北師大版九年級上冊九年級數(shù)學(xué)上冊第2章《一元二次方程》教案

第二章一元二次方程

本/章/整/體/說/課

?教學(xué)目標(biāo)

如注媚’|

1.了解一元二次方程及有關(guān)概念.

2.會(huì)用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

3.掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法.

4.提出問題、分析問題,建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并用該模型解決實(shí)際問題.

［過程‘苗；巖

1.通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探討，老師點(diǎn)評分析,建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一

元二次方程的概念.

2.通過掌握形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程的解法一一直接開平方法，導(dǎo)入用配方法解一元二

次方程,再通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程.

3.通過用已學(xué)的配方法解方程axe+bx+c=O(aWO)推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，導(dǎo)入用公式法解

一元二次方程.

4.通過實(shí)例探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

「情感態(tài)度與價(jià)值則

1.經(jīng)歷由事實(shí)問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會(huì)到一元二次方程也是刻畫

現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型.

2.經(jīng)歷用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的過程，使同學(xué)們體會(huì)到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

3.經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情境，使學(xué)生體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，從而更好地理解方程

的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

a教材分析

本章的主要內(nèi)容包括:一元二次方程及其有關(guān)概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解

法），運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.其中解一元二次方程的基本思路和具體解法是本章的重點(diǎn)內(nèi)

容.方程思想是科學(xué)研究中重要的數(shù)學(xué)思想，也是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和工具，本章是對一元一次方程知識

的延續(xù)和深化，同時(shí)為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)在本章得到進(jìn)一步滲透和鞏固.

在總體設(shè)計(jì)思路上，本章遵循了“問題情境一一建立模型一一解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，首先通過具

體的問題情境建立有關(guān)方程，并歸納出一元二次方程的有關(guān)概念,然后探索其各種解法,并在現(xiàn)實(shí)情境中加

以應(yīng)用,切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用意識和能力.

具體來講,第1節(jié)通過豐富的實(shí)例，如“地毯四周有多寬”“梯子的底滑動(dòng)多少米”等問題，建立一元

二次方程,讓學(xué)生通過觀察歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，并從中體會(huì)方程的模型思想;第2~4節(jié)通過具

體方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5節(jié)在求根公式的基礎(chǔ)上，探索一元二

次方程的根與系數(shù)的關(guān)系;第6節(jié)再次通過幾個(gè)問題情境加強(qiáng)一元二次方程的應(yīng)用.

a教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

i.一元二次方程及其他有關(guān)的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

3.利用實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問題.

【難點(diǎn)】

1.用配方法解一元二次方程及實(shí)際問題.

2.用公式法解一元二次方程時(shí)的討論.

3.一元二次方程的根的判別式的相關(guān)知識.

4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

5.建立一元二次方程實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，理解方程的解與實(shí)際問題的解的區(qū)別.

°教學(xué)建議

1.聯(lián)系已有的相關(guān)知識，如一次方程、方程組，以及函數(shù)知識，進(jìn)一步提高學(xué)生整體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

的意識和能力.一元二次方程的解法中，滲透“降次”的轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)與相互的聯(lián)系，培

養(yǎng)學(xué)生靈活解一元二次方程的能力與扎實(shí)的運(yùn)算功底，對實(shí)際問題的探索不要以繁、難、偏、舊的問題作

為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的題材.

2.對于“一元二次方程的根的判別式”，為了教學(xué)，應(yīng)適當(dāng)添加習(xí)題，使學(xué)生理解一元二次方程的根的

存在情況與系數(shù)的關(guān)系.

3.對于“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）”，為了后續(xù)學(xué)習(xí)（包括初、高中函數(shù)的學(xué)習(xí)）的

方便,可根據(jù)學(xué)生情況,在教學(xué)中安排1-2課時(shí),組織學(xué)生進(jìn)行這方面的簡單探究活動(dòng).

4.對于含字母系數(shù)的一元二次方程的解法,建議老師們應(yīng)以至少一節(jié)課的內(nèi)容加以補(bǔ)充，添加適當(dāng)?shù)?/p>

習(xí)題.

a課時(shí)劃分

2課

1認(rèn)識一元二次方程

時(shí)

2課

2用配方法求解一元二次方程

時(shí)

2課

3用公式法求解一元二次方程

時(shí)

1課

4用因式分解法求解一元二次方程

時(shí)

1課

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

5時(shí)

2課

6應(yīng)用一元二次方程

時(shí)

_1

課/時(shí)/教/學(xué)/詳/案

1認(rèn)識一元二次方程

1r知識寫技能」

理解一元二次方程及其相關(guān)概念.

