重難點專項突破01二次函數綜合之“線段周長”問題(原卷版+解析)

重難點專項突破01二次函數綜合之“線段周長”問題【知識梳理】(1)線段的數量關系此類問題一般是求滿足線段數量關系的點的坐標，針對這種情況應先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數量關系的等式，從而求出未知數的值；(2)線段最值問題

此類問題通常有兩類：

①設出關鍵的點的未知數(通常是一個跟所求線段關系緊密的點的橫坐標)，通過題目中的函數和圖形關系，用該點的橫坐標表示出有關線段端點的坐標，進而表示出線段的長，通過二次函數的性質求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時候可以利用軸對稱模型.此類問題一般是要尋找一個動點，使其到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關于動點所在直線的對稱點，連接這個對稱點與另一個定點的線段即為所求的最小值；(3)周長最值問題

此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，解決此類問題時應利用轉化思想，即先觀察圖形，結合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的最值轉化到求不定線段和的最值，進而轉化為求線段最值問題，其方法同(2).【考點剖析】題型一：線段的數量關系1．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）拋物線經過點，與軸交于點，對稱軸為，點是軸上一點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點．(1)求二次函數的表達式；(2)若、、三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）時，求點的坐標；(3)分別過點、向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點、，矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作，的最高點的縱坐標為，最低點縱坐標為，當時，求點的坐標．題型二：線段最值問題2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．3．（2023·內蒙古·內蒙古師范大學附屬學校校考三模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，B點坐標為．與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求的最大值；(3)點D為拋物線對稱軸上一點．當是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標．4．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當取得最大值時，求的值和的最大值；②當是等腰三角形時，求點的坐標．題型三：周長最值問題6．（2023·湖南張家界·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【過關檢測】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）P是拋物線y＝x2－4x＋5上一點，過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．52．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖，二次函數圖象經過，且有最小值，若A點關于y軸的對稱點為B點，過B作y軸平行線交拋物線于點C，在的斜邊上有一動點D，過D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·山東濟寧·統考一模）如圖，拋物線經過點，點從點A出發(fā)，沿拋物線運動到頂點后，再沿對稱軸l向下運動，給出下列說法：①：②拋物線的對稱軸為；③當點P，B，C構成的三角形的周長取最小值時，；④在點P從點A運動到頂點的過程中，當時，的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③4．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．6．（2022秋·浙江溫州·九年級統考階段練習）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為___________．

8．（2023秋·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學?？计谀┤鐖D，已知二次函數圖像的頂點坐標為，與軸交于點，直線與該二次函數的圖像交于，兩點，是線段上的一個動點，過作軸的垂線交二次函數的圖像于點則線段的最大值為____________．9．（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點．點P為x軸下方拋物線上任意一點，點C是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線分別交拋物線的對稱軸于點M、N．的值等于______________．10．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在拋物線上，過點作軸的垂線，交拋物線于另一點，點、在線段上，且、兩點關于軸對稱，過點作軸的垂線交拋物線于點．連接，若，則線段的長為______．11．（2023秋·廣西南寧·九年級南寧十四中校考開學考試）如圖拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線對稱軸上任意一點，若點，，分別是，，的中點，連接，，則的最小值為______．12．（2023春·福建泉州·九年級福建省永春第一中學?？计谥校┤鐖D：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，頂點為點D．（1）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最大時，則點P的坐標為___；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小時，則點P的坐標為____．13．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知二次函數交x軸于（點A在B的左側）兩點，平面上有任意點P，使得，則面積的最大值為_________．（用含有a的代數式表示）14．（2023·四川宜賓·統考中考真題）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）15．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學校考三模）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點．軸交拋物線于點D．

