2025屆新高考新結(jié)構(gòu)競賽題型十五大考點(diǎn)（解析版）

新題型新高考新結(jié)構(gòu)競賽題型十五大考點(diǎn)匯總

命題越勢

高考數(shù)學(xué)中會出現(xiàn)與競賽相關(guān)的考點(diǎn)，本專題主要針對高考中的競賽考點(diǎn)進(jìn)

行分類歸納

熬點(diǎn)題型解讀

題型1集合中的競賽考點(diǎn)

題型2函數(shù)中的競賽考點(diǎn)

題型3函數(shù)與方程中的競賽考點(diǎn)

題型4函數(shù)最值中的競賽考點(diǎn)

題型5構(gòu)造函數(shù)中的競賽考點(diǎn)

題型6三角函數(shù)中的競賽考點(diǎn)

題型7向量中的競賽考點(diǎn)

題型8數(shù)列中的競賽考點(diǎn)

題型9不等式中的競賽考的

題型10解析幾何中的競賽考點(diǎn)

題型11立體幾何中的競賽考點(diǎn)

題型12排列組合中的競賽考點(diǎn)

題型13概率中的競賽考點(diǎn)

題型14復(fù)數(shù)中的競賽考點(diǎn)

題型15整除中的競賽考點(diǎn)

1

【題型1集合中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2022.新疆.競賽)設(shè)集合{春+b[l<a<6<4}中的最大元素與最小元素分別為M,M則M—N=

【答案】7—2?

由lWa46W4知，3+6W3+4=7,

a1

當(dāng)a=l,b=4時，得最大元素Al=7,

又&+且+a>2V3，當(dāng)a=b=V3時，得最小元素N—2V3,

aa

因此，河一？/=7-23.

故答案為：7—2四.

(2022?浙江?競賽)已知集合力={劍(①一九)(2―療+用《0,"eN+},若集合A中恰有9個正整數(shù),則n

【答案】4

【詳解】九=1時，人=[0,1],不合題意,舍去，

n=2時，A={2},不合題意,舍去，

外>3時，ri,—7i>n,A=[n,n2—n]>

/.n2—n—(n—1)=n2—2n+1=(n—I)2=9,

n=4.

故答案為：4.

(2021?全國?高三競賽)已知集合朋={1,2,3,…，1995},人是河的子集，當(dāng)cC4時，19力圖4則集合

A元素個數(shù)的最大值為

【答案】1895

【詳解】解析：先構(gòu)造抽屜：{6,114},{7,133},-??,{105,1995),{1,2,3,4,5,106,107,…，1994}.使前100個抽

屜中恰均只有2個數(shù),且只有1個數(shù)屬于4可從集合河中去掉前100個抽屜中的數(shù)，剩下1995-100x2=

1795個數(shù),作為第101個抽屜.

現(xiàn)從第1至100個抽屜中取較大的數(shù),和第101個抽屜中的數(shù)，組成集合A,于是

A={1,2,3,4,5,106,107,???,1995),

滿足A包含于且當(dāng)力GA時，19a;gA.

所以card(?!)的最大值為1995-100=1895.

故答案為：1895.

二(2020.江蘇.高三競賽)設(shè)"CN*,歐拉函數(shù)0(n)表示在正整數(shù)1,2,3,…，孔中與外互質(zhì)的數(shù)的個數(shù),

例如1,3都與4互質(zhì)，2,4與4不互質(zhì)，所以以4)=2,則卬(2020)=

【答案】800

【詳解】解析:法一：因?yàn)?020=2?x5x101,

故能被2整除的數(shù)有1010個，能被5整除的數(shù)有404個，

能被101整除的數(shù)有20個，

既能被2整除又能被5整除的數(shù)有202個，

既能被2整除又能被101整除的數(shù)有10個,

既能被5整除又能被101整除的數(shù)有4個，

既能被2整除又能被5和101整除的數(shù)有2個.

2

故與2020不互質(zhì)的有1010+404+20-202-10-4+2=1220,則.2020)=800.

故答案為：800.

法二：0(2020)-⑵)Xp⑸X?(101)=800.

故答案為：800.

C41(2021?全國?高三競賽)設(shè)集合4=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”:集合

至少含有兩個元素,且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2.則A的子集中有個“翔集

合”.

