第一篇-線性代數(shù)-第五章

第五章二次型5.1二次型的概念及其矩陣表示定義1

含有個變量…，的二次齊次函數(shù)（5-1-1）稱為元二次型，簡稱為二次型．

例如,下列二元多項式就是二次型就不是二次型。為討論方便，取因為所以二次型（5-1-1）可以寫成（5-1-2）當都是實數(shù)時，稱二次型為實二次型。本書只討論實二二次型。既然所謂二次型即為一個元的二次齊次多項式，那只要把各項系數(shù)確定下來，該二次型也就確定了，因此用系數(shù)矩陣即可表達二次型。定義2對二次型（其中），它的系數(shù)可以排一個矩陣稱為二次型的矩陣，并稱的秩為二次型的秩。因為二次型的系數(shù)滿足所以其系數(shù)矩陣是對稱矩陣。事實上，如果令

則二次型就可以用矩陣的乘積表示出來：即（5-1-3）式（5-1-3）稱為二次型的矩陣表示．由上面的討論可知，任給一個二次型，可以寫出它的矩陣（對稱矩陣）；反之，由式（5-1-3），任給一個對稱矩陣，可以寫出它對應的二次型。顯然，二次型可以和它的系數(shù)矩陣建立一一對應的關系。例如，二次型的矩陣是反之，對稱矩陣所對應的二次型是注意一般情況下，所給二次型未必是式（5-1-2）或式（5-1-1）的形式，要寫出其矩陣，需要先將所給二次型化為式（5-1-2）的形式，再寫對應的對稱矩陣。例如，二次型要寫成矩陣形式，需把這些項分別改寫成即其矩陣表示式為或簡單地就用對稱矩陣來表示．【例1】寫出下列二次型的矩陣。（1）（2）解由二次型的矩陣表示式可知（1）（2）【例2】已知二次型的對應矩陣為（1）（2）試寫出二次型的表達式。解（1）（2）【例3】寫出二次型的矩陣，并求此二次型的秩。解：二次型的矩陣為易求所以二次型的秩為3。習題5．1

1．寫出下列二次型的矩陣：（1）（2）（3）

(4)

2．設二次型的對應矩陣是（1）（2）（3）試寫出二次型的表達式．

3．寫出二次型的矩陣，并求此二次型的秩。5．2二次型的標準形5．2．1二次型的標準形在平面解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì)，往往采用通過坐標變換化成標準形的方法．根據(jù)標準形就可以作出曲線形狀的判斷，以及得到諸如圓的半徑，橢圓的長半軸、短半軸等數(shù)據(jù)．在這里，我們對二次型也進行類似的討論．為此首先引入下述定義：定義1設是兩組變量，稱（5-2-1）為由到的一個線性變換，簡稱線性變換。如果系數(shù)矩陣是非退化（可逆）矩陣，就稱線性變換（5-2-1）是非退化的或可逆的。如果系數(shù)矩陣是正交矩陣，就稱線性（5-2-1）為正交變換。線性變換可用系數(shù)矩陣來表示。例如線性變換（5-2-1）可以寫成=令有（5-2-2）則二次型（5-1-3）就變形為（5-2-3）即同一個二次型若用變量表示，其對應的矩陣就成為（5-2-4）于是，我們所關心的是如何尋找適當?shù)目赡婢仃囀沟米兂勺詈唵蔚男问建D―對角矩陣．也即如何通過滿秩變換使得二次型用表示時，只有平方項而沒有交叉乘積項，即化為定義2

如果二次型可以通過可逆線性變換=即（其中是可逆矩陣）化為則稱二次型與二次型是等價的。特別地，如果是一個只含平方項的二次型，即則稱為的一個標準形．對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換=使二次型只含平方項，我們簡稱這個問題為化二次型為標準形．5．2．2化二次型為標準形的方法1．用配方法化二次型為標準形

【例1】化二次型為標準形，并求所作可逆線性變換的矩陣解先將含的各項配成一個關于的完全平方項，即再將含的各項配成完全平方，即=令（5-2-5）得（5-2-6）即為所求的標準形．式（5-2-5）就是變量與變量之間的關系，從（5-2-5）中解出即（5-2-7）所作可逆線性變換為=所作可逆線性變換的矩陣為一般情況下，若給出的二次型中有某個的系數(shù)則可把所有含的項括到一起進行一次配方（此時余下的各項中都不再含變量）再對剩下的個變量的二次型重復上述步驟。若用矩陣來表示，即二次型用變量表示的矩陣為現(xiàn)作變換（5-2-7），即則二次型用變量表示的矩陣即為對角矩陣易知，上述配方法總是可行的，所以有下面的結(jié)論:定理1

