2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題四概率與統(tǒng)計專題檢測卷四概率與統(tǒng)計含解析

PAGE專題檢測卷(四)概率與統(tǒng)計(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.(2024·深圳統(tǒng)測)某工廠生產(chǎn)的30個零件編號為01，02，…，19，30，現(xiàn)利用如下隨機(jī)數(shù)表從中抽取5個進(jìn)行檢測.若從表中第1行第5列的數(shù)字起先，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個零件編號為()附：第1行至第2行的隨機(jī)數(shù)表3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A.25 B.23 C.12 D.07解析從隨機(jī)數(shù)表中第1行第5列的數(shù)字起先，從左往右依次兩位兩位地讀取，依次抽取的零件編號分別為07，04，08，23，12，因此抽取的第5個零件編號為12.故選C.答案C2.(2024·天津適應(yīng)性測試)某市為了解全市居民日常用水量的分布狀況，調(diào)查了一些居民某年的月均用水量(m3)，其頻率分布表和頻率分布直方圖如下，則圖中t的值為()分組頻數(shù)頻率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)15a[1.5，2)220.22[2，2.5)m0.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5]20.02合計1001.00A.0.15 B.0.075 C.0.3 D.15解析由表格數(shù)據(jù)可得t＝15÷100÷0.5＝0.3.故選C.答案C3.(2024·河南六市模擬)五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)建的哲學(xué)思想，是華夏文明的重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從這五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析從金、木、水、火、土五類元素中任取兩類，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有木火、火土、水木、金水、土金，共5種結(jié)果，所以兩類元素相生的概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故選D.答案D4.(2024·煙臺調(diào)研)山東煙臺的蘋果因“果形端正、色澤明麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺的蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位：mm)聽從正態(tài)分布N(80，52)，則直徑在(75，90]內(nèi)的概率為()[附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544]A.0.6826 B.0.8413C.0.8185 D.0.9544解析由題意，知μ＝80，σ＝5，則P(75<X≤85)＝0.6826，P(70<X≤90)＝0.9544，∴P(85<X≤90)＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359，∴P(75<X≤90)＝0.6826＋0.1359＝0.8185.故直徑在(75，90]內(nèi)的概率為0.8185.故選C.答案C5.甲、乙兩人參與“社會主義核心價值觀”學(xué)問競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,12)解析依據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12)，故選D.答案D6.(2024·杭州一模)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pb－aba則D(ξ)的最大值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.不是定值解析由題意得b－a＋b＋a＝1，解得b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)))，則E(ξ2)＝eq\f(1,2)＋4a，[E(ξ)]2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2a))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋2a＋4a2，則D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝－4a2＋2a＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)))，則當(dāng)a＝eq\f(1,4)時，D(ξ)的最大值為eq\f(1,2)，故選B.答案B7.(2024·海南診斷)右圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的釘子，釘子之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃∏驈纳戏降耐ǖ揽诼湎潞?，將與層層釘子碰撞，最終掉入下方的某一個球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會均等，則小球最終落入③號球槽的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(15,64) C.eq\f(5,32) D.eq\f(5,16)解析由題意知小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會均等，所以p左＝p右＝eq\f(1,2).若小球最終落入③號球槽，則小球經(jīng)驗了5次選擇，其中向左下落3次，向右下落2次，所以小球最終落入③號球槽的概率p＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,16).故選D.答案D8.(2024·陜西百校聯(lián)盟聯(lián)考)“沉魚、落雁、閉月、羞花”是由精彩故事組成的歷史典故.“沉魚”，講的是西施浣紗的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“閉月”，是述說貂蟬拜月的故事；“羞花”，談的是楊貴妃醉酒觀花時的故事.她們分別是中國古代的四大美女.某藝術(shù)團(tuán)要以四大美女為主題排演一部舞蹈劇，甲、乙、丙、丁四人抽簽確定扮演的對象，則甲不扮演貂蟬且乙不扮演楊貴妃的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(7,12) C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,2)解析依題意，全部的扮演狀況有Aeq\o\al(4,4)＝24種，其中甲不扮演貂蟬且乙不扮演楊貴妃的狀況有Aeq\o\al(3,3)＋2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝14種，故所求概率p＝eq\f(14,24)＝eq\f(7,12).故選B.答案B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.設(shè)同時拋擲兩個質(zhì)地勻稱且四個面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次.記事務(wù)A＝{第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}；事務(wù)B＝{其次個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)}；事務(wù)C＝{兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時出現(xiàn)偶數(shù)}.則下列說法正確的有()A.P(A)＝P(B)＝P(C)B.P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C.P(ABC)＝eq\f(1,8)D.P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)解析由題意可知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，故A，D正確；P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(BC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，故B正確；因為互斥事務(wù)不行能同時發(fā)生，所以P(ABC)＝0，故C錯誤.故選ABD.答案ABD10.(2024·北京模擬)在統(tǒng)計中，由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法得到兩個變量的回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么下面說法正確的是()A.直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個B.直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必經(jīng)過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C.直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))表示接近y與x之間真實關(guān)系的一條直線D.