【答案】49

【分析】設(shè)出集合｛1,2,3,…，n｝中滿足題設(shè)性質(zhì)的子集個數(shù)為冊,寫出a?=a3=0?4=1,在n>4時，要分

情況把冊的遞推公式寫出來,進(jìn)而得到a10，即答案.

【詳解】設(shè)集合｛1,2,3,…,九｝中滿足題設(shè)性質(zhì)的子集個數(shù)為冊,則a2=a3=0?4=1.當(dāng)n>4時，可將滿足

題設(shè)性質(zhì)的子集分為如下兩類:一類是含有n的子集,去掉n后剩下小于n-2的單元子集或者是｛1,2,3,…，

n—3｝滿足題設(shè)性質(zhì)的子集,前者有n—3個,后者有a?,3個；另一類是不含有n的子集,此時恰好是｛1,2,3,

???,71—1)滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，有冊_1個m于是,=(n-3)+a?-3+a?-i.又a2=&3=0,?4=1,所以CZ5=3,

。6=6,。7=11,0-8—19,。9=31,電0=49.

故答案為：49

【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是用數(shù)列的思想來考慮，設(shè)集合｛1,2,3,…,n｝中滿足題設(shè)性質(zhì)的子集個數(shù)為冊，寫出

廝的遞推公式,再代入求值即可.

【題型2函數(shù)中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2018?吉林?高三競賽)已知/(，)=?+1)+1在［—2018,0)U(0,2018］上的最大值為朋■，最小值為N,

2-x

則M+N=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

/O)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，故7W+N=/O)max+/(/)min=2.

故答案為石

【變式1］(2018?吉林?高三競賽)已知函數(shù)一(力)滿足：/⑴=/，4f=f(x+y)+于(x—y)(①,則

3(2019)=().

A—B.-春C.)

D.

2244

【答案】B

【詳解】取/=L"=0，得/(。)=1；

取，=1,9=1,得4r(1)=/(2)+/(0),故/(2)=-:；

取2=2,夕=1,得4/⑴/⑵=/(3)+/⑴,故/⑻—

取力=幾，g=1，有/(九)=/(n+l)+/(n—1)

同理,/(n+l)=f(n+2)+f(n).

聯(lián)立得/S+2)=—/(九一1),故/(幾+6)=/(n).

所以周期為6,故/(2019)=/(336x6+3)=/(3)=-y.

3

故答案為B

I(2022?新疆?競賽)已知/⑵=2"+ln(V?+l+a;)-2一工+1011,則不等式/(2,+1)+/Q)>2022的

解集為

【答案】(一+℃)

【詳解】令g(c)=/(，)—1011,易得g{x}為奇函數(shù)且單調(diào)遞增.

原不等式等價于g(2x+1)+g(力)>0og(26+1)>g(—力).

所以2x+1>—x=>x>—

o

故答案為：(一■+co).

(2022?廣西?統(tǒng)考競賽)設(shè)？/=/(切是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù),其反函數(shù)為夕=。(必).設(shè)分別是方

程/(c)+2=2和g(x)+x=2的解，貝!JXi+x2=.

【答案】2

【詳解】/(，)+2嚴(yán)格單調(diào)遞增.

且/(g)+g=2=g(，2)+x2^f(g(x2))+g(x2),

故①i=g(g)，①2=于(①1),

于是?+22=0+/(0)=2.

故答案為：2.

(2021.浙江金華.高三浙江金華第一中學(xué)?？几傎?設(shè)①>0,平面向量瓶=(0,1),反5=(1,2),CD

=(log3S,log92；).若AC-BD=2,則cc的值為.

【答案】《

y

【詳解】由于4方=泰+反?=(1,3),反方=反?+濟(jì)=(l+log3Z,2+log9C),

則AC-BD=(1+log3a;)+3(2+log9a?)=7+log3T+=7+ylog3T=2,

故log3a;=—2,從而力=

故答案為:.

【題型3函數(shù)與方程中的競賽考點(diǎn)】

例L(2021?全國?高三競賽)已知s、t是關(guān)于x的整系數(shù)方程ax2bx+c-0(a>0)的兩根，1VSV/;V2,則

當(dāng)正整數(shù)a取得最小值時，b+c=

【答案】-4

設(shè)/(%)=a(x—s)(力一力)，則/(T)=ax2-\-bx-\-c,

因?yàn)?(I)J(2)GZ,所以/(1)?/(2)>1,

所以0、(l-s)(l-t)(2-s)(2-t)—(s-l)(t-l)(2-s)(2-i)'

又因?yàn)?s—1)(2—s)W(t—1)(2—t)W,所以a?>16,但a?片16,所以a>5.

