第12講二次函數(shù)(十二大題型綜合歸納)(原卷版+解析)

第12講二次函數(shù)（十二大題型綜合歸納）題型1：二次函數(shù)的概念1．以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和為（

）A． B． C． D．題型2：二次函數(shù)的值3．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，____________．4．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值等于，則下列關(guān)于的關(guān)系式中，正確的是（

）A． B． C． D．5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則代數(shù)式的值為_(kāi)____．題型3：二次函數(shù)的條件6．已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或47．關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)的條件是（

）A． B． C． D．題型4：列二次函數(shù)關(guān)系式8．已知有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)為m，則m關(guān)于n的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．題型5：特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)9．關(guān)于二次函數(shù)的圖像，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開(kāi)口向下B．對(duì)稱軸為直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大10．拋物線與拋物線的相同點(diǎn)是（）A．頂點(diǎn)相同 B．對(duì)稱軸不相同C．開(kāi)口方向一樣 D．頂點(diǎn)都在y軸上11．如果二次函數(shù)的值恒大于，那么必有（）A．，取任意實(shí)數(shù) B．，C．， D．，均可取任意實(shí)數(shù)12．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為13．二次函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=－1的是__________(只填序號(hào))；（2）以上二次函數(shù)有最大值的是_______________(只填序號(hào))﹔（3）以上二次函數(shù)的圖象中關(guān)于x軸對(duì)稱的是________________(只填序號(hào))．14．設(shè)函數(shù)，，．直線的圖象與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)，，，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則15．已知二次函數(shù)y＝（x－m）2，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是__________．16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有實(shí)數(shù)根a，b，則代數(shù)式a2﹣ab+b2的最小值為_(kāi)____．題型6：與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識(shí)17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)____．18．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有線段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若拋物線與線段PQ有交點(diǎn)，則a的取值范圍是______．19．二次函數(shù)的圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，則t的取值范圍為_(kāi)_____．題型7：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)20．下列拋物線中，與拋物線具有相同對(duì)稱軸的是（）A． B． C． D．21．若拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，則a的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．﹣222．拋物線圖象的開(kāi)口方向是___________（填“向上”或“向下”）．23．當(dāng)二次函數(shù)有最大值時(shí)，可能是（

）A．1 B．2 C． D．324．已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（c為常數(shù)）上，則c應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩個(gè)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則題型8：二次函數(shù)的最值與求參數(shù)范圍問(wèn)題26．已知直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，且點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．27．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸．(2)關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，有最小值，有最大值1，求m的取值范圍．28．已知二次函數(shù)為常數(shù)，．(1)若點(diǎn)，在該二次函數(shù)的圖象上．①求的值：②當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)值取得的最大值為，求的值；(2)若點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．題型9：根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)信息29．函數(shù)與的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的為_(kāi)____________．（填寫(xiě)序號(hào)即可）30．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤直線（，，，，，）與拋物線所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)題型10：二次函數(shù)的應(yīng)用31．如圖，有一個(gè)截面邊緣為拋物線型的水泥門(mén)洞．門(mén)洞內(nèi)的地面寬度為，兩側(cè)距地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個(gè)門(mén)洞內(nèi)部頂端離地面的距離為（）

A． B．8 C． D．32．某炮兵部隊(duì)實(shí)彈演習(xí)發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時(shí)間x與高度y的關(guān)系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時(shí)的高度相等，則在下列哪一個(gè)時(shí)間段炮彈的高度達(dá)到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒33．在2023年中考體育考試前，小康對(duì)自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋ǎ〢．14米 B．12米 C．11米 D．10米34．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；④若池塘中水面的寬度減少為原來(lái)的一半，則最深處到水面的距離變?yōu)椋渲薪Y(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．① B．② C．③ D．④35．某建筑工程隊(duì)借助一段廢棄的墻體，長(zhǎng)為18米，用76米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成兩個(gè)相連的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，為了方便取物，在兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個(gè)1米寬的缺口作小門(mén)，現(xiàn)有如下兩份圖紙（圖紙1點(diǎn)A在線段DC的延長(zhǎng)線上，圖紙2點(diǎn)A在線段DC上），設(shè)米，圖紙1，圖紙2的倉(cāng)庫(kù)總面積分別為平方米，平方米．

