安徽省廬巢七校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)第四次聯(lián)考試題理含解析

PAGE15-安徽省廬巢七校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)第四次聯(lián)考試題理（含解析）一、選擇題（60分）.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算集合M，N，再計(jì)算.【詳解】集合，∵，，∴.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集與一元二次不等式的解法，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】對(duì)條件中的式子進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，得到復(fù)數(shù)，從而得到其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由，得所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，復(fù)平面的相關(guān)概念，屬于簡(jiǎn)潔題.3.若向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.． C. D.【答案】C【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算．解答：選項(xiàng)A、．選項(xiàng)B、選項(xiàng)C、，正確．選項(xiàng)D、因?yàn)樗詢上蛄坎黄叫校?.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，，則（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將已知代入正弦定理可得，依據(jù)，由三角形中大邊對(duì)大角可得：，即可求得.【詳解】解：，，由正弦定理得：故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形的邊角大小關(guān)系，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：，.考點(diǎn)：數(shù)列，三角函數(shù)．6.已知，若，則的取值為（）A.2 B.-1或2 C.或2 D.1或2【答案】B【解析】試題分析：由已知：，且，∴或，解得：或.選B.7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后得到的函數(shù)為，則的圖象的一條對(duì)稱軸可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件依據(jù)的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，可得結(jié)論.【詳解】解：的周期為，圖象向右平移個(gè)周期后得到的函數(shù)為，則，由，，得，，取，得為其中一條對(duì)稱軸.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查的圖像變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖像的對(duì)稱性.8.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則正實(shí)數(shù)的最大值為（）．A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得正實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以，求得0<則正實(shí)數(shù)的最大值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，解答此類問題時(shí)可利用區(qū)間之間的包含關(guān)系求解.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（）．A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)圖象確定周期從而可得的值，再由特別值取到的值即可求出函數(shù)解析式，最終將代入可得答案.【詳解】由圖象知最小正周期故又因?yàn)闀r(shí)，，即，可得，所以，則故選：C【點(diǎn)睛】依據(jù)三角函數(shù)圖象確定解析式是高考中的高頻考點(diǎn)，解答此類問題通常從周期、特別點(diǎn)取值以及最大值最小值等方面入手.10.定義在上的偶函數(shù)滿意，對(duì)且，都有，則有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椋?，及是周期為的函?shù)，結(jié)合是偶函數(shù)可得，，再由且，得在上遞增，因此，即，故選A．考點(diǎn)：1、函數(shù)的周期性；2、奇偶性與單調(diào)性的綜合．11.函數(shù)在的圖像大致是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷奇偶性，然后通過計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在特別點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)來推斷相應(yīng)結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，所以是偶函數(shù)，解除A、C；又因?yàn)椋?，所以時(shí)對(duì)應(yīng)的切線斜率大于零，所以解除D，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的辨別，難度一般.辨別函數(shù)圖象一般可通過奇偶性、單調(diào)性、特別點(diǎn)位置、導(dǎo)數(shù)值正負(fù)對(duì)應(yīng)的切線斜率改變等來推斷.12.已知，，直線與函數(shù)，的圖象都相切，且與圖象的切點(diǎn)為，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,再依據(jù)點(diǎn)斜式方程得切線方程,最終依據(jù)判別式為零得結(jié)果.【詳解】，直線是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線，其斜率為（1），直線的方程為．又因?yàn)橹本€與的圖象相切，，消去，可得，得△不合題意，舍去），故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查直線和曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.二、填空題（20分）.13.已知扇形的周長為，當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形圓心角弧度為_______．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)扇形弧長與半徑的關(guān)系，建立等式，然后依據(jù)面積公式轉(zhuǎn)化成關(guān)于r的二次函數(shù)，通過解二次函數(shù)最值即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)樯刃蔚闹荛L為20，所以，即則扇形的面積為所以當(dāng)半徑時(shí)，扇形的面積最大為25，此時(shí)，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查扇形相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)利用二次函數(shù)性質(zhì)，難度較易.14.已知向量，．