2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：圓錐曲線中定值問題的七種類型（解析）

第10講圓錐曲線中定值問題的七種類型

考法呈現(xiàn)

和線段有關(guān)的最值

弘題型一：和斜率有關(guān)的定值問題

例題分析

【例1】

已知4B是橢圓C上的兩點(diǎn)，4(2,1),力、B關(guān)于原點(diǎn)。對稱，M是橢圓C上異于48的一點(diǎn)，直線MA和MB的斜

,

率滿足媼4kMB=—

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)的直線Z交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓C的上、下頂點(diǎn))，當(dāng)小OPQ的面積最大

時(shí)，求kop/.Q的值.

【答案】(14+?=1

(2)~1

【分析】（1）利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算化簡即可；

（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式計(jì)算面積，結(jié)合基本不等式求出面積最大時(shí)的

關(guān)系式，再計(jì)算斜率之積即可.

【詳解】(1)設(shè)易知8(—2,—1),由%A.=-3,

得匕1?吟=2y2-2=4-%2,

x—2%+22

化簡得1+q=1,

o3

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為<+<=1.

o3

設(shè)I的方程為y=依+t(tK0),P(%i，yi),Q(x2,y2),

將y=fcc+t代入橢圓方程整理得，

2222

(1+2k2)x2+4ktx+2t-6=0,△=16k2t2—4(i+2/c)(2t-6)=8(6/-t+3)>0,

4kt2t2-6,2d力

與+七=一中，x1-x2=^(tK3),

則|PQI=Vfc2+1-+%2)2-41]%2=Vfc2+1-短

又原點(diǎn)。到/的距離為d=",

ljnclV22|th/3+6k2T2版|t|2+3+6/c2-t23/

故SAOPQ=]d|PQl=T.-4T.—=--

當(dāng)且僅當(dāng)|t|=43+6上2一/時(shí)取等號,

此時(shí)3+61=2戶(戶H3),△。尸Q的面積最大.

+穌k=力、2=(k%l+t)(Z%2+。_心1%2+砥-l+—2)+/

°°Q%1%2%1%2%1%2

_fc2I,-4kt/(1+2/)_-6.+/_(3-2-)+/=_1

-2t2-6+2產(chǎn)-6-2t2-6-2t2-6-2,

求定值問題常見類型以及解題策略：

(1)常見類型：

①證明代數(shù)式為定值：依據(jù)題設(shè)條件，得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式后再化

簡，即可得出定值；

②證明點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離解析式，再利用條件化簡，

即可證明；

③證明線段長度、面積、斜率(或以上量的和、差、積、商)等為定值，寫出各量的目標(biāo)函數(shù)

解析式，再做消參處理即可.

(2)常用策略：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

變式訓(xùn)練

【變式1-1】橢圓。1+5=1(。>6>0)的離心率6=/過點(diǎn)(0,百).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)G，0)且斜率不為0的直線1與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A,求直線與直線2N的斜率之

積.

【答案】(哼+?=1

(2)-|

【分析】(1)利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算化簡即可；

(2)設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式計(jì)算面積，結(jié)合基本不等式求出面積最大時(shí)的

關(guān)系式，再計(jì)算斜率之積即可.

【詳解】(1)設(shè)易知B(—2,—1),由=—：'

得W,瞿=-42/-2=4—-

22

化簡得:+9=1,

OD

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+。=1.

o3

%

(2)

設(shè)/的方程為y=kx+t(t豐0),P(%i，yi),Q(x2,y2)>

將丫=fcr+t代入橢圓方程整理得，

2222

(1+2k2萬2+4ktx+2t-6=0,△=16k2t2_4(1+2fc)(2t-6)=8(6/-t+3)>0,

“1+"2=一哀聲，尤1/2=苗記?片3）,

22

貝|]IPQI=v/c+1-v(^i+x2y-4%1%2=v/c+1'

又原點(diǎn)。至"的距離為d=7fer

21thz3+6k2T2V2田2+3+662-產(chǎn)3V2

故SAOPQ=22

\d\PQ\=y1+2/c-2,l+2k2

當(dāng)且僅當(dāng)|t|=，3+6H—t2時(shí)取等號,

此時(shí)3+6fc2=2t2(t243),AOPQ的面積最大.

yi?_("i+t)(k%2+t)%2%1無2+砥%1+%2)+/

故kop-k°Q

Xl%21112%1%2

產(chǎn)(1+2/)_—6依+[2_(3—2產(chǎn))+產(chǎn)

=.?巖+1

2t2-6~2t2-6-2t2-62

2

【變式1-2］如圖，橢圓E:?+y2=i（a>1）的左、右頂點(diǎn)分別為4,8,Q（—a,a）,N為橢圓上的動點(diǎn)且在第

一象限內(nèi)，線段QN與橢圓E交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)N）,直線。Q與直線交于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接M4,M4,AP,

且直線AM與BP的斜率之積為-

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)直線4V,4P的斜率分別為七42，證明：的"2為定值?

