專題08函數(shù)(方程)與實際應(yīng)用的常考問題(原卷版+解析)

專題8：函數(shù)（方程）與實際應(yīng)用的?？紗栴}目錄一、熱點題型歸納【題型一】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【題型二】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【題型三】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【題型四】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【題型五】分式方程的實際應(yīng)用常考題型【題型六】二次方程（函數(shù)）的實際應(yīng)用?？碱}型【題型七】方程（函數(shù)）幾何問題二、最新?？碱}組練【題型一】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【典例分析】1.某經(jīng)銷商在生產(chǎn)廠家訂購了兩種暢銷的粽子，兩種粽子的進(jìn)貨價和銷售價如下表：類別價格A種B種進(jìn)貨價(元/盒)2530銷售價(元/盒)3240(1)若經(jīng)銷商用1500元購進(jìn)A，B兩種粽子，其中A種的數(shù)量是B種數(shù)量的2倍少4盒，求A，B兩種粽子各購進(jìn)了多少盒；(2)若經(jīng)銷商計劃購進(jìn)A種“粽子”的數(shù)量不少于B種“粽子”數(shù)量的2倍，且計劃購進(jìn)兩種“粽子”共60盒，經(jīng)銷商該如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能使銷售完后獲得最大利潤？最大利潤為多少？2.某文具店計劃購進(jìn)、兩種筆記本，已知種筆記本的進(jìn)價比種筆記本的進(jìn)價每本便宜3元．現(xiàn)分別購進(jìn)種筆記本150本，種筆記本300本，共計6300元．(1)求、兩種筆記本的進(jìn)價；(2)文具店第二次又購進(jìn)、兩種筆記本共100本，且投入的資金不超過1380元．在銷售過程中，、兩種筆記本的標(biāo)價分別為20元/本、25元/本．兩種筆記本按標(biāo)價各賣出本以后，該店進(jìn)行促銷活動，剩余的種筆記本按標(biāo)價的七折銷售，剩余的種筆記本按標(biāo)價的八折銷售．若第二次購進(jìn)的100本筆記本全部售出后的最大利潤不少于600元，請求出的最小值．【提分秘籍】一次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是要根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，其中求自變量取值范圍是關(guān)鍵；一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②根據(jù)題意求自變量的取值范圍；③根據(jù)一次函數(shù)的增減性和自變量取值范圍，求出最值問題即可?！咀兪窖菥殹?.為深人學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某校舉辦了“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽，學(xué)校計劃購買兩種獎品共計30份分別發(fā)放給獲得一等獎、二等獎的同學(xué)，獲獎同學(xué)各發(fā)一份獎品，同一等級獎品相同．設(shè)一等獎獎品的單價為x元，購買兩種獎品的總費用為y元．(1)若購買一等獎、二等獎獎品的單價分別為40元、20元，則學(xué)校共需花費800元，求獲得一等獎、二等獎的人數(shù)分別是多少？(2)在（1）的結(jié)果下，若一等獎、二等獎獎品的單價的和為60元，一等獎獎品的單價不超過二等獎獎品單價的倍，求總費用y的最小值．2.紫袍玉帶石是一種獨產(chǎn)于貴州梵凈山一帶的玉石材資源，具有約10﹣14億年的成礦歷史，因由紫色的深色條帶與灰綠色的淺色條帶相互間夾構(gòu)成，形似古代官宦朝服中的玉帶，故俗稱“紫袍玉帶石”．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款紫袍玉帶石，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售，兩款玉帶石的進(jìn)貨價和銷售價如表：類別價格A款玉帶石B款玉帶石進(jìn)貨價（元/個）4030銷售價（元/個）5645(1)第一次小李用1100元購進(jìn)了A，B兩款玉帶石共30個，求兩款玉帶石各購進(jìn)多少個．(2)第二次小李進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量的一半，小李計劃購進(jìn)兩款玉帶石共30個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(3)小李第二次進(jìn)貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進(jìn)的玉帶石全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？【題型二】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【典例分析】1.某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元．(1)若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案；(2)若商場銷售一臺甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺丙種電視機(jī)可獲利250元．在同時購進(jìn)兩種不同型號電視機(jī)的方案中，為使銷售利潤最多，你選擇哪一種進(jìn)貨方案？【提分秘籍】根據(jù)題意列方程和不等式，根據(jù)未知數(shù)的取值范圍列出幾種方案。一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②用含未知數(shù)的式子分別表示出幾個未知的量；③根據(jù)題意求自變量的取值范圍；④根據(jù)題意列出符合題意的方案；⑤選擇最優(yōu)方案?！咀兪窖菥殹?.接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途經(jīng)，保障人民群眾的身體健康．據(jù)某市3月份統(tǒng)計，甲接種點完成一批加強(qiáng)針的接種任務(wù)用了m天，乙接種點完成相同數(shù)量的加強(qiáng)針接種任務(wù)多用2天，且乙接種點平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比甲接種點少20%．(1)求整數(shù)m的值．(2)接種工作包含登記、接種、留觀，需要組隊完成．某中學(xué)現(xiàn)有2160人符合接種加強(qiáng)針條件，甲接種點需要組建A和B兩種團(tuán)隊到校接種，A種團(tuán)隊每小時可完成100人的接種，B種團(tuán)隊每小時可完成60人的接種．若AB兩種團(tuán)隊共10個，其中A種團(tuán)隊不超過5個，要求上午9點同時開始工作，中午12點前（包含12點）完成．問甲接種點有幾種派遣方案前往該中學(xué)可以在12點前（包含12點）完成該校加強(qiáng)針的接種．2.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，北京是唯一一個既舉辦冬季奧運會又舉辦夏季奧運會的城市.為了迎接2022年北京冬季奧運會，某校準(zhǔn)備舉行冬季長跑比賽，為獎勵長跑優(yōu)勝者，學(xué)校需要購買一些冬奧會吉祥物冰墩墩、雪容融中性筆和徽章．了解到某商店中性筆的單價比徽章的單價多11元，若買2支中性筆和3個徽章共需67元．(1)中性筆和徽章的單價各是多少元？(2)該商店推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：消費金額超過200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若學(xué)校需要購買10支中性筆和30個徽章，選擇哪種方案更優(yōu)惠？【題型三】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用常考題型（最值）【典例分析】1.“雙減”政策頒布后，各校重視了延時服務(wù)，并在延時服務(wù)中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計劃購進(jìn)乒乓球拍和羽毛球拍共套進(jìn)行銷售，它們的進(jìn)價和售價如下表：進(jìn)價售價乒乓球拍（元／套）羽毛球拍（元／套）已知購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元，購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元．(1)求出，的值；(2)該體育用品商店根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的，若這批體育用品能夠全部售完，則如何購貨才能獲利最大？最大利潤是多少？【提分秘籍】一般答題思路：①根據(jù)題意分別設(shè)兩未知數(shù)為x和y并列方程；②解二元一次方程組。③根據(jù)題意，如與一次函數(shù)綜合，則參考題型一答題即可。【變式演練】1.“五一”勞動節(jié)馬上來了，為了抓住“五一”小長假旅游商機(jī)，某旅游景點決定購進(jìn)，兩種紀(jì)念品，購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元；購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元．(1)求購進(jìn)，兩種紀(jì)念品每件各需多少元？(2)若購買兩種紀(jì)念品共件，并且購買種紀(jì)念品的數(shù)量不大于種紀(jì)念品數(shù)量的倍．種紀(jì)念品每件獲利元，種紀(jì)念品每件獲利是進(jìn)價的八折，請設(shè)計一個方案：怎樣購進(jìn)，兩種紀(jì)念品獲利潤最大？最大利潤是多少？2.為迎接“國家創(chuàng)衛(wèi)”檢查，我市環(huán)衛(wèi)局準(zhǔn)備購買A，B兩種型號的垃圾箱．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購買1個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱需340元；購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需540元．(1)求每A個型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？(2)該市現(xiàn)需要購買A，B兩種型號的垃圾箱20個，其中購買A型垃圾箱不超過16個．求購買垃圾箱的總花費（元）與A型垃圾箱m（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）中，當(dāng)購買A型垃圾箱個數(shù)多少時總費用最小，最小費用是多少？3.為了提高同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某中學(xué)開展主題為“感受數(shù)學(xué)魅力，享受數(shù)學(xué)樂趣”的數(shù)學(xué)活動．