廣東中考數(shù)學(xué)總結(jié)－代數(shù)部分

廣東中考數(shù)學(xué)總結(jié)一代數(shù)部分

第一章實(shí)數(shù)

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類

「正有理數(shù)

/有理數(shù)，零,有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)1I負(fù)有理數(shù)

正無(wú)理數(shù)］

I無(wú)理數(shù)J1無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

I負(fù)無(wú)理數(shù)J

2、無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來(lái)有四類：

(1)開方開不盡的數(shù)，如V7,吮等；

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率小或化簡(jiǎn)后含有兀的數(shù)，如:+8等；

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函數(shù)，如sin60。等

考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零

的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

2、絕對(duì)值(1)一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值有以下三種情況：

1

a,〃A0

H=<0,a=0

一a,〃Y0

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|K）。零的絕對(duì)值時(shí)

它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a,則a>0；若|a|=-a,則a<0o正數(shù)

大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1

和-1。零沒有倒數(shù)。

考點(diǎn)三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方

根。

正數(shù)a的平方根記做“土布”。

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“后

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

a（a>0）

3、立方根

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方

根）。

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是

2

零。

注意：歸=-%，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

考點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N>0,則2aXio"(其中IWaVlO,n為整數(shù))。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位

為止，所有的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：(1)

精確到那一位；(2)保留幾個(gè)有效數(shù)字。

考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)大小的比較

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述

規(guī)定的三要素缺一不可)。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，

并能靈活運(yùn)用。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>Ooa>b,

a-b=bQa=b,

a-b<0a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，—>1<^a>/?;—=l<^a=b\—<l<^a<b;

bbb

(4)絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù),則同>性|=""

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則標(biāo)>〃0”3

考點(diǎn)六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

1、加法：

3

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的絕對(duì)值相加；

(2)異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去

較小的絕對(duì)值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結(jié)合律。

2、減法：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

(2)n個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0；若n個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘,

積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)

為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法:

(1)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

(2)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)算，力口、

減是一級(jí)運(yùn)算，如果沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不

同級(jí)的運(yùn)算，先算高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)

算。無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算。

1、加法交換律a+b=b+a

2、加法結(jié)合律(〃+Z?)+c=〃+(Z?+c)

3、乘法交換律ab=ba

4

4、乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

5、乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就

先算括號(hào)里面的。

第二章代數(shù)式

1、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)

式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代

數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類:

’單項(xiàng)式

整式＜

有理式多項(xiàng)式

代數(shù)式

分式

、無(wú)理式

考點(diǎn)一、整式的有關(guān)概念

1、概念：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

(1)單項(xiàng)式：像X、7、2/y,這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)

數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次

數(shù)。

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。

(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含

5

有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的

次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做

同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

（4）用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果,

叫做代數(shù)式的值。

注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值

代入。

（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”

代入。

2、運(yùn)算

（1）整式的運(yùn)算法則

整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母

的指數(shù)不變。

去括號(hào)法則：去括號(hào)法則

（括號(hào)前是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不

變號(hào)。

（括號(hào)前是“-把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變

號(hào)。

添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前

面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

（2）整式的乘法：同底數(shù)幕相乘：優(yōu)、屋=優(yōu)』（加，〃都是正整數(shù)）

6

塞的乘方：=a'n\m,〃都是正整數(shù))

積的乘方：3切'=。呀(”都是正整數(shù))

平方差公式：(〃+-Z?)=a2—b2;

完全平方公式：(a+b)2=a2+2aZ?+Z?2,(〃——2〃/7+Z?2

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用

它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù);對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的

積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每

一項(xiàng)，再把所得的積相加。

整式的除法：同底數(shù)塞相除：〃"+優(yōu)=產(chǎn)"(私〃都是正整數(shù)"0)

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)塞分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被

除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得

的商相加。

注意：(1)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的

項(xiàng)數(shù)相同。

(3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)

還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。

(4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開式中，有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

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(6)a°=1(。w0);a"=，(aw0,°為正整數(shù))

ap

(7)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把

所得的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。

考點(diǎn)三、因式分解

1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2-b2-(a+>)(〃-/7);完全平方公式：a1±2ab+b2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(X+〃)(1+/?)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分

解。

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法;

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公

式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

注：分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

考點(diǎn)四、分式

1、分式定義：形如［的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

(1)分式無(wú)意義：B=0時(shí)，分式無(wú)意義；BW0時(shí)，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0,BW0時(shí)，分式的值等于0。