2

【答案】(％+V=i

⑵-

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式，建立方程，可得答案;

(2)根據(jù)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線方程，聯(lián)立橢圓與直線，寫出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示處直線并求出

交點(diǎn)，利用斜率公式，寫出代數(shù)式，化簡可得答案.

【詳解】(1)設(shè)直線4"與BP的斜率分別為以M/BP，則心M/BP=—3，

2

設(shè)順配.)，由橢圓E:va+y2=i(a＞。)，且分別為其左右頂點(diǎn)，則4(—a,0),B(a,O),

因?yàn)镸在橢圓E上，則料羽=1,即羽=1一志

設(shè)直線4M與BM的斜率分別為%M，kBM,

則%”.做“=七?衛(wèi)=￡=叁=與%=—3

DI1x()+axo-aXQ—alx^—a1x^—a1ar

由k4M,%1=k14M?^BM=—蔡"則一去=—茄，化簡可得2a2=a?+9,

解得a?=9,由a>0,解得a=3,

則橢圓E:'+y2=1.

(2)由(1)可得4(一3,0),B(3,0),易知直線MN斜率存在，否則直線MN過點(diǎn)Q(-3,3),N就不在第一象限.

設(shè)直線MN:y=kx+m,由Q(—3,3)在直線MN上，貝!]3=—3k+ni,即m=3+3k,

y=kx+m

設(shè)M(%i，yD，N(%2，y2)，聯(lián)立可得2d，即％2+9(kr+m)2—9=0,

—Fy=1

9,

化簡可得：(1+9/c2)x24-18kmx+9m2—9=0,△=(18fcm)2—4(9m2—9)(1+9k2)>0,

由韋達(dá)定理，可得比1+久2=-\翳，打相=誓言，

直線=冬(％-3),直線。Q:y=—x,

%L3

聯(lián)立可得：?=芝：一3)，則一%=含0-3)，-雙打―3)=yi(x—3),

即3yl=尤Oi+%i-3),故乂=,則P(“--等二)，

yi+%1—3\yi+xi—3yi+xi—3/

3yl

-3yl_一，1

故的=潦T七=/號

3yi+3(yi+xi—3)%i+2yi—3'

42T。-；---+3

y1+x1-3

可得的?心=y?/京士，由yi=/bq+7n,y2=kx2+m,代入儲,k2.

則k優(yōu)=—絲北.一竺四—(/c%l4-m)(/c%2+m)

1肛+3xi+2/cxi+27n—3(%i+3)(%i+2yi+2m-3)'

k2x-[X2+rn2+km(x\+犯)

由m=3fc+3,貝!J/q?&

(%2+3)(%i+2k%i+6k+6-3)

k2x1X2+m2+km{xi+x2)k2x1X2+'m2+km(xi+x2)

一(%2+3)[(l+2k)%i+3(l+2⑼(1+2k)[%]%2+3(%]+%2)+9]，

將打+刀2=-黑工，％62=整會代入上式，并分子分母同乘以1+91,

十V/CLiyK

|-|.i,,_fc2(9m2-9)+m2(l+9fc2)+/cm-(—18km)

人12(l+2/c)[97n2-9-3xl8/cm+9(l+9/c2)]

97n2Zc2-9/c2+m2+9mzk2-18mzk2m2—9fc2

~—(l+2/c)(97n2-9-54/c7n+9+81/c2)~~(l+2/c2)(97n2+81/c2-54/cm)J

將TH=3k+3代入上式，則七1七2二-7(-l-+2k12)、[「9((9A:*2+9++91+8/1c弋)+_81/c2---5-4-/-c(3-k-+-3-)-]r

______________________9(2/+1)_______________________9___1

一(1+2〃)(81/+81+18'弘+81k2_i62/_i62k)—81-9,

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵解題思想為“設(shè)而不求”，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓與直線方程，建立等量關(guān)系，化簡代

數(shù)式，即可解題.