廣過程'舫陰

經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的概念的過程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系

的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型.

F情疏涯耳桶蚪

經(jīng)歷估計(jì)一元二次方程的解的過程，增進(jìn)對方程的解的認(rèn)識,進(jìn)一步培養(yǎng)估算意識和能力，發(fā)展數(shù)感.

＜教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】一元二次方程的概念及一般形式.

【難點(diǎn)】

1.由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程.

2.正確識別一般形式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”.

第UI課時(shí)

0整體設(shè)計(jì)

3教學(xué)目標(biāo)

■知識寫技能力

了解一元二次方程的概念和它的一般形式，會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程.

限—;卻

經(jīng)歷由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的過程,進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效

數(shù)學(xué)模型.

■情何戰(zhàn)身雁觀r

在列方程的過程中體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型.

r教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】一元二次方程的概念和一般形式.

【難點(diǎn)】正確理解和掌握一般形式中的“a/O”，“項(xiàng)”和“系數(shù)”.

，建堇!備

【教師準(zhǔn)備】預(yù)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)有關(guān)方程的知識.

，教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯,四周

未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同（如圖所示），你能求出這個(gè)寬度嗎？

8m-------

如果設(shè)所求的寬度為Xm,那么你能列出怎樣的方程？

導(dǎo)入二：

觀察下面等式：

102+112+122=132+142.

你還能找出五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？

如果將這五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)設(shè)為x,那么怎樣用含x的代數(shù)式表示其余四個(gè)數(shù)?根據(jù)題意，你能

列出怎樣的方程？

導(dǎo)入三：

如下圖所示,一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,如果梯子的頂端

下滑1m,那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？

你能計(jì)算出滑動(dòng)前梯子底端距墻的距離嗎？如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)Xm,那么你能列出怎樣的方程?

教師給出圖片,學(xué)生觀察、思考,然后教師提問，學(xué)生回答.

［設(shè)計(jì)意圖］通過以上三個(gè)實(shí)例，在具體的情境中鞏固列方程的一般思路，為概念的提出賦予實(shí)際的

意義.

陷新知構(gòu)建

一、一元二次方程的概念

思路一

［過渡語］什么樣的方程是一元二次方程呢？

由上面的三個(gè)問題,我們可以得到三個(gè)方程：

(8-2x)(5-2x)=18;

X2+(x+l)2+(X+2)2=(x+3)a+(X+4)2；

(X+6)2+72=102.

這三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？

歸納:上面的方程經(jīng)過整理后都是只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化成axz+bx+c=

0(a,b,c為常數(shù),aWO)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.

［知識拓展］符合一元二次方程即符合以下三個(gè)條件:①只含有一個(gè)未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)為

2;③是整式方程.

我們把a(bǔ)x2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)稱為一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分別稱為二

次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),a,b分別為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

［設(shè)計(jì)意圖］在方程的比較中得到概念，能夠體現(xiàn)出合作探究的意識，同時(shí)提高了學(xué)生的歸納能力.

思路二

下面給出的方程與我們學(xué)習(xí)過的方程存在哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(x-4)z+(X-2)2=X2；

(30-2x)(20-2X)=200.

先讓學(xué)生在小組內(nèi)討論交流,然后回答問題.

教師總結(jié):①相同點(diǎn):都是整式方程,都只含有一個(gè)未知數(shù).②不同點(diǎn):一元一次方程中未知數(shù)的最高次

數(shù)是1,而這些方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

問題:類比一元一次方程，你能給這樣的方程起個(gè)名字嗎？帶著這個(gè)問題,請大家填寫下面的空格：

像這樣,等號兩邊都是一—式,只含有個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是—

(二次)的方程叫做一元二次方程.

強(qiáng)調(diào):一元二次方程必須是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都屬于一元方程.

【師生活動(dòng)】現(xiàn)在請同學(xué)們觀察下列方程,然后判斷哪些是一元二次方程.