8

（3）分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式

的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

（4）最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分

式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡(jiǎn)分式。

（5）通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)分式相等的同分母

分式的過(guò)程，叫做分式的通分。

（6）最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母所有因式的最高次基的積。

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

（1）小蒜（〃是的整式）；⑵『寂.是'。的整式）

（3）分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符號(hào)，改變

其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

（1）力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分

母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

（2）乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分

子，分母乘以分母。

（3）除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

考點(diǎn)五、二次根式

1、二次根式

式子小（a?0）叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號(hào)“4”；被

開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

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2、最簡(jiǎn)二次根式

若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含

能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟：

(1)如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方根的

性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。

(2)如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開

得盡方的因數(shù)或因式開出來(lái)。

3、同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根

式叫做同類二次根式。

分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。

4、二次根式的性質(zhì)

(1)(V^)2=a(a>0)

(2)=同=

(3)4ab=yl'a?4b(4Z>0,Z?>0)

(4)…

5、(1)運(yùn)算:

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，合并同

類二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a20,b20)。

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(3)二次根式的除法：冷病NO,20)

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡(jiǎn)二次根式。

(2)二次根式混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加

減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào))。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：例1、24a2(x一y)+6b2(y-x)

2、十字相乘法：例2、(1)x4-5x2-36;(2)(x+y)2—4(x+y)-12

二、式的運(yùn)算

巧用公式例5、計(jì)算：-(1+))2

a-ba-b

2、化簡(jiǎn)求值：

例6、先化簡(jiǎn)，再求值:5代—(3-+5無(wú)2)+(4y2+7孫)，其中x=-1y=1-V2

3、分式的計(jì)算：例7、化簡(jiǎn)，+(弋”-3)

4、根式計(jì)算例8、已知最簡(jiǎn)二次根式HI和n是同類二次根式,

求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b。

第三章方程(組)

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解,

含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

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3、解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程。

二、等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是

竺才

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果

仍是等式。

考點(diǎn)一、一元一次方程的概念

1、一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次

方程，其中方程ox+b=0（x為未知數(shù)，awO）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a

是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是

已知數(shù)，aWO）

（2）一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已

知數(shù)，aWO）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同

類項(xiàng)和系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

考點(diǎn)二、一元二次方程

1、一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方

程。

2、一元二次方程的一般形式

at+bx+c-0（〃w0）9它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)X的二次多

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項(xiàng)式，等式右邊是零，其中?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一

次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

考點(diǎn)三、一元二次方程的解法

如果方程加+bx+c-0(戶0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是孫X9那么X]+x=，XX=-o

22ax2a

也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的

一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以

二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

1、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方

法。直接開平方法適用于解形如(x+a)2=〃的一元二次方程。根據(jù)平方根的

定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)2o時(shí)，x+a=±y/~b，x=-ci±4b,當(dāng)b<0

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

2、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而

且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公

式a2+2ab+b2=(a+b)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有

222

x±2bx+b=(x±b)o

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

一般方法。

一元二次方程ax1+bx+c=0("0)的求根公式：

%J±〃2一4ac

2a

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)

13

單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如果沒有要求，一般不

用配方法。

考點(diǎn)四、一元二次方程根的判別式

一元二次方程的根的判別式：、=白-4ac

當(dāng)A>0時(shí)。方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)A=0時(shí)。方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)A<0時(shí)。方程沒有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；

當(dāng)ANo時(shí)=方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

考點(diǎn)五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

若%,%2一元二次方程af+H+C=Q的兩個(gè)根，那么：西+/=-紇

a

c

x-x=—

x2a

以兩個(gè)數(shù)和々為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是：

2

%一（玉+x2）x+x1x2=0

考點(diǎn)六、分式方程

（1）定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解

法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該

舍去；若不等于零，就是原方程的根。

14

（3）檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分

母不為0的就是原方程的根；使得最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，

增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

補(bǔ)、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方

程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。

考點(diǎn)七、二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方

程

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的一個(gè)解。

3、二元一次方程組

一般形式：恰+竽=仿（%,如仇也2c不全為0）

a2x+b2y=c2

兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程

組。

4方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

5、解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無(wú)數(shù)的解。

6、三元一次方程組

由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫

做三元一次方程組。

15

例題:

