中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：整式運(yùn)算及應(yīng)用

1.2重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：整式運(yùn)算及應(yīng)用

題型分類結(jié)構(gòu)圖（本專題共100題102頁）

題型1：數(shù)字規(guī)律探究

題型2:圖形規(guī)律探究

題型3:圖形周長探究問題

題型4:與整式有關(guān)的圖形面積問題

整式運(yùn)算及應(yīng)用

題型5:未知項(xiàng)（符號(hào)）探究

題型6:整式運(yùn)算的應(yīng)用

題型7:因式分解的應(yīng)用

題型1：數(shù)字規(guī)律探究

典例：（2023?河北石家莊?九年級(jí)期中）如圖為2022年10月的日歷表，在其中用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如

圖中虛框所示），設(shè)這4個(gè)數(shù)從小到大依次為。，b,c,d.

|2022^1v|<|10J]v|>

日一二三四五六

1

國慶節(jié)

2345678

重陽節(jié)r----------

9101112J1314;15

16171819;2021J22

23242526272829

3031

（1）若用含有。的式子分別表示出b,Jd,其結(jié)果應(yīng)為：b=;c=；d=

⑵按這種方法所圈出的四個(gè)數(shù)中，次?的最大值為

⑶嘉嘉說：“按這種方法可以圈出四個(gè)數(shù)，使得歷的值為135.”

淇淇說：“按這種方法可以圈出四個(gè)數(shù)，使最小數(shù)。與最大數(shù)d的乘積ad為84.

請(qǐng)你運(yùn)用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)分別說明二人的說法是否正確.

鞏固練習(xí)

1.（2023?西藏?中考真題）按'一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù):y,-—,；,---,—,—,….則按此

252172637

規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）

A19c2119c21

A.----B.---C.---D.—

1011018282

2.（2023?廣西百色?二模）將一組數(shù)近，2,76,2TLM2回,按下列方式進(jìn)行排列：

y/2,2,R,2&,加；

2框,V14,4,3近，275;

若2的位置記為（1,2）,的位置記為（2,1）,則商這個(gè)數(shù)的位置記為（）

A.（5,4）B.（4,4）0.（4,3）D.（3,5）

3.（2023?重慶市第。中學(xué)校模擬預(yù)測）有依次排列的3個(gè)整式：x,x+7,x-2,對(duì)任意相鄰的兩

個(gè)整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個(gè)整式之間，可以產(chǎn)生一個(gè)新整式串：X,7,

尤+7,-9,x-2,則稱它為整式串1;將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2;以此類

推.通過實(shí)際操作，得出以下結(jié)論：

CZ）整式串2為：％,7—x,7,x,龍+7,—x—16,—9,x+7,x-2;

②整式串3共17個(gè)整式；

③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2;

④整式串2021的所有整式的和為3%-4037；

上述四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

4.（2023?重慶南開中學(xué)九年級(jí)期中）有依次排列的兩個(gè)整式。，6,第1次操作后得到整式串。，b,b-a-,

第2次操作后得到整式串a(chǎn),b,b-a,-a-其操作規(guī)律為：每次操作增加的項(xiàng)為前兩項(xiàng)的差（后一項(xiàng)-前

一項(xiàng)），下列說法：

①第4次操作后的整式串為。，b,b-a,a,-b-b,a-b;

②第2022次操作后的整式串各項(xiàng)之和為a+b；

③第36次操作增加的項(xiàng)與第63次操作增加的項(xiàng)一定互為相反數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2023?黑龍江牡丹江?九年級(jí)期末）按順序觀察下列五個(gè)數(shù)T,5,-7,17,-31.......,找出以上數(shù)據(jù)

依次出現(xiàn)的規(guī)律，則第n個(gè)數(shù)是.

6.（2023?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022是表中第行第一

列.

1

23

456

78910

1112131415

7.（2023?江蘇?常州市北郊初級(jí)中學(xué)二模）如圖，一個(gè)機(jī)器人最初面向北站立，按程序：每次移動(dòng)都向

前直走5根，然后逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，每次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度增加10。.第一次直走5機(jī)后轉(zhuǎn)動(dòng)10°,第二次直走5wi

后轉(zhuǎn)動(dòng)20。，第三次直走5相后轉(zhuǎn)動(dòng)30。，如此下去.那么它在移動(dòng)過程中第二次面向西方時(shí)一共走了

米.