并計劃購買A、B兩種獎品獎勵在數(shù)學(xué)活動中表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知購買1件A種獎品和2件B種獎品共需元，購買2件A種獎品和1件B種獎品共需元．(1)每件A、B獎品的價格各是多少元？(2)根據(jù)需要，該學(xué)校準(zhǔn)備購買A、B兩種獎品共件，設(shè)購買a件A種獎品，所需總費用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若要求購買的A種獎品的數(shù)量不超過B種獎品數(shù)量的3倍，求所需總費用的最小值．【題型四】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【典例分析】1.某初級中學(xué)為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準(zhǔn)備購買一些體育器材為活動做準(zhǔn)備．已知購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．(1)購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？(2)已知該中學(xué)需要購買兩種球拍共副，羽毛球拍的數(shù)量不超過副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案：按總價的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實惠．【提分秘籍】一般答題思路：①根據(jù)題意分別設(shè)兩未知數(shù)為x和y并列方程；②解二元一次方程組。③根據(jù)題意，如與一次函數(shù)綜合，則參考題型一答題即可；如與方案性問題綜合，則參考題型二答題即可?！咀兪窖菥殹?.黨的二十大報告，深刻闡述了推動綠色發(fā)展，促進(jìn)人與自然和諧共生的理念，尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．為響應(yīng)黨的號召，東營市政府欲購進(jìn)一批風(fēng)景樹進(jìn)行綠化，已知購進(jìn)A種風(fēng)景樹4萬棵，B種風(fēng)景樹3萬棵，共需要380萬元；購進(jìn)A種風(fēng)景樹8萬棵，B種風(fēng)景樹5萬棵，共需要700萬元．(1)問A，B兩種風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價分別是多少元？(2)東營市政府計劃用不超過5460萬元購進(jìn)A，B兩種風(fēng)景樹共100萬棵，其中要求A風(fēng)景樹的數(shù)量不多于58萬棵，則共有幾種購買方案？2.“一盔一帶”安全守護(hù)行動是公安部在全國開展的一項安全守護(hù)行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標(biāo)準(zhǔn)，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)當(dāng)戴安全頭盔，某商場欲購進(jìn)一批頭盔，已知購進(jìn)8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進(jìn)6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元.(1)購進(jìn)1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？(2)若該商場準(zhǔn)備購進(jìn)200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，則最多可購進(jìn)乙型頭盔多少個？(3)在（2）的條件下，若該商場分別以58元/個、98元/個的價格銷售完甲，乙兩種型號的頭盔200個，能否實現(xiàn)利潤不少于6190元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由.【題型五】分式方程的實際應(yīng)用?？碱}型【典例分析】1.某店有、兩種口罩出售，其中種口罩的單價要比種口罩的單價多元，用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量是用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量的倍．(1)求、兩種口罩的單價；(2)某單位從該店購進(jìn)、兩種口罩共個，總費用為元，求購進(jìn)種口罩多少個．【提分秘籍】列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．分式方程中常見的數(shù)量關(guān)系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲時間-時間差=T甲-T乙=甲路程甲速度-數(shù)量差=甲數(shù)量-乙數(shù)量=甲總價甲單價-單價差=甲單價-乙單價=甲總價甲單價-總工程量（1）=甲工效×甲時間+乙工效×乙時間【變式演練】1.某文具店準(zhǔn)備購甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價和利潤如表：甲水筆乙水筆每支進(jìn)價（元）a每支利潤（元）23已知花費400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為多少元．(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來購進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤最大，最大利潤是多少元．2.奧體中心體育場是我市重要的城市名片和地標(biāo)建筑，見證了重慶體育的燦爛發(fā)展，其重要性不言而喻．經(jīng)過前期周密的準(zhǔn)備，重慶市奧體中心體育場頂棚維修改造工程近期開工．現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成，已知由乙隊單獨施工所需時間為由甲隊單獨施工所需時間的倍．若甲隊先施工天，再由乙隊施工天可剛好完成維修工作．(1)求若由甲隊單獨施工需要多少天；(2)已知甲施工隊每天的修建費用為萬元，乙施工隊每天的修建費用為萬元，乙隊先施工若干天，后由甲、乙兩隊共同施工完成，此項目所需總費用不超過萬，求甲隊最多維修了多少天．3.在“婦女節(jié)”前期，某花店購進(jìn)康乃馨和玫瑰兩種鮮花，銷售過程中發(fā)現(xiàn)康乃馨比玫瑰銷售量大，店主決定將玫瑰每枝降價2元促銷，降價后300元可購買玫瑰的數(shù)量是原來購買玫瑰數(shù)量的1.2倍．(1)求降價后每枝玫瑰的售價是多少元？(2)根據(jù)銷售情況，店主用不多于2000元的資金再次購進(jìn)兩種鮮花共300枝，康乃馨進(jìn)價為8元/枝，玫瑰進(jìn)價為6元/枝，問至少購進(jìn)玫瑰多少枝？【題型六】二次方程（函數(shù)）的實際應(yīng)用?？碱}型【典例分析】1.如圖為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個柱形噴水裝置，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高高度為．水柱落地處離池中心的水平距離為．小剛以柱形噴水裝置與地面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為軸，柱形噴水裝置所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．水柱噴出的高度y()與水平距離x()之間的函數(shù)關(guān)系如圖．(1)求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：(2)若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度．【提分秘籍】二次函數(shù)（方程）實際應(yīng)用的一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②根據(jù)題意求出自變量的取值范圍；③化為頂點式，根據(jù)二次項系數(shù)“a”的正負(fù)性和對稱軸判定最值。【變式演練】1.某商場銷售一種成本為元的商品，市場調(diào)研反映：在某個月的第天（）的銷售價格為（）元，日銷售量（）與的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)求與的函數(shù)解析式；(2)銷售該商品第幾天時，日銷售利潤最大？(3)結(jié)合函數(shù)圖象回答，在當(dāng)月有多少天的日銷售利潤大于元？2.如圖1，有一座拋物線形拱橋，某正常水位時，橋下的水面寬20米，拱頂?shù)剿娴木嚯x為6米，到橋面的距離為4米，相鄰兩支柱間的距離均為5米，建立直角坐標(biāo)系如圖2．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求支柱的長度．(3)隨著水位的上升，橋下水面的寬度逐漸減小．一艘貨船在水面上的部分的橫截面是邊長為5米的正方形，當(dāng)水位上升0.75米時，這艘貨船能否順利通過拱橋？請說說你的理由．3.科技創(chuàng)新是發(fā)展的第一動力．某科研公司向市場推出了一款創(chuàng)新產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價格是40元/件，銷售價格y(元/件)與銷售量x(件)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（件）101520…（元/件）585756…(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷售利潤w(元)關(guān)于銷售量x(件)的函數(shù)解析式，當(dāng)銷售量為多少時，銷售利潤最大？最大值是多少？(3)為了保證銷售利潤不低于420元，求該產(chǎn)品的銷售價格的取值范圍．【題型七】方程（函數(shù)）幾何問題【典例分析】1.如圖，在長方形中放入八個相同的小長方形，尺寸如圖所示．已知小長方形的長是寬的3倍多，求小長方形的長和寬．2.綜合與實踐如圖所示，在四邊形中，，，，點Q從點A出發(fā)以的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)以的速度向點C運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點C時，兩點同時停止運動．若設(shè)運動時間為．(1)直接寫出：____________；（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，四邊形為平行四邊形？【提分秘籍】普通幾何問題一般答題思路：①根據(jù)未知量，正確的設(shè)未知數(shù)；②通過圖形獲得定量和變量的等量關(guān)系；②根據(jù)題意列方程求值即可；動點幾何問題一般答題思路：①用含未知數(shù)x的式子表示出已移動的量和關(guān)聯(lián)的量；②根據(jù)面積、周長或移動距離等關(guān)系列方程（構(gòu)建函數(shù)模型）；③根據(jù)點的位置進(jìn)行分類討論?！咀兪窖菥殹?.如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高cm，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低cm，求每塊墻磚的截面面積．2.已知：如圖所示，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點后，另外一點也隨之停止運動．