第12講實數(shù)(5種題型)(原卷版+解析)

第12講實數(shù)（5種題型）【知識梳理】一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系我們嘗試用數(shù)軸上的一個點來表示．由前面的學習，我們知道兩個邊長為1的小正方形可以拼成一個面積為2的正方形ABCD，它的邊長為．觀察正方形ABCD，可知它的一邊是一個直角三角形的斜邊，這個直角三角形的兩條直角邊長都是1．這樣，就在數(shù)軸上確定一個點來表示．要點：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，而且這些點是唯一的；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應。3.兩個實數(shù)比較大?、儇摂?shù)小于0,0小于正數(shù)；兩個正數(shù)絕對值大的數(shù)較大，兩個負數(shù)絕對值大的數(shù)較??；從數(shù)軸上看，右邊的點表示的數(shù)比左邊的大。②數(shù)軸上，如果點A,點B所對應的數(shù)分別為a，b，那么A,B兩點的距離4.估算：怎樣估算無理數(shù)(①誤差小于1)？(②誤差小于0.1)？誤差小于0.1就是指估算出來的值與準確值之間的差的絕對值小于0.1.估算無理數(shù)的方法是： （1）通過平方運算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；（2）根據(jù)問題中誤差允許的范圍內(nèi)取出近似值。（3）“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個位，答案惟一；誤差小于1m，答案在真正值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于1m就是估算到個位，誤差小于10m就是估算到十位。記憶常用數(shù)的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236【考點剖析】題型一．實數(shù)例1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：【變式1】（2022?樂清市開學）給出四個實數(shù)，3.14，0，，其中無理數(shù)是（）A． B．3.14 C．0 D．【變式2】在下列語句中：①無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；②一個數(shù)的絕對值一定是非負數(shù)；③有理數(shù)比無理數(shù)?。虎軣o限小數(shù)不一定是無理數(shù)．其中正確的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合【變式4】判斷正誤，在后面的括號里對的用“√”，錯的記“×”表示，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).()

(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

題型二．實數(shù)的性質(zhì)例2．若有一個實數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1】．的相反數(shù)是．【變式2】在電視臺一檔互動節(jié)目中，主持人問這樣一道題目：“a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的實數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，”請問：a﹣b+c+d＝．【變式3】已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．題型三、實數(shù)與數(shù)軸例3．如圖，順次連結(jié)4×4方格四條邊的中點，得到一個正方形ABCD．設每一個小方格的邊長為1個單位．（1）正方形ABCD的邊長介于哪兩個相鄰的整數(shù)之間，請說明理由．（2）如果把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得邊AB與數(shù)軸重合，且點A與數(shù)軸的原點重合，數(shù)軸的單位長度就是小方格的邊長．請寫出點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【變式1】如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】如圖，實數(shù)﹣1在數(shù)軸上的對應點可能是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【變式3】定義：有A、B兩只電子跳蚤在同一條數(shù)軸上跳動，它們在數(shù)軸上對應的實數(shù)分別為a、b．若實數(shù)a、b滿足b＝3a+2時，則稱A、B處于“和諧位置”，A、B之間的距離為“和諧距離”．（1）當A在原點位置，且A、B處于“和諧位置”時，“和諧距離”為．（2）當A、B之間的“和諧距離”為2022時，求a、b的值．【變式4】設a，b在數(shù)軸上表示的實數(shù)到原點的距離相等，且位于原點的兩側(cè)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對值為3，請求出下列代數(shù)式的值：5a+5b﹣+e．【變式5】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使實數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎．【閱讀理解】|3﹣1|表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；同理|x﹣1|可以理解為x與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在數(shù)軸上對應的點到﹣1的距離．（1）【嘗試應用】①數(shù)軸上表示﹣4和2的兩點之間的距離是（寫出最后結(jié)果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，則x＝；（2）【動手探究】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸，并折疊紙面，若表示2的點與表示﹣4的點重合．①則表示10的點與表示的點重合；②這時如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點之間的距離為2022，且A，B兩點經(jīng)過折疊后重合，則A表示的數(shù)是，B表示的數(shù)是；③若點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b（A在B的左側(cè)），且A，B兩點經(jīng)折疊后剛好重合，那么a與b之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）【拓展延伸】①當x＝時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是．題型四、實數(shù)大小比較例4.