(1)分別寫(xiě)出與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)小紅說(shuō)：“的最大值為384．的最大值為507．”你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型11：二次函數(shù)的解答證明題36．已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．37．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點(diǎn)．軸交拋物線于點(diǎn)D．

(1)求b，c的值．(2)已知點(diǎn)E在拋物線上且位于x軸上方，過(guò)E作y軸的平行線分別交于點(diǎn)F，G，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．38．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）．(1)已知．①若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式；②若將函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求的最小值．(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)和，且，求的取值范圍．題型12：二次函數(shù)壓軸題39．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求三角形面積的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第12講二次函數(shù)（十二大題型綜合歸納）題型1：二次函數(shù)的概念1．以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷．【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由得到，是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、該等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由原函數(shù)解析式得到，符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確．應(yīng)選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，掌握定義，會(huì)根據(jù)定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．2．二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，得到各系數(shù)，計(jì)算即可．【解析】解：，∴二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)定義，正確理解二次函數(shù)的各項(xiàng)的系數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型2：二次函數(shù)的值3．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，____________．【答案】10【分析】把代入計(jì)算即可．【解析】把代入，得，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值等于，則下列關(guān)于的關(guān)系式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入計(jì)算即可．【解析】解：由題意得：把代入得：等號(hào)兩邊同除以得：故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，熟練掌握代入法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則代數(shù)式的值為_(kāi)____．【答案】【分析】把代入函數(shù)解析式，即可求解．【解析】解：把代入函數(shù)解析式，得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，代數(shù)式求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．題型3：二次函數(shù)的條件6．已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【答案】C【分析】利用二次函數(shù)定義可得：，且，再解即可．【解析】由題意得：，且，解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如(a、b、c是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．7．關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，直接求解即可得到答案；【解析】解：∵是二次函數(shù)，∴，解得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的條件，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0．題型4：列二次函數(shù)關(guān)系式8．已知有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)為m，則m關(guān)于n的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)n個(gè)球隊(duì)都要與除自己之外的球隊(duì)個(gè)打一場(chǎng)，因此要打場(chǎng)，然而有重復(fù)一半的場(chǎng)次，即可求出函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵．題型5：特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)9．關(guān)于二次函數(shù)的圖像，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開(kāi)口向下B．對(duì)稱軸為直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷．【解析】解：∵，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴A，B，C正確，D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．拋物線與拋物線的相同點(diǎn)是（）A．頂點(diǎn)相同 B．對(duì)稱軸不相同C．開(kāi)口方向一樣 D．頂點(diǎn)都在y軸上【答案】D【分析】由拋物線與拋物線，可知，對(duì)稱軸是軸，頂點(diǎn)都在軸上，進(jìn)而求解．【解析】解：∵拋物線與拋物線，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)都在y軸上，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．如果二次函數(shù)的值恒大于，那么必有（）A．，取任意實(shí)數(shù) B．，C．， D．，均可取任意實(shí)數(shù)【答案】B【分析】二次函數(shù)的值恒大于，則該函數(shù)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸上方，由此即可得到答案．【解析】解：∵二次函數(shù)的值恒大于，∴二次函數(shù)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸上方，∴，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可得，該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，【解析】對(duì)于二次函數(shù)，，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大先增大后減小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．二次函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=－1的是__________(只填序號(hào))；（2）以上二次函數(shù)有最大值的是_______________(只填序號(hào))﹔（3）以上二次函數(shù)的圖象中關(guān)于x軸對(duì)稱的是________________(只填序號(hào))．【答案】②③①③⑤⑤⑥【分析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式均已確定﹐所以可結(jié)合二次函數(shù)解析式的特征對(duì)其性質(zhì)作出判斷．【解析】（1）二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1，也就是在頂點(diǎn)式中h=-1，故滿足條件的函數(shù)有②③．（2）二次函數(shù)有最大值，也就是其函數(shù)圖象是開(kāi)口向下的，即a<0，故滿足條件的函數(shù)有①③⑤．（3）二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，也就是兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)x互為相反數(shù)，且h，k的值相同，故滿足條件的函數(shù)為⑤和⑥．故答案為：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，觀察所給二次函數(shù)的解析式可知全為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟悉掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)，和對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．14．設(shè)函數(shù)，，．直線的圖象與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)，，，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】按照題意，畫(huà)出滿足題意的圖象，根據(jù)直線與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：如圖所示，A．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．由圖象可知，若，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．由圖象可知，若，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．已知二次函數(shù)y＝（x－m）2，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是__________．【答案】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的開(kāi)口方向，再由當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝m≥1．【解析】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，∴此函數(shù)開(kāi)口向上，∵當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝m≥1．故答案為：m≥1．