)，此時(3)或或【分析】（1）分別令和解方程可得點、、的坐標，再用三角形面積公式求出面積即可；（2）過點作軸交于點，數(shù)形結合思想找到和的數(shù)量關系，求最大值轉(zhuǎn)化為求最大值問題，利用配方法求最值即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，得出新拋物線解析式，求出兩個拋物線的交點坐標，再設向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立關于的方程求解，即可解答．【詳解】（1）解：當時，，當時，，解得：，，，，，，，；（2）解：過點作軸交于點，

，，，，∵軸，，，，則當最大時，也最大，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設，，，當時，最大，則，線段的最大值為，此時點的坐標為；（3），將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，即原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，原拋物線，新拋物線，令，解得，，設向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，，，，，①當時，，（舍去）或，點的坐標為；②當時，，或，點的坐標為或；綜上所述：點的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關鍵．題型二：直角三角形存在性5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式：(2)證明：為直角三角形：(3)在拋物線上除點外，是否還存在另外一個點，使是直角三角形？若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，【分析】（1）將、、的坐標代入拋物線解析式，求解即可；（2）由（1）得到邊，，的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定為直角三角形；（3）根據(jù)拋物線的對稱性可得另一點的坐標．【詳解】（1）解：與軸交于、兩點，與軸交于點，，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：、、，，，，，，則，是直角三角形；（3）解：存在，當軸，即點與點是關于拋物線對稱軸的對稱點，而點坐標為，，把代入得：，，．點坐標為．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2022·廣東梅州·一模）已知拋物線與軸有兩個不同的交點．(1)試確定的取值范圍．(2)設該拋物線與軸的交點為，，其中；拋物線與y軸交于點，如圖所示．①求該拋物線的表達式并確定點坐標和點坐標；②連接，動點以每秒個單位長度的速度由向運動，同時動點E以每秒個單位長度的速度由向運動，連接，當點到達點的位置時，、同時停止運動，設運動時間為秒．當為直角三角形時，求的值．【答案】(1)(2)，，；或【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸有兩個不同的交點，得方程有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式，即可；（2）把點代入拋物線中，求出拋物線的解析式，再根據(jù)，求出點的坐標，，求出點的坐標，即可；根據(jù)點，點的坐標，得是等腰直角三角形，得，根據(jù)為直角三角形，分類討論：當時，根據(jù)勾股定理求出；當時，根據(jù)勾股定理求出，即可．【詳解】（1）∵拋物線與軸有兩個不同的交點，∴方程有兩個不同的實數(shù)根，∴，∴．（2）點代入拋物線中，∴，∴，∴拋物線的解析式為：，當時，，∴點，當時，，，∴點；∵點，點，∴，∴是等腰直角三角形，∴，：當，，∴，，∴，∵動點以每秒個單位長度的速度由向運動，同時動點E以每秒個單位長度的速度由向運動，∴，，，∴，∴；當，，∴，，∴，∴，∴．綜上所述，當為直角三角形時，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)和幾何的綜合，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接．

(1)求A、B、C三點的坐標及拋物線的對稱軸；(2)若已知x軸上一點，則在拋物線對稱軸上是否存在一點Q，使得是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，對稱軸是；(2)滿足條件的點的坐標為：或或或．【分析】（1）分別令和進行求解即可；（2）設，分別按C、N、Q三點為直角頂點，應用勾股定理進行求解．【詳解】（1）解：由得到：，令，則，∴或，則，，對稱軸是．令，則，所以，綜上所述，，，，對稱軸是；（2）解：假設存在滿足條件的點．設．又，∴，，，①當點是直角頂點時，則，即，解得，此時點的坐標是；②當點為直角頂點時，，即，解得，此時點的坐標是；③當點為直角頂點時，，即，解得或，此時點的坐標是或．綜上所述，滿足條件的點的坐標為：或或或．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的三種形式，勾股定理以及兩點間的距離公式．注意分類討論數(shù)學思想的應用．8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線經(jīng)過B，C兩點，已知，，且．