任何一個二次型都可以化為標準形．即任何一個對稱矩陣總能找到可逆矩陣使得成為對角矩陣．【例2】

化二次型（5-2-8）為標準形，并求所作之變換．解因為二次型中沒有平方項，但含項，所以先作一個滿秩變換，使其出現(xiàn)平方項，根據(jù)平方差公式，令（5-2-9）把（5-2-9）代入（5-2-8）得把含的項配成完全平方，再把含的項配成完全平方，得到令

解出

得

（5-2-10）于是二次型

就化為

（5-2-11）把（5-2-9）和（5-2-10）結(jié)合起來為所作的變換

（5-2-12）所作變換的矩陣形式為

其中由

可知，線性變換

是可逆的，從而

為所求標準形，所求線性變換為

通過解例2可知，要將

均為零、而某項的系數(shù)不為零

的二次型

化為標準形，可先作變換

（5-2-13）從而使

出現(xiàn)某個平方項系數(shù)不為零，再按照例1的步驟進行。

2．用正交變換法化二次型為標準形上面我們介紹了用配方法把二次型化為標準形．除了這個方法以外還有更重要的方法---正交變換法．如果變量代換的系數(shù)矩陣是正交矩陣，則稱之為正交變換．現(xiàn)在我們將說明對二次型一定可以經(jīng)過正交變換把它化成標準形．定理2對于任何一個二次型一定能找到一個正交矩陣，使得經(jīng)過正交變換把它化為標準形其中是二次型的矩陣的全部特征值．（證略）可見，用正交變換化二次型為標準形的關鍵是找到一個正交矩陣使二次型的矩陣化成對角矩陣。具體步驟如下：（1）將二次型表示成矩陣形式

（2）求出

的特征值和對應的特征向量；

（3）對重特征值（如果有的話）對應的線性無關特征向量正交化，再將所有的特征向量單位化，設為（4）構(gòu)造正交矩陣

令則【例3】

求一個正交變換把二次型化為標準形．解二次型的矩陣是的特征多項式于是的不同特征值為（二重），對于（二重），求解齊次線性方程組由求得一個基礎解系為先將正交化，取再將單位化，得對于求解齊次線性方程組由求得它的一個基礎解系為再單位化，得令則是正交矩陣，并且有于是，令即有正交變換使以上我們用配方和正交變換法，把一個二次型化為標準形．但是一般地說，化二次型為標準形不是唯一的

習題5．2

1．用配方法把下列二次型化為標準型：（1）（2）2．把下列二次型用配方法化為標準型，并寫出所作的變換：（1）（2）

3．用正交變換把下列二次型化成標準型：（1）（2）

4．把下列二次型用正交變換化成標準型，并且寫出所作的變換：（1）（2）5．3慣性定理與正定二次型

5．3．1慣性定理從前面的討論不難發(fā)現(xiàn)：用不同的可逆線性變換把一個二次型化為標準形時，標準形中的系數(shù)可能不同，但它們的項數(shù)卻是相同的，且正（負）系數(shù)的項數(shù)也相同。這個規(guī)律對二次型是普遍成立的．下面,我們將不加以證明給出一個定理．為了說明這個定理,先給出一些有關的概念．定義1

二次型的標準形中,系數(shù)為正的平方項個數(shù)稱為的正慣性指數(shù);系數(shù)為負的平稱為的負慣性指數(shù),其中為的秩．定理1(慣性定理)

二次型的任一標準形中,系數(shù)為正的平方項個數(shù)是唯方項個數(shù)是唯一確定的,它等于

的正慣性指數(shù);而系數(shù)為負的平方項個數(shù)也是唯一確定的，它等于的負慣性指數(shù)．等價命題：設有實二次型它的秩為如果有兩個可逆線性變換使（），則中正數(shù)的個數(shù)與中正數(shù)的個數(shù)相等（顯然負數(shù)個數(shù)也相等）?？茖W技術上用得較多的二次型是正慣性指數(shù)為或負慣性指數(shù)為的元二次型。下面我們主要研究正慣性指數(shù)為的元二次型即正定二次型。5．3．2正定二次型1．正定二次型的概念定義