(1)X2+2X-4=0;(2)3xs+4x=9;(3)3yz-5x=7;(4)—=1;(5)y2-3y=0;(6)-=l.

2+

【師】大家先觀察這六個(gè)方程,它們都是整式方程嗎?如果不都是,請告訴老師,哪個(gè)方程不是整式方

程？

【生】(4)不是整式方程.

【師】哦，你真棒!方程⑷不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了，好,我們把它排除.接下

來,大家繼續(xù)觀察,告訴老師,哪些方程不是一元的？

【生】(3)不是一元的.

【師】嗯,很好!方程(3)含有x和y兩個(gè)未知數(shù),所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,

好,排除它.我們繼續(xù)觀察,誰能告訴老師，哪些方程不是二次方程？

【生】(2)不是二次方程.

【師】很好!方程⑵中未知數(shù)的最高次數(shù)是3,所以它不是一元二次方程,說的很棒!將它排除.現(xiàn)在

剩下了方程(1),(5),(6),觀察一下它們都具備一元二次方程定義里面的三要素嗎？

【生】具備.

【師】嗯，最終我們可以確定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.

教師讓學(xué)生再舉出一些不是一元二次方程的方程，以加深學(xué)生對一元二次方程概念的理解掌握.

［設(shè)計(jì)意圖］通過問題的設(shè)計(jì)與講解,類比一元一次方程和分式方程的定義學(xué)習(xí)一元二次方程，可使

學(xué)生深刻理解一元二次方程的定義，掌握定義中的三要素,實(shí)現(xiàn)對定義由認(rèn)識、記憶到理解、掌握的過渡，

以達(dá)到質(zhì)的飛躍.

二、例題講解

［過渡語］剛剛我們學(xué)習(xí)了什么是一元二次方程,現(xiàn)在我們通過下面的幾個(gè)例題來看看同學(xué)們理解

的怎么樣.

例1判斷下列方程是否是一元二次方程.

⑴2x-X2——=0;

2

(2)2X2-X+5=0;

(3)ax2+bx+c=0;

(4)4X2--P7=0.

解：（1）（2）符合一元二次方程的概念,方程（3）中的a等于0時(shí),方程不是一元二次方程，（4）不是整式方

程,所以（3）和（4）都不是一元二次方程.

［過渡語］下面我們再通過一個(gè)例題來理解一下一元二次方程的一般形式及二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

例2把方程3x（x-l）=2（x+2）+8化成一般形式,并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

解:去括號,得3X2-3X=2X+4+8,

移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得3X2-5X-12=0,

二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是-5,常數(shù)項(xiàng)是T2.

［設(shè)計(jì)意圖］通過例題的講評,進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對一元二次方程相關(guān)概念的理解，從而突破本節(jié)課的

重點(diǎn)和難點(diǎn).

［知識拓展］對于一元二次方程的一般形式的理解應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（1）“aWO”是一元二次方程的一

般形式的一個(gè)重要組成部分，因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0只有當(dāng)aWO時(shí),才叫做一元二次方程，當(dāng)a=0,bWO

時(shí)，它是一元一次方程.（2）任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以變?yōu)橐话阈问?（3）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)

系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí),必須先將方程化為一般形

式.（4）要分清二次項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù).

亙課堂小結(jié)

1.只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化為ax°+bx+c=O（a,b,c為常數(shù),a/0）的形式,這樣

的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(aW0).ax2,bx,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a,b

分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

的：檢測反饋

1.下列6個(gè)方程：⑴3X+2=-X2；(2)+y=5;⑶y2+2x-3=0;(4)mnx2+(m+n)x+l=O;(5)x2—2x+

4=0;(6)-+y+3=0.

2

其中是一元二次方程的是.(填序號)

解析:一元二次方程要符合以下三個(gè)條件:①只含有一個(gè)未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)為2;③是整式方

程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).

2.將方程3X2=5X+2化為一元二次方程的一般形式為.

解析:一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(aW0),注意移項(xiàng)時(shí)要注意變號,答案為3xz-5x-2=0.

故填3X2-5X-2=0.

3.一元二次方程2xz+4xT=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為___.

解析:二次項(xiàng)系數(shù)為2,一次項(xiàng)系數(shù)為4,常數(shù)項(xiàng)為T,所以它們的和為2+4+(-1)=5.故填5.