(1)求b，c的值．(2)已知點E在拋物線上且位于x軸上方，過E作y軸的平行線分別交于點F，G，且，求點E的坐標．17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）直線經過點，拋物線經過點，其中和為實數．設拋物線的頂點為，過作軸的平行線交直線于點．(1)求和的值；(2)當拋物線頂點的縱坐標取得最大值時，求線段的值；(3)求線段的最小值．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，繞原點O逆時針旋轉得到，其中點A的坐標為．

(1)寫出C點的坐標______，B點的坐標______；(2)若二次函數經過A，B，C三點，求該二次函數的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使得最小？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中B點的坐標為，點M為拋物線上的一個動點．

(1)二次函數圖像的對稱軸為直線．①求二次函數的表達式；②若點M與點C關于對稱軸對稱，則點M的坐標是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點P，過點P作x軸的平行線，與拋物線對稱軸左側的圖像交于點Q，求線段的最大值；(2)過點M作的平行線，交拋物線于點N，設點M、N的橫坐標為m、n，在點M運動的過程中，試問的值是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出的值．20．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．

重難點專項突破01二次函數綜合之“線段周長”問題【知識梳理】(1)線段的數量關系此類問題一般是求滿足線段數量關系的點的坐標，針對這種情況應先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數量關系的等式，從而求出未知數的值；(2)線段最值問題

此類問題通常有兩類：

①設出關鍵的點的未知數(通常是一個跟所求線段關系緊密的點的橫坐標)，通過題目中的函數和圖形關系，用該點的橫坐標表示出有關線段端點的坐標，進而表示出線段的長，通過二次函數的性質求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時候可以利用軸對稱模型.此類問題一般是要尋找一個動點，使其到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關于動點所在直線的對稱點，連接這個對稱點與另一個定點的線段即為所求的最小值；(3)周長最值問題

此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，解決此類問題時應利用轉化思想，即先觀察圖形，結合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長的最值轉化到求不定線段和的最值，進而轉化為求線段最值問題，其方法同(2).【考點剖析】題型一：線段的數量關系1．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預測）拋物線經過點，與軸交于點，對稱軸為，點是軸上一點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點．(1)求二次函數的表達式；(2)若、、三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）時，求點的坐標；(3)分別過點、向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點、，矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作，的最高點的縱坐標為，最低點縱坐標為，當時，求點的坐標．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）由拋物線的對稱軸方程先求解b，再把代入即可得到c，從而可得答案；（2）先求解拋物線與軸另一交點；直線，設，則，，再分四種情況討論：①當時，，②當時，，③當時，，④當時，，再建立方程求解即可．（3）由題意得：，如圖，①當時，矩形與拋物線只有一個公共點，不合題意，舍；②當時，最高點為，最低點為，③當時，矩形邊界最高點為，最低點為，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，對稱軸為，∴，，代入點，得：，，；（2）如圖，

令，則或；拋物線與軸另一交點；，，直線，設，則，，①當時，，，或4（舍）②當時，，∴，解得：或4，都不符合題意，舍去，③當時，，，解得：或4（舍）④當時，，，或4（舍）綜上，點的坐標為：，，；（3）由題意得：，如圖，①當時，矩形與拋物線只有一個公共點，不合題意，舍；②當時，最高點為，最低點為，，（舍），或（舍），③當時，矩形邊界最高點為，最低點為，，，（舍），或，．