8.（2023?湖北恩施?九年級(jí)期中）我們知道，一元二次方程/=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平

方等于7.若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)/,使其滿足/=_1（即方程d=_i有一個(gè)根為，），并且進(jìn)一步規(guī)定：一

切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有工=i,『=一1,尸=>.j=（_］）.,=,

/=&2）2=從而對(duì)任意正整數(shù)〃，我們可以得到嚴(yán)+1=產(chǎn)4=冊(cè)4y.i=j,同理可得嚴(yán)+2=_i,

產(chǎn)+3=t?，泮=1,那么i+f+尸+/+…+嚴(yán)1+嚴(yán)2的值為.

9.（2023?重慶?巴川初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期末）在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，

求解過程如圖1所示.仿照?qǐng)D1,用“列豎式”的方法計(jì)算一個(gè)兩位數(shù)的平方，過程部分如圖2所示，則

>加c+加夕什酢廬.

10.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大.保密性強(qiáng)、追蹤性高等

特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展

現(xiàn)出無窮威力.看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”.通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白

小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)

據(jù)碼.根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成220°個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)22°°的理解如

下：

力緲（永遠(yuǎn)的神）：22°°就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù);

DDDD（懂的都懂）：2200等于2OO2;

加"（覺醒年代）：22°°的個(gè)位數(shù)字是6;

QGYW（強(qiáng)國有我）:我知道21°=1024,1O3=1000,所以我估計(jì)220°比1O60大.

其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號(hào)）.

11.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列:

若有序數(shù)對(duì)仇,利）表示第〃行，從左到右第加個(gè)數(shù)，如（3,2）表示6,則表示99的有序數(shù)對(duì)是.

12.（2023?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?二模）如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，

則第"個(gè)圖中的c=.

13.（2023?臺(tái)灣?模擬預(yù)測）健康生技公司培養(yǎng)綠藻以制作「綠藻粉」，再經(jīng)過后續(xù)的加工步驟，制成綠

藻相關(guān)的保健食品.已知該公司制作每1公克的「綠藻粉」需要60億個(gè)綠藻細(xì)胞.

請(qǐng)根據(jù)上述信息回答下列問題，完整寫出你的解題過程并詳細(xì)解釋：

（1）假設(shè)在光照充沛的環(huán)境下，1個(gè)綠藻細(xì)胞每20小時(shí)可分裂成4個(gè)綠藻細(xì)胞，且分裂后的細(xì)胞亦可繼續(xù)分

裂.今從1個(gè)綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，若培養(yǎng)期間綠藻細(xì)胞皆未死亡且培養(yǎng)環(huán)境的光照充沛，經(jīng)過15天后，共

分裂成4k個(gè)綠藻細(xì)胞，則上之值為何？

⑵承（1）,已知60億介于232與233之間，請(qǐng)判斷斗個(gè)綠藻細(xì)胞是否足夠制作8公克的「綠藻粉」？

14.（2023?重慶?三模）對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)〃，如果〃的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m

的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)〃為“筋斗數(shù)”.例如：加=5321,滿足1

+2=3,2X2+1=5,所以5321是“筋斗數(shù)”.例如：m=8523,滿足2+3=5,但2X2+3=7羊8,所以

8523不是“筋斗數(shù)”.

⑴判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；

⑵若m是“筋斗數(shù)”，且加與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m.

15.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）觀察以下等式：

第1個(gè)等式：（2xl+iy=（2x2+l）2_（2x2）2,

第2個(gè)等式：（2x2+1）?=（3x4+l）2—（3x4）、

第3個(gè)等式：（2x3+1?=（4x6+1）?-（4x6）、

第4個(gè)等式:（2x4+iy=（5X8+1）2-（5X8）、

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

（1）寫出第5個(gè)等式：；

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

16.（2023?浙江嘉興?九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)后是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1WaW9）.例如,

當(dāng)a=4時(shí)，商表示的兩位數(shù)是45.

⑴嘗試：

①當(dāng)a=1時(shí)，152=225=1X2X100+25;

②當(dāng)a=2時(shí)，252=625=2X3X100+25;

③當(dāng)a=3時(shí)，352=1225=；

⑵歸納：益2與iooa（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

⑶運(yùn)用：若后z與100a的差為2525,求a的值.

題型2:圖形規(guī)律探究

典例：（2023?湖北宜昌?九年級(jí)期末）（1）探究：已知，如圖是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行,

其中第一行有一個(gè)點(diǎn)，第二行有兩個(gè)點(diǎn)…第〃行有〃個(gè)點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和.

