2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)（講義）（解析版）

第31講圖形的軸對(duì)稱.平移.旋轉(zhuǎn)

目錄

題型07由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式

一、考情分析題型08已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)

題型09與平移有關(guān)的規(guī)律問題

二、知識(shí)建構(gòu)題型10平移的綜合問題

考點(diǎn)一軸對(duì)稱考點(diǎn)三圖形的旋轉(zhuǎn)

題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解題型03根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題題型04畫旋轉(zhuǎn)圖形

題型05折疊問題題型05求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度

類型一三角形折疊問題題型06旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題

類型二四邊形折疊問題題型07求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)

類型三圓的折疊問題題型08求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)900點(diǎn)的坐

類型四拋物線與幾何圖形綜合標(biāo)

題型06求對(duì)稱軸條數(shù)題型09求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)

題型07畫軸對(duì)稱圖形題型10旋轉(zhuǎn)綜合題

題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案類型一線段問題

題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)類型二面積問題

題型10與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問題類型三角度問題

題型11軸對(duì)稱的綜合問題題型11判斷中心對(duì)稱圖形

考點(diǎn)二圖形的平移題型12畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形

題型01生活中的平移現(xiàn)象題型13根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長度、

題型02利用平移的性質(zhì)求解角度

題型03利用平移解決實(shí)際生活問題題型14利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱

題型04作平移圖形設(shè)計(jì)圖案

題型05求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)

題型06由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)

考點(diǎn)

新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

要求

>通過具體實(shí)例理解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形該板塊知識(shí)以考查平面幾

中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.何的三大變換的基本運(yùn)用為

>能畫出簡單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖主，年年都有考查,分值在8-12

軸對(duì)

形.分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考

稱

>理解軸對(duì)稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸還將繼續(xù)考查這些知識(shí)點(diǎn)，考

對(duì)稱性質(zhì).查形式主要有選填題、作圖題、

>認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形.也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn).在三

>通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的種變換中，平移相對(duì)較為簡單，

圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等.多以選擇題形式考察，偶爾也

平移

>認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.會(huì)考察作圖題:對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)則

>運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).難度較大，通常作為選擇、填

>通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì):一個(gè)空題的壓軸題出現(xiàn)，在解答題

圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與中，也會(huì)考察對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的作

旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.圖，以及與特殊幾何圖形結(jié)合

旋轉(zhuǎn)>了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì):成中心對(duì)稱的的綜合壓軸題，此時(shí)常需要結(jié)

兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.合幾何圖形或問題類型去分類

>探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì).討論.

>認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形.

題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷

圖形題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題

定義

軸對(duì)稱與軸題型05折疊問題

對(duì)稱圖形區(qū)別、聯(lián)系類型?三角形折疊問題

類型二四邊形折桂問題

軸性質(zhì)類型三圓的折疊問題

類型四拋物線與幾何圖形綜合

對(duì)判定

題型06求對(duì)稱軸條數(shù)

稱做軸對(duì)稱圖形的一般步驟題型07畫軸對(duì)稱圖形

題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案

折疊的性質(zhì)題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

題型10。軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問題

題型H軸對(duì)稱的綜合問題

形

的題型01生活中的平移現(xiàn)象

題型02利用平移的性質(zhì)求解

軸概念題型03利用平移解決實(shí)際生活問題

題型04作平移圖形

對(duì)

三大要素題型05求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)

稱性質(zhì)題型06山平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)

題型07由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式

作圖步驟題型08已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)

-----------------------------/

'題型09與平移有關(guān)的規(guī)律問題

平題型10平移的綜合問題

移

定義題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

'題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

旋三大要素題型根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等

旋轉(zhuǎn)03

轉(zhuǎn)性質(zhì)題型04畫旋轉(zhuǎn)圖形

題型05求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度

作圖步驟題型06旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題

題型07求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)900點(diǎn)的坐標(biāo)

中心對(duì)稱與中——:——題型08求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)

心為T稱圖形定義題型09求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)

旋題型10旋轉(zhuǎn)綜合題

區(qū)別、聯(lián)系類型一線段問題

轉(zhuǎn)類型二面積問題

中心對(duì)稱的性質(zhì)類型二角度問題

作。已知圖形成中心對(duì)稱題型11判斷中心對(duì)稱圖形

的圖形的?般步驟題型12畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形

題型13根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長度、角度

找對(duì)稱中心的方法和步驟題型14利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

考點(diǎn)一軸對(duì)稱

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

圖形A?