【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的性質，矩形的性質，清晰的分類討論是解本題的關鍵．題型二：線段最值問題2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）先求出拋物線：的頂點坐標為，然后求出點關于對稱后的點坐標為，再拋物線的解析式為：；（2）先求出A、B兩點橫坐標分別為和，設，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線：的頂點坐標為，點關于對稱后的點坐標為，∵拋物線與拋物線關于成中心對稱，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵拋物線：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點橫坐標分別為和，設，，其中，則，∴當時，最大為8．【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式，中點坐標公式，二次函數的最值，解題的關鍵是數形結合，利用對稱的特征，再根據頂點情況求解析式以及根據二次函數解析式求最大值．3．（2023·內蒙古·內蒙古師范大學附屬學校校考三模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，B點坐標為．與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求的最大值；(3)點D為拋物線對稱軸上一點．當是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)當時，的最大值為(3)點D的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；（2）得的解析式為，先證明為等腰直角三角形，作軸于，軸交于，如圖1，則為等腰直角三角形，，設，則，接著利用表示、，所以，然后利用二次函數的性質解決問題；（3）如圖2，拋物線的對稱軸為直線，設，利用兩點間的距離公式得到，，，討論：當是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時，；當是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時，，分別解方程求出即可得到對應的點坐標；【詳解】（1）把，代入得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）由題意可得的解析式為，直線與直線平行，直線與直線垂直，，為等腰直角三角形，作軸于，軸交于，如圖1，為等腰直角三角形，，設，則，，，，，當時，的最大值為；（3）如圖2，拋物線的對稱軸為直線，設，則，，，當是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時，，即，解得，此時點坐標為；當是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時，，即，解得，此時點坐標為；綜上所述，點坐標為或．

【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質、二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會利用待定系數法求函數解析式；會利用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標與圖形的性質；會運用分類討論的思想和數形結合的思想解決數學問題．4．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，(3)當時，的最大值為【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則，根據二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當時，，此時點在點右側故舍去；當時，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線當，即解得：∴，∵過，，三點∴

在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點在拋物線上，且橫坐標為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當時，的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，正方形的性質，二次函數的性質，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當取得最大值時，求的值和的最大值；②當是等腰三角形時，求點的坐標．【答案】(1)(2)①當時，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）①先求出，進而求出直線的解析式為，則，進一步求出，由此即可利用二次函數的性質求出答案；②設直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當時，如圖3-2所示，當時，如圖3-3所示，當時，三種情況利用等腰三角形的定義進行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當時，，∴拋物線頂點P的坐標為，設拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點，與直線交于點∴，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為；②設直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當時，過點C作于G，則∴點G為的中點，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當時，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點E的縱坐標為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當時，過點C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點E的坐標為或或【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判斷，一次函數與幾何綜合，待定系數法求函數解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．題型三：周長最值問題6．（2023·湖南張家界·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為，將代入求解即可；（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，根據點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設，然后結合圖形及面積之間的關系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達式為；（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，∵，，，∴，∵O、E關于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；

（3）由已知點，，，設直線的表達式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，同理可得：直線的表達式為，∵，∴設直線表達式為，由（1）設，代入直線的表達式得：，∴直線的表達式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當時，此時P點為.．

