河南省長(zhǎng)葛市第三實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

2024—2025學(xué)年高二摸底考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的補(bǔ)集，并集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知，所以，所以，故選：D2.已知平面向量，且，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，，且，所以，，故選B.考點(diǎn)：1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量性質(zhì).3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)的分母化成實(shí)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】而的共軛復(fù)數(shù)是故選：B.4.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，則其分位數(shù)與分位數(shù)的和為（）A.144 B.145 C.146 D.147【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋詷颖緮?shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)即67；因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個(gè)數(shù)據(jù)即80.所以25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為.故選：D.5.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A.平均數(shù)為20，方差為4 B.平均數(shù)為11，方差為4C.平均數(shù)為21，方差為8 D.平均數(shù)為20，方差為8【答案】D【解析】【分析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.6.如圖，在中，點(diǎn)，滿足，.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量基本定理可得，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.7.已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，那么的直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法求解.【詳解】如圖(1)為的實(shí)際圖形，圖（2）為的直觀圖.由斜二測(cè)畫法得：，作，則，所以.故選：D8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將條件分子分母同除以，可得關(guān)于式子，代入計(jì)算即可．【詳解】解：由已知．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，針對(duì)正弦余弦的齊次式，轉(zhuǎn)化為正切是常用的方法，是基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.(多選題)在給出的下列幾個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A.若x是實(shí)數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)B.若z是虛數(shù)，則z不是實(shí)數(shù)C.一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零D.－1沒有平方根【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念，判斷選項(xiàng).【詳解】因?qū)崝?shù)是復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)，根據(jù)虛數(shù)的定義可知B正確；因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)要求實(shí)部為零，虛部不為零，故C錯(cuò)；因－1的平方根為±i，故D錯(cuò).故選：ACD10.在中，下列說法正確的是（）A.與共線的單位向量為B.C.若，則為鈍角三角形D.若是等邊三角形，則，的夾角為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)單位向量判斷A；由向量的減法判斷B；由向量的夾角，數(shù)量積的定義判斷C，D即可.【詳解】對(duì)于A，與共線的單位向量為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以且，所以為鈍角，所以C正確；對(duì)于D，若是等邊三角形，則，的夾角為60°，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.若點(diǎn)M，N分別是線段A′A，A′D′的中點(diǎn)，則MN∥BC′B.點(diǎn)C到平面ABC′D′的距離為2C.直線BC與平面ABC′D′所成的角等于D.三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球的表面積為3π【答案】ACD【解析】【分析】直接利用線面夾角的應(yīng)用，異面直線的夾角的應(yīng)用，三棱柱的外接球的半徑的求法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是線段A′A，A′D′的中點(diǎn)，則MN∥AD′，且AD′∥BC′故MN∥BC′，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)C到面ABC′D′的距離為B′C長(zhǎng)度的一半，即h，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：直線BC與平面ABC′D′所成的角即為∠CBC′等于，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半徑r，故其外接球表面積S＝4πr2＝4π3π，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面夾角的應(yīng)用，異面直線的夾角的應(yīng)用，三棱柱的外接球的半徑的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)___________．【答案】12【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系即可得到答案.【詳解】設(shè)方程另一個(gè)根為，由根與系數(shù)的關(guān)系：故答案為：12.13.已知，，，則與的夾角為________.【答案】【解析】【分析】本題先求，，，再根據(jù)化簡(jiǎn)整理得，最后求與的夾角為.【詳解】解：∵，，∴，，，∵，∴整理得：，∴與的夾角為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用數(shù)量積的定義與運(yùn)算求向量的夾角，是基礎(chǔ)題.14.如圖，在三棱錐V-ABC中，，，，，且，，則二面角V-AB-C的余弦值是_________________【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，證明出，，可得出二面角的平面角為，計(jì)算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：，為的中點(diǎn)，則，且，，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)樗?，則二面角的平面角為，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，與的夾角是．（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）（2）利用向量積運(yùn)算來求模，利用向量積為零來求兩向量垂直.【小問1詳解】，；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，整理得，解得．即?dāng)時(shí)，．16.在一個(gè)文藝比賽中，10名專業(yè)人士和10名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評(píng)委對(duì)同一名選手的打分：小組A：45484652474955425145小組B：55367066754968426247（1）如果選擇方差度量每一組評(píng)委打分相似性的量，計(jì)算每組評(píng)委打分的方差；（2）你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個(gè)更像是由專業(yè)人士組成的嗎？【答案】（1）13.4；155.4（2）A組更像是由專業(yè)人士組成的【解析】【分析】（1）根據(jù)題意數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，結(jié)合方差的意義分析判斷.【小問1詳解】記小組A的數(shù)據(jù)依次為，小組B的數(shù)據(jù)依次為，，由題意可得：每組的平均數(shù)分別為：，，每組的方差分別為：，.【小問2詳解】由于專業(yè)人士給分更符合專業(yè)規(guī)則，相似程度更高，由（1）可知，，因而，根據(jù)方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，因此A組更像是由專業(yè)人士組成的．17.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進(jìn)而可求得的面積；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進(jìn)而可求得的正弦值.【小問1詳解】由余弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，解得，所?【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，在三角形中，因?yàn)椋瑒t，所以.18.2021年開始，廣西將推行全新的高考制度，采用“”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在物理、歷史中自選一門（2選1），在政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中自選兩門參加考試（4選2）．由于受疫情影響多地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué)．為了了解高一學(xué)生的選科意向，某學(xué)校對(duì)學(xué)生所選科目進(jìn)行線上檢測(cè)，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)，以組距20分成7組：，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的中位數(shù)；（3）估計(jì)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的平均數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【答案】（1）；（2）中位數(shù)為224；（3）225.6.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求．（2）先估算出中位數(shù)在第幾組數(shù)據(jù)，再列方程即可求解．（3）直接計(jì)算即可.【小問1詳解】解：由，得．【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以中位?shù)在，設(shè)中位數(shù)為x，所以，解得，所以物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的中位數(shù)為224．【小問3詳解】解：這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的平均數(shù)為.19.如圖，在三棱錐中，底面ABC，，，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段PC上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面PAC；（2）當(dāng)平面BDE時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）線面垂直的性質(zhì)有，等腰三角形性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直、面面