【變式1-3］在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知定點(diǎn)F(l,0),定直線上％=4,動點(diǎn)P在/上的射影為Q,且滿足

\PQ\=2\PF\.

(1)記點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為凡求E的方程；

(2)過點(diǎn)F作斜率不為0的直線與E交于MN兩點(diǎn)，2與X軸的交點(diǎn)為從記直線M"和直線N”的斜率分別為

klfk2f求證：fci+fc2=0.

【答案】(lg+9=l

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)P(x,y),由|PQ|=2|PF|列式化簡即可得E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸作斜率不為0的直線為x=my+1,M(Xi，yD，NQx2,y2),聯(lián)立直線與曲線E的方程，結(jié)合斜

率公式和韋達(dá)定理即可證明.

【詳解】(1)設(shè)P(x,y),則Q(4,y),因?yàn)閨PQ|=2|PF|,

所以|x-4|=2jQ-l)2+y2,化簡得，9+9=1,

即E的方程為。+<=L

43

(2)由題意知”(4,0),

設(shè)過點(diǎn)F作斜率不為0的直線為x=my+l,N(x2fy2'),

x=my+1

22

聯(lián)立％2y2可得，(3m+4)y4-6my—9=0,

—+—=1

43

則乃+乃=—品'為九=一高'

又的=年？B=含，

k=yi_|_y2_丫10丫2-3)+，2(吶-3)

12%]—4亞―4(%1-4)(%2—4)

,9xQZ6m、18m18m

2nly1丫2-3(%+丫2)_9瓶，37n2+4)(3m2+，_3m2+4+3瓶2+4_0

(X1-4)(X2-4)(%1-4)(%2-4)(xi-4)(X2-4)

所以的+B=0得證.

為題型二：和面積有關(guān)的定值問題

，題&例題分析

【例2】已知橢圓。5+捺=1缶>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,長軸長為短軸長的2倍，點(diǎn)P在C上運(yùn)

動，且△4BP面積的最大值為8.

⑴求C的方程；

(2)若直線I經(jīng)過點(diǎn)Q(l,0),交C于M,N兩點(diǎn)，直線力M,BN分別交直線久=4于D,E兩點(diǎn)，試問△4BD與△力QE

的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

【答案】（底+5=1

（2）AABD^A4QE的面積之比為定值g

【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可；

（2）利用韋達(dá)定理及面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由題意得2a=2x2b,即a=2Z?①.

當(dāng)點(diǎn)P為C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，△/8尸的面積取得最大值,

所以1x2bxa=8,即ab=8②.

聯(lián)立①②，得a=4,b=2.

故C的方程為4+《=L

164

(2)

△ABD^LZQE的面積之比為定值.

由(1)可得/(-2,0),8(2,0),

由題意設(shè)直線1：%=my+(如力),

x=my+1,

聯(lián)立y2/_得(4血2+i)y2+Qmy-12=0,

—I—=1.

I164

則A=64m2+48(4m2+1)>0,

8m12

yi+y=------—,ViV?=------n—，

八?4m2+lzi,zz4m2+1

3

所以小丫1及=5(乃+丫2)?

直線AM的方程為y=/(％+2),

令』，得>=署即”4,黑)

同理可得E(4,普).

故4ABD與△4QE的面積之比為

1

SAABD引力4\yD\4yi(x-2)4yi(my-1)叩/2—yi

2—2=4x

SMQE^\AQ\\yE\3也1丫2(#1+2)，2(myi+3)叩/2+3y2

|(yi+y2)-yi

基+152_4

=4x=4x=~

|仇+丫2)+3丫2|月+先2

即^ABD與△4QE的面積之比為定值小

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是化積為和，得到小當(dāng)力=|(乃+丫2)，最后得到面積比值表達(dá)式,

再進(jìn)行代換即可得到面積比值.

變式訓(xùn)練

【變式2-1】已知雙曲線C:攝一，=l(a>0,b〉0),漸近線方程為y±]=0,點(diǎn)A(2,0)在。上;

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)4的兩條直線4P,4Q分別與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)(不與4點(diǎn)重合)，且兩條直線的斜率的，而滿足的+

卜2=1，直線PQ與直線久=2,y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，求證：△4MN的面積為定值.

【答案】(1*一9=1

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得a,匕，從而求得雙曲線C的方程.

(2)設(shè)出直線PQ的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)自+心=1列方程，判斷出M

點(diǎn)的位置，從而求得A/MN的面積為定值.

【詳解】(1)a>0,b>0,依題意，］a2=b=1,

la=2

所以雙曲線C的方程為4一4=1.