4.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.-X2+5X=2B.2xs+7x-2=0

C.X2+=3D.7x-=2

2

解析:本題主要考查一元二次方程的概念.觀察選項(xiàng),只有A中的方程是一元二次方程.故選A.

叵板書設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.一元二次方程的概念

2.例題講解

例1

例2

J6布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第32頁隨堂練習(xí).

【選做題】

教材第32頁習(xí)題2.1的3題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.一元二次方程的一般形式是

2.將方程-5xz+l=6x化成一般形式為?

3.將方程(x+l)z=2x化成一般形式為,

4.方程2xz=-8化成一般形式后,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為.

5.方程5(X2-2x+l)=-32x+2的一般形式是,其二次項(xiàng)是_______,一次項(xiàng)

是—，常數(shù)項(xiàng)是

【能力提升】

6.若abWO,則-X2+-x=0的常數(shù)項(xiàng)是.

7.若方程a*+5=(x+2)(x-1)是關(guān)于x的一元二次方程，則a

8.關(guān)于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,當(dāng)_______時(shí)，是一元二次方程，當(dāng)_________時(shí)，是一元

一次方程.

【拓展探究】

9.已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-kx=xz-l.

(1)當(dāng)k為何值時(shí),方程為一元二次方程？

(2)當(dāng)k為何值時(shí),方程為一元一次方程？

【答案與解析】

1.ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),aWO)(解析:要注意不能漏掉括號內(nèi)的條件.)

2.-5X2-6X+1=0(解析:要注意答案不唯一，如可以是5X2+6X-1=0.)

3.x?+l=0(解析：也可以是-X2-l=0.)

4.08(解析:整理成一般形式為2*+8=0,沒有一次項(xiàng),故一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為8.)

5.5x2-22x+3=05x2-22x3

6.0

7.力1(解析:先整理成一般形式，即(a-l)XLx+7=0,再使二次項(xiàng)系數(shù)不為0,則a/1.)

8.mN4m=4

9.解:方程可化為(k-3)xz-kx+l=0.(1)若方程為一元二次方程，則k-3W0,即kW3.(2)若方程為一

元一次方程,則-=解得k=3.

■教學(xué)反思

I成功之J__處_______________

在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生對概念背得很熟，但在準(zhǔn)確和熟練應(yīng)用方面較差,缺乏應(yīng)變能力.針對學(xué)

生存在的這些問題,本節(jié)課突出對概念形成過程的教學(xué),采用探索發(fā)現(xiàn)的方法研究概念,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)

造性學(xué)習(xí).教學(xué)中，運(yùn)用啟發(fā)引導(dǎo)的方法讓學(xué)生從實(shí)際的問題出發(fā)，觀察發(fā)現(xiàn)并歸納出一元二次方程的概念,

啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并總結(jié)規(guī)律,最后達(dá)到解決問題的目的.

I不足之處

學(xué)生對于將一元二次方程化為一般形式感覺困難不大，但寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

時(shí),部分學(xué)生容易忽略符號，作為第一次學(xué)習(xí)，這是難免的.

，再教設(shè)計(jì)

本課時(shí)設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容主要是一元二次方程的概念的推導(dǎo)和應(yīng)用.在課堂教學(xué)中，可先從具體的背景

出發(fā),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會(huì)一元二次方程的使用價(jià)值，然后通過例題和練習(xí)進(jìn)一步鞏固對概念的理

解.

教材習(xí)題解管

隨堂練習(xí)(教材第32頁)

1.解：(答案不唯一)設(shè)直角三角形的三邊長分別為x-1,X,x+l(x>l),根據(jù)題意,得(x-1)2+x2=(x+1)2,

化成一般形式為X2-4X=0.鼓勵(lì)學(xué)生選定不同的量設(shè)為未知數(shù),列出不同的方程.

2.解：(答案不唯一)原方程可以化為5X2+36X-32=0,二次項(xiàng)系數(shù)是5,一次項(xiàng)系數(shù)是36,常數(shù)項(xiàng)是-32.

習(xí)題2.1(教材第32頁)

1.解：(1)設(shè)這個(gè)正方形的邊長是xm(x>0),根據(jù)題意，得(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)設(shè)

三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為x,x+1,x+2,根據(jù)題意,得x(x+l)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即xz+2x-80=

0.允許學(xué)生選擇不同量作為未知數(shù),但要求列出一元二次方程.