A

AL*A*

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

定義夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱

關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.

1）軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形折疊重合.1）軸對(duì)稱圖形是指本身折疊重合.

區(qū)別2）軸對(duì)稱對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上.2）軸對(duì)稱圖形對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上.

3）軸對(duì)稱只有一條對(duì)稱軸.3）軸對(duì)稱圖形至少有一條對(duì)稱軸.

1）定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊重合.

聯(lián)系2）如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過來，如果把軸對(duì)稱

圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分（即看成兩個(gè)圖形），那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.

性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.

2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

判定1）兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

2）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)折重合的折痕線.

常見的軸對(duì)稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.

做軸對(duì)稱圖形的一般步驟：

1）作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟：

①過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足，并延長；

②在延長線上從垂足出發(fā)截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱

點(diǎn).

2）作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟：

①找.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、線與線的交點(diǎn)）

②作.作各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)

③連.按原圖對(duì)應(yīng)連接各對(duì)稱點(diǎn)

折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要

求幾何量相關(guān)的條件量.解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，

分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

易混易錯(cuò)

1.對(duì)稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.

2.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的存在多條對(duì)稱軸（例：正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條

對(duì)稱軸等）.

3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的，一個(gè)軸對(duì)稱圖

形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的.

4.軸對(duì)稱的性質(zhì)是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一，例如:若已知兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成

軸對(duì)稱,則它們的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.

題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

【例1】（2022?江蘇鹽城?校聯(lián)考一模）北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽如圖所示，組成會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱

圖形的是（）

A,<B.BE"N6C.如幺D.

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可

【詳解】A,民C都不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；

D是軸對(duì)稱圖形，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1X2022?廣東深圳?南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義得出答案.如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【詳解】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.此

題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【變式「2】（2022?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形.下面4個(gè)漢字中，可以

看作是軸對(duì)稱圖形的是（）

A山B河C歲,月

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】A.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查判斷軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形的概念是解答的關(guān)鍵.

題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷

【例2】（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖，AABC與AAiBiG，關(guān)于直線MN對(duì)稱，尸為MN上任一點(diǎn)（尸不與

441共線），下列結(jié)論不E碗的是（）

A.AP=&PB.A/IBC與△A/iQ的面積相等

C.MN垂直平分線段A4iD.直線的交點(diǎn)不一定在上

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷，即可得.

【詳解】解：與關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)（尸不與441共線），

：.AP=A1P,△48C與△&B1G的面積相等，MN垂直平分線段

即選項(xiàng)A、B、C正確，

?.?直線28,4/1關(guān)于直線MN對(duì)稱，

直線2B,&Bi的交點(diǎn)一定在MN上,

即選項(xiàng)D不正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

【變式2-1］（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，這條活靈活現(xiàn)的“小魚”是由若干條線段組成的，它是一個(gè)軸

對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線1,則下列結(jié)論不二牢正確的是（）

A.點(diǎn)C和點(diǎn)。到直線2的距離相等B.BC=BD

C.乙CAB=^DABD.四邊形2DBC是菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可，

【詳解】解：圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線Z,點(diǎn)C和點(diǎn)。是對(duì)稱點(diǎn)，

所以A4BC480,點(diǎn)C和點(diǎn)。到直線I的距離相等，

所以BC=BD,4cAB=LDAB,AC=AD,

無法判斷4c與BC是否相等，故四邊形4DBC是菱形不一定正確，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形具有以下的性質(zhì)：

（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形.（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,

那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的

對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上.

【變式2-2］（2019?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）每個(gè)網(wǎng)格中均有兩個(gè)圖形，其中一個(gè)圖形關(guān)于另一個(gè)圖形軸對(duì)

稱的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱定義：如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折能與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條

直線成軸對(duì)稱進(jìn)行分析即可.

【詳解】A、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、其中一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)正確；

C、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱定義.

題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解

【例3】（2021?山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,8。平分/ABC,

交AC于點(diǎn)M.N分別是8。，上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）

【答案】C

【分析】在54上截取構(gòu)造全等三角形△四利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的

最小值.

【詳解】解：如圖，在BA上截取BE=BN,

A

因?yàn)镹ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,

所以NEBM=/NBM,

在4BME馬公BMN中,

BE=BN

乙EBM=LNBM

.BM=BM

所以△BME冬ABMN(SAS),

所以ME=MN.

