專題14解答基礎(chǔ)題型：規(guī)律探究題(原卷版+解析)

專題14解答基礎(chǔ)題型：規(guī)律探究題1．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含的式子填空：（1）第個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為；（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍．2．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．3．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．觀察思考當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖；以此類推．規(guī)律總結(jié)（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．問題解決（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？4．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：．第5個(gè)等式：．按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．5．（2019?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．6．（2023?瑤海區(qū)一模）用相同的菱形按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律完成下表：圖形123456所用菱形個(gè)數(shù)1346（2）按這種方式搭下去，搭第為自然數(shù)）個(gè)圖形需要個(gè)菱形；（用含的式子表示）（3）小亮同學(xué)說他按這種方式搭出來的一個(gè)圖形用了2023個(gè)菱形，你認(rèn)為可能嗎？如果能那是第幾個(gè)圖形？如果不可能請(qǐng)說明理由．7．（2023?合肥一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；根據(jù)以上規(guī)律解答以下問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；寫出第個(gè)等式：；（2）由分式性質(zhì)可知：，試求的值．8．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．9．（2023?合肥三模）觀察下列正整數(shù)的排列順序：解答以下問題：（1）35排在第幾行第幾列？（2）第10行第10列的數(shù)是多少？第行列的數(shù)呢？（用含的代數(shù)式表示）（3）2023排在第幾行第幾列？10．（2023?蜀山區(qū)二模）苯是最簡(jiǎn)單的芳香族化合物，在有機(jī)合成工業(yè)上有著重要的用途，德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)了苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)．將若干個(gè)苯環(huán)以直線形式相連可以得到如下類型的芳香族化合物（結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式中六邊形每個(gè)頂點(diǎn)處代表1個(gè)原子，通常省略原子）．已知：苯的結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是；2個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是；3個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為的分子式是；根據(jù)以上規(guī)律，回答下列問題：（1）4個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（2）個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（3）試通過計(jì)算說明分子式為是否屬于上述類型的芳香族化合物．11．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題．①；②；③；（1）；（2）；（3）．12．（2023?瑤海區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．13．（2023?包河區(qū)二模）某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長(zhǎng)為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問題．（1）第4個(gè)圖案（4）有白色地磚塊地磚；第個(gè)圖案有白色地磚塊地磚（用含的代數(shù)式表示）；（2）已知（1）的長(zhǎng)度為3米，（2）的長(zhǎng)度為5米，，的長(zhǎng)度為2023米，求圖案中白色正方形地磚有多少塊．14．（2023?廬陽區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式，并證明你的結(jié)論．15．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解答下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．16．（2023?廬江縣模擬）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）第⑤個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；（2）第幾個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)？17．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）觀察下列各式：①；②；③；④按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．18．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）合肥市某中學(xué)為了讓學(xué)生增加課外閱讀的機(jī)會(huì)，計(jì)劃修建一條讀書走廊，并準(zhǔn)備用若干塊帶有圓形花紋和沒有圓形花紋的兩種大小相同的正方形地磚搭配在一起，按如圖①所示的排列方式鋪滿走廊，已知每塊正方形地磚的邊長(zhǎng)均為．【觀察思考】當(dāng)帶有圓形花紋的地磚只有1塊時(shí)，沒有花紋的地磚有8塊（如圖②；當(dāng)帶有圓形花紋的地磚有2塊時(shí)，沒有花紋的地磚有13塊（如圖③；；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）按圖示規(guī)律，第一個(gè)圖案（圖②的長(zhǎng)為，第五個(gè)圖案的長(zhǎng)為；（2）若這條走廊的長(zhǎng)為，帶有圓形花紋的地磚塊數(shù)為為正整數(shù)），則（用含的代數(shù)式表示）；【問題解決】（3）若要使走廊的長(zhǎng)不小于72，則至少需要帶有圓形花紋的地磚多少塊？