2.解：(答案不唯一)如下表所示：

二次一次

項(xiàng)項(xiàng)常

方程一般形式

數(shù)項(xiàng)

系數(shù)系數(shù)

3X2=5X-13x2-5x+l=03-51

(x+2)(x-1)

X2+X-8=011

=68

4-7x2=07x2-4=070

4

3.解:設(shè)竹竿長為X尺,貝u門框?魅為(x-4)尺，門框高:為(x-2)尺,根據(jù)題意，得X2二=(x-4)2'+(x-2)2,即

X2-12X+20=0.

@備課資源

?教學(xué)建議

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級已學(xué)過一元一次方程的概念，經(jīng)歷過由具體問題抽象出一元

一次方程的過程,在八年級已學(xué)過二元一次方程組的概念,經(jīng)歷過由具體問題抽象出二元一次方程組的過

程，已理解了“元”和“次”的含義,具備了學(xué)習(xí)一元二次方程的基本技能.

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ):在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的

合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考的能力，具備了一定的合作與交流的能力.

3經(jīng)典例題

已知關(guān)于X的方程(2a-4)X2-2bx+a

=0.求滿足下列條件時(shí)a,b的取值范圍.

(1)方程為一元二次方程；

(2)方程為一元一次方程.

(解析)觀察所給方程,根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義確定a,b的取值范圍.

解：⑴由題意,得2a-4W0,即a關(guān)2.

所以當(dāng)aW2時(shí),方程是一元二次方程.

(2)由題意,得2"

-2

解得a=2,bWO.

所以當(dāng)a=2且bNO時(shí),方程是一元一次方程.

［解題策略］只含有一個(gè)未知數(shù)X,并且可以化為axz+bx+c=O(a,b,c為常數(shù),aWO)的形式的整式方

程是一元二次方程.利用概念解決問題時(shí),應(yīng)抓住其中本質(zhì)的東西，一元二次方程與一元一次方程的區(qū)別是

未知數(shù)的最高次數(shù)分別是2和1.

第②課時(shí)

9整體設(shè)計(jì)

4教學(xué)目標(biāo)

?知識寫■技能.

探索一元二次方程的解或近似解.

■過程可制

通過具體實(shí)例探究一元二次方程的解.

產(chǎn)情感態(tài)度與界阿

經(jīng)歷方程的解的探索過程，增進(jìn)對方程的解的認(rèn)識,培養(yǎng)估算意識和能力.

?教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】探索一元二次方程的解或近似解.

【難點(diǎn)】培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力.

，逢莖t備

【教師準(zhǔn)備】預(yù)設(shè)課堂活動(dòng)中學(xué)生可能提出的問題.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)有關(guān)方程的知識.

，教學(xué)過程

況新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

在小學(xué)的時(shí)候,我們經(jīng)常用估算的方法計(jì)算一些問題.那么，你能估算方程2x^l3x+ll=0中x的取值

范圍嗎？

導(dǎo)入二:

［過渡語］我們來看看上節(jié)課的第一個(gè)問題.

幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18的地毯,

四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如右圖所示)，你能求出這個(gè)寬度嗎？

如果設(shè)所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大約是多少嗎？

即新知構(gòu)建

估算一元二次方程的解

1.引例

［過渡語］(針對導(dǎo)入二)你能設(shè)法估計(jì)四周未鋪地毯部分的寬度x(m)嗎?

我們知道,x滿足方程(8-2x)(5-2x)=18.

思路一

⑴x可能小于0嗎?可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?說說你的理由.

分析：因?yàn)?0m2>18m2,所以x不可能小于0,因?yàn)?-2x,5-2x都是大于。的，所以x不可能大于4,也不

可能大于2.5.

(2)你能確定x的大致范圍嗎？

分析:x的大致范圍是0到2.5之間.但這只是一個(gè)大致的估計(jì)，精確度還有待于我們進(jìn)一步去探討.

(3)計(jì)算,填寫下表：

(8-2x)(5-2x)40

4

0880

分析：由上表可以看出，如果寬度大于1,那么地毯的面積會(huì)小于18,不符合要求.如果寬度小于1,

那么地毯的面積會(huì)大于18,也不符合要求.

（4）你知道所求寬度x（m）是多少嗎?你還有其他求解方法嗎？與同伴交流.