當(dāng)a=5時，/(1)4(2)=25(s-1)(t-1)(2-s)(2-1)G，所以/(l)―/(2)=1,

所以/⑴引⑵=L

于是/(c)=5——15x+11,故b+c=—15+11——4.

4

郎】(2021?全國?高三競賽)實(shí)數(shù)工、9滿足｛￡;老；蜷=13'‘①’則工、"的大小關(guān)系是.

【答案】2>"夕Vc

【分析】比較小y的大小關(guān)系,在等式中比較必y的大小關(guān)系,利用假設(shè)法結(jié)論正確的答案,結(jié)論錯誤則結(jié)

果與假設(shè)的相反.

【詳解】假設(shè)，<?/.由①知16"—9"=13“，由于13工413。則13">16"—9",從而(獸丫+(獸丫>1.設(shè)

v167\16/

/⑴=(磊)'+(/)'，則/⑶在A上遞減，且/⑹'I，又/⑵=(票"(磊)21，所以/(")>/⑵?于是沙

v7v7v7v7

16161616

<2.

由②知,7'+11"=13"又11'411",所以73：+11'&13",即借)"+(看)"&L

類似上面有2>2.于是c>9與24沙矛盾故

故答案為：2>“

E5"(2021?全國?高三競賽)若/(2)="-2/旃/—/+/—2何而/+2C—四旃，則西+

V2020)的值為

【答案】，2兩

【詳解】研究二次方程x2-2V2019S一1=0和/一272020a;+1=0,

BP(X-V2019+V2020)(a:-V2019-V2020)=0

和Q-V2020+V2019)(a:-V2020-V2019)=0.

因此x0=V2019+V2020兩方程的公共根.

于(x)=x\x2-2V2019x-1)+x(x2-2V2000x+1)+(2;-V2019-V2020)+V2020,

故麗+V2020)=V2020.

故答案為兩.

[￡貳*|(2023?全國?高三對口高考)方程同獲二丁=之子的實(shí)根共有個.

X—1

【答案】1

【分析】將等式兩邊平方，整理得到/(/-6工+6)=0,解此方程，再考慮x的范圍即可得到原方程的解，得

到實(shí)根的個數(shù).

【詳解】由“4+4力一a?=2—；，得4+4/—/=g一%,

力TQT)

整理得力2(/—6/+6)=0,解得力=0或力=3+V3或力=3—V3,

又/4+4/一2=221半>0,得1<.42,所以力=3—通,

x—1

所以方程/4+46一1=入手的實(shí)根為/二3一班，即實(shí)根共有1個.

故答案為：1.

【變式4】(2021?全國?高三競賽)方程Xmu]+引戶5+資邛+資耳]=1的不同的實(shí)

(C+1)(C+4)(2：+9)313+1)33+4)3(,+9)3」

數(shù)解的個數(shù)為

【答案】5

【詳解】解析:易知名=0是原方程的解.

當(dāng)cW0時，利用a3+〃=(a+fe)(a2—a6+62)，原方程

5

(工一l)(c—4)(c—9)2「d+i［a;3+43a:3+93-.1=?

—+1)3+4)(/+9)可3+1)3—(c+4)3—"9)3-J-

等價于

3+1)(劣+4)3+9)3+1)23+4)2(2+9)2

方程兩端同除cc,整理后得①(/—98a?—288,+385)=0.再同除rc,得

(小-31)2-(62：+24)2=0.

即(1+6/—7)(/—6a;-55)=0,從而有

(2+7)(a;—1)(a;+5)(2一11)=0.

經(jīng)驗(yàn)證.=—7,電=l,g=—5,g=11均是原方程的根，所以原方程共有5個不同的實(shí)數(shù)根.

故答案為：5.

【題型4函數(shù)最值中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2018?全國?高三競賽)已知x2+y2=25.則函數(shù)z=J8y—6/+50+y/8y+6x+50的最大值為

().

A.5V10B.6V10C.7V10D.8A/10

【答案】B

因?yàn)棰?+d=25,所以，z=62+50+j8y+6:r+50

二J(三—3)2+(g+4)2+J(工+3/+(=+4)2

的幾何意義是圓22+/=25上的點(diǎn)到4(3,-4)、B(-3,-4)的距離之和,其最大值為點(diǎn)(0,5)到A、B的

距離之和6V10.