19．（2023?合肥模擬）如圖，下列圖形是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形按照一定規(guī)律擺放的“”形圖形，觀察圖形：（1）圖10中小正方形的數(shù)量是個(gè)：圖2023的周長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）若圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作，圖2中小正方形圖個(gè)數(shù)記作，圖中小正方形個(gè)數(shù)記作，則個(gè)（用含的代數(shù)式表示）．20．（2023?包河區(qū)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．21．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推．按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉盆；（2）第個(gè)圖案需要花卉盆（用含的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．22．（2023?蜀山區(qū)一模）如圖中，圖（1）是一個(gè)菱形，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖（2）所示，連接菱形對(duì)邊中點(diǎn)，共得到5個(gè)菱形；第二次劃分：如圖（3）所示，對(duì)菱形按上述劃分方式繼續(xù)劃分，共得到9個(gè)菱形；第三次劃分：如圖（4）所示，依次劃分下去．（1）根據(jù)題意，第四次劃分共得到個(gè)菱形，第次劃分共得到個(gè)菱形；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)你按上述劃分方式，判斷能否得到2023個(gè)菱形？為什么？23．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．24．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖，下列圖案都是由同樣大小的基本圖形按一定規(guī)律所組成的，其中：第1個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第2個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第3個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第4個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，．按此規(guī)律排列，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：；（2）如果第個(gè)圖案中有2024個(gè)基本圖形，求的值．25．（2023?合肥二模）觀察如圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)與等式的關(guān)系，按照其圖形與等式的規(guī)律，解答下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示）；（3）若第組圖形中等號(hào)左右兩邊各有171個(gè)小黑點(diǎn)，求．26．（2023?廬江縣二模）觀察下列圖形和其對(duì)應(yīng)的等式：根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是．（2）第個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是（用含的等式表示），并證明．27．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）觀察下列等式：①；②；③；（1）寫出④；（2）猜想：；（3）由以上規(guī)律，計(jì)算的值．28．（2023?蕪湖模擬）將若干枚黑白棋子按照一定規(guī)律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺放三角形陣，請(qǐng)解決下列問題：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（2）第個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（用含的式子表示）（3）當(dāng)擺放到第個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．29．（2023?包河區(qū)校級(jí)一模）仔細(xì)觀察下列各式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個(gè)等式：；（2）寫出第為正整數(shù)）個(gè)等式，并證明等式成立．30．（2023?瑤海區(qū)模擬）觀察下列等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第（5）個(gè)等式（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．31．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）按照此規(guī)律下去，第4個(gè)等式是：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．32．（2023?安慶一模）觀察下列式子：①；②；③；根據(jù)上述規(guī)律，回答下列問題：（1）請(qǐng)把第4個(gè)式子補(bǔ)充完整：；（2）通過以上算式，我們發(fā)現(xiàn)若用來表示個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)，它的平方有一定的規(guī)律，請(qǐng)寫出猜想并證明．33．（2023?合肥模擬）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示）；（3）計(jì)算：．34．（2023?廬江縣三模）觀察下面的圖形及其對(duì)應(yīng)的等式．圖圖圖圖按照上面圖形與等式的對(duì)應(yīng)規(guī)律，解決下面的問題：（1）寫出圖5對(duì)應(yīng)的等式：．（2）寫出圖對(duì)應(yīng)的等式（用含的等式表示），并證明．35．（2023?蕭縣一模）觀察如圖中用小黑點(diǎn)擺成的三角形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問題．（1）第4個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式為；（2）若第個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的黑點(diǎn)總數(shù)為66個(gè)，求的值．36．（2023?蜀山區(qū)模擬）觀察點(diǎn)陣圖中點(diǎn)與等式之間的關(guān)系，尋找規(guī)律．①；②；③；④；根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：（1）第⑥個(gè)等式是；（2）用含為正整數(shù)）的等式表示第個(gè)等式，并證明．

