重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01二次函數(shù)綜合之“線(xiàn)段周長(zhǎng)”問(wèn)題(原卷版+解析)

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01二次函數(shù)綜合之“線(xiàn)段周長(zhǎng)”問(wèn)題【知識(shí)梳理】(1)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系此類(lèi)問(wèn)題一般是求滿(mǎn)足線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，列出滿(mǎn)足線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線(xiàn)段最值問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題通常有兩類(lèi)：

①設(shè)出關(guān)鍵的點(diǎn)的未知數(shù)(通常是一個(gè)跟所求線(xiàn)段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo))，通過(guò)題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線(xiàn)段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線(xiàn)段的最大值或最小值；

②在求線(xiàn)段最小值的時(shí)候可以利用軸對(duì)稱(chēng)模型.此類(lèi)問(wèn)題一般是要尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使其到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最小，通常是作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)的線(xiàn)段即為所求的最小值；(3)周長(zhǎng)最值問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題一般為所求圖形中有一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)其求周長(zhǎng)最值，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線(xiàn)段和不定線(xiàn)段，然后將其所求圖形周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化到求不定線(xiàn)段和的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段最值問(wèn)題，其方法同(2).【考點(diǎn)剖析】題型一：線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系1．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)和直線(xiàn)于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分別過(guò)點(diǎn)、向拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸作垂線(xiàn)，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)、，矩形與此拋物線(xiàn)相交，拋物線(xiàn)被截得的部分圖象記作，的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二：線(xiàn)段最值問(wèn)題2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知拋物線(xiàn)：，拋物線(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值．3．（2023·內(nèi)蒙古·內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬學(xué)校?？既＃┤鐖D，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求的最大值；(3)點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線(xiàn)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)，此拋物線(xiàn)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線(xiàn)下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型三：周長(zhǎng)最值問(wèn)題6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線(xiàn)第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）P是拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋5上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．52．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，且有最小值，若A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B點(diǎn)，過(guò)B作y軸平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，在的斜邊上有一動(dòng)點(diǎn)D，過(guò)D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后，再沿對(duì)稱(chēng)軸l向下運(yùn)動(dòng)，給出下列說(shuō)法：①：②拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，的面積最大．其中，所有正確的說(shuō)法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③4．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．6．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)__________．

8．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)秦皇島市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與該二次函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)則線(xiàn)段的最大值為_(kāi)___________．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為x軸下方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N．的值等于______________．10．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)，點(diǎn)、在線(xiàn)段上，且、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．連接，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．11．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為_(kāi)_____．12．（2023春·福建泉州·九年級(jí)福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使的值最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___．13．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)交x軸于（點(diǎn)A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)，平面上有任意點(diǎn)P，使得，則面積的最大值為_(kāi)________．（用含有a的代數(shù)式表示）14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點(diǎn)．軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D．

(1)求b，c的值．(2)已知點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上且位于x軸上方，過(guò)E作y軸的平行線(xiàn)分別交于點(diǎn)F，G，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．17．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中和為實(shí)數(shù)．設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，過(guò)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值時(shí)，求線(xiàn)段的值；(3)求線(xiàn)段的最小值．18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)______，B點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最?。咳鬚點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②若點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的圖像交于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段的最大值；(2)過(guò)點(diǎn)M作的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試問(wèn)的值是否會(huì)發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出的值．20．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線(xiàn)段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破01二次函數(shù)綜合之“線(xiàn)段周長(zhǎng)”問(wèn)題【知識(shí)梳理】(1)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系此類(lèi)問(wèn)題一般是求滿(mǎn)足線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，列出滿(mǎn)足線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線(xiàn)段最值問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題通常有兩類(lèi)：

①設(shè)出關(guān)鍵的點(diǎn)的未知數(shù)(通常是一個(gè)跟所求線(xiàn)段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo))，通過(guò)題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線(xiàn)段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線(xiàn)段的最大值或最小值；