若，則與夾角為_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合，可以求出的值，再依據(jù)平面對(duì)量夾角公式求出與的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因此，設(shè)與的夾角為，因此有，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量夾角公式，考查了平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，考查了平面對(duì)量垂直的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.15.是定義在上的奇函數(shù)，滿意，當(dāng)時(shí)，，則________．【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性求解函數(shù)值即可.【詳解】由題可知，是定義在上的奇函數(shù)，滿意，則，即是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且是定義在上的奇函數(shù)又，且，則，故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)周期性的考查是高考高頻考點(diǎn)，常常與奇偶性結(jié)合進(jìn)行綜合考查，解答此類問題時(shí)留意自變量的取值范圍.16.已知關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】用表示，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的范圍確定的范圍.【詳解】將方程等價(jià)變換，得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題利用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)換思想以及二次函數(shù)性質(zhì)與三角函數(shù)范圍即可求解，難度較易.三、解答題.17.已知向量，，（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（1）-2（2）5【解析】【分析】（1）依據(jù)向量平行條件以及向量坐標(biāo)，得到等式即可求解;（2）依據(jù)向量的垂直條件以及向量坐標(biāo)，得到等式即可求解.【詳解】（1）．（2），又，．【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量坐標(biāo)平行與垂直的公式運(yùn)算，難度較易.18.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）依據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.19.已知向量，其中.（1）若，求角的大??；（2）若，求的值.【答案】（1）或；

（2）.【解析】【分析】（1）由，得，運(yùn)算可得，再結(jié)合，求即可；（2）由向量模的運(yùn)算可得，再等式兩邊同時(shí)除以，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：（1）由，得，即，即，因?yàn)?，所以，所以或，解得或．?）由題得，由，得，即，整理得，因?yàn)?，所以，等式兩邊同時(shí)除以得，，即，解得或，因?yàn)?，所以，故．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算及三角函數(shù)中知值求角問題，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，屬中檔題.20.已知a為常數(shù)，是奇函數(shù)．（1）求a的值，并求出的定義域；（2）解不等式．【答案】（1）（1，1）；（2）（1，）．【解析】試題分析：（1）依據(jù)奇函數(shù)定義得恒等式，化簡(jiǎn)得恒成立，即可求解；（2）分式不等式求解時(shí)留意轉(zhuǎn)化為一邊為零的分式不等式求解，切記兩邊同乘以一個(gè)式子要分析符號(hào)．試題解析：（1），∵是奇函數(shù)，∴．即．∴．．∴a2或a0．經(jīng)檢驗(yàn)，a0不合題意；a2時(shí)，是奇函數(shù)．綜上所述，a2．由，得1x1．∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）．（2），即．∴．∴1x．∴原不等式的解集為（1，）．點(diǎn)睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式中的參數(shù)，主要是利用定義式，轉(zhuǎn)化為恒等式成立問題，再來探討函數(shù)中參數(shù)的值，特別化可探求參數(shù)的值但須要檢驗(yàn)，一般奇函數(shù)可考慮，定義域中明顯含有0時(shí)，否則運(yùn)用定義求值．21.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值時(shí)的集合；（2）令，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）最小正周期是，最小值為．此時(shí)的集合為．（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，得到最小正周期，再依據(jù)正弦函數(shù)的值域求得的最小值以及此時(shí)x的集合；（2）由題意求得，依據(jù)的范圍進(jìn)而求得的范圍，由此求得最大值為，依據(jù)題意，，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1），其最小正周期是，又當(dāng)，即時(shí)，∴函數(shù)的最小值為．此時(shí)的集合為．（2）．由得，則，．若對(duì)于恒成立，則．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的簡(jiǎn)潔化簡(jiǎn)、相應(yīng)性質(zhì)以及求參數(shù)的取值范圍，難度一般.22.已知函數(shù)f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）設(shè)g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，探討g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)有唯一解.【答案】（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增（Ⅱ）見解析【解析】【詳解】（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞）g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）所以g'（x）＝2－當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增（Ⅱ）由f'（x）＝2（x－1－lnx－a）＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ（x）＝－2xlnx＋x2－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）2＝（1＋lnx）2－2xlnx則Φ（1）＝1＞0，Φ（e）＝2（2－e）＜0于是存在x0∈（1，e），使得Φ（x0）＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）由u'（x）＝1－≥0知，函數(shù)u（x）在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增故0＝u（1）＜a0＝u（x0）＜u（e）＝e－2＜1即a0∈（0，1）當(dāng)a＝a0時(shí)，有f'（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0再由（Ⅰ）知，f'（x）在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f'（x）＜0