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有實(shí)數(shù)根a，b，則代數(shù)式a2﹣ab+b2的最小值為_(kāi)____．【答案】．【分析】由韋達(dá)定理得出a，b與m的關(guān)系式、由一元二次方程的根與判別式的關(guān)系得出m的取值范圍，再對(duì)代數(shù)式a2﹣ab+b2配方并將a+b和ab整體代入化簡(jiǎn)，然后再配方，結(jié)合m的取值范圍可得出答案．【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有實(shí)數(shù)根a，b，∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m+1)]2﹣4×1×(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣4m2+4＝4m+5≥0，∴m≥．∴a2﹣ab+b2＝(a+b)2﹣3ab＝(2m+1)2﹣3(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣3m2+3＝m2+4m+4＝(m+2)2，∴a2﹣ab+b2的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解代數(shù)的最值，靈活利用韋達(dá)定理及根的判別式，是解決本題的關(guān)鍵，熟悉用函數(shù)的思想解決最值問(wèn)題也是關(guān)鍵點(diǎn)．題型6：與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識(shí)17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】24【分析】根據(jù)拋物線的解析式即可確定對(duì)稱軸，則可以確定AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等邊三角形的周長(zhǎng)公式即可求解．【解析】拋物線的對(duì)稱軸是過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖所示則，則則以為邊的等邊的周長(zhǎng)為．故答案為24．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的解析式確定對(duì)稱軸，從而求得AB的長(zhǎng)是關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有線段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若拋物線與線段PQ有交點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】由可得拋物線隨值的變化左右移動(dòng)，分別求出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q所對(duì)應(yīng)的的值即可．【解析】解：由可得拋物線的對(duì)稱軸直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，，把P（3，1）代入得，解得或(舍去)，當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，，把Q（9，1），代入得，解得或(舍去)，∴當(dāng)時(shí)，拋物線與線段PQ有交點(diǎn)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，掌握拋物線隨值的變化左右移動(dòng)是解題的關(guān)鍵．19．二次函數(shù)的圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，則t的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】或【分析】先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得出函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)題意可得該二次函數(shù)的圖象取對(duì)稱軸的左邊或?qū)ΨQ軸的右邊，即可進(jìn)行解答．【解析】解：∵二次函數(shù)表達(dá)式為，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，∴或，∵，∴，解得：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象，會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的對(duì)稱軸．題型7：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)20．下列拋物線中，與拋物線具有相同對(duì)稱軸的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以求得它的對(duì)稱軸，然后再求出各個(gè)選項(xiàng)中的二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可解答本題．【解析】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，A、的對(duì)稱軸是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；B、的對(duì)稱軸是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；C、的對(duì)稱軸是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；D、的對(duì)稱軸是直線，故該選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的對(duì)稱軸，解答本題的關(guān)鍵是熟練計(jì)算拋物線的對(duì)稱軸．21．若拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，則a的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【答案】C【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在y軸上，可知對(duì)稱軸為y軸，根據(jù)對(duì)稱軸公式得到關(guān)于a的方程，計(jì)算即可．【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，對(duì)稱軸直線，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)與對(duì)稱軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)的性質(zhì)與對(duì)稱軸公式．22．拋物線圖象的開(kāi)口方向是___________（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【分析】把拋物線解析式化為化為一般式，即可求解．【解析】解：，∵，∴拋物線開(kāi)口向上．故答案為：向上【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．當(dāng)二次函數(shù)有最大值時(shí)，可能是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最大值，即可得出結(jié)論．【解析】解：二次函數(shù)有最大值，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24．已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（c為常數(shù)）上，則c應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，求出頂點(diǎn)在上時(shí)，c的取值范圍，即可得到頂點(diǎn)不在拋物線（c為常數(shù)）上時(shí)c的取值范圍．【解析】解：由知，拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，當(dāng)頂點(diǎn)在上時(shí)，則，則，∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（c為常數(shù)）上時(shí)，則c應(yīng)滿足．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．25．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩個(gè)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】先求得拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可解答．【解析】解：二次函數(shù)，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)若，兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的右邊，隨的增大而增大，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；若，點(diǎn)比點(diǎn)更接近拋物線的對(duì)稱軸，則，故B選項(xiàng)正確，符合題意；若，不能確定兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的右邊或左邊，不能判定拋物線的增減性，則不能確定的大小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；若，兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的左邊，隨的增大而減小，則，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和增減性，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型8：二次函數(shù)的最值與求參數(shù)范圍問(wèn)題26．已知直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，且點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．【答案】或【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上，可求出直線解析式，用含的式子表示點(diǎn)，再將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，把點(diǎn)代入，由此即可求解．【解析】解：把代入，得，在直線上，，在拋物線上，，，、是兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，掌握一次函數(shù)，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，交點(diǎn)的意義等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．27．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸．(2)關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，有最小值，有最大值1，求m的取值范圍．【答案】(1)拋物線解析式為，對(duì)稱軸為；(2)【分析】（1）把點(diǎn)，，代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象即可求解．【解析】（1）解：將點(diǎn)，代入拋物線，得，得，∴拋物線解析式為，對(duì)稱軸為：；（2）解：如圖，由拋物線的對(duì)稱性可畫(huà)出草圖，