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)1(x+3)2=2;(2)2%2+3%=1;(3)4(x+3)2=25(x—2>

例2、解下列方程：

(1)必-q(3x-2a+b)=0(x為未知數(shù))；(2)x2+2?x-8?2=0

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

(2)3=，T；(2)"+4=5

1—xx+1xx+2

三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于X的方程：(p-l)x2+2px+p+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求p

的值。

例5、已知a、b是方程1-五%-1=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：

(1)/+/；(2)3

ab

例6、求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方程/7.5=0的兩個(gè)

根小3

三、方程組

例7、解下列方程組：

fx+y-2z=1

(1)5+3產(chǎn)3；(2)2-=5

…=5x+y+32=4

列方程(組)解應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn)：

16

一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程(組)；

4、解方程(組)；

5、檢驗(yàn)，作答；注：分式方程一定要寫驗(yàn)證

二、列方程(組)解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問(wèn)題

(1)基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時(shí)間

(2)常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作

總量

(3)注意：工程問(wèn)題常把總工程看作“1”，水池注水問(wèn)題屬于工程

問(wèn)題

2、行程問(wèn)題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程二速度X時(shí)間

(2)常見等量關(guān)系：

相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問(wèn)題(設(shè)甲速度快)：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程-乙走的路程=原來(lái)甲、

乙相距路程

同地不同時(shí)：甲的時(shí)間二乙的時(shí)間-時(shí)間差；甲的路程二乙的路程

3、水中航行問(wèn)題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

17

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長(zhǎng)率問(wèn)題：

常見等量關(guān)系：增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量+增長(zhǎng)的量；增長(zhǎng)的量=原來(lái)的

量X（1+增長(zhǎng)率）；

5、數(shù)字問(wèn)題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的

數(shù)X100

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語(yǔ)言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成

代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后

根據(jù)線段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種

量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的

關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合作5天后，甲組另

有任務(wù)，由乙組再單獨(dú)工作1天就可完成，若單獨(dú)完成這項(xiàng)工程乙組比甲

組多用2天，求甲、乙兩組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾天？

例2、某部隊(duì)奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時(shí)45分后,

因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時(shí)快28千

米，恰好在全程的g處追上甲連。求乙連的行進(jìn)速度及追上甲連的時(shí)間

18

例3、某工廠原計(jì)劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺(tái)支援抗洪，由于

改進(jìn)了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)比原計(jì)劃多50%,結(jié)果提前2天完成任

務(wù)，求改進(jìn)操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺(tái)？

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬(wàn)元，二月份由于種種原因，經(jīng)

營(yíng)不善，銷售額下降10%,以后經(jīng)加強(qiáng)管理，又使月銷售額上升，到四月

份銷售額增加到96萬(wàn)元，求三、四月份平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？

例5、一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%的利息稅,

例如存入一年期100元，到期儲(chǔ)戶納稅后所得到利息的計(jì)算公式為：

稅后利息=1OOx2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%（1-20%）

已知某儲(chǔ)戶存下一筆一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后得到利息是450元，

問(wèn)該儲(chǔ)戶存入了多少本金？

例6、某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40

元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕档统杀?/p>

措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2

件。若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

第四章不等式（組）

考點(diǎn)一、不等式的概念

1、不等式

用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個(gè)不等式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做這個(gè)不等式（組）

的一個(gè)解。

不等式的所有解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

19

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過(guò)程叫做解不等式（組）。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

考點(diǎn)二、不等式基本性質(zhì)

1、（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不改變,

如a>b,c為實(shí)數(shù)=>a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如

a>b,c>0=>ac>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，如

a>b,cVOnacVbc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，一定要養(yǎng)成好的

習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號(hào)方向是否

改變，不能像應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯(cuò)。

2、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>Ooa>b

（2）a-b=O=a=b

（3）a-bVOoaVb

3、（1）a>b>00右

考點(diǎn)三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩

邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當(dāng)不等式的兩邊同乘以（或

20

除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。

3、解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化

為1

考點(diǎn)四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組：

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式

組，叫做一元一次不等式組。

2、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解

為空集。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)1、判斷正誤：1）若a>b,c為實(shí)數(shù),

則ac2>be2;錯(cuò)

（2）若則a>b對(duì)