①求三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和；

②若三角形點(diǎn)陣中前a行的點(diǎn)數(shù)之和為300,求a的值；

③三角形點(diǎn)陣中前6行的點(diǎn)數(shù)之和是600嗎？（填“能”或“不能”）

（2）拓展：若果把（1）的三角形點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2,4,6,…，2〃，…,

①求這個(gè)三角形點(diǎn)陣中前〃行點(diǎn)數(shù)和（用含"的代數(shù)式表示）；

②這個(gè)三角形點(diǎn)陣中前〃行點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？若能，求出"；若不能，請(qǐng)說明理由.

鞏固練習(xí)

1.（2023?重慶市第七中學(xué)校九年級(jí)期中）下列圖形都是由同樣大小的黑點(diǎn)按一定的規(guī)律組成，其中第①

個(gè)圖形中一共有4個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)黑點(diǎn)，第③個(gè)圖形中一共有14個(gè)黑點(diǎn)，…，則第⑩個(gè)

圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（)

圖①圖②圖③圖④

A.44B.48C.49D.54

2.（2023?重慶市豐都縣平都中學(xué)校九年級(jí)期中）觀察下列圖形規(guī)律，其中第1個(gè)圖形由6個(gè)O組成，第2

個(gè)圖由14個(gè)O組成，第3個(gè)圖由24個(gè)O組成，……，照此規(guī)律下去，則第6個(gè)圖由O的個(gè)數(shù)一共是（）

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOO

OOO

OOO

OOOOOOOO

圖

圖②圖③

A.64B.650.66D.67

3.（2023?浙江?北大附屬臺(tái)州書生學(xué)校二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)尸從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動(dòng)一

個(gè)單位長度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長度到達(dá)數(shù)2的位置，第三

次跳動(dòng)一個(gè)單位長度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)下去,

點(diǎn)戶從。跳動(dòng)6次到達(dá)《的位置，點(diǎn)尸從0跳動(dòng)21次到達(dá)￡的位置，…，點(diǎn)斗￡、心…匕在一條直線上,

則點(diǎn)。從0跳動(dòng)（）次可到達(dá)0的位置.

A.887B.903C.90D.1024

4.（2023?重慶南開中學(xué)九年級(jí)期中）用五角星按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有3個(gè)五角

星，第②個(gè)圖案中有7個(gè)五南星，第③個(gè)圖案中有12個(gè)五角星，第④個(gè)圖案中有18個(gè)五角星，按此規(guī)律

排列下去,則第⑧個(gè)圖案中五角星的個(gè)數(shù)為（）

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆忒

☆

☆

☆☆

☆

①②③④

A.42B.52C.56D.63

5.（2023?浙江寧波?九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME.7）的會(huì)徽，主體圖案是

由圖2的"一連串直角三角形演化而成,其中。A=AA=4A=…=4一出=1,若的值是整數(shù)，且

l<n<50,則符合條件的"有（)

圖1

A.1個(gè)B.D.4個(gè)

6.（2023?青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第"個(gè)圖中共有木料

根.

a)&

第i個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

7.（2023?甘肅?平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)二模）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形邊上，按照這樣的

規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

8.（2023?甘肅?嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系尤Oy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)尸按圖中箭頭所示方向依

次運(yùn)動(dòng)，第1次從點(diǎn)（0,1）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1,0）,第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,-2）,第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3,0）,…按這樣的運(yùn)動(dòng)

規(guī)律，動(dòng)點(diǎn)戶第2022次運(yùn)動(dòng)到的點(diǎn)的坐標(biāo)是

9.（2023?山東棗莊?九年級(jí)期中）如下圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個(gè)圖形需要6根小

木棒，拼第2個(gè)圖形需要14根小木棒，拼第3個(gè)圖形需要22根小木棒…若按照這樣的方法拼成的第"個(gè)圖

形需要2022根小木棒，則”的值為

圖3

10.（2023?黑龍江牡丹江?九年級(jí)期中）如圖是由同樣大小的五角星按一定規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有

2個(gè)五角星，第②個(gè)圖形有4個(gè)五角星，第③個(gè)圖形有8個(gè)五角形，第④個(gè)圖形有14個(gè)五角形，則第10個(gè)

圖形有個(gè)五角星.

☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

☆

圖①圖②圖③圖④

11.（2023?寧夏?銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形。414G的兩

邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線。片為邊做正方形OB]B2c2,再以正方形OB/2c2的對(duì)角線為邊做正方形

03233c3……以此類推，則正方形。氏2。履2c⑼的邊長是

12.（2023?山東?禹城市教育和體育局二模）如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓。1,半圓。叫…，半圓

。“與直線>=迫彳相切.設(shè)半圓。>半圓。2,…，半圓?！钡陌霃椒謩e是仆6,…，rn,則當(dāng)時(shí)，?22=

3、

13.（2023?廣東佛山?九年級(jí)期中）如圖，A3C中，ZB=9O°,BC=3,2c邊上的高A3=l,點(diǎn)片、2PH,

分別在邊AB、AC、CB上，且四邊形40MB為矩形，片。|：《8=2:3,點(diǎn)生Q?、凡分別在邊

。向、C2PCd上，且四邊形EQ&d為矩形，鳥2：6凡=2:3,…按此規(guī)律操作下去，則線段C&022的

長度為.

A

14.（2023?廣西南寧?九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A,4,-??,A。2。在函數(shù)y=/位于第二象限的圖象上,

點(diǎn)、B[,B],…,蜃20在函數(shù)＞=/位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C1,c2,…，C2020在y軸的正半軸上，若四

邊形OAC內(nèi)、C,AC2B2,…，GM4c￡23/22都是正方形，則正方形C?⑼怎22Go22與。22的對(duì)角線長為

15.（2023?安徽?銅陵市第十五中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，用同樣規(guī)格黑白亮色的正方形瓷磚鋪設(shè)長方形地

面，請(qǐng)觀察下列圖形，并解答有關(guān)問題.

〃=1n=2n=3

⑴在第"個(gè)圖中，第一橫行共有塊瓷磚，第一豎列共有塊瓷磚，鋪設(shè)地面所用瓷磚

的總塊數(shù)為：（用含〃的式子表示）

⑵上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)〃的值；

⑶黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，求問題（2）中，共需要多少錢購買瓷磚.

16.（2023?山西忻州?九年級(jí)期中）閱讀與思考

方法介紹：

同學(xué)們、生活中的很多實(shí)際問題，我們往往抽象成數(shù)學(xué)問題，然后通過數(shù)形結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型的方式來

解決.

例如：我校七年級(jí)有五個(gè)班在落實(shí)“雙減”政策，豐富課余生活，每個(gè)班只能組建一個(gè)球隊(duì)，代表該班參

加比賽，每個(gè)隊(duì)都要和其他各隊(duì)比賽一場，問該學(xué)校一共要安排多少場比賽？

這是一個(gè)實(shí)際問題，我們可以在平面內(nèi)畫出5個(gè)點(diǎn)(任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上)，如圖1所示，其中

每個(gè)點(diǎn)各代表一個(gè)足球隊(duì)，兩個(gè)隊(duì)之間比賽一場就用一條線段把他們連起來，其中連接線段的條數(shù)就是安

排比賽的場數(shù)、這樣模型就建立起來了，如何解決這個(gè)模型呢？由于每個(gè)隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場，即

每個(gè)點(diǎn)都要與另外4點(diǎn)連接一條線段，這樣5個(gè)點(diǎn)應(yīng)該有5義4=20(條)線段，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重

復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有10條線段，所以學(xué)校一共要安排10場比賽.

學(xué)以致用：

(1)由于七年級(jí)學(xué)生積極性高漲，還要求再比賽，體育組為了讓更多的同學(xué)參加，體現(xiàn)班級(jí)的凝聚力，這次

要求每班組建2個(gè)球隊(duì)，且每個(gè)隊(duì)與其他各隊(duì)比賽一場且本班的兩個(gè)球隊(duì)也要比賽.學(xué)校一共安排20場比

賽，對(duì)嗎？請(qǐng)借助圖2直接判斷，若不正確，請(qǐng)直接寫出學(xué)校一共安排的場數(shù)；

⑵根據(jù)規(guī)律，直接寫出如果學(xué)校準(zhǔn)備組織〃個(gè)籃球隊(duì)參加比賽，每兩個(gè)球隊(duì)之間都比賽場，若比客場數(shù)用

加表示，直接寫出加與"的數(shù)量關(guān)系式；

(3)D53670是從大同南開往運(yùn)城北的高鐵，若途中任兩站的距離都不相等，在這趟高鐵中共設(shè)有45種不同

的票價(jià)，求途中有多少個(gè)停車點(diǎn)，

題型3:圖形周長探究問題

典例：(2023?河北唐山?二模)已知甲、乙兩個(gè)長方形紙片，其邊長如圖所示(m>0),面積分別為S甲和

SC.