(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）袁隆平，“共和國勛章”獲得者，中國科學(xué)院院士，“中國雜交水稻之父”，一生致力于對水稻的研究，現(xiàn)有A、B兩塊試驗田各30畝，A塊試驗田種植普通水稻，B塊試驗田種植雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的2倍，兩塊試驗田單次共收獲水稻43200千克，求雜交水稻的畝產(chǎn)量是多少千克？2．（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）為了緩解城市“停車難”問題，我市通過打造“智慧停車平臺”，為市民提供便捷的停車服務(wù)．某停車場收費標(biāo)準(zhǔn)如下：（不足1小時，按1小時計）停車時長費用（元/小時）不超過30分鐘0超過30分鐘不超過1小時超過1小時的部分(1)若張先生某次在該停車場停車小時分鐘，共交費元，則___________；(2)若停車時長為小時（取整數(shù)且），求該停車場停車費（元）關(guān)于停車計時（小時）的函數(shù)解析式；若李先生也在該停車場停車，并支付了元停車費，則該停車場是按幾個小時計時收費的？3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？级＃┳拥苄W(xué)的嘉嘉和熹熹去文化用品商店購買學(xué)習(xí)用品.嘉嘉用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；熹熹用31元買了同款的鋼筆2支和同款的筆記本5本．(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格；(2)嘉嘉和熹熹組織“伴學(xué)互助”小組的同學(xué)，捐款購買同款的鋼筆和同款的筆記本共48件，準(zhǔn)備送給生活有困難的同學(xué)，已知全組同學(xué)捐款不少于200元，求最多可以買多少鋼筆？4．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，物業(yè)公司計劃整理出一塊矩形綠地，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形綠地一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長度為，若矩形綠地的面積為，求矩形垂直于墻的一邊，即的長．5．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）數(shù)字化閱讀憑借其獨有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑．近年來，我國數(shù)字閱讀用戶規(guī)模持續(xù)增長，據(jù)統(tǒng)計年我國數(shù)字閱讀用戶規(guī)模達(dá)億人，年約為億人．(1)求年到年我國數(shù)字閱讀用戶規(guī)模的年平均增長率；(2)按照這個增長率，預(yù)計年我國數(shù)字閱讀用戶規(guī)模能否達(dá)到億人．6．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）某商場試銷一款玩具，進(jìn)價為20元/件，商場與供貨商約定，試銷期間利潤不高于，且同一周內(nèi)售價不變．從試銷記錄看到，當(dāng)售價為22元時，一周銷售了80件該玩具；當(dāng)售價為24元時，一周銷售了60件該玩具．每周銷量（件）與售價（元）符合一次函數(shù)關(guān)系．(1)求每周銷量（件）與售價（元）之間的關(guān)系式；(2)若商場一周內(nèi)銷售該玩具獲得的利潤為210元，則該玩具的售價為多少元(3)商場將該玩具的售價定為多少時，一周內(nèi)銷售該玩具獲得利潤最大最大利潤為多少元7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）銘潤超市用5000元購進(jìn)一批新品種的蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥11000元資金購進(jìn)該品種蘋果，但這次的進(jìn)貨價比試銷時每千克多了元，購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時的2倍．(1)試銷時該品種蘋果的進(jìn)貨價是每千克多少元？兩次共購進(jìn)多少蘋果？(2)如果超市將該品種蘋果按每千克10元的定價出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的500千克按定價的六折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？8．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)?？家荒＃橛行鋵嶋p減工作，切實做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校決定在課后看護(hù)中增加乒乓球項目．體育用品商店得知后，第一次用600元購進(jìn)乒乓球若干盒，第二次又用600元購進(jìn)該款乒乓球，但這次每盒的進(jìn)價是第一次進(jìn)價的倍，購進(jìn)數(shù)量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的進(jìn)價是多少元？9．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）隨著“一帶一路”的進(jìn)一步推進(jìn)，我國瓷器更被一帶一路沿線人們所推崇，某商戶看準(zhǔn)這一商機(jī)，準(zhǔn)備經(jīng)銷瓷器茶具，計劃購進(jìn)青瓷茶具和白瓷茶具共60套．已知青瓷茶具每套250元，白瓷茶具每套200元，設(shè)購進(jìn)x套青瓷茶具，購進(jìn)青瓷茶具和白瓷茶具的總費用為y元！(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商戶想要用不多于13500元的資金購進(jìn)這兩種茶具，則青瓷茶具最多能購進(jìn)多少套？10．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）某IT產(chǎn)業(yè)園響應(yīng)垃圾分類政策，準(zhǔn)備在其園內(nèi)增設(shè)垃圾分類溫馨告示欄和分類垃圾箱，若購買3個溫馨告示欄和6個垃圾箱共需900元，且垃圾箱的單價比溫馨告示欄單價的2倍多5元．(1)求溫馨告示欄和垃圾箱的單價各是多少元？(2)該園內(nèi)至少需要安放30個分類垃圾箱，如果購買溫馨告示欄和垃圾箱共40個，且費用不超過4300元，請列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需費用最少？最少是多少元？11．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）在建設(shè)美好鄉(xiāng)村活動中，某村民委員會準(zhǔn)備在鄉(xiāng)村道路兩旁種植柏樹和杉樹．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：購買2棵柏樹和3棵杉樹共需440元，購買3棵柏樹和1棵杉樹共需380元．（1）求柏樹和杉樹的單價；（2）若本次美化鄉(xiāng)村道路臀購買柏樹和杉樹共150棵（兩種樹都必須購買），且柏樹的棵數(shù)不少于樹的3倍，設(shè)本次活動中購買柏樹x棵，此次購樹的費用為w元．①求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍？②要使此次購樹費用最少，柏樹和杉樹各需購買多少棵？最少費用為多少元？12．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）直播作為一種新的營銷方式，已經(jīng)被越來越多的人所接受．近年以來，許多特色農(nóng)產(chǎn)品隨著直播漫步“云端”，被銷售到全國各地．某農(nóng)戶在直播間銷售一種成本為10元/的農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售量y（）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，設(shè)銷售這種商品每天的利潤為W（元）．(1)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若銷售單價不低于15元/，且每天至少銷售時，求W的最大值．13．（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）華山，古稱“西岳”，雅稱“太華山”，為五岳之一，位于陜西省渭南市，自古以來就有“奇險天下第一山”的說法．某氣象研究小組為了解華山的海拔高度（km）與相應(yīng)高度處氣溫（）的關(guān)系，測得的數(shù)據(jù)如下表：海拔高度（）01234……氣溫（）20151050……(1)由表格中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)氣溫t是關(guān)于海拔高度h的一次函數(shù)，請寫出氣溫t與海拔高度h的關(guān)系式；(2)南峰海拔約，是華山最高主峰．請問南峰頂部氣溫是多少度？14．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）某商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購進(jìn)甲商品件和乙商品件共需元，購進(jìn)甲商品件和乙商品件共需元．(1)求甲、乙兩種商品每件的逬價分別是多少元？(2)商場決定甲商品每件元出售，乙商品每件元出售，為了滿足市場需求，需購進(jìn)甲、乙兩種商品共件，且甲商品的數(shù)量不少于乙商品數(shù)量的倍，請求出獲得利潤最大的進(jìn)貨方案．15．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）為響應(yīng)國家提出由中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)型的號召，某公司自主設(shè)計了一款機(jī)器人，每個生產(chǎn)成本為16元，投放市場進(jìn)行了銷售．經(jīng)過調(diào)查，售價為30元/個時，每月可售出40萬個，銷售單價每漲價5元，每月就少售出10萬個．(1)確定月銷售量y（萬個）與售價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)商場每月銷售這種機(jī)器人所獲得的利潤為w（萬元），請確定所獲利潤w（萬元）與售價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式．16．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）甲，乙兩名同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球發(fā)出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．如圖建立平面直角坐標(biāo)系，羽毛球從O點的正上方發(fā)出，飛行過程中羽毛球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．比賽中，甲同學(xué)連續(xù)進(jìn)行了兩次發(fā)球．