所以CM+MN=CM+ME>CE.

因?yàn)镃M+MN有最小值.

當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，即C到直線AB的垂線段時(shí)，CE取最小值

此時(shí)，VZABC=60°,CELAB,

：.ZBCE=30°,

1

：.BE=-BC=2,

2

/.CEZBC2-BE2=2四,

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用，最短路徑問題，垂線段最短等知識(shí).易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分

線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤.規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解

是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

【變式3-1](2023?山東棗莊?統(tǒng)考三模)如圖，矩形A8CD中，48=4,BC=2,G是力。的中點(diǎn)，線段EF在

邊48上左右滑動(dòng)；若EF=1,則GE+CF的最小值為.

【答案】3企

【分析】如圖，作G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G,在C。上截取CH=1,然后連接HG交AB于E,在上截取

EF=1,此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFC”是平行四邊形，從而得至！JGH=EG，+E〃=EG+CF,再由勾

股定理求出HG的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，，在CO上截取CH=1,然后連接“G交AB于E,在EB上截

取EQ1,此時(shí)GE+CF的值最小，

:.GE=GE,AG=AG',

?.?四邊形ABCO是矩形，

：.AB//CD,AD=BC=2

J.CH//EF,

\'CH=EF=1,

四邊形EPS是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.GH=EG+EH=EG+CF,

：AB=4,BC=AD=2,G為邊AQ的中點(diǎn)，

：.AG=AG'=1

：.DG'=AD+AG'=2+1=3,￡）8=4-1=3,

：.HG'=y/DH2+DG'2=V32+32=3VL

即GE+CF的最小值為3位.

故答案為：3企

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CE最小時(shí)

E,尸位置是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?山東聊城?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，BC=2,ZC=120°,。為AB的中點(diǎn)，P

為對(duì)角線8。上的任意一點(diǎn)，貝MP+PQ的最小值為.

【答案】V3

【分析】連接AC,CQ,則C。的長即為AP+PQ的最小值，再根據(jù)菱形ABCO中，/80=120。得出NABC

的度數(shù)，進(jìn)而判斷出AABC是等邊三角形，故ABC。是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出C。的長.

【詳解】解：連接AC,CQ,

?.,四邊形ABC。是菱形，

；.A、C關(guān)于直線8￡）對(duì)稱，

：.CQ的長即為4P+P。的最小值，

,/ZBCr）=120°,

ZABC=60°,

△ABC是等邊三角形，

?.?。是A8的中點(diǎn)，

ACQ±AB,B2=|BC=|x2=l,

/.CQ=yjBC2-BQ2=V22-I2=V3.

故答案為：V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2020?新疆烏魯木齊?校考一模）如圖，在矩形A8C。中，BC=10,^ABD=30°,若點(diǎn)M、N

分別是線段43上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝U4M+MN的最小值為.

【答案】15

【分析】如圖，過A作4G1BD于G,延長4G,使4G=EG,過E作EN14B于N,交BD于M,貝！JAM+MN=EN

最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求解EN即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過A作4G1BD于G,延長4G,使4G=EG,過E作EN±AB于N,交BD于M,貝IjAM+MN=

EN最短，

???四邊形力BCD為矩形，BC=10,/,ABD=30°,

???AD=10,BD=20,AB=BD?cos30°=10V3,

AG?BD=AD?AB,

20AG=10X10V3,

AG=5^3,AE=2AG=10V3,

AE1BD,EN1AB,/-EMG=乙BMN,

???乙E=AABD=30°,

???EN=AE?cos30°=10A/3Xy=15,

AM+MN15,

即AM+MN的最小值為15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查利用軸對(duì)稱與垂線段最短求線段和的

最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí).

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題

【例4】（2023?河北廊坊?校考一模）通過光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱（圖1）.在

圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可.

【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK,如下圖所示：

根據(jù)圖形可以看出。B是反射光線，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?陜西咸陽?統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面A8上放一個(gè)平面鏡BC,一束垂直于地面的光

線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡與地面AB所成的銳角a為（）

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算.