專題14解答基礎(chǔ)題型：規(guī)律探究題1．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含的式子填空：（1）第個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為；（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍．【答案】見解析【詳解】（1）第1個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：，第2個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：，第3個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：，，第個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)：，故答案為：；（2）由題意得：第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為：；故答案為：；（3）由題意得：，解得：或（不符合題意）．2．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）因?yàn)榈?個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，故答案為：；（2）第個(gè)等式：，證明：左邊，右邊，左邊右邊．等式成立．3．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．觀察思考當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖；以此類推．規(guī)律總結(jié)（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加2塊；（2）若一條這樣的人行道一共有為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．問題解決（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】見解析【詳解】（1）觀察圖1可知：中間的每個(gè)正方形都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；故答案為：2；（2）觀察圖形2可知：中間一個(gè)正方形的左上、左邊、左下共有3個(gè)等腰直角三角形，它右上和右下各對(duì)應(yīng)了一個(gè)等腰直角三角形，右邊還有1個(gè)等腰直角三角形，即；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖；歸納得：（即；若一條這樣的人行道一共有為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為塊；故答案為：；（3）由規(guī)律知：等腰直角三角形地磚塊數(shù)是偶數(shù)，用塊，再由題意得：，解得：，等腰直角三角形地磚剩余最少為1塊，則需要正方形地磚1008塊．4．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：．第5個(gè)等式：．按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)等式：；（2）猜想的第個(gè)等式：．證明：左邊右邊，等式成立．故答案為：；．5．（2019?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)等式為：，故答案為：；（2）證明：右邊左邊．等式成立，故答案為：．6．（2023?瑤海區(qū)一模）用相同的菱形按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律完成下表：圖形123456所用菱形個(gè)數(shù)13467（2）按這種方式搭下去，搭第為自然數(shù)）個(gè)圖形需要個(gè)菱形；（用含的式子表示）（3）小亮同學(xué)說他按這種方式搭出來的一個(gè)圖形用了2023個(gè)菱形，你認(rèn)為可能嗎？如果能那是第幾個(gè)圖形？如果不可能請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得，圖形5中有7個(gè)菱形，圖形6中有9個(gè)菱形，故答案為：7，9；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，第個(gè)圖形中有個(gè)菱形，故答案為：；（3）當(dāng)時(shí)，解得：，，所以第1349個(gè)圖形中有2023個(gè)菱形．7．（2023?合肥一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；根據(jù)以上規(guī)律解答以下問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；寫出第個(gè)等式：；（2）由分式性質(zhì)可知：，試求的值．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：；；故答案為：；；（2）．8．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：第5個(gè)等式為：；故答案為：；（2）猜想：，證明：等式左邊右邊，故猜想成立．故答案為：．9．（2023?合肥三模）觀察下列正整數(shù)的排列順序：解答以下問題：（1）35排在第幾行第幾列？（2）第10行第10列的數(shù)是多少？第行列的數(shù)呢？（用含的代數(shù)式表示）（3）2023排在第幾行第幾列？【答案】見解析【詳解】（1）由題意知，35排在第6行第2列；（2）第1列第1行為，第2列第2行為，第3列第3行為，第4列第4行為，第5列第5行為，，第10列第10行為，第列第行為；（3）由規(guī)律可知，第1行第列的數(shù)為，第1行第45列的數(shù)為2025，數(shù)2023在第3行第45列．10．（2023?蜀山區(qū)二模）苯是最簡(jiǎn)單的芳香族化合物，在有機(jī)合成工業(yè)上有著重要的用途，德國(guó)化學(xué)家凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)了苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)．將若干個(gè)苯環(huán)以直線形式相連可以得到如下類型的芳香族化合物（結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式中六邊形每個(gè)頂點(diǎn)處代表1個(gè)原子，通常省略原子）．