(1)甲同學(xué)第一次發(fā)球時，羽毛球的水平距離x與豎直高度y的七組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m12.43.444.243.4根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下列問題：①當(dāng)羽毛球飛行到最高點時，水平距離是______m；②在水平距離5m處，放置一個高1.55m的球網(wǎng)，羽毛球______（填“是”或“否”）可以過網(wǎng)；③求出滿足的函數(shù)關(guān)系；(2)甲同學(xué)第二次發(fā)球時，羽毛球的豎直高度y與水平距離x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．乙同學(xué)在兩次接球中，都是原地起跳后使得球拍達(dá)到最大高度時剛好接到球，記乙同學(xué)第一次接球的起跳點的水平距離為，第二次接球的起跳點的水平距離為，則______0（填“”“”或“”）17．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第70中?？家荒＃┠尘皡^(qū)商店銷售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價10元/件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售價（元/件）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系（如圖所示）．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該商店每天可獲利225元，求該商品的售價；（3）已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種商品的銷售價不高于16元/件，求每天的銷售利潤（元）與銷售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？18．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，在中，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A出發(fā)，沿A→B方向運動，速度為每秒；點Q從點B出發(fā)，沿B→C→A方向運動，速度為每秒；兩點同時開始運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)①斜邊上的高為______②當(dāng)時，的長為______(2)當(dāng)點Q在邊上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，是等腰三角形？(3)當(dāng)點Q在邊上運動時，直接寫出所有能使成為等腰三角形的t的值．19．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿線段向點方向運動：動點從點出發(fā)，沿線段向點方向運動．如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為秒．求：(1)當(dāng)時，、兩點之間的距離是多少？(2)若的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(3)當(dāng)為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？專題8：函數(shù)（方程）與實際應(yīng)用的?？紗栴}目錄一、熱點題型歸納【題型一】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【題型二】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【題型三】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【題型四】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用常考題型（方案）【題型五】分式方程的實際應(yīng)用?？碱}型【題型六】二次方程（函數(shù)）的實際應(yīng)用常考題型【題型七】方程（函數(shù)）幾何問題二、最新?？碱}組練【題型一】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用常考題型（最值）【典例分析】1.某經(jīng)銷商在生產(chǎn)廠家訂購了兩種暢銷的粽子，兩種粽子的進(jìn)貨價和銷售價如下表：類別價格A種B種進(jìn)貨價(元/盒)2530銷售價(元/盒)3240(1)若經(jīng)銷商用1500元購進(jìn)A，B兩種粽子，其中A種的數(shù)量是B種數(shù)量的2倍少4盒，求A，B兩種粽子各購進(jìn)了多少盒；(2)若經(jīng)銷商計劃購進(jìn)A種“粽子”的數(shù)量不少于B種“粽子”數(shù)量的2倍，且計劃購進(jìn)兩種“粽子”共60盒，經(jīng)銷商該如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能使銷售完后獲得最大利潤？最大利潤為多少？【答案】(1)則購進(jìn)B種粽子20盒，A種粽子36盒(2)購進(jìn)A種“粽子”40盒，購進(jìn)B種“粽子”20盒，獲得最大利潤，最大利潤是480元【分析】(1)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)A種的數(shù)量是B種數(shù)量的2倍少4盒，列方程求解；(2)設(shè)購進(jìn)B種“粽子”m盒，銷售利潤為W元，根據(jù)A種“粽子”進(jìn)貨數(shù)量不少于B種“粽子”進(jìn)貨數(shù)量的2倍，可得，而，由一次函數(shù)性質(zhì)可得購進(jìn)A種“粽子”40盒，購進(jìn)B種“粽子”20盒，獲得最大利潤，最大利潤是480元．【詳解】（1）設(shè)購進(jìn)B種粽子x盒，，解得，，則購進(jìn)B種粽子20盒，A種粽子36盒．（2）設(shè)購進(jìn)B種“粽子”m盒，銷售利潤為W元，則購進(jìn)A種“粽子”盒，∵根據(jù)A種“粽子”進(jìn)貨數(shù)量不少于B種“粽子”進(jìn)貨數(shù)量的2倍，∴，解得，根據(jù)題意得，∵，∴W隨m的增大而增大，∴時，W取最大值，最大值為(元)，此時，答：購進(jìn)A種“粽子”40盒，購進(jìn)B種“粽子”20盒，獲得最大利潤，最大利潤是480元．【點睛】本題考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式．2.某文具店計劃購進(jìn)、兩種筆記本，已知種筆記本的進(jìn)價比種筆記本的進(jìn)價每本便宜3元．現(xiàn)分別購進(jìn)種筆記本150本，種筆記本300本，共計6300元．(1)求、兩種筆記本的進(jìn)價；(2)文具店第二次又購進(jìn)、兩種筆記本共100本，且投入的資金不超過1380元．在銷售過程中，、兩種筆記本的標(biāo)價分別為20元/本、25元/本．兩種筆記本按標(biāo)價各賣出本以后，該店進(jìn)行促銷活動，剩余的種筆記本按標(biāo)價的七折銷售，剩余的種筆記本按標(biāo)價的八折銷售．若第二次購進(jìn)的100本筆記本全部售出后的最大利潤不少于600元，請求出的最小值．【答案】(1)種筆記本每本12元，種筆記本每本15元(2)20【分析】（1）設(shè)種筆記本每本元，則種筆記本每本元，由題意得，，計算可得的值，進(jìn)而可得的值；（2）設(shè)第二次購進(jìn)種筆記本本，則購進(jìn)種筆記本本，由題意得，，可得，設(shè)獲得的利潤為元，由題意得，，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，的值最大，最大值為，令，求解滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：設(shè)種筆記本每本元，則種筆記本每本元，由題意得，，解得，，∴，∴種筆記本每本12元，種筆記本每本15元；（2）解：設(shè)第二次購進(jìn)種筆記本本，則購進(jìn)種筆記本本，由題意得，，解得，，∴，設(shè)獲得的利潤為元，由題意得，，，隨的增大而減小，當(dāng)時，的值最大，最大值為，由題意得，解得，，為正整數(shù)，的最小值為20．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式和不等式．【提分秘籍】一次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是要根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，其中求自變量取值范圍是關(guān)鍵；一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②根據(jù)題意求自變量的取值范圍；③根據(jù)一次函數(shù)的增減性和自變量取值范圍，求出最值問題即可?！咀兪窖菥殹?.為深人學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某校舉辦了“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽，學(xué)校計劃購買兩種獎品共計30份分別發(fā)放給獲得一等獎、二等獎的同學(xué)，獲獎同學(xué)各發(fā)一份獎品，同一等級獎品相同．設(shè)一等獎獎品的單價為x元，購買兩種獎品的總費用為y元．(1)若購買一等獎、二等獎獎品的單價分別為40元、20元，則學(xué)校共需花費800元，求獲得一等獎、二等獎的人數(shù)分別是多少？(2)在（1）的結(jié)果下，若一等獎、二等獎獎品的單價的和為60元，一等獎獎品的單價不超過二等獎獎品單價的倍，求總費用y的最小值．【答案】(1)獲一等獎的人數(shù)為人，則獲二等獎的人數(shù)為人．(2)費用最小值為元．【分析】（1）設(shè)獲一等獎的人數(shù)為人，則獲二等獎的人數(shù)為人，可得，再解方程可得答案；（2）設(shè)獲一等獎獎品的單價為元，則獲二等獎獎品的單價為元，則總費用，再列不等式可得的范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)獲一等獎的人數(shù)為人，則獲二等獎的人數(shù)為人，∴，解得：，∴，答：獲一等獎的人數(shù)為人，則獲二等獎的人數(shù)為人．（2）設(shè)獲一等獎獎品的單價為元，則獲二等獎獎品的單價為元，∴總費用，∵，解得：，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，費用最小值為（元）．【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系列方程與不等式或函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．2.紫袍玉帶石是一種獨產(chǎn)于貴州梵凈山一帶的玉石材資源，具有約10﹣14億年的成礦歷史，因由紫色的深色條帶與灰綠色的淺色條帶相互間夾構(gòu)成，形似古代官宦朝服中的玉帶，故俗稱“紫袍玉帶石”．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款紫袍玉帶石，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售，兩款玉帶石的進(jìn)貨價和銷售價如表：類別價格A款玉帶石B款玉帶石進(jìn)貨價（元/個）4030銷售價（元/個）5645(1)第一次小李用1100元購進(jìn)了A，B兩款玉帶石共30個，求兩款玉帶石各購進(jìn)多少個．