41

(2)依題意可知PQ斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m,P(xi，yi)>Q(x2,y2)>

y^kx+m+冷=若今

(1一丁=1(/62'_果

A=64k27n2+4(1—4fc2)(4m2+4)>0,m2+1—4fc2>0①，

k+卜_乃1y2_+——

i2%1—2%2—2%1無2—2(5+%2)+4

=2M-告)+(m_2k)(器)-4m=1

京+42T)14—'

1-4〃\l-4k2)+

整理得(m+2fc)(m+2fc-l)=0.

1)m+2fc=0,=PQ:y=kx—2k,過4(2,0)舍去，

2)m+2fc-1=0,=>PQ:y=kx—2k+1,過點(diǎn)(2,1),

此時(shí)，將m=1-2k代入①得(1-2k>+1-4/c2=2-4fc>0,fc<p

PQ與%=2交于點(diǎn)M(2,l),故SA4MN=/x2x1=1(定值)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)已知條件求得a,b,a,b是兩個(gè)未知數(shù)，所以

2

題目往往給定兩個(gè)已知條件，如本題中的漸近線方程和4點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)候,還需要結(jié)合隱藏條件%2=a2+b"

來進(jìn)行求解.

【變式2-2］已知橢圓的：+y2=1(a>1)與橢圓C?：1^+力=1(0<b<2V3)的離心率相同，且

橢圓。2的焦距是橢圓Q的焦距的百倍.

⑴求實(shí)數(shù)。和6的值；

⑵若梯形力BCD的頂點(diǎn)都在橢圓的上，AB//CD,CD=2AB,直線3。與直線相交于點(diǎn)尸.且點(diǎn)尸在橢

圓C2上，試探究梯形力BCD的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(l)a=2,b-^3

(2)是定值，該定值為苧.

【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a,b的方程，即可求得答案;

（2）設(shè)C（X1，V1），O（X2，y2），P（xo，yo），表示出4B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法推出直線CD的方程，進(jìn)而聯(lián)立橢圓

。方程，求得弦長|C0,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求得△PCD的面積，進(jìn)而可求得梯形4BCD的面積為定值.

【詳解】（1）由題意知，五三=絆或，且2疵F=2百?后二7,

a2V3

解得Q=2,b=V3.

（2）梯形4BCD的面積是定值，該定值為竽.

理由如下：

2

由⑴知的：^+y=1,C2：（+9=1,

設(shè)C(xi，yi),D(x2,y2)'P(x0,y0),則工+￡=1,

因?yàn)?B〃CD,CD=2AB,所以48分別為尸DPC的中點(diǎn),

作差可得，苧+羽+等+2yoyi-3=O.

因?yàn)榫?1=!■,即羽=3-與,所以+4y（）yi=0.

同理可得，xox2+4yoy2=O,所以C,。都在直線+4%丁=0上,

即直線CD的方程為%0尤+4y0y=0.

(XX+4yoy=0

聯(lián)立｛ORy2=i，可得曠2=品2=

則|“1-x2|=4，1月一、2l=

即|CO|二V(%1-X2)2+(71-72)2=

又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線CD的距離d=產(chǎn)隨=12=4,V3

J^+16走J福+16%J16-舄

所以△PCD的面積為SAPCD=||CD|=|^-=2V3.

16-舄

又因?yàn)椤鱌BASAPCD,CD=2AB,所以S“co=4s”切，，S^BA=y,

所以梯形ABCD的面積為S梯形Men=SAPCD-SXPBA=學(xué).

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是關(guān)于求解橢圓中的參數(shù)以及定值問題，綜合性強(qiáng)；難點(diǎn)在于求解定值時(shí)，要有

明確的解題思路，即方程思想，利用聯(lián)立方程，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求解弦長以及面積等，并且計(jì)算過程較為復(fù)

雜，計(jì)算量大，要十分細(xì)心.

222

【變式2-3]已知橢圓的：氏+方=l（a〉b〉O）,橢圓。2：亍+廿=1.點(diǎn)P為橢圓。2上的動點(diǎn)，直線。P與

橢圓的交于4B兩點(diǎn),且a=2而.

⑴求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）以點(diǎn)P為切點(diǎn)作橢圓。2的切線2，2與橢圓的交于C,D兩點(diǎn)，問：四邊形力CBD的面積是否為定值？若是，

求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍.