(1)試求出點B的坐標．(2)分別求出直線和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或或或【分析】（1）由，，可由勾股定理求，進而得點B坐標；（2）用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式；（3）設點P坐標為，分三類討論：①當時；②當時；③當時，分別建立勾股定理方程求解點P坐標即可．【詳解】（1）解：∵點，即．∵，在中，根據(jù)勾股定理得，即點B坐標為．（2）把分別代入中，得，解得．∴直線解析式為；把、、分別代入得，解得．∴拋物線的解析式是．（3）在拋物線的對稱軸上存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式是，∴拋物線對稱軸為直線．設點P坐標為．①當時，有．∵，，，∴，解得：，故點；②當時，有．∵，，，∴，解得：，故點；③當時，有．∵，，，∴．解得：，，∴，．綜上所述，使得為直角三角形的點P的坐標為或或或．【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系數(shù)法求解析式，分類討論的數(shù)學思想，難度不大．第（3）問特別注意分類討論思想的運用．做到不重不漏．9．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點是x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線于點M，交直線于點E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若平分時，試求Q點的坐標；(3)在點P的運動過程中，是否存在點Q，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出直線和的表達式，然后得到，，，進而表示出，，最后利用平分列方程求解即可；（3）首先根據(jù)題意表示出，，，然后分兩種情況討論，分別根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）將，代入得，，解得∴；（2）當時，∴∵點D與點C關于x軸對稱，∴∴設直線的表達式為∴，解得∴直線的表達式為同理可得直線的表達式為∵∴，，∴，∵平分∴∴∴解得，（舍去）∴；（3）∵，，∴，，當時，

∴∴∴解得或（舍去），∴；當時，

∴∴∴解得或（舍去）∴綜上所述，點Q的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是利用自變量與函數(shù)值的對應關系；解（2）的關鍵是利用對稱得出D點坐標，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（3）的關鍵是利用勾股定理得出關于m的方程，并分類討論，以防遺漏．10．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）數(shù)學興趣小組同學們對二次函數(shù)（n為正數(shù)）進行如下探究：(1)同學們在探究中發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖像除與y軸交點不變外，還經(jīng)過一個定點，請寫出點坐標；(2)有同學研究后認為，該二次函數(shù)圖像頂點不會落在第一象限，你認為是否正確，請說明理由；(3)若拋物線與x軸有兩個交點，且交點與頂點構成的三角形是直角三角形，請幫興趣小組同學求出的值.【答案】(1)(2)正確；理由見解析(3)或【分析】（1）將函數(shù)解析式變形，使得含的項為0，可得或，進而即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式得出縱坐標小于或等于0，即可得出結論；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得交點與頂點構成的三角形是等腰直角三角形，進而根據(jù)頂點到軸的距離等于,建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：，當時，即或，當時，，當時，，∴；故答案為：．（2）解：正確，理由如下，∵，，∴拋物線的頂點坐標的縱坐標為，即該二次函數(shù)圖像頂點不會落在第一象限；（3）解：當時，，即∴或設拋物線與軸的另一個交點為，頂點為，則，則依題意，為等腰直角三角形的斜邊，頂點坐標為的縱坐標為∴當，時，即，∴，解得：（舍去）或當時，即，∴，解得：或（舍去），綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設（），，解得：，，，，，，，當時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設，，，，，，解得：，；設直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當時，，

；綜上所述：存在，的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關鍵．題型三：等腰三角形存在性12．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點、（點在點的右側），與y軸交于點，點為該拋物線的對稱軸上的點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為；(2)存在，的坐標為或【分析】（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，將點代入，利用待定系數(shù)法即可求解，令即可求得點的坐標；（2）記拋物線的對稱軸與軸的交點為，則，分兩種情況：①當點在軸上方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，證明，得，，設，則，代入可得的值，從而求得的坐標；②當點在軸下方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，同理可得的坐標．【詳解】（1）解：設拋物線的函數(shù)表達式為，將點代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為，令得：，解得，，；（2）解：存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，理由如下：記拋物線的對稱軸與軸的交點為，則，①當點在軸上方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，如圖：

，，，，，，，，，，，，設，則，將代入得：，解得（舍去）或；；②當點在軸下方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，如圖：