(2)第二次小李進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量的一半，小李計劃購進(jìn)兩款玉帶石共30個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(3)小李第二次進(jìn)貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進(jìn)的玉帶石全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？【答案】(1)A款玉帶石購進(jìn)20個，B款玉帶石購進(jìn)10個；(2)A款玉帶石購進(jìn)10個、B款玉帶石購進(jìn)20個的方案進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是460元；(3)對于小李來說第二次的進(jìn)貨方案更合算．【分析】（1）設(shè)A款玉帶石購進(jìn)x個，B款玉帶石購進(jìn)個，由用1100元購進(jìn)了A，B兩款玉帶石建立方程求出其解即可；（2）設(shè)A款玉帶石購進(jìn)a個，B款玉帶石購進(jìn)個，獲利y元，根據(jù)題意可以得到利潤與A款玉帶石數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)A款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量的一半，可以求得A款玉帶石數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤；（3）分別求出兩次進(jìn)貨的利潤率，比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A款玉帶石購進(jìn)x個，B款玉帶石購進(jìn)個，由題意，得，解得：．（個）．答：A款玉帶石購進(jìn)20個，B款玉帶石購進(jìn)10個；（2）解：設(shè)A款玉帶石購進(jìn)a個，B款玉帶石購進(jìn)個，獲利y元，∵A款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玉帶石進(jìn)貨數(shù)量的一半，∴，解得，由題意，得，∵，∴y隨a的增大而增大，∴時，元，∴B款玉帶石為：（個）．答：A款玉帶石購進(jìn)10個、B款玉帶石購進(jìn)20個的方案進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是460元；（3）解：第一次的利潤率，第二次的利潤率，∵，∴對于小李來說第二次的進(jìn)貨方案更合算．【點睛】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一次函數(shù)的運用，解答時由銷售問題的數(shù)量關(guān)系求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【題型二】一次方程（函數(shù)）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【典例分析】1.某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元．(1)若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案；(2)若商場銷售一臺甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺丙種電視機(jī)可獲利250元．在同時購進(jìn)兩種不同型號電視機(jī)的方案中，為使銷售利潤最多，你選擇哪一種進(jìn)貨方案？【答案】(1)購甲種電視機(jī)25臺，乙種電視機(jī)25臺；或購甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺(2)購買甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺獲利最多【分析】（1）根據(jù)題意分3種情況，分別列出一元一次方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所得出的方案，分別計算出各方案的利潤，然后判斷出獲利最多的方案．【詳解】（1）解：分三種情況計算：①設(shè)購甲種電視機(jī)臺，乙種電視機(jī)臺．列方程得，解得，，∴購甲種電視機(jī)25臺，乙種電視機(jī)25臺；②設(shè)購甲種電視機(jī)y臺，丙種電視機(jī)臺．則，解得：，∴購甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺；③設(shè)購乙種電視機(jī)z臺，丙種電視機(jī)臺．則解得：，（不合題意，舍去）；綜上所述，進(jìn)貨方案有兩種：購甲種電視機(jī)25臺，乙種電視機(jī)25臺；或購甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺；（2）方案一：．方案二：元．∵，∴購買甲種電視機(jī)35臺，丙種電視機(jī)15臺獲利最多．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．【提分秘籍】根據(jù)題意列方程和不等式，根據(jù)未知數(shù)的取值范圍列出幾種方案。一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②用含未知數(shù)的式子分別表示出幾個未知的量；③根據(jù)題意求自變量的取值范圍；④根據(jù)題意列出符合題意的方案；⑤選擇最優(yōu)方案?！咀兪窖菥殹?.接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途經(jīng)，保障人民群眾的身體健康．據(jù)某市3月份統(tǒng)計，甲接種點完成一批加強(qiáng)針的接種任務(wù)用了m天，乙接種點完成相同數(shù)量的加強(qiáng)針接種任務(wù)多用2天，且乙接種點平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比甲接種點少20%．(1)求整數(shù)m的值．(2)接種工作包含登記、接種、留觀，需要組隊完成．某中學(xué)現(xiàn)有2160人符合接種加強(qiáng)針條件，甲接種點需要組建A和B兩種團(tuán)隊到校接種，A種團(tuán)隊每小時可完成100人的接種，B種團(tuán)隊每小時可完成60人的接種．若AB兩種團(tuán)隊共10個，其中A種團(tuán)隊不超過5個，要求上午9點同時開始工作，中午12點前（包含12點）完成．問甲接種點有幾種派遣方案前往該中學(xué)可以在12點前（包含12點）完成該校加強(qiáng)針的接種．【答案】(1)8(2)有3種派遣方案【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解即可；（2）根據(jù)題意，列不等式，解不等式即可；（1）解：根據(jù)題意得，解得：所以m的值為8．（2）設(shè)有A種團(tuán)隊x個，B種團(tuán)隊（10-x）個；，解得：x的解集為：，當(dāng)x=3時，10-x=7；當(dāng)x=4時，10-x=6；當(dāng)x=5時，10-x=5；所以有3種派遣方案．2.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，北京是唯一一個既舉辦冬季奧運會又舉辦夏季奧運會的城市.為了迎接2022年北京冬季奧運會，某校準(zhǔn)備舉行冬季長跑比賽，為獎勵長跑優(yōu)勝者，學(xué)校需要購買一些冬奧會吉祥物冰墩墩、雪容融中性筆和徽章．了解到某商店中性筆的單價比徽章的單價多11元，若買2支中性筆和3個徽章共需67元．(1)中性筆和徽章的單價各是多少元？(2)該商店推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：消費金額超過200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若學(xué)校需要購買10支中性筆和30個徽章，選擇哪種方案更優(yōu)惠？【答案】(1)中性筆和徽章的單價分別是20元和9元(2)選擇方案一更優(yōu)惠【分析】（1）設(shè)中性筆的單價是元，則徽章的單價是元，根據(jù)買2支中性筆和3個徽章共需67元，即可列出一元一次方程，解出即可；（2）根據(jù)方案一與方案二進(jìn)行計算，比較結(jié)果即可得出那個方案更優(yōu)惠．【詳解】（1）（1）設(shè)中性筆的單價是元，則徽章的單價是元，根據(jù)題意，得：，解得，．答：中性筆和徽章的單價分別是20元和9元．（2）（2）方案一：；，，方案二：．因為所以選擇方案一更優(yōu)惠．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目條件正確的列出一元一次方程是解決問題的關(guān)鍵．【題型三】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（最值）【典例分析】1.“雙減”政策頒布后，各校重視了延時服務(wù)，并在延時服務(wù)中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計劃購進(jìn)乒乓球拍和羽毛球拍共套進(jìn)行銷售，它們的進(jìn)價和售價如下表：進(jìn)價售價乒乓球拍（元／套）羽毛球拍（元／套）已知購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元，購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元．(1)求出，的值；(2)該體育用品商店根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的，若這批體育用品能夠全部售完，則如何購貨才能獲利最大？最大利潤是多少？【答案】(1)、的值分別是元、元(2)購進(jìn)乒乓球拍套，羽毛球拍套，獲利最大，最大利潤為元【分析】（1）根據(jù)購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元，購進(jìn)套乒乓球拍和套羽毛球拍需花費元，列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)總利潤＝乒乓球拍的利潤＋羽毛球拍的利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的求出自變量的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得：，答：、的值分別是元、元．（2）設(shè)購進(jìn)乒乓球拍套，羽毛球拍套．總利潤為元，由題意得：，解得：，∵，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，最大，且最大值為：（元），此時，答：購進(jìn)乒乓球拍套，羽毛球拍套，獲利最大，最大利潤為元．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和列出方程組．【提分秘籍】一般答題思路：①根據(jù)題意分別設(shè)兩未知數(shù)為x和y并列方程；②解二元一次方程組。③根據(jù)題意，如與一次函數(shù)綜合，則參考題型一答題即可?！咀兪窖菥殹?.“五一”勞動節(jié)馬上來了，為了抓住“五一”小長假旅游商機(jī)，某旅游景點決定購進(jìn)，兩種紀(jì)念品，購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元；購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件，共需元．