二(2018?全國?高三競賽)方程日+圖+向：二霞的最大的解與最小的解之和為()(其中，㈤

表示不超過c的最大整數(shù)，下同).

A.85B.-85C.42D.-42

【答案】B

【詳解】設(shè)力=42p+q(p、q為整數(shù)，0<Q<41).

將力代入原方程得0=口］+管］+

對于每個不同的q確定了唯一的有序數(shù)對(p,q)，從而，x也互不相同.要比較x的大小應(yīng)先比較p的大

小，若p相等,再比較q的大小.

因?yàn)閜=［：］+圉+［,-+q=-小&0,

所以，p的最大值只有當(dāng)q=0時取到,且最大值為0.

因此，2的最大的解為0.

又-圉+高+用-+9+—L―爸-3,

所以，p>—3.當(dāng)且僅當(dāng)q=41時，p=—3.因此，名的最小的解為一85.

綜上所述，最大的解與最小的解之和為-85.

（2019?全國?高三競賽）若關(guān)于2的方程x2-（a2+b2-6b）x+a2+&2+2a-4b+1=0的兩個實(shí)數(shù)根

的、◎滿足g<0<gWL則a2+/+4a+4的取值范圍是（）

A.[+2]B.[1,9—4V5^]C.[[*,16]D.[~^~,9+4\后]

6

【答案】。

【詳解】記/(力)—X2—(a2+fe2—6b)力+Q?+b?+2a—46+1.

由/(力)=0的兩個根力1、力2滿足力1&。&力2&1，知/(。)>。，

即(a+1)?+(b—2)244,且a+b+1>0.

在坐標(biāo)平面aOb中畫出這兩個不等式所限定的區(qū)域，則滔+/+4a+4=(a+2)2+b2的最小(大)值即為

點(diǎn)(-2,0)到該區(qū)域各點(diǎn)的最小(大)距離的平方.最小距離是點(diǎn)(-2,0)到直線a+b+l=0的距離，等于

等;最大距離是點(diǎn)(—2,0)到圓(a+iy+(b—2)2=4上的點(diǎn)的距離的最大值,等于遍+2.

因此，a2+52+4a+4的取值范圍是[~^~,9+4A后].

(2019?河南?高二校聯(lián)考競賽)已知函數(shù)/(⑼=/+arc+b,(a,bCA),記M(a,b)是|/(田)|在區(qū)間[—1,

1]上的最大值.當(dāng)a、b滿足M(a,b)<2時，|a|+|b|的最大值為

【答案】3

【詳解】由題意可得:對任意xE[-1,1]，有—2&劣2+ax+b&2,

分別取x=lfx=—1,可得：-34a+b&l且一3&b—a<l,

易知(|a|+|b|)max=max{|a—4,|a+b|}=3,

且當(dāng)b=-1,a=2時符合題意,

所以同+1”的最大值為3.

(2019?廣西?高三校聯(lián)考競賽)設(shè)函數(shù)?/=(4T3++2)(4r層+1)Qe[o,1]),則沙的最小值

為.

【答案】2+6

【詳解】令u='l+c+VT—x(xE[0,1]),

貝!Ju'=1---],由于Vl+a:>VT--x,故u'(x)<0，

+1VI—x

由“(,)單調(diào)遞減，求得uC[血,2],

則」="2(32)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)“=2時，原函數(shù)取得最小值2+V2.

故答案為：2+2.

【題型5構(gòu)造函數(shù)中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a,b,cC(0,1),且ae2=2eo,be3=2eb,ce3=3e°,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】。

【分析】由題可得更，直=小后通過/(2)=更在(0,1)上的單調(diào)性可比較a,6,c大小.

aZb2c3x

ae2=2ea=-=-7-,be3=2e60-7-=-7-,ce3=3ec=-=

a2b2c3

令/(力)=史，/e(0,1),則/㈤=(h)'=色咨=包亨vo,所以函數(shù)/⑸在(0,1)上單調(diào)遞

XV7XX

3

e

減.因?yàn)?=學(xué)>1,所以號>號，又導(dǎo)所以導(dǎo)>號>導(dǎo)即導(dǎo)>>>>o/(b)>/(c)

eo3223232bca

T

>J(a)=>b<c<a.