提示:通過表格的計(jì)算可以知道所求的寬度的大致范圍，通過解一元一次方程等方法可以求出具體的

寬度.

思路二

（1）確定大致范圍.

因?yàn)?0m2>18mz,所以x不可能小于（），因?yàn)?-2x,5-2x都是大于。的，所以x不可能大于（）,

綜合以上，分析x的大致范圍是（）到（）之間.

（2）比較精確地估算.

填寫下表后思考：

(2

X1)：,5

.5.5

(8-2x)(5-2x)

當(dāng)x取0.5的時(shí)候,你發(fā)現(xiàn)了什么問題？當(dāng)x取1.5的時(shí)候，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過前面的發(fā)現(xiàn)，你怎

樣更精確地確定寬度的范圍？

2.做一做

［過渡語］剛剛我們解決了上一節(jié)課的第一個(gè)問題，我們再來看看上一節(jié)課的第三個(gè)問題能不能解

決.（附圖）

在前一節(jié)課的問題中，梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程(X+6)?+72=102,即X2+12X-15=0.

(1)小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1m,他的說法正確嗎?為什么？

分析:若底端也滑動(dòng)了1m,此時(shí)(1+6)2+7/102,因此滑動(dòng)的距離是大于1m的.

(2)底端滑動(dòng)的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么？

分析:通過計(jì)算,可以得出下表,根據(jù)表格可知，

0.

X0t!3

5.5

-8-?3

X2+12X-15

15.752.2530

如果底端滑動(dòng)的距離是2m或者3m,那么x=+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑動(dòng)

的距離小于2m.

(3)你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎？

分析:根據(jù)前面的分析，得出x的取值范圍大致是Kx<l.5,但這還不是一個(gè)很精確的數(shù)字.

(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾？

分析:通過計(jì)算，得出下表：

1.iT]L]-

X

1234

-00.2.3.

X2+12X-15

.59842976

根據(jù)上表思考：

當(dāng)x取1.3和1.4的時(shí)候,哪個(gè)數(shù)字更接近真實(shí)值？（1.3更接近）

當(dāng)x取1.2和1.3的時(shí)候,哪個(gè)數(shù)字更接近真實(shí)值？（1.2更接近）

當(dāng)x取1.1的時(shí)候,與真實(shí)值是什么關(guān)系？（小于真實(shí)值）

當(dāng)x取1.2的時(shí)候,與真實(shí)值是什么關(guān)系？（大于真實(shí)值）

綜合上述分析,我們可以進(jìn)一步確定x的取值范圍是1.Kx<l.2.

所以x的整數(shù)部分是1,十分位是1.

［知識拓展］估計(jì)一元二次方程近似解的基本思路:將一元二次方程變形為一般形式:ax?+bx+c=

O（aWO）,分別將x,x代入等式左邊,當(dāng)獲得的值為一正、一負(fù)時(shí)，方程必定有一根x,而且x〈X〈X.這是因

120102

為當(dāng)a2+bxJc<0（或>0）而空+b/00（或〈0）時(shí)，在▲到X。之間由小變大時(shí),ax^bx+c的值也將由小于

0（或大于0）,逐步變成大于0（或小于0）,其間axz+bx+c的值必有等于0的時(shí)候，此時(shí)的x的值就是原方

程的根x.

0

f3課堂小結(jié)

1.在解決某些實(shí)際問題的時(shí)候，可以根據(jù)實(shí)際情況確定出方程解的大致范圍.一般采用“夾逼法”，選

取的未知數(shù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果的絕對值越接近0,這個(gè)數(shù)值就越接近未知數(shù)的真實(shí)值.

