2024-2025學年高中數學第五章數列測評課后習題含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE第五章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.一個各項均正的等比數列,其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和,則公比q=()A.32 B.C.5-12解析由題意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=5-12(負值舍去),答案C2.等比數列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的兩根,則a4等于()A.8 B.-8C.±8 D.以上選項都不對解析∵a2+a6=34,a2·a6=64,∴a42=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q為公比),∴a4=答案A3.(2024全國Ⅱ卷)北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊解析由題意可知,從上到下,從內到外,每環(huán)的扇面形石板數構成以9為首項,9為公差的等差數列,設為{an}.設上層有n環(huán),則上層扇面形石板總數為Sn,中層扇面形石板總數為S2n-Sn,下層扇面形石板總數為S3n-S2n,三層扇面形石板總數為S3n.因為{an}為等差數列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等差數列,公差為9n2.因為下層比中層多729塊,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×262×9=3402.故選C答案C4.已知等差數列{an}中,a1>0,前n項和是Sn,且S14=S8,則當Sn取得最大值時,n為()A.8 B.9 C.10 D.11解析∵S14=S8,∴a9+a10+a11+a12+a13+a14=3(a11+a12)=0.∵a1>0,∴d<0,∴a11>0,a12<0,∴n=11.答案D5.已知數列{an}滿意a1=1,an+1=an+2n,則a10=()A.1024 B.2048C.1023 D.2047解析因為an+1=an+2n,所以an+1-an=2n,因此a10=a10-a9+a9-a8+…+a2-a1+a1=29+28+…+2+1=1-2101-答案C6.設Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和,S3=a22,且S1,S2,S4成等比數列,則a10=(A.15 B.19 C.21 D.30解析由S3=a22,得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比數列可得S22=S1·S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化簡得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,答案B7.(2024北京卷)在等差數列{an}中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2…an(n=1,2,…),則數列{Tn}()A.有最大項,有最小項B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項D.無最大項,無最小項解析由題意可知,等差數列的公差d=a5-a15-1=-1+95-1=2,則其通項公式為an=a1+(n-留意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<…,且由T5<0可知Ti<0(i≥6,i∈N),由TiTi-1=ai>1(i≥7,i∈N)可知數列{由于a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故數列{Tn}中的正項只有有限項:T2=63,T4=63×15=945.故數列{Tn}中存在最大項,且最大項為T4.故選B.答案B8.設數列{an}滿意an+1=-2an,a1=1,數列{|an|}的前n項和為Sn,則S2021=()A.22021-1 B.22022-2C.22020-1 D.1-22021解析(方法一)由an+1=-2an,可得an+1又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以|an|=|(-2)n-1|=2n-1,所以S2024=1-220211-2=22024(方法二)由an+1=-2an,可得an+1又a1=1,所以an=(-2)n-1,所以S2024=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2024|=(a1+a3+a5+…+a2024)-(a2+a4+a6+…+a2024)=1-410111-4-(-2)(1-41010)1-4=1答案A二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.(2024寧陽第四中學高二期末)等差數列{an}是遞增數列,滿意a7=3a5,前n項和為Sn,下列選擇項正確的是()A.d>0B.a1<0C.當n=5時,Sn最小D.Sn>0時,n的最小值為8解析由題意,設等差數列{an}的公差為d,因為a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.又由等差數列{an}是遞增數列,可知d>0,則a1<0,故A,B正確;因為Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d由n=--7d2nd=72可知,當n=3或n=4時,令Sn=d2n2-7d2n>0,解得n<0或n>7,即Sn>0時,n的最小值為8,故故選ABD.答案ABD10.(2024江蘇高二期末)設d,Sn分別為等差數列{an}的公差與前n項和,若S10=S20,則下列論斷中正確的有()A.當n=15時,Sn取最大值B.當n=30時,Sn=0C.當d>0時,a10+a22>0D.當d<0時,|a10|>|a22|解析因為S10=S20,所以10a1+10×92d=20a1+20×192d,解得a1=-29對選項A,因為無法確定a1和d的正負,所以無法確定Sn是否有最大值,故A錯誤;對選項B,S30=30a1+30×292d=30×-292d+15×29d=0,故B正確.對選項C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2-292d+15d=d>0,故C正確.對選項D,a10=a1+9d=-292d+182d=-11a22=a1+21d=-292d+422d=13因為d<0,所以|a10|=-112d,|a22|=-132|a10|<|a22|,故D錯誤.故選BC.答案BC11.(2024山東濟南高二期中)已知各項均為正項的等比數列{an},a1>1,0<q<1,其前n項和為Sn,下列說法正確的是()A.數列{lnan}為等差數列B.若Sn=Aqn+B,則A+B=0C.Sn·S3n=SD.記Tn=a1·a2·…·an,則數列{Tn}有最大值解析由題可知,an=a1qn-1,Sn=a1對于A,lnan=lna1qn-1=lna1+(n-1)lnq,lnan+1=lna1qn=lna1+nlnq,lnan+1-lnan=lnq,A正確;對于B,Sn=a1(1-qn)又Sn=Aqn+B,則A+B=-a11-q對于C,Sn=a1(1-qn)Sn·S3n=a1S2n=a1S2明顯Sn·S3n≠S2n2對于D,Tn=a1·a2·…·an,由于數列a1>1,0<q<1,故數列為單調遞減數列,總存在從某一項起先使得ak=a1qk-1∈(0,1),故Tk-1=a1·a2·…·ak-1有最大值,故D正確.故選ABD.答案ABD12.(2024山東試驗中學高三月考)記數列{an}的前n項和為Sn,若存在實數H,使得對隨意的n∈N+都有|Sn|<H,則稱數列{an}為“和有界數列”.下列說法正確的是()A.若{an}是等差數列,且公差d=0,則{an}是“和有界數列”B.若{an}是等差數列,且{an}是“和有界數列”,則公差d=0C.若{an}是等比數列,且公比|q|<1,則{an}是“和有界數列”D.若{an}是等比數列,且{an}是“和有界數列”,則{an}的公比|q|<1解析對于AB選項分析如下:若{an}是等差數列,則Sn=na1+n(n-1)d2=d2n對于A選項,當d=0時,Sn=na1,若a1≠0,依據一次函數的性質可知,此時不存在符合題意的H.所以A選項錯誤.對于B選項,{an}是“和有界數列”,而Sn=d2n2+a1-d2n,若d≠0,依據二次函數的性質可知,此時不存在符合題意的H,故d=0.所以B選項正確.對于CD選項分析如下:若{an}是等比數列,則Sn=a1(1-qn)1對于C選項,若|q|<1,則|Sn|=a11-q-a11-q·qn<a11-q+a11-qqn<2a11-q,對于D選項,若{an}是等比數列,且{an}是“和有界數列”,q的取值可能為-1,此時|Sn|≤|a1|,所以存在實數H,使得對隨意的n∈N+,都有|Sn|<H.所以D選項錯誤.故選BC.答案BC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024浙江寧波高二月考)已知{an}是等差數列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數列,且2a1+a2=1,則a1=,d=.