加+8

m+2甲

m+6

7M+4乙

(1)①用含m的代數(shù)式表示S甲=Sc=

②用、"="或號(hào)填空s甲S5

（2）若一個(gè)正方形紙片的周長與乙的周長相等，其面積設(shè)為Sj

①該正方形的邊長是.（用含m的代數(shù)式表示）；

②小方同學(xué)發(fā)現(xiàn)，“S正與S。的差是定值”請(qǐng)判斷小方同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是否正確，并通過計(jì)算說明你的理由.

鞏固練習(xí)

1.（2023?浙江寧波?九年級(jí)專題練習(xí)）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不

重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一

定能求出（）

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFGH的面積C.ABEF的面積D.△AEH的面積

2.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）兩張全等的矩形（非正方形）紙片先后按如圖①呈軸對(duì)稱方式，按如

圖②呈中心對(duì)稱方式放置在同一個(gè)正方形中，若知道圖形①與圖形④的面積差，則一定能求出（）

A.圖形②與③的面積差B.圖形②與③的周長差

C.圖形②與③的面積和D.圖形②與③的周長和

3.（2023?浙江金華?一模）如圖是一個(gè)由4張紙片拼成的長方形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其

中（1）（2）是兩個(gè)面積相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出長方形的面積，則需要知道下列哪個(gè)條

A.（1）與（2）的周長之差B.（3）的面積

0.（1）與（3）的面積之差D.長方形的周長

4.（2023?湖北恩施?一模）如圖叫做雪花曲線，它可以從一個(gè)等邊三角形（圖①）開始畫：把一個(gè)等邊

三南形的每邊分成相同的三段，再在每邊中間一段上向外畫出一個(gè)等邊三角形，這樣一來就做成了一個(gè)六

角星（圖②）.然后在六角星的各邊上用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，出現(xiàn)了一個(gè)有18個(gè)尖角

的圖形（圖③）.如此繼續(xù)下去，就能得到分支越來越多的曲線（圖④）.繼續(xù)重復(fù)上面的過程，圖形的外

邊界逐漸變得越來越曲折、越來越長、圖案變得越來越細(xì)致，越來越復(fù)雜，越來越像雪花、越來越美麗了.若

圖①中等邊三角形的邊長為1,則第4個(gè)圖形的周長為（）

5.（2023?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）把圖1中周長為16cm的長方形紙片分割成四張大小不等的正方形紙片

/、B、C、。和一張長方形紙片E,并將它們按圖2的方式放入周長為24cm的的長方形中.設(shè)正方形C的邊

長為xcm,正方形〃的邊長為wm.則下結(jié)論中正確的是（）

圖1

A.正方形C的邊長為1cmB,正方形4的邊長為3cm

C.正方形8的邊長為4cmD.陰影部分的周長為20cm

6.（2023?浙江?寧波市第七中學(xué)九年級(jí)期中）圖，有三張正方形紙片4B,C,它們的邊長分別為a,b,

c,將三張紙片按圖1,圖2兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖1中陰影部分周長為/7，面積為S,

圖2中陰影部分周長為/z,面積為若$2-則》:c的值為（)

圖1圖2

35

A.-B.2C.-D.3

22

7.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組

數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)以這組數(shù)中

的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造一組正方形（如圖1）;再分別依次從左到右取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)拼成

如圖2長方形并記為①，②，③，④若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號(hào)為⑦的長方形周長是（）

A.110B.100C.105D.90

8.（2023?遼寧?沈陽市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）長方形的長為力-a,寬長為a,則這個(gè)長方形的周長是

9.（2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCO與AEG/均為矩形，點(diǎn)瓦尸分別在線段上.若

BE=FD=2cm,矩形AEGF的周長為20cm,則圖中陰影部分的面積為cm.