，，，，，，，，，，，，設，則，把代入得：，解得：（舍去）或，．綜上所述，E的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)及應用，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是分類討論思想的應用．13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點和點(1)求該拋物線的函數(shù)表達式及其頂點坐標．(2)將該拋物線平移，所得拋物線經(jīng)過點，且與y軸交于點B．如果以點A，O，B為頂點的三角形是等腰直角三角形，那么應將拋物線怎樣平移？為什么？【答案】(1)，頂點坐標為；(2)將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位或?qū)⒃瓛佄锞€向右平移4個單位，再向下平移6個單位，理由見解析【分析】（1）把P、Q兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，將其化為頂點式即可確定頂點坐標；（2）利用A點坐標和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程．【詳解】（1）解：將和，代入中得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∴，∴頂點坐標為；（2）∵是等腰直角三角形，，點在軸上，∴點坐標為或，可設平移后的拋物線解析式為，①當拋物線過點，時，代入可得，，解得，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線頂點坐標為，∴將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位即可；②當拋物線過點，時，代入可得∶，解得，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線頂點坐標為，∴將原拋物線向右平移4個單位，再向下平移6個單位即可；綜上可得：將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位或?qū)⒃瓛佄锞€向右平移4個單位，再向下平移6個單位．【點睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與方程的關系、等腰三角形的性質(zhì)、坐標平移和分類討論等．求出平移前后拋物線頂點坐標確定平移的方式是解題的關鍵．14．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)或或(3)，理由見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；（3）設，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【詳解】（1）解：將點，，代入得解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴，如圖所示，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，當點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此時，綜上所述，或或；（3）設，直線的解析式為，的解析式為，∵點，，，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對于，當時，，即，對于，當時，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點A，過點A作y軸的垂線與此拋物線交于點B，點A與點B不重合．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______；(2)當拋物線經(jīng)過坐標原點時，①求此拋物線所對應的二次函數(shù)表達式；②當(m為常數(shù))時，y的最小值為，求m的值；(3)若點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為，當以點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出a的值．【答案】(1)2(2)①；②或3(3)或3【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式求對稱軸即可；（2）①由拋物線經(jīng)過坐標原點可得，從而得到二次函數(shù)的解析式；②分，，三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可；（3）由以點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形可知點P是直角頂點，根據(jù)點A、B的坐標求得點P的坐標為，由題意可知點P的坐標為，從而得到，從而得解．【詳解】（1）解：依題意得∶拋物線的對稱軸為直線故答案為：2；（2）解：①∵拋物線經(jīng)過坐標原點，，解得，拋物線的解析式為．②當，即時，此時開口向上，在上，y隨著x的增大而減小，∴當時，y取最小值，即解得(不合題意，舍去)，；當，即時，此時對稱軸處取最小值，∴當時，y的最小值為，不存在最小值為的情況；當時，此時開口向上，在上，y隨著x的增大而增大，∴當時，y取最小值，即，解得，(不合題意，舍去)．綜上所述，m的值為或3．（3）解：∵以點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形，點P是拋物線對稱軸上的點，∴點P是直角頂點，(否則點P在直線或y軸上，不合題意)設與對稱軸的交點為Q，則根據(jù)對稱性可知點Q是的中點．作出圖形如下：