②在求線(xiàn)段最小值的時(shí)候可以利用軸對(duì)稱(chēng)模型.此類(lèi)問(wèn)題一般是要尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使其到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最小，通常是作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)的線(xiàn)段即為所求的最小值；(3)周長(zhǎng)最值問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題一般為所求圖形中有一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)其求周長(zhǎng)最值，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線(xiàn)段和不定線(xiàn)段，然后將其所求圖形周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化到求不定線(xiàn)段和的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段最值問(wèn)題，其方法同(2).【考點(diǎn)剖析】題型一：線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系1．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)和直線(xiàn)于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分別過(guò)點(diǎn)、向拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸作垂線(xiàn)，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)、，矩形與此拋物線(xiàn)相交，拋物線(xiàn)被截得的部分圖象記作，的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程先求解b，再把代入即可得到c，從而可得答案；（2）先求解拋物線(xiàn)與軸另一交點(diǎn)；直線(xiàn)，設(shè)，則，，再分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，④當(dāng)時(shí)，，再建立方程求解即可．（3）由題意得：，如圖，①當(dāng)時(shí)，矩形與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍；②當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，③當(dāng)時(shí)，矩形邊界最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，∴，，代入點(diǎn)，得：，，；（2）如圖，

令，則或；拋物線(xiàn)與軸另一交點(diǎn)；，，直線(xiàn)，設(shè)，則，，①當(dāng)時(shí)，，，或4（舍）②當(dāng)時(shí)，，∴，解得：或4，都不符合題意，舍去，③當(dāng)時(shí)，，，解得：或4（舍）④當(dāng)時(shí)，，，或4（舍）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，；（3）由題意得：，如圖，①當(dāng)時(shí)，矩形與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍；②當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，，（舍），或（舍），③當(dāng)時(shí)，矩形邊界最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，，，（舍），或，．

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．題型二：線(xiàn)段最值問(wèn)題2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知拋物線(xiàn)：，拋物線(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）先求出拋物線(xiàn)：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)坐標(biāo)為，再拋物線(xiàn)的解析式為：；（2）先求出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線(xiàn)：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，∴拋物線(xiàn)的解析式為：．（2）解：∵拋物線(xiàn)：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為和，設(shè)，，其中，則，∴當(dāng)時(shí)，最大為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用對(duì)稱(chēng)的特征，再根據(jù)頂點(diǎn)情況求解析式以及根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值．3．（2023·內(nèi)蒙古·內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬學(xué)校?？既＃┤鐖D，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求的最大值；(3)點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線(xiàn)的解析式為(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式；（2）得的解析式為，先證明為等腰直角三角形，作軸于，軸交于，如圖1，則為等腰直角三角形，，設(shè)，則，接著利用表示、，所以，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；（3）如圖2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，，討論：當(dāng)是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時(shí)，；當(dāng)是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時(shí)，，分別解方程求出即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】（1）把，代入得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）由題意可得的解析式為，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，，為等腰直角三角形，作軸于，軸交于，如圖1，為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）如圖2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，設(shè)，則，，，當(dāng)是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時(shí)，，即，解得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)是以為直角邊，為斜邊的直角三角形時(shí)，，即，解得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．4．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線(xiàn)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)，此拋物線(xiàn)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線(xiàn)下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿(mǎn)足條件的E、F兩點(diǎn)存在，，，(3)當(dāng)時(shí)，的最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿(mǎn)足條件的、兩點(diǎn)存在，，，

解：①當(dāng)為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作，，使，，連接、.

過(guò)點(diǎn)作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，過(guò)的中點(diǎn)作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)故舍去；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)當(dāng)，即解得：∴，∵過(guò)，，三點(diǎn)∴

在直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且橫坐標(biāo)為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線(xiàn)的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線(xiàn)與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)與軸交于和兩點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，在中，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，∴，∴，∴拋物線(xiàn)解析式為（2）解：①∵拋物線(xiàn)解析式為，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，∴，∴，∴直線(xiàn)的解析式為，∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②設(shè)直線(xiàn)與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于G，則∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．題型三：周長(zhǎng)最值問(wèn)題6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線(xiàn)第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為AE的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線(xiàn)的表達(dá)式為，直線(xiàn)的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)的表達(dá)式為；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，∵的周長(zhǎng)為，，的最小值為10，∴的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線(xiàn)的表達(dá)式為，同理可得：直線(xiàn)的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線(xiàn)表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線(xiàn)的表達(dá)式得：，∴直線(xiàn)的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題及面積問(wèn)題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2020春·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）P是拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋5上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別是M，N，則PM＋PN的最小值是(