(1)求購進(jìn)，兩種紀(jì)念品每件各需多少元？(2)若購買兩種紀(jì)念品共件，并且購買種紀(jì)念品的數(shù)量不大于種紀(jì)念品數(shù)量的倍．種紀(jì)念品每件獲利元，種紀(jì)念品每件獲利是進(jìn)價的八折，請設(shè)計一個方案：怎樣購進(jìn)，兩種紀(jì)念品獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元(2)當(dāng)購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件時，獲得的總利潤最大，最大總利潤為元【分析】（1）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元，由題意得：，計算求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品件，則購進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)題意得：，解得：．設(shè)購進(jìn)的件紀(jì)念品全部售出后獲得的總利潤為元，則，整理得，，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元，由題意得：，解得：．答：購進(jìn)種紀(jì)念品每件需元，種紀(jì)念品每件需元；（2）解：設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品件，則購進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)題意得：，解得：．設(shè)購進(jìn)的件紀(jì)念品全部售出后獲得的總利潤為元，則，整理得，，，隨的增大而減小，當(dāng)時，取得最大值，最大值，∴．當(dāng)購進(jìn)種紀(jì)念品件，種紀(jì)念品件時，獲得的總利潤最大，最大總利潤為元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式和不等式．2.為迎接“國家創(chuàng)衛(wèi)”檢查，我市環(huán)衛(wèi)局準(zhǔn)備購買A，B兩種型號的垃圾箱．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購買1個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱需340元；購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需540元．(1)求每A個型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？(2)該市現(xiàn)需要購買A，B兩種型號的垃圾箱20個，其中購買A型垃圾箱不超過16個．求購買垃圾箱的總花費（元）與A型垃圾箱m（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）中，當(dāng)購買A型垃圾箱個數(shù)多少時總費用最小，最小費用是多少？【答案】(1)每個型垃圾箱100元，每個型垃圾箱120元(2)，且為整數(shù)）(3)購買型垃圾箱個數(shù)為16時總費用最小，最小費用是2080元【分析】（1）根據(jù)購買1個型垃圾箱和2個型垃圾箱需340元；購買3個型垃圾箱和2個型垃圾箱共需540元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出購買垃圾箱的總花費（元）與型垃圾箱（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)、的取值范圍，可以求得總費用的最小值．【詳解】（1）解：設(shè)每個型垃圾箱元，每個型垃圾箱元，由題意可得：，解得，答：每個型垃圾箱100元，每個型垃圾箱120元；（2）設(shè)購買個型垃圾箱，則購買個型垃圾箱，由題意可得：，即，且為整數(shù)）；（3）由（2）知，，隨的增大而減?。?，且為整數(shù)，當(dāng)，取得最小值，此時，即當(dāng)購買型垃圾箱個數(shù)為16時總費用最小，最小費用是2080元．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．3.為了提高同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某中學(xué)開展主題為“感受數(shù)學(xué)魅力，享受數(shù)學(xué)樂趣”的數(shù)學(xué)活動．并計劃購買A、B兩種獎品獎勵在數(shù)學(xué)活動中表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知購買1件A種獎品和2件B種獎品共需元，購買2件A種獎品和1件B種獎品共需元．(1)每件A、B獎品的價格各是多少元？(2)根據(jù)需要，該學(xué)校準(zhǔn)備購買A、B兩種獎品共件，設(shè)購買a件A種獎品，所需總費用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若要求購買的A種獎品的數(shù)量不超過B種獎品數(shù)量的3倍，求所需總費用的最小值．【答案】(1)A獎品的價格為，B獎品的價格為；(2)（，且是整數(shù)）；(3)元；【分析】（1）設(shè)A獎品的價格為x，B獎品的價格為y，根據(jù)買1件A種獎品和2件B種獎品共需元，購買2件A種獎品和1件B種獎品共需元列方程組求解即可得到答案；（2）根據(jù)金額單價數(shù)量即可得到答案；（3）根據(jù)A種獎品的數(shù)量不超過B種獎品數(shù)量的3倍，求出a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)A獎品的價格為x元，B獎品的價格為y元，由題意可得，，解得：，答：A獎品的價格為，B獎品的價格為；（2）解：由題意可得，∵購買A、B兩種獎品共件，購買a件A種獎品，∴B種獎品件，∴（，且是整數(shù)）；（3）解：∵A種獎品的數(shù)量不超過B種獎品數(shù)量的3倍，∴，解得：，∴，且是整數(shù)，∵，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時，最小，∴（元）；【點睛】本題考查二元一次方程組解應(yīng)用題及一次函數(shù)擇優(yōu)方案問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．【題型四】二元一次方程（組）與不等式的實際應(yīng)用?？碱}型（方案）【典例分析】1.某初級中學(xué)為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅持鍛煉，活力無限”的健身活動，并準(zhǔn)備購買一些體育器材為活動做準(zhǔn)備．已知購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．(1)購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？(2)已知該中學(xué)需要購買兩種球拍共副，羽毛球拍的數(shù)量不超過副．現(xiàn)商店推出兩種購買方案，方案：購買一副羽毛球拍贈送一副乒乓球拍；方案：按總價的八折付款．試說明選擇哪種購買方案更實惠．【答案】(1)購買一副乒乓球拍需元，購買一副羽毛球拍需元(2)當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量少于副時，選擇方案更實惠；當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量等于副時，兩種購買方案所需總費用相同；當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量大于副且不超過副時，選擇方案更實惠【分析】（1）設(shè)購買一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根據(jù)“購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，購買副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買（且為整數(shù)）副羽毛球拍，則選擇方案所需總費用為元，選項方案所需總費用為元，分，及三種情況，即可求出的取值范圍或的值，此題得解．【詳解】（1）解：設(shè)購買一副乒乓球拍需元，購買一副羽毛球拍需元，依題意得：，解得：，答：購買一副乒乓球拍需元，購買一副羽毛球拍需元．．（2）設(shè)購買（且為整數(shù)）副羽毛球拍，則：選擇方案所需總費用為：（元），選項方案所需總費用為：（元），當(dāng)時，解得：，∵，∴；當(dāng)時，解得：；當(dāng)時，解得：，∵，∴．答：當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量少于副時，選擇方案更實惠；當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量等于副時，兩種購買方案所需總費用相同；當(dāng)購買羽毛球拍的數(shù)量大于副且不超過副時，選擇方案更實惠．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出選項各方案所需總費用．【提分秘籍】一般答題思路：①根據(jù)題意分別設(shè)兩未知數(shù)為x和y并列方程；②解二元一次方程組。③根據(jù)題意，如與一次函數(shù)綜合，則參考題型一答題即可；如與方案性問題綜合，則參考題型二答題即可?！咀兪窖菥殹?.黨的二十大報告，深刻闡述了推動綠色發(fā)展，促進(jìn)人與自然和諧共生的理念，尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．為響應(yīng)黨的號召，東營市政府欲購進(jìn)一批風(fēng)景樹進(jìn)行綠化，已知購進(jìn)A種風(fēng)景樹4萬棵，B種風(fēng)景樹3萬棵，共需要380萬元；購進(jìn)A種風(fēng)景樹8萬棵，B種風(fēng)景樹5萬棵，共需要700萬元．(1)問A，B兩種風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價分別是多少元？(2)東營市政府計劃用不超過5460萬元購進(jìn)A，B兩種風(fēng)景樹共100萬棵，其中要求A風(fēng)景樹的數(shù)量不多于58萬棵，則共有幾種購買方案？【答案】(1)A風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為50元，B風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為60元(2)5種【分析】（1）設(shè)A風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為x元，B風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為y元，根據(jù)購進(jìn)A種風(fēng)景樹4萬棵，B種風(fēng)景樹3萬棵，共需要380萬元；購進(jìn)A種風(fēng)景樹8萬棵，B種風(fēng)景樹5萬棵，共需要700萬元．列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購進(jìn)A風(fēng)景樹m萬棵，B風(fēng)景樹萬棵，根據(jù)A風(fēng)景樹的數(shù)量不多于58萬棵和購買A，B風(fēng)景樹的總費用不超過5460萬元列出不等式組，解不等式組求出m的取值范圍即可．