令，解得，∴又令，解得∴∴，又∵點Q是的中點，∴∵點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形，點P是直角頂點，∴，∴又∵點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為，∴點P的坐標為，∴，解得：或3即a的值為或3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等知識，掌握相關知識和分類討論思想是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，線段BC⊥y軸交此拋物線于點D，且CD＝BC，則△ABC的面積為（）A．24 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】由可得點坐標與對稱軸所在直線解析式，從而求出點坐標，再通過求出長度，通過三角形面積底高求解．【詳解】解：拋物線對稱軸為直線，點為，點坐標為，．，，．．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標與圖形，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．2．（2022·江蘇·九年級專題練習）拋物線y＝x2上有三個點A、B、C，其橫坐標分別為m、m+1、m+3，則的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】把橫坐標代入拋物線解析式，可得相應的縱坐標；設出直線的解析式，把，兩點代入，即可求得直線的解析式，作軸，交直線于點，可得的長度，那么的面積可分為和的面積的和，把相關數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：如圖：拋物線上有三個點、、，其橫坐標分別為、、，，，，，，設直線的解析式為，則有，解得：，∴直線的解析式為：，的長為，．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解題的關鍵是根據(jù)三角形面積公式得到．3．（2022秋·四川涼山·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，與y軸交于點，P為AC上的一個動點，則有以下結論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結論為（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】①由拋物線經(jīng)過點，可得對稱軸；②用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關系式，再求其最大值即可；③由拋物線求得A、B、C的坐標，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④當OP⊥AC時，OP取最小值，根據(jù)等面積求得OP即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴拋物線的對稱軸為直線，故①正確；設拋物線關系式為：，∵拋物線經(jīng)過點，∴-4a=2，解得：，∴拋物線關系式為：，∴當時，y有最大值，故②錯誤；∴點B坐標為（-1，0），點A坐標為（4，0），∴AB=5．當x=0時，y=2，∴點C坐標為（0，2），∴，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故③正確；當OP⊥AC時，OP取最小值，此時根據(jù)三角形的面積可得，∴，解得OP=，∴OP的最小值為．故④正確；故正確的有：①③④，故選：D．【點睛】此題主要考查了求拋物線與坐標軸的交點，兩點距離公式，等面積求高，解決此題的關鍵是根據(jù)三角形的面積得OP的長．4．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，點D、點E分別是BC、AC邊上的點，DE//AB則S△BDE的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，設，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，設，則，，，時，最大，最大值是4，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是用含的代數(shù)式表達，熟練應用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．5．（2022春·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，則下列結論：①2a+b＝0；②2c>3b；③當△ABC是等腰三角形時，a的值有2個；④當△BCD是直角三角形時，a＝．其中正確的個數(shù)（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】由圖象可得對稱軸為直線，可得，可判斷①；將點坐標代入解析式可得，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)和兩點距離公式，可求的值，可判斷③；由直角三角形的性質(zhì)和兩點距離可求或，可判斷④，即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，對稱軸為直線，，，故①正確，當時，，，，，故②錯誤；二次函數(shù)，點，當時，，，當時，，，當是等腰三角形時，的值有2個，故③正確；二次函數(shù)，頂點，，，，若，可得，，，若，可得，，，當是直角三角形時，或，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關鍵．6．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，正方形的邊在軸上，，在拋物線上，連結，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設交于點，根據(jù)正方形與拋物線的對稱性，可得陰影部分面積為，先求得拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)對稱性設，進而求得點的坐標，點的坐標，即可求解．【詳解】解：如圖，設交于點，∵是正三角形，，∴∴設過的拋物線解析式為，將點代入，得∴∴拋物線解析式為，∵四邊形是正方形，且關于軸對稱，∴設，∵在上，∴，解得（舍去）∵，設直線的解析式為，∴∴∴直線的解析式為∵在上，∴的橫坐標為代入得∴∴∴陰影部分面積為故選D【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得點的坐標是解題的關鍵．7．（2021·四川成都·一模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為D，其圖像與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，與y軸負半軸交于點C．在下面四個結論中：①；②；③只有當時，是等腰直角三角形；④使為等腰三角形的值可以有兩個．其中正確的結論有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先根據(jù)圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：①由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，∵圖像與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3，∴對稱軸x＝1，∴當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0；故①正確；②∵點A的坐標為（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，∴c＝﹣3a，∴∴結論②正確．③如圖1，連接AD，BD，作DE⊥x軸于點E，，要使△ABD是等腰直角三角形，則AD＝BD，∠ADB＝90°，∵DE⊥x軸，∴點E是AB的中點，∴DE＝BE，即||2，又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴||＝2，a＞0，解得a，∴只有當a時，△ABD是等腰直角三角形，結論③正確④要使△ACB為等腰三角形，則AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，Ⅰ、當AB＝BC＝4時，在Rt△OBC中，∵OB＝3，BC＝4，∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c2＝7，∵拋物線與y軸負半軸交于點C，∴c＜0，c，∴a．Ⅱ、當AB＝AC＝4時，在Rt△OAC中，∵OA＝1，AC＝4，∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c2＝15，∵拋物線與y軸負半軸交于點C，∴c＜0，c，∴a．Ⅲ、當AC＝BC時，∵OC⊥AB，∴點O是AB的中點，∴AO＝BO，這與AO＝1，BO＝3矛盾，∴AC＝BC不成立．∴使△ACB為等腰三角形的a值可以有兩個：．結論④正確．故答案選：D【點睛】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x判斷符，（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；（4）b2﹣4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：①2個交點，b2﹣4ac＞0；②1個交點，b2﹣4ac＝0；③沒有交點，b2﹣4ac＜0．8．（2022秋·浙江·九年級階段練習）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)的圖象在x軸及其上方的部分向右平移得到，這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的logo．經(jīng)測量，該圖案兩個頂點間的距離與底部跨度的比值為，點P是與的交點，若恰好為等腰直角三角形，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得到點A坐標，對稱軸，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，設，求出x值，得到平移距離，可得的解析式，令求出點P坐標，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求出a值，根據(jù)開口方向得到結果．【詳解】解：∵，∴，對稱軸為直線，則，∵，設，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴移動距離為，∴，，，令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵開口朝下，∴，．故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是注意結合圖像，求出平移距離．9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線交x軸于，，交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結論：①；②；③；④當是等邊三角形時，拋物線解析式為．其中正確的有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)的交點是，，可知對稱軸為，從而可判斷①；根據(jù)①的結論及可得與的關系，從而判斷②；將、代入化簡即可判斷③；當是等邊三角形時，可知代入二次函數(shù)解析式，結合，判斷④．【詳解】解：∵的交點是，，∴拋物線的對稱軸為：，∴，∴，即，故①錯誤；∵在二次函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，故②錯誤；∴，∵拋物線開口向上，∴，故③錯誤；當是等邊三角形時，如圖：