)A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2-4m+5)，構(gòu)造出PM+PN的值與m的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.【詳解】拋物線(xiàn)y=x2-4x+5，△=16-20=-4<0，可知拋物線(xiàn)的值恒為正，設(shè)P(m，m2-4m+5)，則PM=|m2-4m+5|，PN=|m|當(dāng)m<0時(shí)，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5-m=m2-5m+5=，此時(shí)m=不符合m<0；當(dāng)m=0時(shí)，y=5，PM+PM的值是5;當(dāng)m>0時(shí)，PM+PN=|m2-4m+5|+|m|=m2-4m+5+m=m2-3m+5=，所以當(dāng)m=時(shí)，PM+PM的最小值為，綜上，PM+PM的最小值是故答案為：B【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2-4m+5)，構(gòu)造出PM+PN的值與m的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，且有最小值，若A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B點(diǎn)，過(guò)B作y軸平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，在的斜邊上有一動(dòng)點(diǎn)D，過(guò)D作于E，于F，則EF的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，連接，先求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式為，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，證明四邊形是矩形，得到，則當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，據(jù)此利用三角形面積法求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，且有最小值，∴二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)解析式為，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∵A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B點(diǎn)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，也最小，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形面積等等，證明四邊形是矩形，得到是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)后，再沿對(duì)稱(chēng)軸l向下運(yùn)動(dòng)，給出下列說(shuō)法：①：②拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為；③當(dāng)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，；④在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，的面積最大．其中，所有正確的說(shuō)法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法即可求得，即可判斷①；求得A、B的坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)軸，即可判斷②；利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，點(diǎn)P為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)取最小值，求得直線(xiàn)的解析式，進(jìn)一步求得n的值，即可判斷③；作軸，交與點(diǎn)Q，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，故①說(shuō)法正確；令，則，解得或1，∴拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為，，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，故②說(shuō)法正確；連接，交對(duì)稱(chēng)軸為P，此時(shí)，，∵是定值，∴此時(shí)點(diǎn)P，B，C構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)最小，∵，，∴直線(xiàn)為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴n=2，故③說(shuō)法錯(cuò)誤；作軸，交與點(diǎn)Q，∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，把代入直線(xiàn)的解析式得，∴，∴，∴時(shí)，的面積最大，故④說(shuō)法正確．綜上，正確的有①②④．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，三角形的面積，根據(jù)題意求得A、B的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】連接，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．根據(jù)，可得的最小值為的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H．由，令，則，解得，，令，解得，，，，，，，當(dāng)為與軸交點(diǎn)時(shí)最小，最小值為的長(zhǎng)，Q（0，2）,，，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，則的最小值是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．6．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線(xiàn)的解析式求得點(diǎn)C、D和E的坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和將軍飲馬模型作出點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，此時(shí)EDFG周長(zhǎng)取最小值，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴，∴，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，如圖，則，，，，此時(shí)，∴此時(shí)四邊形EDFG周長(zhǎng)最小，延長(zhǎng)，它們交于點(diǎn)H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)F和G的位置是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)__________．