【答案】（1焉+[=1

⑵四邊形力CBD的面積為定值8V3

【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)關(guān)系，代入即可求解,

（2）根據(jù)切線的定義，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式為0可得k=-白，進(jìn)而由弦長公式可得弦長,

4yo

以及點(diǎn)到直線的距離可得三角形的高，進(jìn)而得面積.

【詳解】（1）設(shè)P（%o，y。），4（%21），8（%2，及），因?yàn)橥粒?2而，所以％1=2%0，=2y0

因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓。2上的動點(diǎn)，所以J+羽=1，從而印+（半）2=1

即1+J=1,故橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程（+9=1;

(2)

法一：設(shè)（7（%3，為），。（＞4，＞4），

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則直線I的方程為y-y0=k（x-&）

y-yo=k(x-%o)

22

久2，=/+4[fc(x—x0)+yo]—4=0,即(1+4后)/+8fc(y0-kxo)x+4(y0-fcx0)-

T+y=1

4=0,

2

222

A=[8fc(y0-fcx0)]-4(1+4fc)[4(y0-fc%0)-4]=0(2y0k+藍(lán))=0=k=一/，即y()力0，代入

得直線I的方程為勾X+4yoy-4=0

'xox+4yoy-4=0

2

聯(lián)立],y_1，消去y得/一2x0x+4-16羽=0

五+7=1

ICDI=J1+總"L%=『+京曰-4(4一16冠

注意到/+4羽=4化簡得|CD|=工3(丸+16%)

又4(2久°,2y0),B(-2x0,-2y0)

所以點(diǎn)力到直線I:久ox+4yoy-4=0的距離為心=竿也=

J%o+16yoJ%o+16yo

所以點(diǎn)B到直線龍+4yoy—4=0的距離為d?=卜產(chǎn)-溺12

.+16近J.%6y.

故SABCD=SACD+SBCD=jlCDIdi+||CD|d2=1V3(4+12)=8百

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，即即=。，若P(2,0)，貝U：l：x=2,

則C(2,g),0(2,一百),4(4,0),B(—4,0),

所以LBCD=SACD+SBCD=~\CD\dx+||CO|d2=8V3

同理可得，若P(—2,0),SABCD=8V3

綜上，四邊形4CBD的面積為定值8H.

法二：設(shè)。。：3，為)，。(刀4，、4)，

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=kx+m

ry=kx+m

-x2=>%2+4(fcx+m)2—4=0=>(1+4fc2)x2+Qkmx+4m2-4=0

匕+y=1

A=0=>(8km)2—4(1+4fc2)(4m2—4)=0=>4fc2—m2+1=0,

"y=fcxH-m

x2y2n%2+4（kx+m）2—16=0=>（1+4/c2）%2+8kmx+4m2-16=0

.16+T=1

-8km

…4=壽而

4m2—16

7

XO3X4A=---l---+----4-f--c-2

\CD\=Jl+的久3—X4|=HJ（的+應(yīng)）2一4小必

222

—8km\4m—164V1+fc22

=H1+4k2）^4+16k—m

l+4fc21+4/

注意到巾2=41+1化簡得|CD|=)篙,

原點(diǎn)。到直線1的高為d=黑=

又因?yàn)橥撸?2而，點(diǎn)P是。力的中點(diǎn)，所以點(diǎn)a到直線1的距離等于點(diǎn)。到直線1的距離,

由對稱性可知，OB^-OA^-20P,所以點(diǎn)B到直線2的距離等于點(diǎn)。到直線I的距離的三倍，故SABCD=

SACD+SBCD^l\CD\d+^\CD\3d=2\CD\d=8百.

當(dāng)斜率不存在時(shí)，同法一.

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范

圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意

向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，起到了重要的作用.

弘題型三：和周長有關(guān)的定值問題

忠,例題分析

【例3】已知尸為圓C：/+y2—2x—15=0上一動點(diǎn)，點(diǎn)N(—1,0),線段PN的垂直平分線交線段PC

于點(diǎn)Q.