7

故選：c

,（2022上?湖北宜昌?高三校考開學(xué)考試）已知a=41n59=51n4\c=51n/，則a,b,c的大小關(guān)系是

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】令/（，）=等Q>e）,利用導(dǎo)數(shù)判斷了（c）在（e,+s）上的單調(diào)性,即可得a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】令/（0=等（/>6）,可得r（功=-”產(chǎn)=號1生，

當(dāng)力>已時，/'（力）40恒成立，

所以/（,）=等在（e,+?）上單調(diào)遞減，

所以/㈤〉/⑷>1/>⑸,

即I”71>.4>卜1",可得41n7t>7tln4,51n4>41n5,

兀45

所以ln7T4>In47r,57rln4>47dli5,

所以51n7r4>51n4兀，51n4兀>41n5兀,

即c>b,b>Q.

所以aVbVc.

故選：A

(2021.云南玉溪?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知在函數(shù)/(N)—ax-\-b(a>0,b>0),g(力)=In(6+2),若對V

>—2,/(c)>gQ)恒成立，則實(shí)數(shù)工的取值范圍為()

A.[0,+8)B.[1,+8)C.[2,+8)D.[e,+8)

【答案】B

【分析】令=/(^)-g(x)=ax-\-b—ln(a;+2),即t(x)min>0,求導(dǎo)分析單調(diào)性可得t(a:)min="十一2)

>0=1—2a+b+Ina>0,即2'2—+1,令h(a)=2—ln0+l,求導(dǎo)分析單調(diào)性,求h(a)min即可

aaa

【詳解】由題意，J(T)>g(6)=/(力)—g(力)>0

令t[x}=f{x}—g(x)=ax-\-b—ln(a;+2),

則VX>—2,/(X)>g(%)恒成立,即t(x)>0恒成立，即方㈤min>0

*力=a—-2=會+售”>-2)

XI乙XI/

令=0：.x=1—2a=J__2>-2

aa

令t'(x)>0：.x>1—2a,即40在(1—2a,十⑹單調(diào)遞增；

令它(力<0：.-2<x<―2a,即貧2)在(_2,—2a)單調(diào)遞減.

a、a)

:.力㈤min—1(—■—2)>0=>l—2a+b+Ina>0

va)

.\b>2a-l-lna^>—>2-lna+1

aa

令無(a)=2—^^,?.〃3)=當(dāng)

aCL

令"(Q)>0.?.Q>L即從a)在(1,+oo)單調(diào)遞增；

8

令"(a)<0.I0VaV1,即從a)在(0,1)單調(diào)遞減；

/l(a)min=無⑴=1

1

a

故選：B

(2020.全國.高三競賽)已知首項(xiàng)系數(shù)為1的五次多項(xiàng)式/(0滿足：/(n)=8%九=1,2,…，5,則f(x)的

一次項(xiàng)系數(shù)為.

【答案】282

【分析】由已知條件令g(c)—f(x)-8c,結(jié)合條件求出函數(shù)/(①)的表達(dá)式，然后求出一次項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】解：令gQ)=f(x)-8x,則g㈤也是一個首項(xiàng)系數(shù)為1的五次多項(xiàng)式,

且g(n)=/(n)—8n=0,n=1,2,-??,5,

故g(,)有5個實(shí)數(shù)根1,2,???,5,

所以gQ)=(X—1)(a:—2)???(jc—5),

于是/(2)=(工一1)(土一2)…(,一5)+&c,

所以/㈤的一次項(xiàng)系數(shù)等于(1+/+：+:+抒5!+8=282.

故答案為：282

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是結(jié)合題意求出函數(shù)〃力)的表達(dá)式,在計(jì)算一次項(xiàng)的系數(shù)時注意解題方

法..

?(2018?全國?高三競賽)已知a、0、7為方程5/—6/+76—8=0的三個不同的根，則

(df2+^2)(^82+/?/+/2)(/2+/(^+^2)的值為.

▼【答煤案0、】一16而79

【詳解】注意到，(/+磔+/)(62+歷+/)(/+“+&2)=亞45(/-嚴(yán)5(/3-a3)

50—6)5(6—7)5(7-?)

6(〃—/)—7(a—0)6(￡?—7)—7(0—7)6(/2—af2)—7(7—a)

5(a—￡)5(0一,)5(/—<z)

_[6(a+0)—7][6(6+7)—7][6。+0—7]

一53

[6信—7)—7][6信一0)—7][6管一用―7]

53

53

記/(力)=5(力一a)(力_0)(力—7)

則((2f2+^+/?2)(^2+jS7+72)(/2+)=1679

625.