10.（2023?北京?九年級(jí)單元測試）如圖1,小長方形紙片的長為2,寬為1,將4張這樣的小長方形按圖

2所示的方式不重疊的放在長方形內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個(gè)長方形4和8,設(shè)長方形力和8的

周長分別為3和。2,則CxC2（填“>”、"二”或“<”）

圖1

11.（2023?安徽六安?七年級(jí)期中）如圖1是長為a,寬為6的小長方形卡片，把六張這樣的小長方形卡

片不重疊地放在一個(gè)底面為長方形（長為4,寬為3）的盒子底部（如圖2）,盒子底部未被卡片覆蓋的部分

用陰影表示，則圖2中兩塊陰影部分的周長之和為（填具體數(shù)值）

12.（2023?安徽?一模）某校數(shù)學(xué)小組開展了趣味剪紙活動(dòng)。

【觀察】如圖，圖①是一塊邊長為周長記為：的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為:a的正

三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正

三角形紙板邊長的;）后，得圖③，④，…，記第””23）塊紙板的周長為匕

（1）［了解］P3~P2=；P?-P,i=.

（2）【實(shí)踐】如果一個(gè)正三角形紙板面積為6,通過兩次這種方法裁剪，得到最小的正三角形的面積為？

13.（2023?浙江?八年級(jí)單元測試）將一根長為（12m+9"-3）cm的鐵絲，剪掉一部分后，剩下部分圍成一

個(gè)等腰三角形（接頭部分忽略不計(jì)），這個(gè)等腰三角形的底為（2〃z+〃）cm,腰為（機(jī)+”）cm.

⑴求剪掉部分的鐵絲長度.

⑵若圍成的等腰三角形的周長為20cm,求鐵絲的長度.

14.（2023?新疆?烏魯木齊市第七十七中學(xué)九年級(jí)期中）下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律

組成的，其中第1個(gè)圖形的周長為4,第2個(gè)圖形的周長為10,第3個(gè)圖形的周長為18,……按此規(guī)律排

列，回答下列問題：

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

（1）第4個(gè)圖形的周長為;

（2）第"個(gè)圖形的周長為；

（3）第〃個(gè)圖形的周長能否為155?如能求出〃的值，如不能，請(qǐng)說明理由.

15.（2023?河北?順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)矩形，其邊長如圖所示（a>0）,周長

分別為。葉和C匕,面積分別為S尹和St.

（1）用含a的代數(shù)式表示C甲=；C乙=;S中=;S匕=.

⑵通過觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個(gè)矩形的周長相等，與a值無關(guān)”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個(gè)

矩形的面積之差越大”.你認(rèn)為兩位同學(xué)的結(jié)論都正確嗎？如果不正確，請(qǐng)對(duì)錯(cuò)誤同學(xué)的結(jié)論說明理由.

題型4:與整式有關(guān)的圖形面積問題

典例：（2023?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪

成9塊，其中有2塊是邊長為。厘米的大正方形，2塊是邊長為萬厘米的小正方形，5塊是長為。厘米，寬

為6厘米的相同的小長方形，且a>8.

⑴該大長方形紙板的長為厘米，寬為厘米.（用含。、6的代數(shù)式表示）

⑵觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+26?可以因式分解為.

⑶若圖中陰影部分的面積為242平方厘米，大長方形紙板的周長為78厘米，求圖中空白部分的面積.

鞏固練習(xí)

1.（2023?湖北武漢?七年級(jí)期中）如圖，有足夠多的完全相同的小長方形（圖1）和一個(gè)大長方形紙片.小

長方形兩鄰邊的長分別記為a,b,把小長方形紙片不重疊的擺放在大長方形上，陰影是小長方形沒有覆蓋

的部分，分別記為S2.

（1）如圖2,若a=2,b=5,AC=1O,直接寫出S］的面積=S?的面積=；

⑵如圖2,當(dāng)A3=20,AC=15時(shí)，直接寫出航和S2的周長和是；

⑶如圖3,若大長方形分割為6個(gè)小正方形，且中間的最小正方形的邊長是2,分別求大長方形的兩鄰邊

AB,4C的長.

2.（2023?福建省廈門第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，4張長為x,寬為y（x>y）的長方形紙片拼成一個(gè)正方形

ABCD.

（1）當(dāng)正方形ABCD的周長是正方形EFGH周長的3倍時(shí)，求4y-2x-5的值；

⑵用含x,y的代數(shù)式表示圖中所有陰影部分面積的和.

3.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往

往能化繁為簡，巧妙解題.請(qǐng)閱讀并解決下列問題：

問題一：（x+y-z）（x—y+z）=（A+B）（A-B）,

（1）則4=,B=;

（2）計(jì)算：（2a+b+3）（2a+b-3）.

