重要幾何模型12-2截長補(bǔ)短【原卷版+解析】

第十二章重要幾何模型2截長補(bǔ)短模型1截長定義：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段；示例剖析在線段上截取2補(bǔ)短定義：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長的線段相等延長，使得?！绢}型1】基本模型【典題1】如圖所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一點(diǎn)，以AE為一邊作∠EAF＝45°，射線AF交BC于F點(diǎn)，連接EF，求證：EF＝DE+BF．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分線交BC于D．求證：AB+BD＝AC．2.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上．求證：BC＝AB+DC．3.如圖在四邊形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個60度角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)．連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4.如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．(1)若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；(2)連CE，求證：BE＝AE+CE．【題型2】模型綜合練習(xí)【典題1】(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以65海里/小時的速度前進(jìn)，前進(jìn)3小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【鞏固練習(xí)】1.已知△ABC中，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O．（1）直接寫出∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)；（3）利用（2）的結(jié)果，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．3.如圖，△ABC是等邊三角形、△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)，連接MN．(1)探究線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若點(diǎn)M、N分別是AB，CA延長線上的點(diǎn)，其他條件不變，請作出圖形，再探究線段BM，MN，NC之間的數(shù)量關(guān)系．(不要求證明)1.如圖，△ABC中，∠A的平分線交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度數(shù)是．2.如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求證：CD⊥AC．3.如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N為AB、AD上的兩個動點(diǎn)，且∠MCN＝75°．求證：MN＝BM+DN．4.如圖，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AD，CE⊥AD，交AD的延長線于E．求證：AB+AC＝2AE．5.[閱讀]在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補(bǔ)短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系，截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補(bǔ)短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．[應(yīng)用]把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，組成一個四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．(1)若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，證明：AM+BN＝MN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補(bǔ)短法，延長CB到點(diǎn)E，使BE＝AM，連接DE，先證明△DAM≌△DBE，再證明△MDN≌△EDN，即可求得結(jié)論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；(2)當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？(直接寫出你的結(jié)論，不用證明)(3)如圖③，在(2)的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

第十二章重要幾何模型2截長補(bǔ)短模型1截長定義：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段；示例剖析在線段上截取2補(bǔ)短定義：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長的線段相等延長，使得?！绢}型1】基本模型【典題1】如圖所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一點(diǎn)，以AE為一邊作∠EAF＝45°，射線AF交BC于F點(diǎn)，連接EF，求證：EF＝DE+BF．證明延長CB到G，使BG＝DF，連接AG．如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，∵△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠1＝∠2，又∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°，∴∠2+∠3＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°．在△AEG和△AEF中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BG+BE，DF＝BG，∴EF＝DF+BF．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分線交BC于D．求證：AB+BD＝AC．證明在AC取一點(diǎn)E使AB＝AE，在△ABD和△AED中，AB=AD∠BAD=∠EADAD=AD，∴△ABD≌△∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AB+BD＝AE+EC＝AC．2.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上．求證：BC＝AB+DC．證明延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠ABE，∠A＝∠FDA，∴∠F＝∠CBE，∴CF＝BC，∵CE平分∠BCD，易得△CBE≌△CFE（ASA），∴BE＝EF，在△ABE和△DFE中，∠F=∠ABEEB=EF∠AEB=∠DEF，∴△ABE≌△FDE（∴FD＝AB，∵CF＝DF+CD，∴CF＝AB+CD，∴BC＝AB+CD．3.如圖在四邊形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個60度角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)．連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．解析BE+CF＝EF．證明如下：如圖，把△DCF繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG，則∠1＝∠3，∠4＝∠C，DG＝DF，BG＝CF，∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∴∠3+∠2＝60°，即∠EDG＝60°，∴∠EDG＝∠EDF，∵∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠4＝180°，∴點(diǎn)E、B、G共線，在△EDG和△EDF中，DG=CF∠EDG=∠EDF∴△EDG≌△EDF（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BE+BG＝BE+CF，∴BE+CF＝EF．4.如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．(1)若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；(2)連CE，求證：BE＝AE+CE．