已知：苯的結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是；2個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為，分子式是；3個(gè)苯環(huán)相連結(jié)構(gòu)式是，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式為的分子式是；根據(jù)以上規(guī)律，回答下列問題：（1）4個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（2）個(gè)苯環(huán)相連的分子式是；（3）試通過計(jì)算說明分子式為是否屬于上述類型的芳香族化合物．【答案】見解析【詳解】（1）4個(gè)苯環(huán)相連的分子式是：；故答案為：；（2）由題意得：第個(gè)苯環(huán)相連的分子式是：；故答案為：；（3），解得：，則，故是屬于上述類型的芳香族化合物．11．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）觀察下列等式，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決問題．①；②；③；（1）；（2）；（3）．【答案】見解析【詳解】（1），，故答案為：20；（2），，故答案為：；（3），故答案為：．12．（2023?瑤海區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)等式為：，故答案為：；（2）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)等式為：，證明：左邊右邊，．13．（2023?包河區(qū)二模）某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長(zhǎng)為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問題．（1）第4個(gè)圖案（4）有白色地磚塊地磚；第個(gè)圖案有白色地磚塊地磚（用含的代數(shù)式表示）；（2）已知（1）的長(zhǎng)度為3米，（2）的長(zhǎng)度為5米，，的長(zhǎng)度為2023米，求圖案中白色正方形地磚有多少塊．【答案】見解析【詳解】（1）第1個(gè)圖案（1）的白色地磚塊數(shù)為：6，第2個(gè)圖案（2）的白色地磚塊數(shù)為：，第3個(gè)圖案（3）的白色地磚塊數(shù)為：，第4個(gè)圖案（4）的白色地磚塊數(shù)為：，，第個(gè)圖案的白色地磚塊數(shù)為：，故答案為：15，；（2）（1）的長(zhǎng)度為3米，（2）的長(zhǎng)度為5米，，的長(zhǎng)度為：米，當(dāng)時(shí)，解得：，中白色地磚的塊數(shù)為：．14．（2023?廬陽區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)等式為：；故答案為：；（2）猜想：第個(gè)等式為：，證明：等式右邊右邊，故猜想成立．15．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解答下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第5個(gè)等式為：，故答案為：；（2）第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第個(gè)等式為：，證明：左邊右邊，故猜想成立．故答案為：．16．（2023?廬江縣模擬）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）第⑤個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；（2）第幾個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)？【答案】見解析【詳解】第一個(gè)圖形的數(shù)量是1，可以表示為；第二個(gè)圖形的數(shù)量是3，可以表示為；第三個(gè)圖形的數(shù)量是6，可以表示為；第四個(gè)圖形的數(shù)量是10，可以表示為，根據(jù)此規(guī)律可以得到第個(gè)圖形的圓圈數(shù)量為，（1）第⑤個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；第⑩個(gè)圖中有個(gè)黑色圓點(diǎn)；故答案為：15，55；（2）設(shè)第個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)，可得：，解得：，所以第幾個(gè)圖中有210個(gè)黑色圓點(diǎn)．17．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）觀察下列各式：①；②；③；④按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)式子：．故答案為：．（2）．證明：左邊右邊．猜想的第個(gè)式子成立．18．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）合肥市某中學(xué)為了讓學(xué)生增加課外閱讀的機(jī)會(huì)，計(jì)劃修建一條讀書走廊，并準(zhǔn)備用若干塊帶有圓形花紋和沒有圓形花紋的兩種大小相同的正方形地磚搭配在一起，按如圖①所示的排列方式鋪滿走廊，已知每塊正方形地磚的邊長(zhǎng)均為．【觀察思考】當(dāng)帶有圓形花紋的地磚只有1塊時(shí)，沒有花紋的地磚有8塊（如圖②；當(dāng)帶有圓形花紋的地磚有2塊時(shí)，沒有花紋的地磚有13塊（如圖③；；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）按圖示規(guī)律，第一個(gè)圖案（圖②的長(zhǎng)為，第五個(gè)圖案的長(zhǎng)為；（2）若這條走廊的長(zhǎng)為，帶有圓形花紋的地磚塊數(shù)為為正整數(shù)），則（用含的代數(shù)式表示）；【問題解決】（3）若要使走廊的長(zhǎng)不小于72，則至少需要帶有圓形花紋的地磚多少塊？【答案】見解【詳解】（1）第一圖案的長(zhǎng)度，第二個(gè)圖案的長(zhǎng)度，，第個(gè)圖案邊長(zhǎng)為；第五個(gè)圖案的長(zhǎng)為；故答案為：1.8，6.6；（2）由（1）得第個(gè)圖案的長(zhǎng)為；故答案為：；（3）由題意得：，，，至少需要帶有圓形花紋的地磚60塊．19．（2023?合肥模擬）如圖，下列圖形是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形按照一定規(guī)律擺放的“”形圖形，觀察圖形：（1）圖10中小正方形的數(shù)量是個(gè)：圖2023的周長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）若圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作，圖2中小正方形圖個(gè)數(shù)記作，圖中小正方形個(gè)數(shù)記作，則個(gè)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）圖1中小正方形的個(gè)數(shù)為：，周長(zhǎng)為：；圖2中小正方形的個(gè)數(shù)為：，周長(zhǎng)為：；圖3中小正方形的個(gè)數(shù)為：，周長(zhǎng)為：；，圖中小正方形的個(gè)數(shù)為：，周長(zhǎng)為：，圖1010中小正方形的數(shù)量是：；圖2023的周長(zhǎng)是：，故答案為：2023，8100；（2）．