【詳解】解：???入射光線垂直于水平光線，

.?.它們的夾角為90。，虛線為法線，41為入射角，

1

Azl=-x90°=45°

2

???zl=z2,42+43=90°

,-.43=90°-41=45°

???兩水平線平行

z.a=z.3=45°

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所

夾的角相等.如圖，a,/?是兩面互相平行的平面鏡，一束光線機(jī)通過鏡面a反射后的光線為小再通過鏡面

“反射后的光線為人.光線機(jī)與鏡面a的夾角的度數(shù)為x。，光線w與光線人的夾角的度數(shù)為y。.則x與y之間

的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】2x+y=180

【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：???入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

...反射后的光線"與鏡面a夾角度數(shù)為x。，

是兩面互相平行的平面鏡，

二反射后的光線力與鏡面/?夾角度數(shù)也為X。，

又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

...反射后的光線上與鏡面6的夾角度數(shù)也為x。，

x°+x°+y°=180°,

???2%+y=180.

故答案為：2x+y=180.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線

平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

題型05折疊問題

類型一三角形折疊問題

【例5】（2023?新疆?統(tǒng)考一模）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如圖，已知三角形紙片4BC,第

1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)次處，折痕4D交BC于點(diǎn)。；第2次折疊使點(diǎn)2落在點(diǎn)。處，折痕MN交4次于

點(diǎn)P.若BC=12,則MP+MN=

第1次折疊第2次折疊

【答案】6

【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得80=DB'=\BB'^WAD1BC,由第二次折疊得到AM=DM,MN1AD,

進(jìn)而得到MN||BC,易得MN是AaDC的中位線，最后由三角形的中位線求解.

【詳解】解：；已知三角形紙片4BC,第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕4D交BC于點(diǎn)D,

：

.BD=DB'=-2BB',AD1BC.

???第2次折疊使點(diǎn)4落在點(diǎn)。處，折痕MN交49于點(diǎn)P,

：.AM=DM.AN=ND,

：.MNLAD,

：.MN||BC.

*：AM=DM,

:?MN是24DC的中位線，

：-1-1

.MP=-2DB',2MN=-DC.

9：BC=12,BD+DC=CB'+2BD=BC,

-ii

：.MP+MN=；DBM”C=I(DB'+DB'+B'C)=-BC=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解

答關(guān)鍵.

【變式5-1](2022.浙江衢州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)。，E,F分別在邊AB,AC,

8c上，BF=4,CF=6,將這張紙片沿直線OE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)廠重合.若DE〃BC,AF=EF,則四邊形

ADFE的面積為.

【答案】5V3

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE為AABC的中位線，利用中位線定理求出的長度，再解RtAACE求出

A下的長度，即可求解.

【詳解】解：；將這張紙片沿直線。E翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，

；.￡)￡；垂直平分AF,AD=DF,AE=EF,/.ADE=^EDF,

"：DE//BC,

：.Z.ADE=LB,4EDF=ABFD,Z.AFC=90°,

Z-B=(BFD,

：.BD=DF,

：.BD=AD,即。為AB的中點(diǎn),

.?.OE為△ABC的中位線,

."E=|BC=5,

\'AF=EF,

...△4EF是等邊三角形,

在RtAZCE中，Z.CAF=60°,CF=6,

?.?"=氤=2百,

.\AG=V3,

，四邊形AOFE的面積為?力Gx2=5^3,

故答案為：5V3.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵?

【變式5-2］（2022.廣東珠海?珠海市文園中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，將三角形紙片ABC沿。E折疊，使點(diǎn)2

落在點(diǎn)B'處，若E2'恰好與BC平行，且48=80°,則NCOE=

【答案】130

【分析】先求出NB=NB，=80。，ZBDE=ZB'DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/夕QC=80。,進(jìn)而得到/刖夕勺。。。,

ZBDE=50°,即可求出/CDE=130°.

【詳解】解：由折疊的定義得NB=/B，=80。，ZBDE=ZB'DE,

'：EB'//BC,

ZB'=ZB'DC=80°,

：.ZBDB,=180°-ZB,DC=100°,

ZBDE=ZB'DE=50°,

ZCDE=1SQ°-ZBDE=130°.

故答案為：130

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)圖形靈活應(yīng)

用是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2020?浙江麗水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=4a,ZB=45°,ZC=60°.

（1）求邊上的高線長.

（2）點(diǎn)E為線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AC上，連結(jié)￡尸，沿E尸將折疊得到

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在8C上時(shí)，求/AEP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)PF_LAC時(shí)，求AP的長.

【答案】（1）4;（2）①90。；②2病

【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作ADLBC于D.解直角三角形求出AD即可.

（2）①證明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解決問題.