【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數的綜合性質是解題關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）P是拋物線y＝x2－4x＋5上一點，過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】設點P的坐標為(m，m2-4m+5)，構造出PM+PN的值與m的函數關系，利用二次函數的性質解決問題即可.【詳解】拋物線y=x2-4x+5，△=16-20=-4<0，可知拋物線的值恒為正，設P(m，m2-4m+5)，則PM=|m2-4m+5|，PN=|m|當m<0時，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5-m=m2-5m+5=，此時m=不符合m<0；當m=0時，y=5，PM+PM的值是5;當m>0時，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5+m=m2-3m+5=，所以當m=時，PM+PM的最小值為，綜上，PM+PM的最小值是故答案為：B【點睛】本題是二次函數的綜合題，設出點P的坐標為(m，m2-4m+5)，構造出PM+PN的值與m的函數關系是解題的關鍵.2．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖，二次函數圖象經過，且有最小值，若A點關于y軸的對稱點為B點，過B作y軸平行線交拋物線于點C，在的斜邊上有一動點D，過D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，連接，先求出二次函數頂點坐標為，進而利用待定系數法求出二次函數解析式為，求出點B的坐標，進而求出點C的坐標，利用勾股定理求出的長，證明四邊形是矩形，得到，則當時，有最小值，即有最小值，據此利用三角形面積法求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵二次函數圖象經過，且有最小值，∴二次函數對稱軸為直線，∴二次函數頂點坐標為，設二次函數解析式為，∴，∴，∴二次函數解析式為，∵A點關于y軸的對稱點為B點，，∴，∴，當時，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴當最小時，也最小，∴當時，有最小值，即有最小值，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何綜合，矩形的性質與判定，勾股定理，三角形面積等等，證明四邊形是矩形，得到是解題的關鍵．3．（2023·山東濟寧·統考一模）如圖，拋物線經過點，點從點A出發(fā)，沿拋物線運動到頂點后，再沿對稱軸l向下運動，給出下列說法：①：②拋物線的對稱軸為；③當點P，B，C構成的三角形的周長取最小值時，；④在點P從點A運動到頂點的過程中，當時，的面積最大．其中，所有正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用待定系數法即可求得，即可判斷①；求得A、B的坐標，利用拋物線的對稱性求得對稱軸，即可判斷②；利用拋物線的對稱性、兩點之間線段最短，點P為直線與拋物線對稱軸的交點時，點P，B，C構成的三角形的周長取最小值，求得直線的解析式，進一步求得n的值，即可判斷③；作軸，交與點Q，表示出Q點的坐標，然后根據得出，根據二次函數的性質即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線經過點，∴，解得，故①說法正確；令，則，解得或1，∴拋物線拋物線與x軸的交點為，，∴拋物線的對稱軸為，故②說法正確；連接，交對稱軸為P，此時，，∵是定值，∴此時點P，B，C構成的三角形的周長最小，∵，，∴直線為，當時，，∴，∴n=2，故③說法錯誤；作軸，交與點Q，∵點在拋物線上，∴，把代入直線的解析式得，∴，∴，∴時，的面積最大，故④說法正確．綜上，正確的有①②④．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，二次函數圖像上點的坐標特征，軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，根據題意求得A、B的坐標和對稱軸是解題的關鍵．4．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的相關性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】連接，過點P作PD⊥BC于D，過點Q作QH⊥BC于H．根據，可得的最小值為的長，即可解決問題．【詳解】如圖，連接，過點P作PD⊥BC于D，過點Q作QH⊥BC于H．由，令，則，解得，，令，解得，，，，，，，當為與軸交點時最小，最小值為的長，Q（0，2）,，，設，則,∵，∴，∴，∴，則的最小值是．故選D．【點睛】本題考查了二次函數的相關性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．6．（2022秋·浙江溫州·九年級統考階段練習）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線的解析式求得點C、D和E的坐標，利用軸對稱的性質和將軍飲馬模型作出點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，此時EDFG周長取最小值，利用點的坐標的性質和勾股定理即可求得結論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線的對稱軸為直線，∵點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，∴，∴，作點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，如圖，則，，，，此時，∴此時四邊形EDFG周長最小，延長，它們交于點H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長的最小值為，故選B．【點睛】本題考查了二次函數的性質、拋物線與x軸的交點，軸對稱的性質、勾股定理和拋物線上點的坐標的特征，利用軸對稱的性質找出點F和G的位置是解決本題的關鍵．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為___________．

【答案】/【分析】作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進而得出，進一步得出結果．【詳解】解：如圖，