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小解析回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是由很多樣本點(diǎn)擬合而成的，它可以不經(jīng)過任何樣本點(diǎn)，故A錯誤；回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點(diǎn)的中心，即點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，故B正確；回來直線的方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是采納最小二乘法求出的直線方程，接近真實關(guān)系，故C正確；相關(guān)系數(shù)r的肯定值越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，相關(guān)程度越小，故D正確.選BCD.答案BCD11.(2024·濟(jì)寧質(zhì)檢)小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間(分)隨交通堵塞狀況有所改變，其概率分布如下表：所需時間/分30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1下列說法正確的是()A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事務(wù)B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)約時間C.假如要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)當(dāng)走線路一D.若小張上下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事務(wù)，A錯誤；線路一所需的平均時間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分)，線路二所需的平均時間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分)，所以線路一比線路二更節(jié)約時間，B正確；線路一所需時間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時間小于45分鐘的概率為0.8，假如要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)當(dāng)選線路二，C錯誤；若上下班走不同線路，且所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二所需時間可以為(50，60)，(60，50)，(60，60)三種狀況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正確.故選BD.答案BD12.(2024·海南新高考診斷)如圖的曲線圖是2024年1月25日至2024年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，則下列推斷正確的是()A.1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了eq\f(1,3)B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率解析1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例為eq\f(32,87)>eq\f(1,3)，故A正確.由曲線圖可知，1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢，故B正確.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了213－116＝97(例)，故C正確.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例增長率eq\f(98－88,88)＝eq\f(5,44)，2月6日到2月8日西安市新冠肺炎累計確診病例增長率eq\f(88－74,74)＝eq\f(7,37)，明顯eq\f(7,37)>eq\f(5,44)，故D錯誤.故選ABC.答案ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知某市A社區(qū)36歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人.為了解該社區(qū)36歲到65歲居民的身體健康狀況，社會負(fù)責(zé)人采納分層抽樣的方法抽取若干人進(jìn)行體檢調(diào)查.若從46歲至55歲的居民中隨機(jī)抽取了50人，則這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是________.解析抽取比例為750÷50＝15，則抽取總?cè)藬?shù)為(450＋750＋900)÷15＝2100÷15＝140.答案14014.下表是某工廠1～4月份的用水量(單位：百噸).月份x1234用水量y5.543.53由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.4x＋b，則b＝________.解析依據(jù)表中數(shù)據(jù)得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(1＋2＋3＋4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(5.5＋4＋3.5＋3)＝4，點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在直線y＝－0.4x＋b上，代入得4＝－0.4×2.5＋b，解得b＝5.答案515.(2024·天津適應(yīng)性測試)已知某同學(xué)投籃投中的概率為eq\f(2,3)，現(xiàn)該同學(xué)要投籃3次，且每次投籃結(jié)果相互獨(dú)立，則恰投中2次的概率為________；記X為該同學(xué)在這3次投籃中投中的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為______.(本小題第一空2分，其次空3分)解析由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以恰好投中2次的概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.答案eq\f(4,9)216.(2024·安徽皖南八校聯(lián)考)《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為________.解析視察八卦圖可知，含三根陰線的共有一卦，含有三根陽線的共有一卦，含有兩根陰線一根陽線的共有三卦，含有一根陰線兩根陽線的共有三卦，故從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線恰好有兩根陽線，四根陰線的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,14).答案eq\f(3,14)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)(2024·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品，B級品，C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為確定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？解(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為eq\f(40,100)＝0.4；乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為eq\f(28,100)＝0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為eq\f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300－70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為eq\f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10.比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).18.(本小題滿分12分)(2024·濟(jì)南模擬)下面給出了依據(jù)我國2012～2024年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回來方程的殘差圖.(2012～2024年的年份代碼x分別為1～7)(1)依據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；(2)依據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝1074，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi＝4517，求y關(guān)于x的線性回來方程；(3)依據(jù)線性回來方程的殘差圖，分析線性回來方程的擬合效果.(精確到0.01)附：回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)的分布整體上在一條直線旁邊，且當(dāng)x由小變大時，y也由小變大，所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān).(2)由題意可知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(1074,7)，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(4517－7×4×\f(1074,7),140－7×42)＝eq\f(221,28)≈7.89，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1074,7)－eq\f(221,28)×4≈121.86，∴y關(guān)于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝7.89x＋121.86.