方法2：特殊值法例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

A、B、ab<0C、-<1D、->1

abbb

方法3：逆向思考法

例5、已知關(guān)于X的不等式（a—2）x>10-a的解集是X>3,求a的值。

列不等式（組）解應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn)：

一、列不等式（組）解應(yīng)用題的一般步驟

21

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出不等關(guān)系，列不等式（組）；

4、解不等式（組）；

5、檢驗(yàn)，作答；

注：方案類題

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系

1、在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成了平面直角坐標(biāo)

系；

2、坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)，都和惟一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a力）

一一對(duì)應(yīng)；其中，a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)坐標(biāo)；

考點(diǎn)二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

3、x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)等于0;y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)等于0；bP（a,b）

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)丕屬壬任何象限；1

4、四個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)具有如下特征：-3-2-101ax

-1

象限橫坐標(biāo)X縱坐標(biāo)y

第一象限正正

第二象限負(fù)正

第三象限負(fù)負(fù)

第四象限正負(fù)

小結(jié)：（1）點(diǎn)P（羽姿-所在的象限橫、縱坐標(biāo)x、y的取值的正負(fù)

22

(2)點(diǎn)P(x,y)所在的數(shù)軸橫、縱坐標(biāo)X、斗省必有一數(shù)為零;

5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(a,6),則

(1)點(diǎn)P至b軸的距離為即(2)點(diǎn)P到

(3)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為PO=

平行直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:

a)在與x軸平行的直線上，所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;

點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)都等于加;

b)在與y軸平行的直線上，所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等;

點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)都等于“

6、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

a)點(diǎn)P(w)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為),即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為

相反數(shù)；

b)點(diǎn)P(w)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為

相反數(shù)；

c)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為月即橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù);

關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

7、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

a)若點(diǎn)P(狐〃)在第一、三象限的角平分線上，則根=人即橫、縱坐

標(biāo)相等；

b)若點(diǎn)P(i)在第二、四象限的角平分線上，貝！=f,即橫、縱

坐標(biāo)互為相反數(shù)；

在第一、三象限的角平分線上在第二、四象限的角平分線上

考點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程

中只能取同一數(shù)值的量。

2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于

x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x

稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。

注:這是課本對(duì)于函數(shù)的定義，在理解與實(shí)際運(yùn)用中我們要注意以下幾點(diǎn):

1、函數(shù)只能描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，多一個(gè)少一個(gè)變量都是不對(duì)的；如:

y=xz中有三個(gè)變量，就不是函數(shù)；y=0中只有一個(gè)變量，也不是函數(shù);

而y=0(x>0)卻是函數(shù)，因?yàn)槔ㄌ?hào)中標(biāo)明了自變量的取值范圍；

2、當(dāng)自變量去每一個(gè)確定的值時(shí)因變量只能取唯一確定的值相對(duì)應(yīng),反之,

當(dāng)因變量取每一個(gè)確定的值時(shí)自變量可以去若干個(gè)值相對(duì)應(yīng);因?yàn)檫@兩

24

個(gè)變量有先變與后變的問(wèn)題，讓后變的先取一個(gè)值，先變的就不一定只

取一個(gè)值；

3、我們只能說(shuō)函數(shù)值是自變量的函數(shù)，或用自變量來(lái)表示函數(shù)值，如：a

是b的函數(shù)就說(shuō)明a是函數(shù)值，b是自變量；用y表示x就說(shuō)明y是自

變量，x是函數(shù)值；任何函數(shù)都要標(biāo)明誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)，不能隨便說(shuō)一個(gè)

解析式是不是函數(shù)，如：

Y=x2,只能說(shuō)y是x的函數(shù)，就不能說(shuō)x是y的函數(shù)；

4、函數(shù)解析式的表示：只有函數(shù)值寫在等號(hào)左邊，含有自變量的式子寫在

等號(hào)右邊；注意不能寫成2y=3x-3或y2=3x-3的形式；

5、任何函數(shù)都包含自變量的取值范圍，如果沒指明說(shuō)明自變量的取值范圍

是任意實(shí)數(shù)。自變量的取值范圍從以下幾個(gè)方面把握：

（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。

3、函數(shù)的圖像

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為

點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的

圖象.

4、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做

解析式。

5、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函

25

數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)

由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。

6、函數(shù)的表示方法

列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易

看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)

之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

考點(diǎn)四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3~10分）

7、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，片0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫

做比例系數(shù).

注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx（k不為零）①k不為零②x指數(shù)為1③

b取零

當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大

y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x

增大y反而減小.