作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對稱軸為直線，∴，當時，，∴，當時，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當點P在時，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題以二次函數為背景，考查了二次函數與一元二次方程之間的關系，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是用三角函數構造．8．（2023秋·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學校考期末）如圖，已知二次函數圖像的頂點坐標為，與軸交于點，直線與該二次函數的圖像交于，兩點，是線段上的一個動點，過作軸的垂線交二次函數的圖像于點則線段的最大值為____________．【答案】【分析】根據題意，待定系數法求得二次函數的解析式為，將點,代入直線，得，設，則，進而得出關于的二次函數關系式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：∵二次函數圖像的頂點坐標為，與軸交于點，∴設二次函數解析式為：，將點代入得，，解得：,∴二次函數的解析式，將點,代入直線，得，∴直線解析式為，∵是線段上的一個動點，設，∵軸，∴∴，∵，，當時，線段的最大值為故答案為：【點睛】本題考查了二次函數綜合，線段問題，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．9．（2023·江蘇宿遷·統考一模）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點．點P為x軸下方拋物線上任意一點，點C是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線分別交拋物線的對稱軸于點M、N．的值等于______________．【答案】【分析】求出的坐標，設出點坐標，表示出的解析式，進而求出的坐標，再進行計算即可．【詳解】解：，當時，，解得：，∴，對稱軸為直線，∴，設，∵點P為x軸下方拋物線上任意一點，∴，設直線解析式為，，解得：，∴直線解析式為；∴當時，，∴；同理可得：直線的解析式為：，∴當時，，∴；∴∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出二次函數的對稱軸，以及拋物線與軸的交點坐標，是解題的關鍵．10．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在拋物線上，過點作軸的垂線，交拋物線于另一點，點、在線段上，且、兩點關于軸對稱，過點作軸的垂線交拋物線于點．連接，若，則線段的長為______．【答案】/【分析】根據題意，先得出拋物線解析式為，設，則，根據題意得出，代入拋物線解析式，即可求解．【詳解】解：∵點在拋物線上，∴解得：∴拋物線解析式為，依題意，的縱坐標為，設，則，∴，∵∴，∴，∵在上，∴解得：或（舍去）∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解一元二次方程，求得二次函數解析式是解題的關鍵．11．（2023秋·廣西南寧·九年級南寧十四中?？奸_學考試）如圖拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線對稱軸上任意一點，若點，，分別是，，的中點，連接，，則的最小值為______．【答案】【分析】根據中位線定理得到，進而得到，當最小時，最小，點關于對稱軸對稱的點為點，連接，則：，即三點共線時，的值最小，進行求解即可．【詳解】解：∵，當時，，解得：；當時，；∴，，∵點，，分別是，，的中點，∴，∴，∴當最小時，最小，∵點關于對稱軸對稱的點為點，連接，則：，即三點共線時，的值最小，∵，，∴，∴，即：的最小值為，∴的最小值為：；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．熟練掌握三角形的中位線定理，利用軸對稱的性質，數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．12．（2023春·福建泉州·九年級福建省永春第一中學校考期中）如圖：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，頂點為點D．（1）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最大時，則點P的坐標為___；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小時，則點P的坐標為____．【答案】【分析】（1）設點關于直線的對稱點為，直線與對稱軸的交點即為點，此時最大，先根據二次函數求出點，坐標，進而求出直線的解析式，最后令代入直線的解析式求解即可；（2）連接，，過點作于點，對稱軸交軸于點，連接，過點作于點，設交于點，由題意可得，從而得出，再通過勾股定理和三角函數得，從而得到，當點與點重合時，的值最小，求出此時點坐標即可．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點，令，，解得或，∴，，令，得到，∴，設點關于直線的對稱點為，則，直線與對稱軸的交點即為點，此時最大設直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，當時，，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，，過點作于點，對稱軸交軸于點，連接，過點作于點，交于點，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴當點與點重合時，的值最小，此時，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的綜合，動點線段問題，利用數形結合，正確建立輔助線是解題的關鍵13．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知二次函數交x軸于（點A在B的左側）兩點，平面上有任意點P，使得，則面積的最大值為_________．（用含有a的代數式表示）【答案】【分析】設點P的坐標為，先求出點A、B的坐標，進而得到，，再由已知條件得到方程，整理得，根據關于m的方程有實數根，求出，再由得到當最大時，最大，由此即可得到答案．【詳解】解：設點P的坐標為，在中，令得：，解得，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵關于m的方程有實數根，∴，∴，∴，∴，∵，∴當最大時，最大，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，勾股定理，一元二次方程根的判別式，正確求出是解題的關鍵．14．（2023·四川宜賓·統考中考真題）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①②③【分析】根據條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為，即可求出點M的坐標，根據割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，得到，判斷③．【詳解】解：∵拋物線經過點，頂點為，∴對稱軸，∴拋物線與x軸的另一交點坐標為，由圖象可得：當時，；∴①正確，符合題意；∵拋物線與x軸的另一交點坐標為，∴設拋物線為，當時，，當時，，∴，，如圖所示，過點M作平行于y軸的直線l，過點A作，過點B作，