(3)由殘差圖可以看出，圖中各點(diǎn)比較勻稱地分布在數(shù)值0所在直線旁邊，帶狀區(qū)域很窄，說明對應(yīng)的回來直線擬合效果較好.19.(本小題滿分12分)(2024·全國Ⅲ卷)某學(xué)生愛好小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園熬煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：熬煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表，推斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值為eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228依據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測值k＝eq\f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).20.(本小題滿分12分)(2024·沈陽一監(jiān))在2024年女排世界杯中，中國女子排球隊以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績勝利奪冠，為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球競賽采納5局3勝制，前4局競賽采納25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局(第5局)采納15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝.在每局競賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分.現(xiàn)有甲、乙兩隊進(jìn)行排球競賽：(1)若前3局競賽中甲已經(jīng)贏2局，乙贏1局.接下來兩隊贏得每局競賽的概率均為eq\f(1,2)，求甲隊最終贏得整場競賽的概率；(2)若前4局競賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏2局競賽.在決勝局(第5局)中，兩隊當(dāng)前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一球的發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為eq\f(2,5)，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為eq\f(3,5)，得分者獲得下一個球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊打了x(x≤4)個球后甲贏得整場競賽，求x的取值及相應(yīng)的概率P(x).解(1)甲隊最終贏得整場競賽的狀況為第4局贏或第4局輸?shù)?局贏，所以甲隊最終贏得整場競賽的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).(2)在決勝局(第5局)中，因為甲、乙兩隊各得14分，兩隊打了x(x≤4)個球后，若甲贏得競賽，則有兩種狀況：①x＝2，即甲發(fā)球且甲贏，甲得1分，甲再發(fā)球且甲贏，甲又得1分，結(jié)束競賽，概率為eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)，所以兩隊打了2個球后甲贏得整場競賽的概率為eq\f(4,25).②x＝4，即甲發(fā)球且甲贏，甲得1分，甲再發(fā)球且甲輸，乙得1分，乙發(fā)球甲贏，甲得1分，甲發(fā)球且甲贏，甲又得1分，結(jié)束競賽，概率為eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(36,625)；或甲發(fā)球且甲輸，乙得1分，乙發(fā)球甲贏，甲得1分，甲發(fā)球且甲贏，甲得1分，甲再發(fā)球且甲贏，甲又得1分，結(jié)束競賽，概率為eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(36,625).所以兩隊打了4個球后甲贏得整場競賽的概率為eq\f(36,625)＋eq\f(36,625)＝eq\f(72,625).21.(本小題滿分12分)(2024·煙臺診斷)推動垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必定選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié).為了解居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制成頻數(shù)分布表，如下：得分[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男性人數(shù)40901201301106030女性人數(shù)2050801101004020(1)從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測試，試估計其得分不低于60分的概率；(2)從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，依據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，共抽取10人，連同n(n∈N*)名男性調(diào)查員一起組成3個環(huán)保宣揚(yáng)隊.若從這(n＋10)人中隨機(jī)抽取3人作為隊長，且男性隊長人數(shù)ξ的期望不小于2，求n的最小值.解(1)由題表，得問卷得分不低于60分的頻率為eq\f(130＋110＋110＋100＋60＋40＋30＋20,1000)＝0.6，故從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測試，估計其得分不低于60分的概率為0.6.(2)由題意知，分層抽樣抽取的10人中，男性6人，女生4人.隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為0，1，2，3，其中P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,n＋6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,n＋10))，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,n＋6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,n＋10))，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n＋6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,n＋10))，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,n＋6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,n＋10))，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(Ceq\o\al(0,n＋6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,n＋10))eq\f(Ceq\o\al(1,n＋6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,n＋10))eq\f(Ceq\o\al(2,n＋6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,n＋10))eq\f(Ceq\o\al(3,n＋6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,n＋10))因為E(ξ)＝eq\f(Ceq\o\al(0,n＋6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,n＋10))×0＋eq\f(Ceq\o\al(1,n＋6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,n＋10))×1＋eq\f(Ceq\o\al(2,n＋6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,n＋10))×2＋eq\f(Ceq\o\al(3,n＋6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,n＋10))×3≥2，所以Ceq\o\al(1,n＋6)Ceq\o\al(2,4)×1＋Ceq\o\al(2,n＋6)Ceq\o\al(1,4)×2＋Ceq\o\al(3,n＋6)Ceq\o\al(0,4)×3≥2Ceq\o\al(3,n＋10).由此可得，6(n＋6)＋4(n＋6)(n＋5)＋eq\f(1,2)(n＋6)(n＋5)(n＋4)≥eq\f(1,3)(n＋10)(n＋9)(n＋8)，即3(n＋6)(n2＋17n＋72)≥2(n＋10)(n＋9)(n＋8)，即3(n＋6)≥2(n＋10)，解得n≥2.所以n的最小值為2.22.(本小題滿分12分)(2024·鄭州一預(yù))水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放親密相關(guān).某工廠深化貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0<p<1).經(jīng)化驗檢測，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可干脆排放；若不達(dá)標(biāo)則必需進(jìn)入B系統(tǒng)處理后干脆排放.某廠現(xiàn)有4個標(biāo)準(zhǔn)水量的A級水池，分別取樣、檢測.多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，又可以將若干個樣本混合在一起化驗.混