則，又∵，，∴，∴代入二次函數(shù)解析式得：，又、，即，∴，∴，∴物線解析式為，故④正確；綜上所述：正確的結論是①，共一個，故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)與不等式以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關鍵，本題屬于中檔題，有些難度．10．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，且經(jīng)過點，對稱軸是直線，下列說法：①；②是關于x的方程的一個根；③若點，是函數(shù)圖像上的兩點，則；④設該拋物線與坐標軸的交點為，，，若是等腰三角形，則，其中正確的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸以及與軸的交點即可判斷選項①；由圖象得出時對應的函數(shù)值等于0，即可判斷②；由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可判斷④．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線與軸正半軸相交，，對稱軸在軸右側，，異號，，，故①正確；圖象過點，對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個交點為，是關于x的方程的一個根，故②正確；∵點，是函數(shù)圖像上的兩點，對稱軸為直線，∴在拋物線上，∵當時，隨的增大而減小，，則故③正確，設該拋物線與坐標軸的交點為，，，則，，，∵是等腰三角形，

當時在中，，∴，設拋物線解析式為，將代入得，解得：當時，

在,，∴設拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴是等腰三角形，則或，故④不正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是靈活應用圖中信息解決問題二、填空題11．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┰谌鐖D所示的平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+x+2與x軸交于點M、N（M在N左側），與y軸交于點A，點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，經(jīng)過點M的射線MD與y軸負半軸相交于點C，與拋物線的另一個交點為D，∠BMN=∠NMD，點P是y軸負半軸上一點，且∠MDP=∠BMN，則點P的坐標是_______．【答案】【分析】作軸交MD于，如圖，證明B點和關于x軸對稱，再解方程得M（﹣2，0），N（4，0），接著求出B點坐標，從而得到（2，﹣2），利用待定系數(shù)法求出直線MD得解析式為yx﹣1，然后通過解方程組得D（6，﹣4），最后證明得到P點坐標．【詳解】解：作軸交MD于，如圖，∵∠BMN＝∠NMD，∴MN垂直平分BB′，∴B點和關于x軸對稱，當y＝0時，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴M（﹣2，0），N（4，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，當x＝0時，y＝2，∴A（0，2），∵點B與點A關于直線x＝1對稱，∴B（2，2），∴（2，﹣2），設直線MD的解析式為y＝kx+b，把M（﹣2，0），（2，﹣2）代入得，解得，∴直線MD得解析式為yx﹣1，解方程組，∴D（6，﹣4），∵∠BMN＝∠NMD，∠MDP＝∠BMN，∴∠NMD＝∠MDP，