問題二：已知尤2+y2=（尤+y）2—尸=（彳—丫）2+Q,

（1）貝UP=,Q=；

（2）已知長和寬分別為a,6的長方形，它的周長為14,面積為10,如圖所示，求/+廿+仍的值.

b

4.（2023?湖南?醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測）從前，有一位莊園主把一塊邊長為6米（相＞5）

的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的一邊增加5米，相鄰的另一邊減

少5米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”.如果這樣，你覺得張老

漢的租地面積會(huì)（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

5.（2023?廣東?江門市新會(huì)尚雅學(xué)校八年級(jí)期中）已知長方形的面積為64+18浦，長為3a,則該長方

形的周長為.

答案：10a+12/7##1助+10。

6.（2023?山東青島?七年級(jí)期中）如圖，將兩張邊長分別為5和4的正方形紙片分別按圖①和圖②兩種方

式放置在長方形內(nèi)（圖①和圖②中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰

影表示.若長方形中邊48,4）的長度分別為加，〃.設(shè)圖①中陰影部分面積為圖②中陰影部分面積

為S],當(dāng)機(jī)-72=5時(shí)，S]—邑的值為.

7.（2023?山東?濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級(jí)期中）為了提高居民的宜居環(huán)境，某小區(qū)規(guī)劃修

建一個(gè)廣場（平面圖如圖中陰影部分所示）.

（1）用含色〃的式子表示廣場（陰影部分）的周長C和面積5；

⑵若切=30米，”=20米，修建每平方米需費(fèi)用200元，求修建廣場的總費(fèi)用加的值.

8.（2023?貴州六盤水?中考真題）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為“，匕的正方形秧田A,B,

其中不能使用的面積為

（1）用含a,M的代數(shù)式表示A中能使用的面積;

⑵若a+6=10,a-b=5,求A比3多出的使用面積.

9.（2023?陜西咸陽?七年級(jí)期中）如圖，為了美化小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)在一塊長方形空地的兩角修建扇形

花園，然后在中間修建一條寬為米的小路，剩下的部分修建成草坪，已知空地的長為a米，寬為6米,

4

扇形花園半徑為廠米.

（1）花園的面積為,小路的面積為;（用含a,b,r的代數(shù)式表示，結(jié)果保留兀）

⑵用含a、b、r的代數(shù)式表示草坪的面積；

⑶當(dāng)a=8,b=7,廠=3時(shí)，求草坪的面積.（兀取3.14,結(jié)果精確到1平方米）

10.（2023?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)期中）由兩塊axb的長方形和一塊邊長為c的正方形拼成如下

圖形.

（1）如圖1,用含。、b、c的式子表示出該圖形的面積（直接寫出結(jié)果）

⑵已知6=1,c-3.

①如圖2,分別用兩種不同的方式連接圖形中的二個(gè)頂點(diǎn)，得到如圖所示的兩個(gè)陰影三角形，這兩個(gè)陰影三

角形的面積分別記作S、和邑，試通過計(jì)算比較工與邑的大小關(guān)系；

②如圖3,P是邊長為c的正方形ABCD邊BC上一個(gè)點(diǎn)，M、N是圖形上如圖所示的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)。為線

段。P上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三角形腦V。的面積不隨點(diǎn)Q位置變化而變化，求3尸的長度.（用含。的式子表示）

11.（2023?河南省鶴壁市淇濱區(qū)鹿鳴中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，長為60cm,寬為x（cm）的大長方形被分割

為7小塊，除陰影48外，其余5塊是形狀大小完全相同的小長方形，其中小長方形的較短一邊長度為10cm.

⑴從圖可知，每塊小長方形的較長的一邊長度是cm.

⑵代數(shù)式尤-30,x-40中，哪一個(gè)代數(shù)式的值為正數(shù)？（填“x-30”或“x-40”）

⑶請(qǐng)你先用含x的代數(shù)式表示陰影46的面積，并說明：陰影力的面積一定比陰影8的面積大300cm?.