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，1，0的大小順序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小無法確定【變式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，則實數(shù)x、y、z之間的大小關(guān)系可能為（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【變式2】請用符號“＜”將下面實數(shù)﹣32，，﹣3連接起來．【變式3】已知a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，且|a|＝|b|；（1）根據(jù)數(shù)軸判斷：a+b0，c﹣b0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．題型五、估算無理數(shù)的大小例5.如圖，數(shù)軸上的點A，B，C，D，E分別對應的數(shù)是1，2，3，4，5，那么表示的點應在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上【變式1】絕對值小于的整數(shù)有個．【變式3】如果一個正方形ABCD的面積為69．（1）求正方形ABCD的邊長a．（2）正方形ABCD的邊長滿足m＜a＜n，m，n表示兩個連續(xù)的正整數(shù)，求m，n的值．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?嘉興期末）在實數(shù)3.14，，，中，屬于無理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．2．（2022秋?鄞州區(qū)期末）若整數(shù)a滿足，則整數(shù)a是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對值是﹣5 B．任何實數(shù)都有倒數(shù) C．任何實數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是4．（2022秋?新昌縣期末）若實數(shù)a，b，c，d滿足，則a，b，c，d這四個實數(shù)中最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d5．（2022秋?金華期末）若正數(shù)x滿足x2＝18，則下列整數(shù)中與x最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間7．（2021秋?南潯區(qū)期末）下列關(guān)于的說法中，正確的是（）A．是有理數(shù) B．是2的算術(shù)平方根 C．不是實數(shù) D．不是無理數(shù)8．（2021秋?溫州期中）若有一個實數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．10．（2020秋?鄞州區(qū)期末）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．若實數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2二．填空題（共8小題）11．（2022秋?慈溪市期末）比較大?。?．（填“＞”，“＝”或“＜”）12．（2022秋?義烏市校級期中）比較大?。?.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．（2022秋?嘉興期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)﹣1和，則A、B兩點間的距離為．14．（2022秋?杭州期中）＝，1﹣π的相反數(shù)是．15．（2023春?宣恩縣校級期中）比較大小：﹣π﹣3.14（選填“＞”、“＝”、“＜”）．16．（2020秋?舟山期中）請寫出一個大于﹣4而小于﹣3的無理數(shù)．17．（2022秋?越城區(qū)期中）設n為正整數(shù)，且，則n的值為．18．（2022秋?海曙區(qū)校級期中）已知7+的整數(shù)部分是m，的小數(shù)部分是n，則m+n＝．三．解答題（共5小題）19．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進行排列，用“＜”連接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精確表示）20．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從A點沿數(shù)軸向右直爬2個單位長度到達點B，點A表示﹣，設點B所表示的數(shù)為m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．21．（2022秋?麗水期中）把下列各數(shù)的序號填在相應的橫線上：①﹣3.14，②2π，③﹣，④0.618，⑤﹣，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐漸多1）．整數(shù)集合：{……}；分數(shù)集合：{……}；無理數(shù)集合：{……}．22．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）已知4的算術(shù)平方根是2a﹣1，3a+b﹣1的平方根是±3，c是的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求a+b﹣2c的平方根．23．（2023春?鶴峰縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為（﹣2）．請解答：（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是（2）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求a+b﹣的值．

第12講實數(shù)（5種題型）【知識梳理】一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系我們嘗試用數(shù)軸上的一個點來表示．由前面的學習，我們知道兩個邊長為1的小正方形可以拼成一個面積為2的正方形ABCD，它的邊長為．觀察正方形ABCD，可知它的一邊是一個直角三角形的斜邊，這個直角三角形的兩條直角邊長都是1．這樣，就在數(shù)軸上確定一個點來表示．要點：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，而且這些點是唯一的；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應。3.兩個實數(shù)比較大?、儇摂?shù)小于0,0小于正數(shù)；兩個正數(shù)絕對值大的數(shù)較大，兩個負數(shù)絕對值大的數(shù)較小；從數(shù)軸上看，右邊的點表示的數(shù)比左邊的大。②數(shù)軸上，如果點A,點B所對應的數(shù)分別為a，b，那么A,B兩點的距離4.估算：怎樣估算無理數(shù)(①誤差小于1)？(②誤差小于0.1)？誤差小于0.1就是指估算出來的值與準確值之間的差的絕對值小于0.1.