∴，∴P點坐標為（0，﹣4）．故答案為（0，﹣4）．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線與坐標軸交于點、、，點在直線下方的拋物線上運動，當時，點的坐標為____．【答案】【分析】將點、、的坐標求出，，設交x軸于點N，求出點的坐標，從而得直線的解析式，聯(lián)立方程組即可求解．【詳解】解：拋物線與坐標軸交于點、、，∴當時，；當時，，解方程得，，，∴，，，則，，，∴在中，，如圖所示，點點在直線下方的拋物線上運動，設交x軸于點N∵，∴，設，則，在中，，解得：∴，設直線的解析式為，則，解得：，∴，∴，解方程組得，（舍去），，當時，，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與三角形的綜合運用，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，列出方程是解題的關鍵．13．（2023秋·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期末）如圖拋物線與直線相交于點A，B，與y軸交于點，若為直角，則當時自變量x的取值范圍是_______．【答案】【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，再令，解得的值，再結合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：設與y軸交于點D，如圖，則∵，∴，∵拋物線對稱軸為y軸，∴為等腰直角三角形，點D為中點，∴，∴，∵拋物線過點，∴，∴，，∴拋物線解析式為，令得：，解得：，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再正確求出拋物線與x軸的交點是解題關鍵．14．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的點在軸的負半軸上，拋物線的頂點為，且經(jīng)過點、．若為等腰直角三角形，則的值是__________________．【答案】/0.5【分析】過作軸于，交于，求出、的坐標，代入函數(shù)解析式，即可求出答案．【詳解】解：拋物線的頂點為，且經(jīng)過點、，拋物線的對稱軸是直線，且，關于直線對稱，過作軸于，交于，為等腰直角三角形，，，，四邊形是正方形，，，，，，，把、的坐標代入得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2022秋·九年級單元測試）已知點A是直線上一動點，以點A為頂點的拋物線交y軸于點B，作點B關于x軸的對稱點C，連接AB、AC．若△ABC是直角三角形，則點A的坐標為___．【答案】或或【分析】分兩種情況：∠BAC=90°，則由題意得OA=OB，從而得到關于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，則點A、C的縱坐標相同，可得關于m的方程，解方程即可．【詳解】由題意得：A(m，h)，且，上式中令x=0，得，∴．∵點A在直線上，∴，即，，∵點B、點C關于x軸的對稱，則．①當∠BAC=90°，則OA是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，∴OA=OB，∵，，則，由于m≠0，解得：或，所以點A的坐標為或；②當∠ACB=90°時，如圖，則AC⊥BC，此時點A、C的縱坐標相同，即，∴，m=0（舍去），所以點A的坐標為；綜上所述，點A的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象，直角三角形的性質(zhì)等知識，注意分類討論，避免遺漏．16．（2022秋·福建廈門·九年級廈門一中校考階段練習）拋物線交x軸負半軸于點A，點B是拋物線上一動點，且點B在第二象限，以AB為邊，作等腰直角三角形ABP.其中，當點Р恰好在y軸上時，點Р的坐標為____________.【答案】（0，1）【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式畫出其圖像，過點作軸與軸交于點，過點作軸與軸交于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，從而得到，設，則，求解即可得出點的坐標，結果可求．【詳解】解：令，解得或，，令時，，作出拋物線的圖像如圖：過點作軸與軸交于點，過點作軸與軸交于點，為等腰直角三角形，，，，在和中，，，，設，則，解得：或，點B在第二象限，舍去，，，，故答案為：（0，1）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．17．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．點P為拋物線對稱軸上一點．以為邊在的下方作等邊三角形，則當點P從點D運動到點E的過程中，點Q經(jīng)過路徑的長度為______．【答案】4【分析】當點P在D時，等邊三角形為，當點P在點E時，等邊三角形為，連接、，證明，則，則，即可求解．【詳解】如圖，當點P在D時，等邊三角形為，當點P在點E時，等邊三角形為，連接、，則，，，對于，令，則，令，解得或，故點A、B、C的坐標分別為、、，函數(shù)的對稱軸為，點，∵，，∴，∵，，∴，，由B、D的坐標知，，而，則，即點Q經(jīng)過路徑的長度是4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)和幾何綜合，解題的關鍵熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．18．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，點的坐標是，點的坐標是，拋物線的對稱軸交軸于點，連接．點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當是以為腰的等腰三角形，則點的縱坐標是______．【答案】4或或【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式，再分兩種情況討論：①當時，②當時，分別求出點坐標即可；【詳解】解：由題意，得：，解得：，拋物線的解析式為：；由拋物線的表達式知，其對稱軸為，設點，，，，，，當時，則，解得：（舍去）或4，即點的坐標為，，當時，，解得：，綜上所述，滿足條件的點縱坐標為4或【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法，等腰三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，題目綜合性較強，屬于中考壓軸題．三、解答題19．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點，，對稱軸是，與軸相交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為拋物線對稱軸上一動點，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的坐標為(3)存在，點的橫坐標為或【分析】（1）由對稱軸以及，建立關于，的方程組并求解即可；（2）首先求出、兩點坐標，從而確定，因為要滿足是以為底邊的等腰三角形，則應滿足，從而確定直線并平分，即為直線，求其與對稱軸的交點即可；（3）過點作軸，交于點，交軸于點，求出直線解析式之后，通過設點坐標，表示出，結合割補法表示出，并求出，即可建立方程求解．【詳解】（1）解：由對稱軸為直線，得，∵拋物線過點，，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：當時，，點的坐標為，由，得，，點的坐標為，，∵是以為底邊的等腰三角形時，有，直線，直線平分，∴直線解析式為，將代入得，點的坐標為；