∴，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當是，，∴，∴，∴，解得：，故②正確；∵點B是拋物線與y軸的交點，∴當時，，∴，∵為直角三角形，當時，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，無解；以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，當時，∵，當時，，∴的值最小，最小值的平方為，故③正確；故答案為：①②③．【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，綜合性較強，難度較大，扎實的知識基礎是關鍵．15．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是___________．（填寫所有正確結論的序號）【答案】②【分析】根據條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為，即可求出點M的坐標，根據割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，得到，判斷③．【詳解】∵拋物線經過點，頂點為，∴對稱軸，∴拋物線與x軸的另一交點坐標為，由圖象可得：當時，；∴①錯，不符合題意；∵拋物線與x軸的另一交點坐標為，∴設拋物線為，當時，，當時，，∴，，如圖所示，過點M作平行于y軸的直線l交于，過點A作，過點B作，

∴，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當是，，∴，∴，∴，解得：，故②正確；∵點B是拋物線與y軸的交點，∴當時，，∴，∵為直角三角形，當時，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，當時，∴，∴，無解；以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，當時，∵，當時，，∵∴的值最小，最小值的平方為，故③錯誤；故答案為：②．【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，綜合性較強，難度較大，扎實的知識基礎是關鍵．三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學?？既＃┤鐖D，已知二次函數的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點．軸交拋物線于點D．

(1)求b，c的值．(2)已知點E在拋物線上且位于x軸上方，過E作y軸的平行線分別交于點F，G，且，求點E的坐標．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將、，代入得，，計算求解即可；（2）由（1）可得，，對稱軸為直線，則，設，則，，，，由，可得，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：將、，代入得，，解得，∴，；（2）解：由（1）可得，，∴對稱軸為直線，∴，設，則，，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴．【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數與線段綜合，二次函數的圖象與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）直線經過點，拋物線經過點，其中和為實數．設拋物線的頂點為，過作軸的平行線交直線于點．(1)求和的值；(2)當拋物線頂點的縱坐標取得最大值時，求線段的值；(3)求線段的最小值．【答案】(1)，；(2)3；(3)．【分析】（1）將、的坐標分別代入直線和拋物線即可求解；（2）利用二次函數的性質求得，即可求解；（3）由拋物線的頂點，過作軸的平行線交直線于點，求得，從而求得，于是即可求解．【詳解】（1）解：∵直線經過點，∴，解得，∵拋物線經過點，∴；（2）解：∵，∴頂點，∵頂點的縱坐標取得最大值，，∴當時，頂點的縱坐標取得最大值，此時，，∴，∵，∴直線，當時，，∴，∴；（3）解：∵拋物線的頂點，過作軸的平行線交直線于點，∴當時，，∴，∴，∴線段的最小值為．【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數、二次函數解析式，二次函數的圖像及性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，繞原點O逆時針旋轉得到，其中點A的坐標為．

(1)寫出C點的坐標______，B點的坐標______；(2)若二次函數經過A，B，C三點，求該二次函數的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使得最小？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據旋轉的性質結合點A的坐標、的長度，即可找出的值，進而即可得出點B、C的坐標；（2）根據點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數解析式；（3）根據拋物線的對稱性可得知：連接交對稱軸于點P，點P是所求的點．利用二次函數的性質可找出拋物線對稱軸為直線，根據點B、C的坐標，利用待定系數法可求出直線的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．【詳解】（1）解