估算無理數(shù)的方法是： （1）通過平方運算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；（2）根據(jù)問題中誤差允許的范圍內(nèi)取出近似值。（3）“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個位，答案惟一；誤差小于1m，答案在真正值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于1m就是估算到個位，誤差小于10m就是估算到十位。記憶常用數(shù)的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236【考點剖析】題型一．實數(shù)例1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：【思路點撥】對實數(shù)進行分類時，應先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進行分類，不能僅看到根號表示的數(shù)就認為是無理數(shù).π是無理數(shù)，化簡后含π的代數(shù)式也是無理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無理數(shù)有【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，，，.【變式1】（2022?樂清市開學）給出四個實數(shù)，3.14，0，，其中無理數(shù)是（）A． B．3.14 C．0 D．【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：在實數(shù)，3.14，0，中，無理數(shù)是．故選：A．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．【變式2】在下列語句中：①無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；②一個數(shù)的絕對值一定是非負數(shù)；③有理數(shù)比無理數(shù)?。虎軣o限小數(shù)不一定是無理數(shù)．其中正確的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【答案】C；解：①因為實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項正確；②一個數(shù)的絕對值一定≥0，故本選項正確；③數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān)，故本選項是錯誤的；④無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項正確．【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合【答案與解析】有理數(shù)有：，，，，0，無理數(shù)有：，，，，，，0.3737737773……【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，，，，.【變式4】判斷正誤，在后面的括號里對的用“√”，錯的記“×”表示，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).()

(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

【答案】(1)(×)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù).(2)(√)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).(3)(×)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).(4)(×)0是有理數(shù).(5)(×)如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).(6)(×)如，雖然帶根號，但＝9，這是有理數(shù).(7)(×)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).(8)(√)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示.題型二．實數(shù)的性質(zhì)例2．若有一個實數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡即可得出答案．【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的相反數(shù)，掌握一個數(shù)a的相反數(shù)是﹣a是解題的關(guān)鍵．【變式1】．的相反數(shù)是﹣．【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義進行解答即可．【解答】解：∵與﹣是只有符號不同的兩個數(shù)，∴的相反數(shù)是﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查的是上實數(shù)的性質(zhì)，即只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)．【變式2】在電視臺一檔互動節(jié)目中，主持人問這樣一道題目：“a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的實數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，”請問：a﹣b+c+d＝3或1．【分析】根據(jù)題意寫出a．b，c，d的值，然后分兩種情況分別計算即可．【解答】解：∵a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的實數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±1，∴當d＝1時，a﹣b+c+d＝1+1+0+1＝3；當d＝﹣1時，a﹣b+c+d＝1+1+0﹣1＝1；故答案為：3或1．【點評】本題考查了實數(shù)，絕對值，倒數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是掌握乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)．【變式3】已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．【分析】（1）根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，先確定a+b、cd及m的值，再求代數(shù)式的值即可；（2）根據(jù)＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代數(shù)式即可．【解答】（1）解：∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∵c、d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵|m|＝2且m＜0，∴m＝﹣2，∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m＝﹣1+6＝5；（2）∵＝m，∴a＝m3＝﹣8，∴b＝8，∵，∴，∴b﹣4d+m＝＝8﹣2﹣2＝4．