【題型6三角函數(shù)中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2024上?全國?高三統(tǒng)考競賽)給定若7x,yeR滿足cosc+kcosy—1,均有\(zhòng)y\>?n,則

k的范圍是()

A.(-oo,0)U(2,+oo)B.(—oo,0]U[2,+oo)C.[0,2]D.(0,2)

【答案】A

【分析】對參數(shù)k分0WA;W2,k<0,k>2三種情況討論，根據(jù)余弦函數(shù)的定義域與值域的范圍即可求

9

依題意，

若0&k&2,則—l&l—k&l,取g=0,則cos/+kcosp=1有解，不符題意,舍去；

若kV0,則1—kcosy=cos/W1,于是kcosy>0,此時cosyW0,必有|g|>■，取m■即可;

若k>2貝Ucosy=——:。s”-43VL必有\(zhòng)y\'arccos-y-,取?n=arccos-7-即可.

kkkk

綜上，k的范圍是(-oo,0)U(2,+8).

故選：A.

￡式1】（2018?吉林?高三競賽）已知/（力）=不詈匚,則對任意力GR,下列說法中錯誤的是（）

A./（c）>《sincB.|/（叫《㈤C.|/（叫《空D./（兀+工）+/（兀一2）=0

oJ

【答案】4

【詳解】由/（劣）>gsinc得sin力（1—COST）>0,<1—cos/>0,所以該式不一定成立，sinn有可能是負(fù)

o

數(shù)，所以選項(xiàng)A錯誤；

73）|=,|sin3：l,WIsin^lW|x|.所以選項(xiàng)B正確；

|2+COST|

|/（c）|=*n引.90表示單位圓上的點(diǎn)和（-2,0）所在直線的斜率的絕對值，數(shù)形結(jié)合觀

|2+cos幻COST—（—2）

察得到|/（,）|W乎，所以選項(xiàng)。正確；

O

—sin力+sinrr

/(兀+m)+/(兀-2)=1—=0,所以選項(xiàng)。正確.

2—cos12—cosx2—cosa;

故答案為工

（2021.全國?高三競賽）函數(shù)/（力）=cos力的圖象與直線y=kx（k>0）恰有四個不同交點(diǎn)，設(shè)四個交點(diǎn)

中橫坐標(biāo)的最大值為a,則a?tana=.

【答案】-1

【詳解】易/（力）=cos力與g=for在區(qū)間（,兀,2兀］內(nèi)相切，切點(diǎn)為（a,cosa）,

即該點(diǎn)斜率相同，所以k=-sina,

故（一sina）a=cosdr,得至Utana=----，

a

所以a?tan。=—1.

故答案為：—1

（2022.新疆.競賽）已知二面角a—/—0的平面角為60。，4,0為直線，上的兩點(diǎn)，射線。8在平面a

內(nèi)，射線OC在平面6內(nèi)，已知ABDA=45°,ZCDA=30°,則cos/BOC等于

安j

8

【詳解】在a平面中，過點(diǎn)4作D4的垂線，交射線DB于點(diǎn)8交射線DC于點(diǎn)C,

設(shè)ZM=1,則AB==2,4。=卑,,

OO

則/氏4。=60°是二面角“一2—"的平面角；

在^BDC中，利用余弦定理得BC*2=^--^-COS^BDC,

oo

同理在ABAC中，BC2=生,

10

所以cos/BDC=2娓

O

故答案為：2娓t鼻.

O

（2021.全國?高三競賽）在AABC中，AC=5,^—+-^―——=0,則BC+AB的值為

tan俳tan*tan專

【答案】7

【詳解】解析:記△AB。中43、。所對的邊分別是a、b、c,

如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,

mil,Ar,Cr.Br

則tan—=--------,tan—=——,tan—=―,------

2b+c—a2a+b—c2a+c—b

~~222

故b+c—a+a+b—c=5(a+c—b),故5(Q+C)=7b,

即a+c=7,

故答案為：7

【題型7向重中的競賽考點(diǎn)】

例1.（2022?江蘇南京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知向量4,不滿足同=3,%=2四，。辰=6,且（4+3）?+2司=0,

則5+a最小值為

［答案］正*

依題意得：日工=45°,

設(shè)—4=左，所以（a—m）=0,

如圖將落，放入平面直角坐標(biāo)系，

11

設(shè)日=。N，b^OC,OC中點(diǎn)為B,

則4(3,0),用1,1)，。(2,2),

畫圖可知：前的終點(diǎn)在以AB為直徑的圓上,

可得圓心坐標(biāo),|AB|=2r—V5,

，仗一前L=\CP\-r=§丁,

故答案為：與空.

