專題25 函數(shù)與線段問題-（全國通 用）（原卷版）

專題25函數(shù)與線段問題考向1距離最值問題【母題來源】2021年中考四川省綿陽卷【母題題文】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x的圖象交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)恰好為a．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒5和25個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，以PQ為對(duì)角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標(biāo)軸平行．（1）求a的值及t＝1秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，求時(shí)間t的取值范圍；（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點(diǎn)R，作關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為R′，當(dāng)點(diǎn)M恰在拋物線上時(shí)，求R′M長度的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)．【答案】（1）由題意知，交點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a=?拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+2，當(dāng)t＝1秒時(shí)，OP=5則x2解得x=1y=?2∴P的坐標(biāo)為（1，﹣2）；（2）經(jīng)過t秒后，OP=5t，OQ＝25由（1）方法知，P的坐標(biāo)為（t，﹣2t），Q的坐標(biāo)為（2t，﹣4t），由矩形PMQN的鄰邊與坐標(biāo)軸平行可知，M的坐標(biāo)為（2t，﹣2t），N的坐標(biāo)為（t，﹣4t），矩形PMQN在沿著射線OB移動(dòng)的過程中，點(diǎn)M與拋物線最先相交，如圖1，然后公共點(diǎn)變?yōu)?個(gè)，點(diǎn)N與拋物線最后相離，然后漸行漸遠(yuǎn)，如圖2，將M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t=1將N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+3或t＝1?所以，當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，時(shí)間t的取值范圍是：12≤t≤1（3）設(shè)R（m，n），則R關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R'（﹣m，﹣n），當(dāng)點(diǎn)M恰好在拋物線上時(shí)，M坐標(biāo)為（1，﹣1），過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點(diǎn)S，如圖3，則R'M=M又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M==(3?n)+(n?1當(dāng)n=32時(shí)，R'M長度的最小值為此時(shí)，n＝﹣m2﹣2m+2=32，解得：m＝﹣1±∴點(diǎn)R的坐標(biāo)是（﹣1±62，3【試題解析】（1）將A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得拋物線解析式，當(dāng)t＝1秒時(shí)，OP=5（2）經(jīng)過t秒后，OP=5t，OQ＝25t，得出P的坐標(biāo)為（1，﹣2t），Q的坐標(biāo)為（2t，﹣4t），進(jìn)而得出M的坐標(biāo)為（2t，﹣2t），N的坐標(biāo)為（t，﹣4t），將M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，將N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2（3）設(shè)R（m，n），則R關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R'（﹣m，﹣n），當(dāng)點(diǎn)M恰好在拋物線上時(shí)，M坐標(biāo)為（1，﹣1），過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點(diǎn)S，如圖3，利用勾股定理可得R'M=(m+1)2+(n?【命題意圖】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】距離問題（1）點(diǎn)到直線的距離：如圖，點(diǎn)P到直線l的距離，可線求出△PAB的面積，則該三角形AB邊上的高線就是點(diǎn)P到直線l的距離．（2）點(diǎn)到點(diǎn)的距離（線段長度）：=1\*GB3①若點(diǎn)，，則；=2\*GB3②若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)點(diǎn)，，則，當(dāng)點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)相同時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)相同時(shí)，．考向2距離相等問題【母題來源】2021年中考廣西桂林卷【母題題文】如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點(diǎn)A（﹣1，5）和點(diǎn)B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)PBPA（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）∵拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點(diǎn)A（﹣1，5），∴5＝﹣20a，∴a=?∴拋物線的解析式為y=?令y＝0，則?1∴C（3，0），當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y=?∴B（﹣5，2），∴m＝2．（2）設(shè)P（t，0），則有(t整理得，21t2+242t+621＝0，解得t=?277經(jīng)檢驗(yàn)t=?277∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（?277，0）或（（3）存在．連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為T．①當(dāng)直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)T時(shí)，滿足條件．∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，∴T（﹣3，72∴直線CT的解析式為y=?712由y=?712x∴M（?113，②CM′∥AB時(shí)，滿足條件，∵直線AB的解析式為y=34x∴直線CM′的解析式為y=34x由y=34x?∴M′（﹣9，﹣9），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為?11【試題解析】（（1）利用待定系數(shù)法求解即可．（2）設(shè)P（t，0），則有(t（3）存在．連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為T．分兩種情形：①當(dāng)直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)T時(shí)，滿足條件．②CM′∥AB時(shí)，滿足條件．根據(jù)方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【命題意圖】代數(shù)幾何綜合題；推理能力．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，是解答的關(guān)鍵．1．（2021?山東棗莊模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是頂點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交線段AB于點(diǎn)E，且S△ACE：S△CEB＝3：5．（1）求拋物線的解析式及直線CE的解析式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)H（0，4582．（2021?四川江油市二模）如圖1，拋物線y=?（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，作PQ⊥BC于Q，當(dāng)PQ的長度最大時(shí)，在線段BC上找一點(diǎn)M（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），使PM+23BM的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及PM3．（2021?山東淄博一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)