【點評】本題考查了有理數(shù)的運算，掌握“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0”、“互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1”是解決本題的關(guān)鍵．題型三、實數(shù)與數(shù)軸例3．如圖，順次連結(jié)4×4方格四條邊的中點，得到一個正方形ABCD．設每一個小方格的邊長為1個單位．（1）正方形ABCD的邊長介于哪兩個相鄰的整數(shù)之間，請說明理由．（2）如果把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得邊AB與數(shù)軸重合，且點A與數(shù)軸的原點重合，數(shù)軸的單位長度就是小方格的邊長．請寫出點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【分析】（1）利用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，求出正方形ABCD的面積，然后再求出邊長即可；（2）點B在數(shù)軸上的位置有兩種情況，點B在原點左側(cè)，點B在原點右側(cè)．【解答】解：（1）正方形ABCD的邊長介于兩個相鄰的整數(shù)2和3之間，理由是：∵正方形ABCD的面積＝4×4﹣4××2×2＝8，∴AB＝＝，∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，∴，∴2＜＜3，正方形ABCD的邊長介于兩個相鄰的整數(shù)2和3之間；（2）分兩種情況：當點B在原點左側(cè)，點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：，當點B在原點右側(cè)，點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：，∴點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：±．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點所表示的數(shù)及AE間距離可得點E所表示的數(shù)．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵點A表示的數(shù)是1，且點E在點A右側(cè)，∴點E表示的數(shù)為1+．故選：B．【點評】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸及兩點間距離，根據(jù)兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數(shù)是關(guān)鍵．【變式2】如圖，實數(shù)﹣1在數(shù)軸上的對應點可能是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【分析】先確定的范圍，再推出的范圍，從而得解．【解答】解：∵，∴，∴在在數(shù)軸上的對應點可能是C．故選：C．【點評】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，估算出的大小是解本題的關(guān)鍵．【變式3】定義：有A、B兩只電子跳蚤在同一條數(shù)軸上跳動，它們在數(shù)軸上對應的實數(shù)分別為a、b．若實數(shù)a、b滿足b＝3a+2時，則稱A、B處于“和諧位置”，A、B之間的距離為“和諧距離”．（1）當A在原點位置，且A、B處于“和諧位置”時，“和諧距離”為2．（2）當A、B之間的“和諧距離”為2022時，求a、b的值．【分析】（1）將a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和諧距離為2；（2）根據(jù)A，B的和諧距離為2022列出方程即可求解．【解答】解：（1）將a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和諧距離為2；故答案為：2；（2）∵A，B處于和諧位置，∴b＝3a+2，∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，∴2a+2＝±2022，∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，新定義，體現(xiàn)了方程思想，根據(jù)A，B的和諧距離為2022列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4】設a，b在數(shù)軸上表示的實數(shù)到原點的距離相等，且位于原點的兩側(cè)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對值為3，請求出下列代數(shù)式的值：5a+5b﹣+e．【分析】根據(jù)題意得：a+b＝0，cd＝1，e＝3或e＝﹣3，然后分兩種情況分別代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵a，b在數(shù)軸上表示的實數(shù)到原點的距離相等，且位于原點的兩側(cè)，∴a+b＝0，∵c，d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵e的絕對值為3，∴e＝3或e＝﹣3，當e＝3時，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣+3＝；當e＝﹣3時，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣﹣3＝．綜上所述，代數(shù)式的值為或﹣．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，倒數(shù)，實數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的思想，掌握絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有2個是解題的關(guān)鍵，不要漏解．【變式5】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使實數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎．【閱讀理解】|3﹣1|表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；同理|x﹣1|可以理解為x與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在數(shù)軸上對應的點到﹣1的距離．（1）【嘗試應用】①數(shù)軸上表示﹣4和2的兩點之間的距離是6（寫出最后結(jié)果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，則x＝1或﹣5；（2）【動手探究】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸，并折疊紙面，若表示2的點與表示﹣4的點重合．