由圖象可知：當(dāng)時(shí)，y的最小值為，最小值為1，∴當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的的最小值為，最小值為1，m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．已知二次函數(shù)為常數(shù)，．(1)若點(diǎn)，在該二次函數(shù)的圖象上．①求的值：②當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)值取得的最大值為，求的值；(2)若點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①將點(diǎn)代入解析式，根據(jù)，即可求解；②由①得拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)，將代入，得出或，根據(jù)當(dāng)，即可求解；（2）對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，由，得出對(duì)稱軸，依題意得出，當(dāng)時(shí)，，列出不等式，即可求解．【解析】（1）解：①∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，∴，整理得，解得或，∵，∴；②由①得，∴拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得或，∵當(dāng)時(shí)，的最大值為18，∴；（2）∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，∵，∴對(duì)稱軸，∵點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型9：根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)信息29．函數(shù)與的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的為_(kāi)____________．（填寫(xiě)序號(hào)即可）【答案】①③④【分析】根據(jù)二次函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)與圖象即可判斷①②，利用當(dāng)時(shí)可判斷③，根據(jù)時(shí)，可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解析】函數(shù)經(jīng)過(guò)，，，，解得，，①正確；函數(shù)經(jīng)過(guò)，，，②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，且，，，③正確；根據(jù)圖象中，當(dāng)時(shí)，，，④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤直線（，，，，，）與拋物線所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)稱軸的性質(zhì)，依次判斷，即可．【解析】∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，∴，∴，∴，∴正確；∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，∴，∴，∵二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在和之間，∴，∴，∴，∴，∴正確；∵，，，∴，∴正確；∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴正確；∴正確的為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．題型10：二次函數(shù)的應(yīng)用31．如圖，有一個(gè)截面邊緣為拋物線型的水泥門(mén)洞．門(mén)洞內(nèi)的地面寬度為，兩側(cè)距地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個(gè)門(mén)洞內(nèi)部頂端離地面的距離為（）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，得到二次函數(shù)，門(mén)洞高度即為二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).【解析】解：如圖，以地面為x軸，門(mén)洞中點(diǎn)為O點(diǎn)，畫(huà)出y軸，建立直角坐標(biāo)系，