證明：(1)∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；(2)在BE上取點(diǎn)F，使BF＝CE，連接AF，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，在△ABF與△ACE中&AC∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴∠AEB∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是正三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【題型2】模型綜合練習(xí)【典題1】(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以65海里/小時的速度前進(jìn)，前進(jìn)3小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．解：(1)結(jié)論：EF＝BE+FD．理由：根據(jù)△ABE≌△ADG可得BE＝DG，根據(jù)△AEF≌△AGF得EF＝GF，∴EF＝DG+DF＝BE+DF，故答案是：EF＝BE+DF；(2)結(jié)論：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中&AB∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝2∠EAF﹣∠EAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中&AE∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；(3)如圖3，連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C．由題意可知，∠EOF＝70°，OA＝OB…①，在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∴∠AOB＝2∠EOF…②，又∵∠A+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°…③，∴由①②③可知，符合“探索延伸”中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+FB成立，即EF＝AE+FB＝(50+65)×3＝345(海里)．答：此時兩艦艇之間的距離為345海里．【鞏固練習(xí)】1.已知△ABC中，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O．（1）直接寫出∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)；（3）利用（2）的結(jié)果，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．解析（1）∠BOC＝90°+12∠理由如下：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°?12（∠ABC+∠ACB）＝90°+1（2）當(dāng)∠A＝60°時，∠BOC＝90°+1（3）BE+CD＝BC，證明：在BC上取點(diǎn)G，使得CG＝CD，連接OG，由（2）知：∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠GCO，在△COD和△COG中CD=CG∠DCO=∠GCO∴△COD≌△COG（SAS）∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠GBO，∴在△BOE和△BOG中∠EBO=∠GBOBO=BO∴△BOE≌△BOG（ASA）∴BE＝BG，∵BG+GC＝BC，∴BE+CD＝BC．2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．證明（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN＝MN，理由為：如圖2，在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中AD=AB∠D=∠ABE∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中AE=AN∠EAM=∠NAM∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN﹣BM＝MN．證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中AM=AE∠MAN=∠EAN∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．3.如圖，△ABC是等邊三角形、△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)，連接MN．(1)探究線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若點(diǎn)M、N分別是AB，CA延長線上的點(diǎn)，其他條件不變，請作出圖形，再探究線段BM，MN，NC之間的數(shù)量關(guān)系．(不要求證明)答案(1)MN＝BM+CN(2)MN＝CN﹣BM解析(1)MN＝BM+CN．證明：如圖1，延長NC到E，使CE＝BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠MBC+∠DBC＝60°+30°＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠ABD＝90°，在△CDE和△BDM中&CD∴△CDE≌△BDM(SAS)，∴∠CDE＝∠BDM，DE＝DM，∴∠NDE＝∠NDC+∠CDE＝∠NDC+∠BDM＝∠BDC﹣∠MDN＝120°﹣60°＝60°，在△DMN和△DEN中&DM∴△DMN≌△DEN(SAS)，∴MN＝NE＝CE+CN＝BM+CN．(2)MN＝CN﹣BM．證明：如圖，在CA上截取CE＝BM，連接DE，在△MBD和△ECD中&MB∴△MBD≌△ECD(SAS)，∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝∠MDB+∠BDN＝∠CDE+∠BDN＝60°，∴∠EDN＝60°＝∠MDN，在△NMD和△NED中&MD∴△NMD≌△NED(SAS)，∴NE＝MN，∴MN＝CN﹣CE＝CN﹣BM．1.如圖，△ABC中，∠A的平分線交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度數(shù)是．答案40°解析在AB上截取AE＝AC，如圖，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝80°，∵AB＝AC+CD，∴EB＝CD＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B=12∠故答案為40°．2.如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求證：CD⊥AC．證明過D作DE⊥AB于E，∵AD＝BDDE⊥AB，∴AE=12AB，∠∵2AC＝AB，∴AE＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中AE=AC∠BAD=∠CAD∴△DEA≌△DCA（SAS），∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．3.如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N為AB、AD上的兩個動點(diǎn)，且∠MCN＝75°．求證：MN＝BM+DN．證明延長AB至點(diǎn)E，使得BE＝DN，連接CE，∵四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝∠CDN，在△CBE和△CDN中&CB∴△CBE≌△CDN(SAS)，∴∠BCE＝∠DCN，CN＝CE，∵∠BCD＝150°，∠MCN＝75°，∴∠MCE＝∠MCB+∠BCE＝∠MCB+∠DCN＝75°，∴∠MCN＝∠MCE，在△ECM和△NCM中&MC∴△ECM≌△NCM(SAS)，∴MN＝ME＝BM+BE＝BM+DN．4.如圖，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AD，CE⊥AD，交AD的延長線于E．求證：AB+AC＝2AE．證明延長AE至N，使DE＝EN，連接CN，∵CE⊥AD，DE＝EN，∴CN＝CD，∴∠CDN＝∠DNC，∴∠DNC＝∠ADB，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∴∠B＝∠ANC，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ACN，∴∠ANC＝∠ACN，∴AN＝AC，∴AB+AC＝AD+AN＝AD+AE+EN＝AD+AE+DE＝2AE，∴2AE＝AB+AC．5.[閱讀]在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補(bǔ)短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系，截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補(bǔ)短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．[應(yīng)用]把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，組成一個四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．(1)若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，證明