專題09公式法、因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系之六大考點(diǎn)(原卷版+解析)

專題09公式法、因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系之七大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 1【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——公式法】 3【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 7【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】 10【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 13【考點(diǎn)七利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 14【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)校考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法判斷【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷3.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1.（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程(1)；(2)．【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_______．【變式訓(xùn)練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．2.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江衢州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．2.（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】例題：（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）解方程：(1)(2)2.（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)3.（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】例題：（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為_(kāi)__．3.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【考點(diǎn)七利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】例題：（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．2.（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)拫根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定3．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．4．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（）A． B． C．0 D．5．（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列關(guān)于的一元二次方程的命題中，真命題有①若，則；②若方程兩根為和，則；③若方程有一個(gè)根是，則．A．①②③ B．①② C．②③ D．①③二、填空題6．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的根為_(kāi)_____．7．（2023春·浙江舟山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是___________．8．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則______．9．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)______.10．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)，另外兩邊的長(zhǎng)恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________三、解答題11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）不解方程，判別下列方程的根的情況：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）用配方法解方程：；

（2）用公式法解方程：．13．（2023秋·新疆·九年級(jí)?？计谀┙夥匠?1)(2)14．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．15．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┙庀铝幸辉畏匠?1)(2)16．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若已知此方程的一個(gè)根為，求m的值以及方程的另一根．17．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市松柏中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：此一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且6，a，b分別是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)，求m的值．18．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．

專題09公式法、因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系之七大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 1【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——公式法】 3【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 6【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】 7【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】 10【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 13【考點(diǎn)七利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】 14【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】由一元二次方程根的判別式：時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有無(wú)的實(shí)數(shù)根；據(jù)此對(duì)方程進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式確定方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，掌握根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A符合題意；B．，∵，，，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；C．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；D．，∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程：若，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；是解本題的關(guān)鍵．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）方程根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，方程為，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故A不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，故B不符合題意，CD、當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為為一元二次方程，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故C不符合題意，D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)二一元二次方程的解法——公式法】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）運(yùn)用公式法求解即可；（2）運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【詳解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】分當(dāng)時(shí)和當(dāng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程為，解得，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)根，則有，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識(shí)，理解并正確運(yùn)用一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．2.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)四根據(jù)判別式與一元二次方程根的情況求參數(shù)】例題：（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出判別式，利用配方法變?yōu)橥耆椒绞郊纯桑?）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：，，，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問(wèn)題，掌握根的判別式的用途，會(huì)用根的判別式解決方程根的情況，會(huì)利用求根公式解方程，會(huì)用條件利用不等式，會(huì)解不等式是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江衢州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或3，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判別式，再證明判別式大于0即可解答；（2）令判別式等于5求得或3，然后分和兩種情況，分別代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：令，則，解得：或3當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；當(dāng)時(shí)，原方程可化為：∴∴；綜上，當(dāng)時(shí)，方程的解為；當(dāng)時(shí)，方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，由方程根的情況得到判別式的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說(shuō)明理由．(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根理由：，∵，∴，∴這個(gè)一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴這個(gè)一元二次方程為，解得．∴這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng)是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)五一元二次方程的解法——因式分解法】例題：（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）移項(xiàng)變?yōu)橐话阈问胶螅靡蚴椒纸馇蠼饧纯?；?）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得因式分解，得，∴，（2）因式分解，得則或解得，【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，或，或，故方程的解為．（2）解：方程中的，這個(gè)方程的根的判別式為，所以方程的解為，即．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．2.（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊二十三中校考階段練習(xí)）解方程(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先將方程整理為一般形式，再利用因式分解法求解即可．【詳解】（1），，，或，，．（2），，，或，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的各種解法，并能選擇合適的方法求解方程是解題的關(guān)鍵．3.（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）解方程：(1)．(配方法)(2)．(因式分解法)(3)．(公式法)(4)．(因式分解法)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程；（4）將看作整體，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，∴，即，∴，∴，（2）∴，∴，∴或，∴，；（3），∵，∴，∴，∴，；（4）∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】例題：（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，則原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．2.（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b滿足，，且，則的值為_(kāi)__．【答案】7【分析】根據(jù)題意得出a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式．3.（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【考點(diǎn)七利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)】例題：（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，解得；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系式得到，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，由得：解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，代入，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，為正整數(shù)，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】先將方程化為，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：方程可化為，即，∴或，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法及其步驟是解答的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)拫根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】求出判別式的值，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式．熟練掌握判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得．【詳解】解：方程中的，是方程的兩個(gè)根，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，解得，即可得到解答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根的判別式是：．∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．∴的值可以是0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．5．（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列關(guān)于的一元二次方程的命題中，真命題有①若，則；②若方程兩根為和，則；③若方程有一個(gè)根是，則．A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的概念判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，則，故①是假命題；②程兩根為和，，，故②是真命題；③方程有一個(gè)根是，，，，，故③是真命題；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的根為_(kāi)_____．【答案】，【分析】移項(xiàng)后，提取公因式，利用因式分解法求解可得．【詳解】解：，∴，∴，則或，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江舟山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是___________．【答案】或【分析】根據(jù)一元二次方程根與其判別式的關(guān)系可得：，再求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵．8．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則______．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得和的值，代入求值即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．9．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)，另外兩邊的長(zhǎng)恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個(gè)根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長(zhǎng)；將a作為底，則說(shuō)明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長(zhǎng)．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個(gè)根．∴解得：將代入得：解得：．，此時(shí)能構(gòu)成三角形，的周長(zhǎng)為：若為底，則，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不能計(jì)算周長(zhǎng)綜上可得：的周長(zhǎng)為15．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識(shí)，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．特別注意驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形．三、解答題11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）不解方程，判別下列方程的根的情況：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)方程有兩不等實(shí)根(2)方程無(wú)實(shí)數(shù)根(3)方程有兩相等實(shí)根(4)方程有兩不等實(shí)根【分析】先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計(jì)算，根據(jù)與0的大小關(guān)系確定方程根的情況．【詳解】（1）解：，，，，方程有兩不等實(shí)根；（2）解：，，，，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（3）解：，，，，方程有兩相等實(shí)根；（4）解：，，，，方程有兩不等實(shí)根．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，，方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根，方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．12．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）用配方法解方程：；

（2）用公式法解方程：．【答案】（1），（2），【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【詳解】解：（1），，，，得，解得或；（2），變形得，其中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，熟知計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·新疆·九年級(jí)?？计谀┙夥匠?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）運(yùn)用因式分解法求解；（2）運(yùn)用因式分解法求解．【詳解】（1）解：或，（2）解：或，【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求解，熟悉運(yùn)用因式分解是解題的關(guān)鍵．14．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用公