二次型如果對任意一組不全為零的實數(shù)都有則稱為正定二次型；反之，如果對任意一組不全為零的實數(shù)都有則稱為負定二次型。正定二次型的矩陣稱為正定矩陣，負定二次型的矩陣稱為負定矩陣。例如，二次型就不是正定二次型，這是因為，當時，有如果給定的二次型不是標準形，一般不能直接看出其是否為正定二次型，用定義來判別它是否是正定二次型的判別方法又比較麻煩，那么，除了用定義外，還有沒有別的方法判斷它是正定二次型呢？回答是肯定的。

2．正定二次型的判別定理2

元二次型正定的充分必要條件是：它的正慣性指數(shù)等于即它的標準形的個系數(shù)全為正。（證略）推論

元二次型正定的充分必要條件是：它的矩陣的特征值全大于零。定義3在階方陣中，取第行及第列得到的階子式稱為的階順序主子式。例如，稱為一階順序主子式，稱為二階順序主子式，稱為三階順序主子式。

定理3（霍爾維茨定理）二次型正定的充分必要條件是：它的矩陣的所有順序主子式全大于零。即對稱矩陣為正定的充分必要條件是：它的所有順序主子式全大于零。即對稱矩陣為負定的充分必要條件是：它的所有奇數(shù)階順序主子式全小于零，而偶數(shù)階順序主式子全大于零，即（證略）【例1】判定二次型是否為正定二次型。解法一：運用定理2用配方法先將二次型化為標準形令則于是的正慣性指數(shù)是2，不等于未知數(shù)的個數(shù)3，故由定理2知不是正定二次型。解法二：運用定理2推論，先求的矩陣的特征值，由的特征方程可得因為所以由定理2推論知不是正定二次型。解法三：運用定理3，二次型的矩陣為的順序主子式由定理3知不是正定二次型。【例2】試證：若是正定矩陣，則伴隨矩陣也是正定矩陣．證因正定，故其特征值和而的特征值為由定理2推論知，也是正定的。習題5．3

1．判斷下列二次型是否正定：（1）（2）（3）

2．滿足什么條件時，下列二次型是正定的．（1）（2）+

3．試證：任一階可逆矩陣則是正定矩陣．

4．試證：若與是階正定矩陣，則也是正定矩陣．

5．試證：若是正定矩陣，則存在一個可逆矩陣，使得

試證：若

是正定矩陣，則

也是正定矩陣

證因為是對稱矩陣，所以也是對稱矩陣．又因是正定的，所以有正交矩陣使得其中全大于零．由于所以于是易知也全大于零，所以也是正定的．3．通過線性變換

化二次型為標準形時，為什么要求矩陣

是可逆的？答：因為只有可逆線性變換才能保持二次型的性質(zhì)，才能還原成二次型。4．化二次型為標準形的方法與技巧？答：方法與技巧一配方法---對二次型從左邊先找出一個系數(shù)不為零的平方項把所有包含的項集中到一起，配成完全平方的形式，接著尋找下一個系數(shù)不為零的平方項同樣把所有包含的項集中到一起，配成完全平方的形式，依此類推，直到二次型的第一項都成為完全平方的形式樣。只有混合項，沒有平方項時，應作類似于的可逆線性變換，使二次型出現(xiàn)平方項，以后再配完全平方。用配方法化二次型為標準形的要點是利用和的平方公式和兩數(shù)平方差公式逐步消去非平方項并構(gòu)造新的平方項。方法與技巧二正交變換法---即是求正交陣使得其中是由的所有特征值組成的對角矩陣。方法步驟：（1）寫出二次型矩陣并求出的全部特征值（2）對于每個特征值求出相應的特征向量，并將它們先正交化這樣可得到兩兩正交的單位特征向量（3）將為列向量構(gòu)成正交矩陣故二次型經(jīng)過正交變換化為標準形這實質(zhì)是第四章化實對稱矩陣為對角矩陣問題。注：由慣性定理可知：二次型化標準形時，可逆線性變換不惟一，標準形也不惟一，但對確定的二次型，其正、負慣性指數(shù)及秩

都是惟一確定的。5．有關正定二次型（正定矩陣）的命題方法與技巧一已知二次型正定，反求中參數(shù)的方法：主要利用順序主子式全部大于零，便可確定參數(shù)。具體可參照本章第三節(jié)例2。方法與技巧二已知二次型（或）正定，求證有關結(jié)論：主要利用的正定性知，存在正交矩陣使得其中方法與技巧三證明矩陣為正定矩陣的方法：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）特征值法---的所有特征值均大于0※例1對任意的正實數(shù)證明（1）當矩陣都是半正定時，也是半正定的；（2）當矩陣是正定，矩陣是半正定時，是正定的。證明：定義法（1）當矩陣都