⑴求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)點(diǎn)M在圓/+產(chǎn)=3上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓/+y2=3的切線交。點(diǎn)軌跡于4,B兩點(diǎn),

問A4BC的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

【答案】(1聲+[=1

(22ABC的周長為定值4

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知|PQ|=|QN|,可得|QN|+\QC\=4>\CN\,滿足橢圓定義，由此可

求得Q點(diǎn)軌跡方程；

(2)設(shè)401，%),8(物力)，x1(x2e(0,2),分別求出|4C|,|BC|,再根據(jù)力B1OM,利用勾股定理分別求出

\AM\.\BM\,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意得：圓C:(x—l)2+y2=16,則圓心C(l,0),半徑r=4,

設(shè)PN中點(diǎn)為K,則QK為線段PN的垂直平分線，則|PQ|=|QN|,

所以IQN|+\QC\=\QP\+|QC|=r=4>|NC|=2,

所以Q點(diǎn)軌跡是以GN為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

即a=2,c=1,貝亞2—a2—c2—3,

則U=l.+）=1,故y"3—率羽=3—率

故|4C|=1（Xi-1尸+比=Jg-2巧+1+3一淆=出4-%）2=2一,

同理可得|BC|=2-

因?yàn)锳B10M,\0M\=V3,

所以|4M|=川。4|2—|0"|2=J好+y23=Jxj+3-—3=>

同理可得|BM|=（刀2，

所以|48|+\AC\+\BC\=14M|+\BM\+\AC\+\BC\=1■久1+,|%2+2-1久i+2-=4,

即△力BC的周長為定值4.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

【變式3-1】已知橢圓r：捺+，=19>6>0)的左焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為A,B,上頂點(diǎn)為P.

(1)若APFB為直角三角形，求「的離心率；

⑵若a=2,6=1,點(diǎn)Q,Q'是橢圓「上不同兩點(diǎn)，試判斷TPQ|=|PQ「是"Q,Q'關(guān)于y軸對稱”的什么條件?

并說明理由；

(3)若a=2,6=百，點(diǎn)7為直線％=4上的動點(diǎn)，直線兀4,T8分別交橢圓「于C,。兩點(diǎn)，試問AFCD的周

長是否為定值？請說明理由.

【答案】(1卓

(2)必要不充分條件，理由見解析

(3)是，理由見解析

【分析】(1)利用APFB為直角三角形得到麗?麗=0,轉(zhuǎn)化為ac=^=。2—C2即可得e=$="二.

a2

(2)根據(jù)橢圓的對稱性可證必要性，又反例可知不滿足充分性.

(3)先證直線CD過橢圓的右焦點(diǎn)，可得AFCD的周長為4a=8

【詳解】(1)

如圖F(—c,O),P(O,b),B(a,O),

~PF=(-c,-b),而=(a,-b),

由題意而?而=0,即ac==a?—c2,故e=l—e2,

解得離心率e=早

(2)必要不充分條件.

必要性：根據(jù)橢圓的對稱性可知，當(dāng)Q,Q'關(guān)于y軸對稱時(shí)，|PQ|=|PQ］成立;

?2門

充分性：橢圓方程為丁+儼=1,設(shè)Q(%,y),

4

\PQ\2=x2+(y-I/=-3y2-2y+5,在(-1,1)上不單調(diào)，

所以可舉反例：分別取yi=0,乃=-|，

即Q(2,0),<2'(乎,-1)

使得IPQI=|PQ'|=遍，但Q，Q'不關(guān)于y軸對稱.

(3)

由題意，4(—2,0),5(2,0),橢圓方程為9+9=1,

設(shè)T(4,t),則直線47的斜率為747T=￡方程為：y=：(x+2),

聯(lián)立橢圓方程得(27+t2)x2+4t2%+4t2-108=0,

/+-/，故和==，代入y=：(x+2)得次=蒜，

所以C(H，赤滔)，

同理直線BT的方程為：y=1(x—2),

聯(lián)立橢圓方程得(3+t2)x2-4t2x+4t2-12=0,

xB+xD=京，故功=代入y=；(%-2)得y。=熹，

所以。(驍案)

18t-6t

wr以々—27+m3+m_24K產(chǎn)+9)_6t

歷以KCD-5”2t22t2—6-4(81-t4)一屋浮

27+t2~3+t2

CD直線方程為y-=言?(久一蚩卷)，

令y=0,可得％=1,即直線CD恒過橢圓的右焦點(diǎn).

所以△FCD的周長為定值4a=8.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為。i，yD,0：2。2)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為X1+乂2、叼乂2(或乃+丫2、月丫2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

22

【變式3-2】已知橢圓。宗+方=1口>6>0)的長軸長為4,A,3是其左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于/,

B的動點(diǎn)，且々MZ,=—：?

(1)求橢圓。的方程；

⑵若尸為直線x=4上一點(diǎn)，PA,尸8分別與橢圓交于C,。兩點(diǎn).