（1）解析式:y=kx（k是常數(shù),后0）

⑵必過(guò)點(diǎn)：（0,0）、（1,k）

（3）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；k<0時(shí)，?圖像經(jīng)過(guò)二、四象限

（4）增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小

⑸傾斜度：陽(yáng)越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

26

一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k^O）,那么y叫做x的一次函數(shù).

當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx,所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函

數(shù).

注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b（k不為零）①k不為零②x指數(shù)為

1③b取任意實(shí)數(shù)

一次函數(shù)丫=1^+6的圖象是經(jīng)過(guò)（0,b）和（-30）兩點(diǎn)的一條直線,

k

我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b（k>b是常數(shù)，kwO）

（2）必過(guò)點(diǎn)：（0,b）和（2，0）

k

（3）走向：k>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限

b>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限

/>°o直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限

b>0也<0

直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限[<0=直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限

b>0b<Q

27

（4）增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.

（5）傾斜度：陽(yáng)越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.

（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

9、一次函數(shù)丫=1^+1）的圖象的畫法.

根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩

點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直

線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0,b）,（-?,0）.

即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).

10、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|

個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）.

11、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a,b為常數(shù)，a#0）的形式,

所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為。時(shí)，求相應(yīng)的

自變量的值.從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)的值.

12、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a,b為常

數(shù)，a彳0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。?/p>

于。時(shí)，求自變量的取值范圍.

13、一次函數(shù)與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函

數(shù)+：的圖象相同.

bb

28

（2）二元一次方程組忖的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)

a2x+b2y=c2

y=--%+々和y=——x+臺(tái)的圖象交點(diǎn).

仇4。2。2

【考點(diǎn)指要】

一次函數(shù)常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起,

以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，解決這類問(wèn)題常用到

分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；為方便大家計(jì)算以及

分析題目，現(xiàn)介紹一些解題過(guò)程中可以運(yùn)用的公式與性質(zhì)，希望大家能反

復(fù)揣摩、理解、運(yùn)用以期熟練地掌握，這樣可以化繁為簡(jiǎn)！這里要強(qiáng)調(diào)的

是以下這些公式。

1、一次函數(shù)解析式的幾種類型

[一般式]y=kx+b[（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）

2.求函數(shù)圖像的k值：匕二紅（（"％）與（%,%）為直線上的兩點(diǎn)）

必—>2-

3.求任意線段長(zhǎng)f）2+（%-為）2（（”％）與（％%）為直角坐標(biāo)系任

意兩點(diǎn)）

4、求任意兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（―，心）

5、若兩條直線了=抬％+仇與尸左2*+。2互相平行，那么瓦=1<2,b#b2

6、若兩條直線y=抬％+。|與尸人2%+九互相垂直，那么k[X]<2=—1

7、將y=kx+b向上平移n個(gè)單位后變成y=kx+b+n；向下平移n個(gè)單位變

成y=kx+b-n

8、將y=kx+b向左平移n個(gè)單位后變成y=k（x+n）+b；將丫=1<*+1）向右

平移n個(gè)單位后變成y=k（x-n）+b（任何圖像的平移都遵循上加下減,

左加右減的規(guī)則）

29

9、y=k1x+b1與y=k？x+b2關(guān)于x軸對(duì)稱，那么瓦+1<2=0、b^b^O

10、若丫=&*+1）1與y=k？x+b2關(guān)于y軸對(duì)稱，那么&+卜2=0、bj=b2

11、同理，y=Kx與y=k?x關(guān)于平行、垂直、平移、對(duì)稱也滿足以上性質(zhì)

12、y=kx+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為二

2Ik|

13、y=kx（k是常數(shù)，k#0）必過(guò)點(diǎn)：（0,0）、（1,k）

14>y=kx+b必過(guò)點(diǎn)：（0,b）和0）

k

考點(diǎn)五、反比例函數(shù)（3?10分）

知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義

一般地，形如y=V（k為常數(shù)，k，0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可

X

以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：

⑴X是自變量，y是X的反比例函數(shù)；

⑵自變量x的取值范圍是x豐0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是y/0;

⑶比例系數(shù)k工。是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；

⑷反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：

①y=&（kH0）,②y=kxT（kH0）,③x.y=k（定值）（kwO）;

X

⑸函數(shù)y=K（k/0）與x=K（kwo）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比

xy

30

例函數(shù)時(shí)，X也是y的反比例函數(shù)。

(k為常數(shù)，k#0)是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時(shí)，y」，就不