故答案為：．20．（2023?包河區(qū)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)等式為：．故答案為：；（2）猜想：第個(gè)等式為：，證明：等式左邊右邊，故猜想成立．21．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推．按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉盆；（2）第個(gè)圖案需要花卉盆（用含的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第4個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：，故答案為：41；由（1）可得：第個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：；故答案為：；（3）設(shè)第個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，由題意得：，解得：，，答：該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)為2601．22．（2023?蜀山區(qū)一模）如圖中，圖（1）是一個(gè)菱形，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖（2）所示，連接菱形對(duì)邊中點(diǎn)，共得到5個(gè)菱形；第二次劃分：如圖（3）所示，對(duì)菱形按上述劃分方式繼續(xù)劃分，共得到9個(gè)菱形；第三次劃分：如圖（4）所示，依次劃分下去．（1）根據(jù)題意，第四次劃分共得到個(gè)菱形，第次劃分共得到個(gè)菱形；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)你按上述劃分方式，判斷能否得到2023個(gè)菱形？為什么？【答案】見解析【詳解】（1）第一次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：，第二次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：，第三次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：，第四次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：（個(gè)，第次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：個(gè)，故答案為：17；；（2）不能，理由如下：，解得：，故不能得到2023個(gè)菱形．23．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）第5個(gè)等式為：．故答案為：．（2）第個(gè)等式為：．證明：右邊，左邊，左邊右邊．等式成立．故答案為：．24．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖，下列圖案都是由同樣大小的基本圖形按一定規(guī)律所組成的，其中：第1個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第2個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第3個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，第4個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，．按此規(guī)律排列，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：；（2）如果第個(gè)圖案中有2024個(gè)基本圖形，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：第5個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：，故答案為：17；（2）由題意得：第個(gè)圖形中基本圖形的個(gè)數(shù)為：，第個(gè)圖案中有2024個(gè)基本圖形，，解得：．25．（2023?合肥二模）觀察如圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)與等式的關(guān)系，按照其圖形與等式的規(guī)律，解答下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：．（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示）；（3）若第組圖形中等號(hào)左右兩邊各有171個(gè)小黑點(diǎn)，求．【答案】見解析【詳解】（1）第5個(gè)等式為：，故答案為：；（2）猜想：第個(gè)等式為：，故答案為：；（3）第組圖形中等號(hào)左右兩邊各有171個(gè)小黑點(diǎn)，，解得：．26．（2023?廬江縣二模）觀察下列圖形和其對(duì)應(yīng)的等式：根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是．（2）第個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是（用含的等式表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）；故答案為：；（2）；證明：右邊左邊，所以等式成立．故答案為：．27．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）觀察下列等式：①；②；③；（1）寫出④；（2）猜想：；（3）由以上規(guī)律，計(jì)算的值．【答案】見解析【詳解】（1）觀察可知：．故答案為：．（2）觀察等式規(guī)律可得：．故答案為：．（3）由（2）可得，．28．（2023?蕪湖模擬）將若干枚黑白棋子按照一定規(guī)律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺放三角形陣，請(qǐng)解決下列問題：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（2）第個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（用含的式子表示）（3）當(dāng)擺放到第個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．【答案】見解析【詳解】（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為15，白棋子的個(gè)數(shù)為21；故答案為：15，21；（2）由圖可知，白棋子的變化規(guī)律為每次增加3個(gè)，則第個(gè)圖案中白棋子的個(gè)數(shù)為，黑棋子的變化為：時(shí)，0個(gè)；時(shí)，個(gè)；時(shí)，個(gè)；時(shí)，個(gè)；故第個(gè)圖案中黑棋子個(gè)數(shù)為；故答案為：，；（3），，解得：，（不符題意，舍去），，，取正整數(shù)，且黑棋子第一次比白棋