【詳解】（1）解：設(shè)A風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為x元，B風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為y元，根據(jù)題意得：，解得，答：A風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為50元，B風(fēng)景樹每棵的進(jìn)價為60元；（2）設(shè)購進(jìn)A風(fēng)景樹m萬棵，B風(fēng)景樹萬棵，則，解得，∵m為整數(shù)，∴m為54，55，56，57，58，∴共有5種購買方案．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組和二元一次方程組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．2.“一盔一帶”安全守護(hù)行動是公安部在全國開展的一項安全守護(hù)行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標(biāo)準(zhǔn)，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)當(dāng)戴安全頭盔，某商場欲購進(jìn)一批頭盔，已知購進(jìn)8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進(jìn)6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元.(1)購進(jìn)1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？(2)若該商場準(zhǔn)備購進(jìn)200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，則最多可購進(jìn)乙型頭盔多少個？(3)在（2）的條件下，若該商場分別以58元/個、98元/個的價格銷售完甲，乙兩種型號的頭盔200個，能否實現(xiàn)利潤不少于6190元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由.【答案】(1)購進(jìn)1個甲型頭盔需要30元，購進(jìn)1個乙型頭盔需要65元；(2)最多可購進(jìn)乙型頭盔120個；(3)能，①采購甲型頭盔82個，采購乙型頭盔118個；②采購甲型頭盔81個，采購乙型頭盔119個；③采購甲型頭盔80個，采購乙型頭盔120個【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組并求解即可；（2）設(shè)乙型頭盔m個，根據(jù)所需費用數(shù)量單價，計算甲、乙頭盔總費用列不等式，求得乙型頭盔m的最大值；（3）根據(jù)利潤單件利潤數(shù)量，列不等式，求出乙型頭盔m的取值范圍，結(jié)合（2）中答案確定m的取值范圍，即可得出可選方案．【詳解】（1）解：（1）設(shè)購進(jìn)1個甲型頭盔需要元，購進(jìn)1個乙型頭盔需要元.根據(jù)題意，得，解得，；答：購進(jìn)1個甲型頭盔需要30元，購進(jìn)1個乙型頭盔需要65元；（2）（2）設(shè)購進(jìn)乙型頭盔個，則購進(jìn)甲型頭盔個，根據(jù)題意，得：，解得：，的最大值為120；答：最多可購進(jìn)乙型頭盔120個；（3）（3）能根據(jù)題意，得：；解得：；；為整數(shù)，可取118，119或120，對應(yīng)的的值分別為82，81或80；因此能實現(xiàn)利潤不少于6190元的目標(biāo)，該商場有三種采購方案：①采購甲型頭盔82個，采購乙型頭盔118個；②采購甲型頭盔81個，采購乙型頭盔119個；③采購甲型頭盔80個，采購乙型頭盔120個．【點睛】本題考查二元一次方程組和不等式的綜合應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列方程組并求解，同時注意在確定方案時所設(shè)未知數(shù)應(yīng)取整數(shù)．【題型五】分式方程的實際應(yīng)用?？碱}型【典例分析】1.某店有、兩種口罩出售，其中種口罩的單價要比種口罩的單價多元，用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量是用元購進(jìn)種口罩?jǐn)?shù)量的倍．(1)求、兩種口罩的單價；(2)某單位從該店購進(jìn)、兩種口罩共個，總費用為元，求購進(jìn)種口罩多少個．【答案】(1)種口罩的單價元，種口罩的單價為元(2)個【分析】（1）設(shè)種口罩的單價為元，則種口罩的單價為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）設(shè)購進(jìn)種口罩個，則購進(jìn)種口罩個，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)種口罩的單價為元，則種口罩的單價為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：種口罩的單價元，種口罩的單價為元；（2）解：設(shè)購進(jìn)種口罩個，則購進(jìn)種口罩個，由題意得：，解得：，答：購進(jìn)種口罩個．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．分式方程中常見的數(shù)量關(guān)系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲時間-時間差=T甲-T乙=甲路程甲速度-數(shù)量差=甲數(shù)量-乙數(shù)量=甲總價甲單價-單價差=甲單價-乙單價=甲總價甲單價-總工程量（1）=甲工效×甲時間+乙工效×乙時間【變式演練】1.某文具店準(zhǔn)備購甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價和利潤如表：甲水筆乙水筆每支進(jìn)價（元）a每支利潤（元）23已知花費400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為多少元．(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來購進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤最大，最大利潤是多少元．【答案】(1)甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元(2)該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元【分析】（1）根據(jù)花費400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等，可以列出相應(yīng)的分式方程即可求出答案．（2）根據(jù)題意，可以列出利潤與購進(jìn)甲種水筆數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，可以求出購進(jìn)甲種水筆數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，，答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元．（2）解：設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支，，，∴y隨x的增大而增大，購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，，解得，，∵x為整數(shù)，∴當(dāng)時，w取得最大值，最大值為733，此時，，答：該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.奧體中心體育場是我市重要的城市名片和地標(biāo)建筑，見證了重慶體育的燦爛發(fā)展，其重要性不言而喻．經(jīng)過前期周密的準(zhǔn)備，重慶市奧體中心體育場頂棚維修改造工程近期開工．現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成，已知由乙隊單獨施工所需時間為由甲隊單獨施工所需時間的倍．若甲隊先施工天，再由乙隊施工天可剛好完成維修工作．(1)求若由甲隊單獨施工需要多少天；(2)已知甲施工隊每天的修建費用為萬元，乙施工隊每天的修建費用為萬元，乙隊先施工若干天，后由甲、乙兩隊共同施工完成，此項目所需總費用不超過萬，求甲隊最多維修了多少天．【答案】(1)天(2)天【分析】（1）設(shè)若由甲隊單獨施工需要x天，總工作量為“1”，根據(jù)題意列出分式方程，解方程并檢驗即可求解；（2）設(shè)甲隊維修了y天，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)若由甲隊單獨施工需要x天，總工作量為“1”，，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：若由甲隊單獨施工需要60天．（2）解：設(shè)甲隊維修了y天，，解得．∴取最大整數(shù)為答：甲隊最多維修了天．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程或不等式是解題的關(guān)鍵．3.在“婦女節(jié)”前期，某花店購進(jìn)康乃馨和玫瑰兩種鮮花，銷售過程中發(fā)現(xiàn)康乃馨比玫瑰銷售量大，店主決定將玫瑰每枝降價2元促銷，降價后300元可購買玫瑰的數(shù)量是原來購買玫瑰數(shù)量的1.2倍．(1)求降價后每枝玫瑰的售價是多少元？(2)根據(jù)銷售情況，店主用不多于2000元的資金再次購進(jìn)兩種鮮花共300枝，康乃馨進(jìn)價為8元/枝，玫瑰進(jìn)價為6元/枝，問至少購進(jìn)玫瑰多少枝？【答案】(1)降價后每枝玫瑰的售價是元(2)至少購進(jìn)玫瑰枝【分析】（1）可設(shè)降價后每枝玫瑰的售價是元，根據(jù)等量關(guān)系：降價后元可購買玫瑰的數(shù)量原來購買玫瑰數(shù)量的倍，列出方程求解即可；（2）可設(shè)購進(jìn)玫瑰枝，根據(jù)不等關(guān)系：購進(jìn)康乃馨的錢數(shù)+購進(jìn)玫瑰的錢數(shù)小于等于元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）設(shè)降價后每枝玫瑰的售價是元，依題意有：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，答：降價后每枝玫瑰的售價是元；（2）設(shè)購進(jìn)玫瑰枝，則購進(jìn)康乃馨枝，依題意有：，解得：，∴至少購進(jìn)玫瑰枝【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【題型六】二次方程（函數(shù)）的實際應(yīng)用常考題型【典例分析】1.如圖為某居民小區(qū)計劃修建的圓形噴水池的效果圖，在池中心需安裝一個柱形噴水裝置，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高高度為．水柱落地處離池中心的水平距離為．小剛以柱形噴水裝置與地面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為軸，柱形噴水裝置所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．水柱噴出的高度y()與水平距離x()之間的函數(shù)關(guān)系如圖．