X

是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)y=±(kwo)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，

X

因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)

式。

知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)y=&(k/O)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一

X

組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。

知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第

一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比例函數(shù)中自

變量函數(shù)中自變量XN0,函數(shù)值y/0,所以它的圖像與X軸、y軸都沒有

交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

反比例的畫法分三個(gè)步驟：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線。

再作反比例函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①列表時(shí)選取的數(shù)值宜對(duì)稱選??；②列表時(shí)選取的數(shù)值越多，畫的圖

像越精確；

③連線時(shí)，必須根據(jù)自變量大小從左至右(或從右至左)用光滑的曲

線連接，切忌畫成折線；

④畫圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。

知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)

☆關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減

情況，如下表:

31

反比例函

y=-1k/0)

X

數(shù)

k的

k>0k<0

符號(hào)

力，

圖像JL

①X的取值范圍是xwO,y的①X的取值范圍是

取值范圍是yw0XHO,y的取值范圍是

②當(dāng)k〉0時(shí)，函數(shù)圖像的兩yw0

個(gè)分支分別在第一、第三象②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像

性質(zhì)

限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的兩個(gè)分支分別在第

的增大而減小。二、第四象限，在每個(gè)

象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大。

注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)……”否則，籠

統(tǒng)地說(shuō)，當(dāng)k〉。時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。

反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)ky

的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和/

函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。如丫=上在第一、第三象L、

限，則可知k〉o。'/

32

☆反比例函數(shù)y=；(h0)中比例系數(shù)k的絕對(duì)值|k|的幾何意義。

如圖所示，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P(x,y)分別作x軸、y軸的垂線，E、F

分別為垂足，

則網(wǎng)=附=H'H=PF?PE=S矩形.EPF

☆反比例函數(shù)y=&(h0)中，閃越大，雙曲線y=K越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；|k|

XX

越小，雙曲線y=K越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。

X

☆雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形,

對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=-Xo

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(krO)y=—(A#0)

X

圖像直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)的一切實(shí)數(shù)

圖像的位置當(dāng)「＞0時(shí)，在一、三象限;當(dāng)A＞0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)人＜0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)A＜0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)友＞0時(shí),y隨X增大而增大；當(dāng)上＞0時(shí)，夕隨工增大而減?。?/p>

當(dāng)兒＜0時(shí)，y隨工的增大而減小。當(dāng)人＜0時(shí)，y隨％增大而增大。

第七章二次函數(shù)

考點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像

自變量的

解析式圖像(拋物線)

函數(shù)取值范圍

\J%y

(1)一般式:yua^+bx+c

(a#0)

全體￡

(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-mA+n

二次

教

頂點(diǎn)為(m,n)實(shí)

函數(shù)7T

(3)兩根式：2a

y=a(x-x】)(x-X2)與

X軸兩交點(diǎn)：(X],O)(X2,O)a>0a<0

-y>0__-<o

2aa

33

1.定義：一"般地，如果y=a尤2+6尤+c（a,瓦c是常數(shù)，”0）,那么y叫做x的—.

次函數(shù).

2.二次函數(shù)k“2的性質(zhì)

（1）拋物線y=小的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.

（2）函數(shù)y="2的圖像與。的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)空。時(shí)o拋物線開口向上=頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)。＜0時(shí)=拋物線開口向下一頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y=a/（"0）.

3.二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax+bx+c用配方法可化成：y=a（x-4+左的形式，其中

7b74ac-Z72

h=---，k--------?

2a4。

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①尸爾；②股/+左；

③y=a（尤-力）2；@y=?（x-li）2+k;⑤y=ax2+b尤+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)?！?時(shí)，開口向上；當(dāng)。＜0時(shí)，開

口向下；

相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作了=〃.特別地，y軸記作直線30.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，

那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：

y=ax+bx+c=x+[+牝金，???頂點(diǎn)是（-2,當(dāng)上），對(duì)稱軸是直線

\2a）4a2a4〃

34

x---b?

2a

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為丁=《犬-4+人的

形式，得到頂點(diǎn)為（心左），對(duì)稱軸是直線X=〃.

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，

所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物

線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)

無(wú)一失.

9.拋物線y=ax1+bx+c9a,b,c的作用

（l）。決定開口方向及開口大小，這與產(chǎn)爾中的a完全一樣.

（2）6和〃共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)