2.采用“夾逼法”求一元二次方程近似解的一般步驟：

（1）將方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问剑?/p>

（2）根據(jù)實(shí)際情況確定方程的解的大致范圍；

（3）根據(jù)方程的解的大致范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)取一個(gè)整數(shù)值,然后把這個(gè)值代入方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行

驗(yàn)證,看是否能使方程左邊代數(shù)式的值為0,如果為0,那么這個(gè)數(shù)就是方程的解;如果不為0,那么根據(jù)這個(gè)

整數(shù)再找出一個(gè)使方程左邊的值最接近于0但小于0的整數(shù),這個(gè)數(shù)就是方程的解的整數(shù)部分；

（4）保留整數(shù)部分不變,小數(shù)部分可參照求整數(shù)部分的方法進(jìn)行，以此類推可得出該方程更準(zhǔn)確的近似

W檢測反饋

1.根據(jù)下表,判斷方程axz+bx+c=O（a/O,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是)

3.3.33

X3

2324.25.26

axz+bx-o-o-o00

+c.07.06.02.03.09

A.3<x<3,23B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

解析：由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x的值由3.24變化到3.25時(shí),axz+bx+c的值由-0.02變化到0.03,所以

在3.24到3.25之間存在一數(shù)值，使axz+bx+c的值等于0.故選C.

2.用22cm長的鐵絲,折成一個(gè)面積為15cm2的矩形,設(shè)矩形的一邊長為xcm,則x的大致范圍是

（）

A.x>0B.0<x<l

C.Kx<2D.2<x<3

解析:對于實(shí)際問題的近似解的問題,應(yīng)先根據(jù)實(shí)際問題確定其解的大致范圍，再通過具體計(jì)算進(jìn)行

“夾逼”，逐步獲得其近似解，“夾逼”思想是近似計(jì)算的重要思想.由題意可列出方程（ll-x）x=15,整理

得x『llx+15=0,估算此一元二次方程解的范圍如下表所示：

X01234

1---

X2-11X+155

53913

由此可知，當(dāng)x在1~2之間取某一值時(shí),X2-11X+15可能等于零.故選C.

3.如圖所示,某大學(xué)為改善校園環(huán)境,計(jì)劃在一塊長80m,寬60nl的長方形場地的中央建一個(gè)長方形網(wǎng)

球場，網(wǎng)球場占地面積為3500m2,四周為寬度相等的人行道,設(shè)人行道的寬為xm.

jr

(1)你能根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程嗎？

⑵X可能小于0嗎?說說你的理由；

(3)x可能大于40嗎？可能大于30嗎？說說你的理由；

(4)你知道人行道的寬x是多少嗎?說說你的求解過程.

解：(1)由題意得，網(wǎng)球場的長和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整

理得X2-70X+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因?yàn)槿诵械赖膶挾炔豢赡転樨?fù)數(shù).

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因?yàn)楫?dāng)x>30時(shí)，網(wǎng)球場的寬60-2x〈0,這不符合實(shí)際，當(dāng)然x

更不可能大于40.

(4)由上面分析可知,x的大致范圍應(yīng)為0〈x〈30,在這個(gè)范圍內(nèi)估算方程的近似解如下表所示:

X231557

X2-70X+115--

)

3258924159116

顯然，當(dāng)x=5時(shí)，X2-70X+325=0.

因此,人行道的寬度應(yīng)為5m.

15板書設(shè)計(jì)

第2課時(shí)

估算一元二次方程的解

⑴引例

⑵做一做

6布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第35頁習(xí)題2.2.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)（精確到0.01）,判斷方程xz+5x-3=0的一個(gè)解x的范圍是（）

0.00.20.50.1.

X

0507500

-3.-1.-o.1.3.

X2+5X~3

0069253100

A.0.00<x<0.25B.0.25<x<0.50

C.0.50<x<0.75D.0.75<x<l.00

2.小穎對一元二次方程(8-2x)(5-2x)=18的根做了如下表所示的估計(jì):

X0123

41—

(8-2x)(5-2x)4

082

由表格可知,此方程的一個(gè)根為（）

A.0B.1C.2D.3

3.根據(jù)方程x「3x-5=0可列下表，則x的取值范圍是（）

X456

---

321

11

X2_3X_55??5

3113

A.-3<x<-2或4<x<5

B.-2<x<-l或5<x<6

C.-3<x<-2或5<x<6

D.-2<x<-l或4<x<5

4.根據(jù)下表可知,方程X2+2X-10=0的一個(gè)近似解為.

X-?~4.1-4.2-4.3-4.4-4.5

X2+

??-1.39-0.76-0.110.561.25

2x-10

【能力提升】

5.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)（精確到0.001）,猜想方程X2+2x-100=0的一個(gè)根大約是（）

9.039.049.059.9.

X

000060070

-0.3-0.10.000.0.