(2020.浙江,高三競賽)已知落b為非零向量，且同=口+加=1,則\2CL+^\+間的最大值為

【答案】2四.

【詳解】解法一設(shè)二=（1,0）,b=（cos。—l,sin。），則

|2a+同+忖=V（cos0+1）2+sin2^+J（cos?！?）?+sin%=2（|cos-|-|+|sin-|-|）42A/2.

解法二設(shè).，則[了干二+前,且同=1悶=1,所以

[n=a+b[a=n—m

|2a+fe|+|6|=|n+m|+|n—m|,2（忖+閱4忖_悶2）_4d（同4同'）=2^/2.

故答案為：2A/2.

!!(2021.全國?高三競賽)已知平面向量本隹落滿足同=2,同=同=5,0<4<1,若；亮=0,那么心一

b+A(b—4)|(1—A)(5—c)|的最小值為.

【答案】V29—2/—2+V29

【分析】設(shè)日=(工,y),K=(5,0),c=(0,5),則\a-b-\-A(b—c)|+|^-c+(l—/I)(fe—c)|即為點(diǎn)F(5—54,5/1)到

點(diǎn)(圓/+娟=4上的動點(diǎn))的距離與到點(diǎn)0(0,3)的距離,利用對稱可求其最小值.

【詳解】解析:建立直角坐標(biāo)系.

12

設(shè)4=也,y）,X=（5,0）,c=（0,5）,

則\a—b+A（b—c）|+|-|-c+（1—/I）（6—c）|

=-（5—5/1）F+⑨-5/1）2+J（5—5/1—Op+（5。-3）2.

問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P（5—545#到點(diǎn)A（x,y）的距離與到點(diǎn)25（0,3）的距離之和最小，

其中點(diǎn)P（5—5兒54）在直線，+?/=5（0<cV5）上運(yùn)動，

點(diǎn)A（x,g）在圓/+#=4上運(yùn)動，

所以\PD\+\PA\>\PD\+\PO\-r^\PD\+|FO|-2.

點(diǎn)。關(guān)于直線c+?/=5對稱的點(diǎn)為G（5,5）,所以

\PD\+\PO\>\DG\=V52+22=V29,

所以|PD|+）何一2,等號可以取到，所以最小值是V29-2.

故答案為：'項(xiàng)-2.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量的模的最值問題，可建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到幾何對象的距離和

最值的問題.

（2021.全國.高三競賽）已知平面單位向量本次乙落且H+1+才=6,記沙=/一由+團(tuán)一幣+上一磯

則"的最大值為.

【答案】4

【詳解】單位向量本九不滿足計(jì)口3=6,則有碗=冊=碗=等，不妨設(shè)四個向量如圖所示，分別為

O

OA,OB.OC.OX,X在單位圓。的AB上.設(shè)|衣|=nz,|限|=九，

則有m2+n2+mn=3，

13

X

c

故有（rn+n）2=3+mnW3+（館：>），即有m+nW2,

故^=\x-a\+1一“+|2—c|—m+n+伉一叫《2+2=4.

故答案為：4.

￡(2021?全國?高三競賽)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足a4+PB+PC=3AB,若△_R4C的面積

為1,則△P4B的面積為

【答案】.

【詳解】因?yàn)槁?方+1=3岳，所以3向+戲+15=3戲，

即3PA=2AB-次5=2(AB-yAC),

記AC的中點(diǎn)為“，于是刀=得癥，

O

因此SAPAB=SAB4M=1S"AC~5?

故答案為:-y.

【題型8數(shù)列中的競賽考點(diǎn)】

例1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛QJ滿足Q1=1,an+1=ln(l+an),n￡N*.下列說法錯誤的是

()

B.a<2acD.3a?>4a

A.CLnQ?i+inn+1-冊）,n+1

【答案】。

【分析】利用條件把每個選項(xiàng)中的an+i替換成飆+1=111(1+@),分別構(gòu)造函數(shù),并判斷函數(shù)的正負(fù)即可,注

意判斷時的范圍.