①證明：直線CD過橢圓右焦點(diǎn)?2；

②橢圓的左焦點(diǎn)為Fi，求ACFi。的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

【答案】(《+9=1

(2)①證明見解析；②定值為8.

【分析】(1)由題意可得a=2,>1(-2,0),1(2,0),設(shè)M(%o，yo)(x()不±2),可得爐部+4%=4抉，進(jìn)而根

據(jù)題意即可求解;

(2)①設(shè)P(4,t)(tK0),聯(lián)立直線和橢圓方程，求得C(獸,2；O>34^),進(jìn)而得到尸2。F2D,

再根據(jù)向量共線的定義即可得證；②根據(jù)橢圓的定義即可求解.

【詳解】（1）由已知得:a=2,4（一2,0）,8（2,0）,

設(shè)M（xo，yo）（&K±2）,因?yàn)镸在橢圓上，所以扶就+4弟=4F①

因?yàn)椴贰?-KMB-7^'7^^=-p

XQ-TZXQ-ZXQ-44

將①式代入，得4b2-房焉=12-3焉，得按=3,

(2)①證明：設(shè)P(4,t)(tK0),則kp4=gZp4：x=；y—2,

ot

同理可得々PB+2,

,x=-6y—o2“c

t/曰_18t54-2好

聯(lián)立方程e比=i，何yc=加？'

X。=27+t2

.丁十石一

則c(篝，給

%=：y+2,

_6t_2t2-6

同理聯(lián)立方程22，可得

xy3+t2秘=訴

—i—=1

.43

則。(宴弟)

又橢圓的右焦點(diǎn)為尸2(1，0)，

所以就=(需，券1,臣=(忌言)

m、.27—3/—6t18tM—9八

因----T-X-----7-----------TX-----T=0

27+t23+t227+t23+t2，

說明C,D,%三點(diǎn)共線，即直線CD恒過％點(diǎn).

②周長為定值.因?yàn)橹本€CD恒過Fi點(diǎn),

根據(jù)橢圓的定義，所以AC%。的周長為4a=8.

【變式3-3］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓P與圓的：(x+1)2+產(chǎn)=；內(nèi)切，且與圓c2：(x-1)2+y2=；

44

外切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)曲線C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為&、A2,T為直線2:x=4上的動點(diǎn)，且7不在x軸上，直線T4與C的另

一個(gè)交點(diǎn)為M,直線?必與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,尸為曲線C的左焦點(diǎn)，求證：AFMN的周長為定值.

【答案】(19+9=1

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)動圓P的半徑為R，分析可得|PCi|+|PQI=4>￡101=2,利用橢圓的定義可求得軌跡E

的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)7(4,t)(t70),設(shè)W(x2,y2),寫出直線T4、的方程，將這兩條直線分別與曲線E

的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，可得出直線MN的方程，化簡直線MN的方程，可知直線MN過橢圓E的

右焦點(diǎn)，再利用橢圓的定義可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)解：設(shè)動圓P的半徑為R,

由題意可知：圓的的圓心為的(一1,0),半徑為玄圓。2的圓心為牝(1，0)，半徑為右

因?yàn)椤晷膢=2,則￡心1<，?，所以，圓C2內(nèi)含于圓Q,

因?yàn)閯訄AP與圓Ci內(nèi)切，且與圓C2外切，

IPCJ=--R

則<1NIPCII+IPQI=4>CiQI=2,

\PC2\=9+R

所以，動圓P的圓心的軌跡E是以C1、為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)其方程為宏+，=1(。>b>0)，其中2。=4,2c=2,

所以，a=2,b2=a2-c2=3,從而軌跡E的方程為。=1.

(2)證明：由題意可知&(一2,0)、42(2,0)、T(4,t)(t*0),

設(shè)“01，%)，N(%2，y2)，如下圖所示：

F

直線&T的方程為y=：(x+2),直線的方程為y=1(%-2),

聯(lián)立方程

y=1(x+2)

[RA消去y得(27+t2)x2+4t2%+4t2-108=0,

54-2/

由韋達(dá)定理可得-2.小=空罌,即

27+t2

貝帆=(01+2)=(

OO

聯(lián)立方程《2222

2可得(3+t)x-4tx+4t-120,

—+

<4

由韋達(dá)定理可得2冷=笑薩，即冷=密

則%=；3-2）=；（驍一2）=盛，故點(diǎn)'（驍，器），

所以，-善

27+t23+t2

所以，直線MN的方程為y+Wj=—七（％—驍），

即丫=—；^x+7^=一1），且tH±3，

故直線MN過定點(diǎn)（1,0）,所以AFMN的周長為定值8,

當(dāng)1=±3時(shí)，7（1,一|）或用（1,一|）、N（l,|）,

所以，過橢圓E的焦點(diǎn)（1,0）,此時(shí)AFUN的周長為定值4a=8,

綜上所述，AFMN的周長為定值8.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

為題型四：和線段有關(guān)的定值問題

忠例題分析

【例4】如圖，已知橢圓的：捻+，=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為%,6，點(diǎn)人為的上的一個(gè)動點(diǎn)（非左