②如圖3中，由（1）可知：AC=-^；=—,證明AAEFsaACB,推出竺=些，由此求出AF即可解決

sm60°3ABAC

問題.

【詳解】解：（1）如圖1,過點(diǎn)A作AO_LBC于點(diǎn)。，

在RtAABD中，AD=AB-sin450=4V2Xy=4.

圖1

(2)①如圖2,4AEFmAPEF,

：.AE=EP.

又,：AE=BE,

：.BE=EP,

；.NEPB=NB=45°,

：.ZAEP=90°.

②如圖3,由（1）可知：在RtAADC中，AC=

"：PF±AC,

：.ZPM=90°.

AAEF^APEF,

ZAFE=NPFE=45。,則ZAFE=ZB.

又：/胡/二/。!'

AEAF^ACAB,

.AF_AE日門4尸_2魚

??布=就‘即港=逅'

3

.\AF=2V3,

在RtAAPP中，AF^PF,貝U4尸=7^4尸=2傷.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式5-4］（2023?新疆和田?統(tǒng)考一模）如圖，在A2BC巾，NA8C=30。，力B=4C,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),

點(diǎn)。是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)O,C重合），將△4CD沿A。折疊得至M4ED,連接BE.

備用圖

（1）當(dāng)4E1BC時(shí)，/.AEB=°；

⑵探究乙4“與44。之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)設(shè)AC=4,AACD的面積為x,以AO為邊長的正方形的面積為y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式.

【答案】(1)60

(2)^AEB=30°+Z.CAD

(3)y=(2V3-x)2+4

【分析】(1)首先由折疊的性質(zhì)可得4C=4E=4B,再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

(2)首先由折疊的性質(zhì)可得力E=AC,ACAD=AEAD,再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AE=AB,AABE=

/-AEB,最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；

(3)首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求40的長，由勾股定理可求。。的長，最后根據(jù)

面積和差關(guān)系可求解.

【詳解】⑴：UBB=30。AB=AC,AE1BC,

.-.4BAE=60°,

■.?將44CD沿4D折疊得到A4ED,

??.AC=AE,

???AB=AE,

??.是等邊三角形，

??.AAEB=60°,

故答案為：60；

(2)Z,AEB=30°+zCXZ),理由如下：

???將△4CD沿4。折疊得至必4E0,

AE=AC,Z,CAD=Z.EAD,

???^LABC=30°,AB=AC,

??.Z.BAC=120°,

???乙BAE=120°-2zC^Z),

AB=AE=AC,

???/.AEB=180。-(120。-2"皿=30。aCAD.

2

(3)如圖，連接04

--AB=AC,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

???OA1BC,

■：^ABC=^ACB=30°,AC=4,

???AO=2,OC=2V3,

???OD2=AD2-AO2,

???OD=Jy-4,

S^ADC=|XOCx710-|xODxOX,

[x=&x2x2*\/3——x2xJy—4,

.-,y=(2V3—%)2+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用.

類型二四邊形折疊問題

【例6】（2019?山東荷澤?統(tǒng)考三模）如圖，將。ABCZ）沿對(duì)角線8。折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，交BC于點(diǎn)尸,

若442。=48。，ZCFD=40°,則/石為（）

A.102°B.112°C.122°D.92°

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出/4。8=/2。尸=/。8。，由三角形的外角性質(zhì)求出

ZBDF=ZDBC=^ZDFC=20°,再由三角形內(nèi)角和定理求出NA,即可得到結(jié)果.

【詳解】'：M）//BC,

：./ADB=NDBC,

由折疊可得

ZDBC=ZBDF,

又/QBC=40°,

ZDBC=ZBDF=ZADB=20°,

XVZABD=48O,

AABD中,ZA=180°-20°-48°=112°,

.?.NE=/A=112°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)

用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出NADB的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022?山東棗莊?統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片力BCD中，AD//BC,AB=10,Z.B=60°.將

紙片折疊，使點(diǎn)B落在4。邊上的點(diǎn)G處，折痕為EF.若aBFE=45°,則BF的長為（）

A.5B.3V5C.5V3D.R

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作4H1BC于H,由折疊知識(shí)得：Z.BFG=90°,再由銳角三角函數(shù)可得2”=5g，然后