對于選項(xiàng)A,令/(2)=ln(l+z)—1,則/(re)=—；----1='x.

1+x1+rr

當(dāng)力e(―1,0)時，/㈤>0,所以/㈤在(-1,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)力e(o,+oo)時，7(力)vo,所以于㈤在(o,+00)上單調(diào)遞減；

故/(/)</(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)T=0時等號成立.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明每>0,

①當(dāng)n=l時，Qi=l>0,不等式成立，

②假設(shè)當(dāng)九=k時，。左>0,則0；+1>1,

那么當(dāng)n二k+1時，因?yàn)閍k+1=ln(afc+1),且耿+1>1,

14

所以ak+1=ln(afc+1)>Ini=0,

這就說明，當(dāng)口=k+1時,不等式成立，

由①、②可知，原不等式對任意的正整數(shù)n都成立，即對于任意的"GN*,都有每〉0.

因此/(QJ=hi(l+Qj-Q九V/(0)=0,即ln(l+Q。V%

故0Van+1<an,即選項(xiàng)A正確；

由以上過程得0Van+1<an<--<Qi=1,故0Van<l對任意n￡N*成立.

對于選項(xiàng)令g(力)=ln(l+T)—[6,0<力41,則g\x)——----\~~7―

2八1+/22(1+0；)

所以g(%)在(0,1]上單調(diào)遞增，故g(力)>g(0)=0,所以ln(l+a?)>.力，即ln(l+%)>冊+1>1%,

即選項(xiàng)_8正確；

對于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B得an+1>yan,

所以M>《Q九_]>..>(1■)QI=GY(TZ>2),

2\2/2

當(dāng)71=1時，/=1=，

21-1

所以%>—7T，故選項(xiàng)C正確；

2

對于選項(xiàng)D,令h[x)=In(1+力)一?8,0V/W1,貝lj九'(%)=’力一告=東；：.

當(dāng)°e(o《)時，h\x)>0,所以h｛x)在(o,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)力e(《,1]時，〃⑸v0，所以h｛x｝在31]上單調(diào)遞減；

故九3)max=從1)=lnV-;>0,又無(0)=0，無⑴=ln2-y<0.

所以存在力oG,使九(g)=0.當(dāng)力G(0,g)時，無(劣)>0；當(dāng)力6(g,l)時，九(力)V0.

故九(力)=ln(l+a;)—^x,0<x<l的正負(fù)無法確定，即3Q九與4aM大小無法判斷，

故選項(xiàng)。錯誤.

故選：D

L](2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛QJ的各項(xiàng)都是正數(shù)且滿足2浦—3%=Q.ideN*,九>2),S九

是數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,則下列選項(xiàng)中錯誤的一項(xiàng)是()

A.若｛%｝單調(diào)遞增，則0<的<2

B.若Qi=1,則2”VQ3V2

C.若QiW2,則(2出+1)(2。3+1)…(2an+1)=——~(n>2)

Q「2

D.若的=3,則3(3；+D.

【答案】D

【詳解】

數(shù)列｛冊｝的各項(xiàng)都是正數(shù)且滿足2成一3廝=&11T(nCN*,n>2),

若｛a,J單調(diào)遞增，可得an>a1,

即為a”一a?_i=4a?—2a：>0,可得0<a“<2,且nCN*),

由的<?22，可得0<5<2,故力正確；

15

若的=1,可得2謁—3a?=的=1,解得a2=3+”（負(fù)值已舍去），

由2謁—3a3=a2=3+^^,（*）,

3+產(chǎn)e（1.75,1.8）,

而2曷—3a3=2（&3—1~）—?在（2'*的范圍是（4V2—3x2,,2）,

而2V2魯<2,則42—3x2建（42一6,2）,故方程（*）的解在（2S2）內(nèi)，故B正確；

由2湍—3an=an-i,可得2鼠—3an—2=—2,即（2an+1）（an-2）=an-x—2,

即2an+1=0-，可得（2a2+D（2a3+l）…（2冊+1）=—.'二|^-馬弋=色二|_4片2）,故

冊一2電一2國一2為-2an-2

。正確；

若s=3,可得2謁-3a2=的=3,解得a2=3+產(chǎn),52=3+3+產(chǎn),

由3X（3：2+1）=*，3+3±浮-21=*二9<0,可得s<3x（