【答案】/【分析】作射線(xiàn)，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，

作射線(xiàn)，作于E，作于F，交y軸于，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在時(shí)，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)構(gòu)造．8．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)秦皇島市第七中學(xué)校考期末）如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與該二次函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)則線(xiàn)段的最大值為_(kāi)___________．【答案】【分析】根據(jù)題意，待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn),代入直線(xiàn)，得，設(shè)，則，進(jìn)而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：，將點(diǎn)代入得，，解得：,∴二次函數(shù)的解析式，將點(diǎn),代入直線(xiàn)，得，∴直線(xiàn)解析式為，∵是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，∵軸，∴∴，∵，，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，線(xiàn)段問(wèn)題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為x軸下方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N．的值等于______________．【答案】【分析】求出的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的解析式，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，設(shè)，∵點(diǎn)P為x軸下方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，∴，設(shè)直線(xiàn)解析式為，，解得：，∴直線(xiàn)解析式為；∴當(dāng)時(shí)，，∴；同理可得：直線(xiàn)的解析式為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴；∴∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，以及拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．10．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)，點(diǎn)、在線(xiàn)段上，且、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．連接，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】/【分析】根據(jù)題意，先得出拋物線(xiàn)解析式為，設(shè)，則，根據(jù)題意得出，代入拋物線(xiàn)解析式，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴解得：∴拋物線(xiàn)解析式為，依題意，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，∴，∵∴，∴，∵在上，∴解得：或（舍去）∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)中位線(xiàn)定理得到，進(jìn)而得到，當(dāng)最小時(shí)，最小，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則：，即三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，；∴，，∵點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則：，即三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，∵，，∴，∴，即：的最小值為，∴的最小值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握三角形的中位線(xiàn)定理，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·福建泉州·九年級(jí)福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使的值最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___．【答案】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)最大，先根據(jù)二次函數(shù)求出點(diǎn)，坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)的解析式，最后令代入直線(xiàn)的解析式求解即可；（2）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，由題意可得，從而得出，再通過(guò)勾股定理和三角函數(shù)得，從而得到，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，求出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)，令，，解得或，∴，，令，得到，∴，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)最大設(shè)直線(xiàn)的解析式為，則，∴，∴直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，動(dòng)點(diǎn)線(xiàn)段問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，正確建立輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵13．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)交x軸于（點(diǎn)A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)，平面上有任意點(diǎn)P，使得，則面積的最大值為_(kāi)________．（用含有a的代數(shù)式表示）【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，，再由已知條件得到方程，整理得，根據(jù)關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)根，求出，再由得到當(dāng)最大時(shí)，最大，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在中，令得：，解得，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，一元二次方程根的判別式，正確求出是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③【分析】根據(jù)條件可求拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線(xiàn)為，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，得到，判斷③．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，∴對(duì)稱(chēng)軸，∴拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，；∴①正確，符合題意；∵拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線(xiàn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)l，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，

∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)是，，∴，∴，∴，解得：，故②正確；∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵為直角三角形，當(dāng)時(shí)，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，無(wú)解；以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，∵，當(dāng)時(shí)，，∴的值最小，最小值的平方為，故③正確；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵．15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結(jié)論是___________．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】②【分析】根據(jù)條件可求拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線(xiàn)為，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，得到，判斷③．【詳解】∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，∴對(duì)稱(chēng)軸，∴拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，；∴①錯(cuò)，不符合題意；∵拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線(xiàn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)l交于，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，

∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)是，，∴，∴，∴，解得：，故②正確；∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵為直角三角形，當(dāng)時(shí)，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，無(wú)解；以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，∵，當(dāng)時(shí)，，∵∴的值最小，最小值的平方為，故③錯(cuò)誤；故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵．三、解答題16．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B，與y軸交于點(diǎn)．軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D．

(1)求b，c的值．(2)已知點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上且位于x軸上方，過(guò)E作y軸的平行線(xiàn)分別交于點(diǎn)F，G，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將、，代入得，，計(jì)算求解即可；（2）由（1）可得，，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則，設(shè)，則，，，，由，可得，計(jì)算求出滿(mǎn)足要求的解即可．【詳解】（1）解：將、，代入得，，解得，∴，；（2）解：由（1）可得，，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與線(xiàn)段綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中和為實(shí)數(shù)．設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，過(guò)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值時(shí)，求線(xiàn)段的值；(3)求線(xiàn)段的最小值．【答案】(1)，；(2)3；(3)．【分析】（1）將、的坐標(biāo)分別代入直線(xiàn)和拋物線(xiàn)即可求解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得，即可求解；（3）由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，求得，從而求得，于是即可求解．【詳解】（1）解：∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴；（2）解：∵，∴頂點(diǎn)，∵頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值，，∴當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值，此時(shí)，，∴，∵，∴直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；（3）解：∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴線(xiàn)段的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)______，B點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最?。咳鬚點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)、的長(zhǎng)度，即可找出的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得知：連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可找出拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解