（3）過點作軸，交于點，交軸于點，設直線的函數(shù)表達式為，則，解得，，設點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，，，，由，得，解得，，存在，點的橫坐標為或．

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，包括等腰三角形的存在性問題，三角形的面積問題等，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運用割補法求解平面直角坐標系中三角形的面積問題是解題關鍵．20．（2023·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線L：與x軸交于，與y軸交于點．

(1)求拋物線L的表達式和頂點坐標D；(2)將拋物線L平移得到，拋物線的頂點坐標為E，的對稱軸與x軸交于點F．若以O，E，F(xiàn)為頂點的三角形與全等，請你寫出平移過程，并說明理由．【答案】(1)拋物線L的表達式為：，頂點坐標為；(2)有四種情況，詳見解析．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由題意可知可知是等腰直角三角形，故，若以O，E，F(xiàn)為頂點的三角形與全等，則，故頂點坐標有四種可能，由此確定平移方式．【詳解】（1）解：將、代入拋物線解析式得：得：，解得：，即拋物線的解析式：；∵，∴頂點坐標為；（2）如圖，

∵、，，∴以O，E，F(xiàn)為頂點的三角形與全等，則有，∴頂點位置有四種可能：①若頂點坐標為，此時將拋物線L向右平移4個單位，向下平移1個單位得到拋物線；②若頂點坐標為，此時將拋物線L向左平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線；③若頂點坐標為，此時將拋物線L向左平移2個單位，向下平移7個單位得到拋物線；④若頂點坐標為，此時將拋物線L向右平移4個單位，向下平移7個單位得到拋物線．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形全等、函數(shù)的平移等知識，根據(jù)全等確定平移后頂點坐標是解題的關鍵．21．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）如圖，拋物線經(jīng)過，B兩點，且與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)F是直線上一動點，M為拋物線上一動點，若為等腰直角三角形，請求出點M的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由點的坐標及拋物線的對稱軸可得出點的坐標，由點、的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式；（2）由可得出存在兩種情況：①取點與點重合，過點作軸，交直線于點，則為等腰直角三角形，由此可得出點的坐標；②取點與點重合，過點作軸，交直線于點，則為等腰直角三角形，由此可得出點的坐標；③取點，連接，延長交拋物線于點，過點作軸，交直線于點，則為等腰直角三角形，由點、的坐標可求出直線的函數(shù)關系式，聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)關系式成方程組，通過解方程組可求出點的坐標；若為等腰直角三角形，同理可得點的坐標為，綜上即可得出結論．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸是直線，且過點，點的坐標為．將、、代入，得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達式為．（2），存在三種情況．①取點與點重合，過點作軸，交直線于點，，，此時為等腰直角三角形，點的坐標為；②取點與點重合，過點作軸，交直線于點，

，，此時為等腰直角三角形，點的坐標為；③取點，連接，延長交拋物線于點，過點作軸，交直線于點，點、關于軸對稱，，，，為等腰直角三角形，軸，為等腰直角三角形．點，點，直線的函數(shù)關系式為，聯(lián)立直線和拋物線的