根據(jù)力D〃BC,可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)A作力H±8。于H,

???LBFE=45°,

.-.乙BFG=90°,

在RtAABH中，AB=10,ZS=60°,

AH=sinBx48=sin60°x10=—x10=573,

2

???AD//BC,

.-./.GAH=Z.AHB=90°,

.-./.GAH=乙AHB=4BFG=90°,

四邊形AH尸G是矩形，

FG=AH=5V3,

???BF=GF=5V3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

【變式6-2］（2022?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，把一張矩形紙片A3。按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到

AECF.若BC=1,則AECP的周長為（）

4

A.V2B?第c%+iD.-

3

【答案】A

【分析】第一次翻折可得OM=V2,EM=1,ZADM=ZEDM=45°,第二次折疊，可得C。=&,EC=2一1,

由N￡）CN=45。，可得EF=V2-1,則CF=2-五,再求AECF的周長即可.

【詳解】如圖，

???BC=1,

???AD=AM=DE=1,

???DM=V2,

由折疊的性質(zhì)，^ADM=Z.EDM=45°,

EM=1,

第二次折疊，如圖③，CN=BC=1,ADNC=90°,

DN=1,

???CD=V2,

???EC=V2-1,

v乙DCN=45°,

???EF=42-1,

：.CF=2-42,

：.AECF的周長=A/2-1+V2-1+2-V2=V2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)兩次翻折求出NEZ）M=45。是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2021?廣東深圳?校聯(lián)考一模）如圖所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)。，。分別落在

C'的位置.若乙4ED'=50°,貝I|NEFC等于（）

A.65°B.110°C.115°D.130°

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可得NO'EF=乙DEF="DED，,因?yàn)橐?ED=50°,結(jié)合平角可求得，力EF=

Z.DEF=三乙DED'=65°,再結(jié)合平行可求得/EFC=180°-Z.DEF=115°.

【詳解】解：UED'=50°,

???4DED，=180°-Z.AED'=180°-50°=130°,

???長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)。、C分別落在〃、C'的位置，

??.REF=〃EFE〃ED'EX130°=65。，

\'AD\\BC,

."EFC=180°-/.DEF=115°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-4］（2022?河南鄭州?一模）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，

在團(tuán)力BCD中，BELAD,垂足為E,F為CD的中點(diǎn)，連接EF,BF,試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將回4BCD沿著BF（尸為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)

C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接DC'并延長交4B于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷4G與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將團(tuán)4BCD沿過點(diǎn)8的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,使AB1CD

于點(diǎn)H,折痕交4。于點(diǎn)M,連接AM,交CD于點(diǎn)N.該小組提出一個(gè)問題：若此回力BCD的面積為20,邊長

AB=5,BC=2V5,求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

【分析】（1）如圖，分別延長4D,BF相交于點(diǎn)P,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得4D〃BC,根據(jù)平行線的性

質(zhì)可得/PDF=NC,NP=乙FBC,利用A4S可證明△PDF冬ABCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FP=FB,

根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EF=|BP,即可得EF=BF；

（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得/。尸2=/。咒8=/。尸。，F(xiàn)C=FC,可得陽=FO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZFDC'=ZFC'D,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得/CFC=/FD0+/尸C7）,即可得出尸?？傻?/p>

DG//FB,即可證明四邊形AGBB是平行四邊形，可得可得AG=8G；

（3）如圖，過點(diǎn)M作于。，根據(jù)平行四邊形的面積可求出出/的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得4B=AB,

ZA=ZA\根據(jù)4B1CD可得A5LW,即可證明△是等腰直角三角形，可得MQ=BQ,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/A=/C,即可得/A，=/C,進(jìn)而可證明△AWHS/XCBH,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)可得48、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△AWHs/X4MQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出M。的長，

根據(jù)S桁S/alMB-SzUWH即可得答案.

【詳解】（1）EF=BF.

如圖，分別延長力D,BF相交于點(diǎn)P,

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

:.乙PDF=AC,ZP=ZFBC,

為CD的中點(diǎn)，

：.DF=CF,

2P=Z.FBC

在^PDF和^BCF中，乙PDF=ZC，

.DF=CF

:.△PDFgABCF,

：.FP=FB,即F為BP的中點(diǎn)，

：.BF=-BP,

2

?：BELAD,

:?乙BEP=90°,

：.EF=-BP,

2

：.EF=BF.

￡

IB

(2)AG=BG.

.,將團(tuán)4BCD沿著BF所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',

1

ZCFB=ZC'FB=2-ZCFC,FC=FC,

./為CD的中點(diǎn)，