由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，設(shè)拋物線解析式為把B、D兩點(diǎn)帶入解析式，∴，解得：，∴解析式為，則，所以這個(gè)門(mén)洞內(nèi)部頂端離地面的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，能夠建立直角坐標(biāo)系解出二次函數(shù)解析式是本題關(guān)鍵.32．某炮兵部隊(duì)實(shí)彈演習(xí)發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時(shí)間x與高度y的關(guān)系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時(shí)的高度相等，則在下列哪一個(gè)時(shí)間段炮彈的高度達(dá)到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】二次函數(shù)是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，到對(duì)稱軸距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的函數(shù)值也是一樣的．【解析】解：根據(jù)題意可得：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，與差值最小，即當(dāng)時(shí)函數(shù)達(dá)到最大值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的對(duì)稱性，理解“如果兩個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸距離相等，則所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相等”是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．33．在2023年中考體育考試前，小康對(duì)自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋ǎ〢．14米 B．12米 C．11米 D．10米【答案】B【分析】根據(jù)鉛球落地時(shí)，高度，把實(shí)際問(wèn)題可理解為當(dāng)時(shí)，求x的值即可．【解析】解：當(dāng)時(shí)，則，解得（舍去）或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．34．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；④若池塘中水面的寬度減少為原來(lái)的一半，則最深處到水面的距離變?yōu)椋渲薪Y(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】計(jì)算長(zhǎng)度，由圖像可知拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出拋物線方程，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可．【解析】①由題可知，，則①正確；②對(duì)稱軸為軸，交軸于點(diǎn)，，設(shè)函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入解析式得，解得，池底所在拋物線解析式為，則②正確；③將代入解析式得，解得，則池塘最深處到水面的距離為，則③正確；④當(dāng)池塘中水面的寬度減少為原來(lái)的一半，即水面寬度為時(shí)，將代入，得，可知此時(shí)最深處到水面的距離為，故④不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖像設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪?，利用待定系?shù)法求解．35．某建筑工程隊(duì)借助一段廢棄的墻體，長(zhǎng)為18米，用76米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成兩個(gè)相連的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，為了方便取物，在兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個(gè)1米寬的缺口作小門(mén)，現(xiàn)有如下兩份圖紙（圖紙1點(diǎn)A在線段DC的延長(zhǎng)線上，圖紙2點(diǎn)A在線段DC上），設(shè)米，圖紙1，圖紙2的倉(cāng)庫(kù)總面積分別為平方米，平方米．

(1)分別寫(xiě)出與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)小紅說(shuō)：“的最大值為384．的最大值為507．”你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；；(2)不同意，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用矩形的面積公式列式即可求解；（2）把（1）中的函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）解：對(duì)于圖紙1，∵，∴，∴；對(duì)于圖紙2，∵，∴，∴；（2）解：不同意，理由如下：由（1），∴當(dāng)時(shí)，的最大值為384；，∴當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為507的說(shuō)法不符合題意．答：不同意小紅的說(shuō)法．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．題型11：二次函數(shù)的解答證明題36．已知二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)①；②當(dāng)時(shí)，(2)【分析】（1）①將代入解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解；②已知頂點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出當(dāng)時(shí)，有最大值7，當(dāng)時(shí)取得最小值，即可求解；（2）根據(jù)題意時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，得出拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，即，由拋物線開(kāi)口向下，時(shí)，的最大值為2，可知，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為3，求出，即可得解．【解析】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最大值7．又∴當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值；∴當(dāng)時(shí)，．（2）∵時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，∴拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，∴，∵拋物線開(kāi)口向下，時(shí)，的最大值為2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點(diǎn)．軸交拋物線于點(diǎn)D．

(1)求b，c的值．(2)已知點(diǎn)E在拋物線上且位于x軸上方，過(guò)E作y軸的平行線分別交于點(diǎn)F，G，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將、，代入得，，計(jì)算求解即可；（2）由（1）可得，，對(duì)稱軸為直線，則，設(shè)，則，，，，由，可得，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【解析】（1）解：將、，代入得，，解得，∴，；（2）解：由（1）可得，，∴對(duì)稱軸為直線，∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與線段綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．38．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）．(1)