右頂點(diǎn)），連接力Fi并延長交Ci于點(diǎn)B,且△力NF?的周長為8,△4F1F2面積的最大值為2.

⑴求橢圓Cl的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓。2的長軸端點(diǎn)為F1/2，且C2與C1的離心率相等，P為與。2異于F1的交點(diǎn)，直線PF2交C1于M,N

兩點(diǎn)，證明：|4B|+|MN|為定值.

【答案】(用+1=1

(2)證明見解析

【分析】(1)由△力BF2的周長為8和△力Fi&面積的最大值為2,有4a=8,be=2,解出a,6得橢圓方程;

(2)由已知求出橢圓。2的方程，設(shè)的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式，表示出|AB|和|MN|,化簡

\AB\+|MN|為定值.

【詳解】(1)???△ABB的周長為8,由橢圓的定義得4a=8,即a=2,

又△小\?2面積的最大值為2,??[?2c-b=2,即%=2,

2

va2=b2+c2,b2+c2=4,b2+=4,解得b=V2,

???橢圓Cl的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+?=1.

(2)由(1)可知%(-誼,0),F2(V2,0),橢圓J的離心率e=：=￥，

22,2,2<2p-2

設(shè)橢圓C2的方程為馬+與=1，則有a'=VL彳=二=(9),解得b'=l,

橢圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為'+必=i,

設(shè)P(%o，yo),8(電丫2)，??,點(diǎn)P在曲線。2上，；?1+2羽=2,

依題意，可設(shè)直線ZB,MN的斜率分別為七,々2，

則ZB,MN的方程分別為y=k^x+V2),y=的(％-魚)，

干尾“匕_y。y。_%_式2_均__i

十7￡七心一病百丁正一系3-xp--—5，

y=fci(%+V2)

聯(lián)立方程組、A2消去y整理，得(2k/+i)x2+4立好x+4好一4=0,

4V2k?4k?-4

Xi+X7=-7,Xi.%2=~79

1N2妊+11L2好+1

同理可得：\MN\=

Z/<2?J-

4超+4=?-看)+4=8妊+2

=一/，；.|MN|

???\AB\+|MN|=黑+需=6為定直

【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或月建立一元二次方程，然后借

助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次

方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

22

【變式4-1】已知橢圓C：%+左=1(a>b>。)的焦距為4,左右頂點(diǎn)分別為&,42，橢圓上異于4，42

的任意一點(diǎn)尸，都滿足直線P4,P4的斜率之積為-/

⑴若橢圓上存在兩點(diǎn)當(dāng)關(guān)于直線丫=%+根對稱，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)過右焦點(diǎn)B的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。作直線兒W的垂線并延長交橢圓于點(diǎn)Q.那么，是否

存在實(shí)數(shù)上，使得高+春為定值？若存在，請求出左的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(一手，手)

(2)存在，k*

【分析】⑴設(shè)P(x,y),則加公-kPA2=-1,又點(diǎn)尸在C上,利用待定系數(shù)法求出橢圓方程;設(shè)片皿：y=~x+t

聯(lián)立/+2y2=8得出t,TH關(guān)系得出結(jié)果.

(2)設(shè)】MN：%=sy+2聯(lián)立第2+2y2=8表示|MN|,I°Q：y=-sx聯(lián)立%2+2y?=8得|OQ|,代入求得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意得：c=2,4(一%0),4(a,0),P(x,y),

,點(diǎn)。在。上，；.y2=b2—去％2代入①式，.?.2b2一今％2=a2—%2,a2=2b2,

c=2,a2=8,h2=4,橢圓。方程譽(yù)+?=1,

設(shè)片1%:y=-％+￡聯(lián)立％之+2y2=8得3x2—4tx+2t2—8=0,

△=(4t)2-12(2產(chǎn)-8)>0=>t2<12=>tE(-2V3,2V3),

G+t2=phh=^7^.

...Bi，%中點(diǎn)在/上