12.（2023?江蘇徐州?七年級(jí)期中）將5張相同的小長方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊

的放在長方形ABCD內(nèi),未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個(gè)長方形，面積分別為1和邑已知小長方形紙片

的長為a,寬為b,且

圖1圖2

（1）當(dāng)a=7,b=2,AD=15時(shí)，長方形ABC。的面積是,廿一顯的值為;

（2）當(dāng)A￡>=20時(shí)，請(qǐng)用含a、6的式子表示H-S2的值；

⑶若A5長度為定值，AD的長度不確定，將這5張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD

內(nèi).當(dāng)AD的長度改變時(shí)（AD>“），51-其的值總保持不變，則a、6滿足的什么關(guān)系？

13.（2023?福建泉州?八年級(jí)期中）波利亞說過：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量用兩種不同

的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立等量關(guān)系”，這就是“算兩次”原理，也稱富比尼（G?瓦/沅山）

原理.例如：計(jì)算如圖1中正方形ABC。的面積，可以是（a+b）?,也可把圖1中正方形ABC?？醋鍪怯?個(gè)

長方形和2個(gè)小正方形組成的，則它的面積是+2a6+Z>2,由此得到：（。+））2=/+2°）+/.

（1）如圖2,正方形ABCD是由四個(gè)邊長分別是。、6的長方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法

對(duì)圖2中正方形ABCD的面積進(jìn)行計(jì)算，可得等式;（用含。、匕的代數(shù)式表示）

（2）已知：兩數(shù)x、V滿足x+y=5,孫=3,求x—V的值；

（3）如圖3,正方形ABCD的邊長是。，它由四個(gè)直角邊長分別是。、》的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組

成，對(duì)圖3中正方形A3CD的面積進(jìn)行計(jì)算，可得等式（用含。、b、c的代數(shù)式表示，結(jié)果盡可能

化簡，不帶括號(hào)）；

1o3

⑷在（3）的條件下，當(dāng)02=3尤，/=1丫時(shí)，。=4；當(dāng)b?=2y時(shí)，c=3,求x、>的值.

14.（2023?塊西漢中?七年級(jí)期末）某村小麥種植面積是a公頃.水稻種植面積比小麥種植面積的3倍少

5公頃，玉米種植面積比小麥種植面積的2倍多8公頃.

（1）水稻的種植面積為公頃（用含a的代數(shù)式表示）；

⑵水稻的種植面積比玉米的種植面積多公頃（用含a的代數(shù)式表示）；

⑶求該村種植小麥、水稻和玉米三種農(nóng)作物的總面積（單位：公頃）（用含a的代數(shù)式表示），當(dāng)"=60時(shí)，

求該村種植這三種農(nóng)作物的總面積

15.（2023?湖北隨州?九年級(jí)專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)

發(fā)展史的一個(gè)里程碑.在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，

利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

⑴我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下

面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）

(圖3)(圖4)

公式①：(a+b+c)d-ad+bd+cd

公式②：(a+b)^c+d^=ac+ad+bc+bd

公式③：-a2-2ab+b2

公式④：（a+Z＞）2=cr+lab+b2

圖1對(duì)應(yīng)公式,圖2對(duì)應(yīng)公式,圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式；

（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式（。+3（4-6）=。2一。2的方法，如圖5,請(qǐng)寫出

證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）

圖5

⑶如圖6,在等腰直角三角形/8C中，4c=90。，〃為8。的中點(diǎn)，￡為邊4C上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），過點(diǎn)E作EG_L3C于點(diǎn)G,作打點(diǎn)〃過點(diǎn)8作M7/C交的延長線于點(diǎn)F.記ABFG與/\CEG

的面積之和為S],△/故與的面積之和為邑.

①若E為邊水?的中點(diǎn)，則］的值為;

②若F不為邊/C的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.

題型5:未知項(xiàng)（符號(hào)）探究

典例：（2023?河北?唐山市路北區(qū)教育局中教研二模）在化簡+題目中：?

表示十,X,+四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的某一個(gè).

（1）若?表示一，請(qǐng)化簡—

（2）當(dāng)〃z=-2,九=1時(shí)，3（療”+,加）_4（病“_〃切）?2,“"的值為I2,請(qǐng)推算出?所表示的符號(hào).

鞏固練習(xí)

1.（2023?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）在計(jì)算題日：“已知：M=3/_4X+2,N=?，求2A1-N”時(shí)，嘉淇

把“2M-N”看成“M—2N”，得至I的計(jì)算結(jié)果是_d+4x_4.

（1）求整式N-,

⑵判斷2M-N的化簡結(jié)果是否能為負(fù)數(shù)，并說明理由.

2.（2023?河北?大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）嘉嘉準(zhǔn)備完成題目：

1化簡：（3d+□工）0（10工+3日-15）.

她發(fā)現(xiàn)“口”內(nèi)的系數(shù)與“<>”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)印刷不清楚，淇淇告訴嘉