X2+2X-IOO

99983204405

A.9.025B.9.035C.9.045D.9.055

6.觀察下表:

13

X)0.5122.531

.5.5

5X2-24X217.3-0.75L

901

+28825.255.252

從表中你能得出方程5X2-24X+28=0的根是多少嗎?如果能,寫出方程的根;如果不能,請寫出方程根

的取值范圍.

【拓展探究】

7.某校矩形操場的長比寬多14m,面積是3300m%求操場的寬的取值范圍（精確到十分位）.

【答案與解析】

LC（解析：由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x的值由0.50變化至IJ0.75時(shí),x=+5x-3的值由-0.25變化至1.31,所

以在0.50到0.75之間存在一數(shù)值，使x2+5x-3的值為0.故選C.）

2.B（解析：由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x的值等于1吐（8-2x）（5-2x）的值等于18,所以方程（8，x）?（5-2x）

=18的一個(gè)解為x=l.故選B.）

3.D（解析：由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x的值由-2變化到T時(shí),X2-3X-5的值由5變化到T,所以在-2到T

之間存在一數(shù)值,使X2-3X-5的值等于0,同理,當(dāng)x的值由4變化到5時(shí),x2-3x-5的值由變化到5,所以

在4到5之間存在一數(shù)值，使x2-3x-5的值等于0.故選D.）

4.-4.3（解析：由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=-4.3時(shí),X2+2X-10的值更接近于0,所以方程xz+2x-10=0的

一個(gè)近似解為-4.3.）

5.C（解析：由表格可得,在9.040到9.050之間存在使方程x2+2x-100=0成立的x的值.故選C.）

6.解:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=2時(shí),5XL24X+28=0,故方程5x2-24x4-28=0有一個(gè)根是x

=2.又因?yàn)楫?dāng)x=2.5時(shí),5X2-24X+28=-0.75,當(dāng)x=3時(shí),5x?-24x+28=1,故一元二次方程5xz-24x+28=

0的另一個(gè)根的取值范圍是2.5<x<3.

7.解析:先設(shè)出未知數(shù),列出方程,然后列表、取值、計(jì)算,縮小范圍,確定符合題意的未知數(shù)的取值范

圍.

解:設(shè)操場的寬為xm,則長為（x+14）m,根據(jù)題意得x（x+14）=3300,整理得x2+14x-3300=0.列表如

下：

550.5i5

X

010.80.91

X2+--88-1

14X-3300100.598.16.415

所以寬的取值范圍是50.8m~50.9m.

SL教學(xué)反.

?成功之處

課堂上把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)性的語言以

及小組合作學(xué)習(xí)等方式，幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的求知態(tài)度.本節(jié)課多次組織學(xué)生合作交流，通過小組合作,

為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會(huì),在此過程中，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分析問題和解決問題時(shí)的獨(dú)到見

解以及出現(xiàn)的思維誤區(qū)，這樣可以使得老師更好地指導(dǎo)今后的教學(xué).

?不足之處

在小組討論之前,應(yīng)該留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考的時(shí)間，不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其

他學(xué)生的思考,掩蓋了其他學(xué)生的疑問.教師應(yīng)對小組討論給予適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo),包括知識的啟發(fā)引導(dǎo)，使小組

合作學(xué)習(xí)更具實(shí)效性.

4再教設(shè)計(jì)

本節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生在求解的過程中體會(huì)方程解的含義.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生討論并探索求解的過程,

防止學(xué)生在求解過程中只注重?cái)?shù)據(jù)的計(jì)算，而忽略了對數(shù)據(jù)特點(diǎn)的分析，忽視了探求的意識.

S教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)(教材第34頁)

解:將這五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)設(shè)為X,那么其余四個(gè)數(shù)依次為x+1,x+2,x+3,x+4,根據(jù)題意,

得xz+(x+1”+(x+2)z=(X+3)?+(X+4)2,即xz-8x-20=0,可列下表：

X2-8X-20

所以x=-2或x=10,因此這五個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為-2,T,0,1,2或10,11,12,13,14.

習(xí)題2.2(教材第35頁)

1-解:設(shè)苗圃的寬為xm,則長為(x+2)m,根據(jù)題意,得x(x+2)=120,即X2+2x-120=0.列表如下:

X2+2X-120

所以苗圃的寬為10m,長為12m.

2.解:能.設(shè)矩形的寬為xm,則長為—