(1)求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：(2)若不計其他因素，求柱形噴水裝置的高度．【答案】(1)拋物線函數(shù)表達(dá)式為或(2)m【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)，設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,由題意得，該拋物線經(jīng)過點，待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）當(dāng)時，代入解析式，解得．【詳解】（1）解：由于點為拋物線的頂點，因此可設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由題意得，該拋物線經(jīng)過點，可得，解得，∴該拋物線函數(shù)表達(dá)式為或．（2）當(dāng)時，，解得．答：柱形噴水裝置的高度為m．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】二次函數(shù)（方程）實際應(yīng)用的一般答題思路：①根據(jù)題意列方程；②根據(jù)題意求出自變量的取值范圍；③化為頂點式，根據(jù)二次項系數(shù)“a”的正負(fù)性和對稱軸判定最值?！咀兪窖菥殹?.某商場銷售一種成本為元的商品，市場調(diào)研反映：在某個月的第天（）的銷售價格為（）元，日銷售量（）與的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)求與的函數(shù)解析式；(2)銷售該商品第幾天時，日銷售利潤最大？(3)結(jié)合函數(shù)圖象回答，在當(dāng)月有多少天的日銷售利潤大于元？【答案】(1)與的函數(shù)解析式為；(2)銷售該商品第天時，日銷售利潤最大(3)當(dāng)月有天的日銷售利潤大于元【分析】（1）待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式即可求解；（2）設(shè)日銷售利潤為，根據(jù)題意得，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意，解不等式，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得的取值范圍，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)解析式為，將點代入解析式，得，，解得：，∴與的函數(shù)解析式為；（2）解：設(shè)日銷售利潤為，根據(jù)題意得，∵，當(dāng)時，取得最大值，即銷售該商品第天時，日銷售利潤最大；（3）解：當(dāng)時，，解得：，∵，拋物線開口向上，∴當(dāng)時，或，∵，∴，答：當(dāng)月有天的日銷售利潤大于元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如圖1，有一座拋物線形拱橋，某正常水位時，橋下的水面寬20米，拱頂?shù)剿娴木嚯x為6米，到橋面的距離為4米，相鄰兩支柱間的距離均為5米，建立直角坐標(biāo)系如圖2．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求支柱的長度．(3)隨著水位的上升，橋下水面的寬度逐漸減小．一艘貨船在水面上的部分的橫截面是邊長為5米的正方形，當(dāng)水位上升0.75米時，這艘貨船能否順利通過拱橋？請說說你的理由．【答案】(1)(2)5.5米(3)不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求得a的值，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）將代入函數(shù)關(guān)系式求得y的值，可求出支柱的長度；（3）將代入函數(shù)關(guān)系式求得y的值，再與進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

把代入得：，解得．

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．·（2）當(dāng)x=5時，．，∴（米）．（3）不能，理由如下：當(dāng)時，．∴這艘貨船不能順利通過拱橋．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實際問題是解題根本，求出二次函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．3.科技創(chuàng)新是發(fā)展的第一動力．某科研公司向市場推出了一款創(chuàng)新產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價格是40元/件，銷售價格y(元/件)與銷售量x(件)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（件）101520…（元/件）585756…(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求銷售利潤w(元)關(guān)于銷售量x(件)的函數(shù)解析式，當(dāng)銷售量為多少時，銷售利潤最大？最大值是多少？(3)為了保證銷售利潤不低于420元，求該產(chǎn)品的銷售價格的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)銷售量為50件時，銷售利潤最大，最大值是500元(3)【分析】（1）設(shè)，用待定系數(shù)法可得與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）當(dāng)時，，解得或，結(jié)合（1）可得當(dāng)銷售利潤不低于420元，該產(chǎn)品的銷售價格的取值范圍是．【詳解】（1）設(shè)，把，代入得：，解得，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）根據(jù)題意得：，，當(dāng)時，取最大值，最大值為500，當(dāng)銷售量為50件時，銷售利潤最大，最大值是500元；（3）當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)銷售利潤不低于420元，該產(chǎn)品的銷售價格的取值范圍是．【點睛】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．【題型七】方程（函數(shù)）幾何問題【典例分析】1.如圖，在長方形中放入八個相同的小長方形，尺寸如圖所示．已知小長方形的長是寬的3倍多，求小長方形的長和寬．【答案】小長方形的寬為，小長方形的長的長度為．【分析】設(shè)小長方形寬為，則長為，根據(jù)長方形的長列方程，解方程得到x的值，即可求出小長方形的長和寬．【詳解】解：設(shè)小長方形寬為，則長為，根據(jù)題意得：，解得，則，答：小長方形的寬為，小長方形的長的長度為．【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2.綜合與實踐如圖所示，在四邊形中，，，，點Q從點A出發(fā)以的速度向點D運動，點P從點B出發(fā)以的速度向點C運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點C時，兩點同時停止運動．若設(shè)運動時間為．(1)直接寫出：____________；（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，四邊形為平行四邊形？【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的值和點Q的速度是，點P的速度是，直接用t表示出的值；（2）四邊形是平行四邊形，則需，可得方程，再解方程即可；【詳解】（1）解：由題意得，∵，∴，故答案為：，；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】普通幾何問題一般答題思路：①根據(jù)未知量，正確的設(shè)未知數(shù)；②通過圖形獲得定量和變量的等量關(guān)系；②根據(jù)題意列方程求值即可；動點幾何問題一般答題思路：①用含未知數(shù)x的式子表示出已移動的量和關(guān)聯(lián)的量；②根據(jù)面積、周長或移動距離等關(guān)系列方程（構(gòu)建函數(shù)模型）；③根據(jù)點的位置進(jìn)行分類討論。【變式演練】1.如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高cm，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低cm，求每塊墻磚的截面面積．【答案】每塊墻磚的截面面積是．【分析】設(shè)每塊墻磚的長為，寬為y?cm，根據(jù)“三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低”列方程組求解可得．【詳解】解：設(shè)每塊墻磚截面的長為，寬為ycm．根據(jù)題意，得，解得，每塊墻磚的截面面積是．答：每塊墻磚的截面積是．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系列方程組是解題的關(guān)鍵．2.已知：如圖所示，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點后，另外一點也隨之停止運動．(1)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．【答案】(1)1秒后的面積等于(2)的面積不能等于，理由見解析【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，的面積等于6cm2，根據(jù)點P從A點開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向點C以的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解．（2）通過根的判別式即可判定能否達(dá)到．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，則

，整理得：，解得：，∵當(dāng)時，，∴不合題意，答：1秒后的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下∶設(shè)經(jīng)過t秒以后△PBQ面積為，則，整理得：，，所以此方程無解，故的面積不能等于．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“的面積等于”得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）袁隆平，“共和國勛章”獲得者，中國科學(xué)院院士，“中國雜交水稻之父”，一生致力于對水稻的研究，現(xiàn)有A、B兩塊試驗田各30畝，A塊試驗田種植普通水稻，B塊試驗田種植雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的2倍，兩塊試驗田單次共收獲水稻43200千克，求雜交水稻的畝產(chǎn)量是多少千克？【答案】雜交水稻的畝產(chǎn)量為960千克【分析】設(shè)普通水稻畝產(chǎn)量為x千克，則雜交水稻畝產(chǎn)量為千克，根據(jù)共收獲水稻43200千克，列出方程并解出即可．【詳解】解：設(shè)普通水稻畝產(chǎn)量為x千克，則雜交水稻畝產(chǎn)量為千克．根據(jù)題意得，解得．雜交水稻畝產(chǎn)量為千克答：雜交水稻的畝產(chǎn)量為960千克