解析由題意,可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有3a1+2d=0,又因為2a1+a2=1,即3a1+d=1,所以d=-1,a1=23答案23-14.(2024吉林長春高三模擬)數列{an}滿意a1=3,且對于隨意的n∈N+,都有an+1-an=n+2,則a39=.

解析因為an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,…an-an-1=n+1(n≥2),上面n-1個式子左右兩邊分別相加,得an-a1=(n即an=(n所以a39=40×412=820答案82015.(2024蘭州市其次中學高二月考)正項數列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=an2+an(n∈N+),設cn=(-1)n·2an+12Sn,則數列{c解析正項數列{an}的前n項和為Sn,2Sn=an2+an(n∈N+則2Sn+1=an+12+an+②-①得2an+1=an+12-an整理得an+1-an=1,當n=1時,2S1=a12+a1,解得a1所以數列{an}是以1為首項,1為公差的等差數列.則an=1+n-1=n,所以Sn=n(則cn=(-1)n2an+12Sn=(-數列{cn}的前2024項的和為T2024=-1+12+12+13+…-12019+12020=-1-1答案-202116.(2024江蘇卷)設{an}是公差為d的等差數列,{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+),則d+q的值是.

解析本題考查等差數列、等比數列的前n項和.由等差數列的前n項和公式和等比數列的前n項和公式得Sn=na1+n(n=d2n2+a1-d2n+-比照已知條件Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.答案4四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)等差數列{an}中,前三項分別為x,2x,5x-4,前n項和為Sn,且Sk=2550.(1)求x和k的值;(2)求T=1S1+1S2解(1)由4x=x+5x-4,得x=2,所以an=2n,Sn=n(n+1),所以k(k+1)=2550,得k=50.(2)因為Sn=n(n+1),所以1S所以T=1-12+12-13+…+1n-1n+1=18.(本小題滿分12分)(2024全國Ⅲ卷)設數列{an}滿意a1=3,an+1=3an-4n.(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;(2)求數列{2nan}的前n項和Sn.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因為a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①從而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.19.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=xx+1,數列{an}滿意a1=1,并且an+1=f(an(1)求數列{an}的通項公式;(2)若bn=2n+1an,求數列{bn}的前n項和S解(1)由題意,得an+1=an∴1an+1=a即1an∴數列1an是一個等差數列,公差為1,首項為1a1從而1an=n,∴an=(2)由(1),得bn=2n+1an=2n(n+1∴Sn=b1+b2+…+bn=21-12+12-13+…+1n-1=2n20.(本小題滿分12分)已知數列{an}的通項公式為an=3n-1,在等差數列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數列.(1)求數列{anbn}的通項公式;(2)求數列{anbn}的前n項和Tn.解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差數列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,則b2=5.設等差數列{bn}的公差為d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn>0,∴d=-10應舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1.(2)由(1),知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×3-3n1-3-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-∴Tn=n·3n.21.(本小題滿分12分)(2024上海楊浦高三二模)某地出現了蟲害,農業(yè)科學家引入了“蟲害指數”數列{In},{In}表示第n周的蟲害的嚴峻程度,蟲害指數越大,嚴峻程度越高,為了治理蟲害,須要環(huán)境整治、殺滅害蟲,然而由于人力資源有限,每周只能實行以下兩個策略之一:策略A:環(huán)境整治,“蟲害指數”數列滿意In+1=1.02In-0.20;策略B:殺滅害蟲,“蟲害指數”數列滿意In+1=1.08In-0.46.當某周“蟲害指數”小于1時,危機解除.(1)設第一周的蟲害指數I1∈[1,8],用哪一個策略將使其次周的蟲害嚴峻程度更小?(2)設第一周的蟲害指數I1=3,假如