①則表示10的點與表示﹣12的點重合；②這時如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點之間的距離為2022，且A，B兩點經(jīng)過折疊后重合，則A表示的數(shù)是﹣1012，B表示的數(shù)是1010；③若點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b（A在B的左側(cè)），且A，B兩點經(jīng)折疊后剛好重合，那么a與b之間的數(shù)量關(guān)系是a+b＝﹣2；（3）【拓展延伸】①當x＝1時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是5；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是﹣5．【分析】（1）①根據(jù)兩點間距離公式可得答案；②根據(jù)絕對值的定義可以解答；（2）①首先求出折疊點是﹣1，列式為﹣1﹣（10+1）可得答案；②根據(jù)折疊點為﹣1可列式解答；③由題意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；（3）根據(jù)絕對值的定義和分類討論的數(shù)學思想可以解答本題．【解答】解：（1）①﹣4和2的兩點之間的距離是：2﹣（﹣4）＝6，故答案為：6；②∵|x﹣（﹣2）|＝3，∴x＝1或﹣5，故答案為：1或﹣5；（2）∵表示2的點與表示﹣4的點重合，∴折疊點是﹣1，①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，故答案為：﹣12；②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，∴則A表示的數(shù)是﹣1012，B表示的數(shù)是1010，故答案為：﹣1012，1010；③由題意得，（a+b）＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故答案為：a+b＝﹣2；（3）①當x≤﹣2時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，當﹣2＜x≤1時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，當1＜x≤3時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，當x＞3時，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，∴當x＝1時，最小值是5，故答案為：1，5；②當x＜﹣1時，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，當﹣1≤x≤4時，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，當x＞4時，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，∴最大值是5，最小值是﹣5，故答案為：5，﹣5．【點評】本題考查數(shù)軸、絕對值、兩點的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確絕對值的定義，利用絕對值的知識和分類討論的數(shù)學思想解答．題型四、實數(shù)大小比較例4.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，1，0的大小順序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小無法確定【分析】根據(jù)數(shù)軸上a所在的位置可用取特殊值的方法比較個數(shù)的大?。窘獯稹拷猓骸擤?＜a＜0，∴令a＝﹣，則﹣＝；∵0＜1＜，∴0＜1＜﹣．故選：C．【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間對應關(guān)系及實數(shù)的大小的比較，當給出的未知字母的值在一個確定的范圍內(nèi)時，可用取特殊值的方法進行比較，以簡化計算．【變式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，則實數(shù)x、y、z之間的大小關(guān)系可能為（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【分析】根據(jù)各選項中x，y，z的大小關(guān)系分別計算已知等式的左邊和右邊，看是否相等即可判斷．【解答】解：A、當x＞y＞z時，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y(tǒng)﹣z，已知等式不成立，不符合題意；B、當z＞y＞x時，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y(tǒng)﹣x﹣（z﹣x）＝y(tǒng)﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合題意；C、當y＞x＞z時，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y(tǒng)﹣x﹣（x﹣z）＝y(tǒng)+z﹣2x，|y﹣z|＝y(tǒng)﹣z，已知等式不成立，不符合題意；D、當x＞z＞y時，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是實數(shù)的大小和絕對值的意義，正確根據(jù)字母的大小關(guān)系將絕對值化去是解本題的關(guān)鍵．【變式2】請用符號“＜”將下面實數(shù)﹣32，，﹣3連接起來﹣32＜﹣3＜．【分析】根據(jù)正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小判斷即可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，|﹣9|＝9，|﹣3|＝3，∴9＞3，∴﹣32＜﹣3，∴﹣32＜﹣3＜，故答案為：﹣32＜﹣3＜．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，且|a|＝|b|；（1）根據(jù)數(shù)軸判斷：a+b＝0，c﹣b＜0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義和點在數(shù)軸上的位置可得結(jié)論；（2）根據(jù)點在直線上的位置，先判斷c﹣a、c﹣b、a+b、c﹣1的正負，再利用絕對值的意義去掉絕對值，最后合并同類項．【解答】解：由題圖知a＜0＜c＜b，（1）∵|a|＝|b|，∴a＝﹣b，c＜b．∴a+b＝0，c﹣b＜0．故答案為：＝，＜．（2）∵a＜0＜c＜b＜1，∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0，c﹣1＜0．∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．＝c﹣a﹣（b﹣c）+（a+b）+1﹣c＝c﹣a﹣b+c+a+b+1﹣c＝1+c．【點評】本題主要考查了絕對值的意義，根據(jù)數(shù)軸確定兩個數(shù)的和差與零的關(guān)系及掌握絕對值的意義是解決本題的關(guān)鍵．題型五、估算無理數(shù)的大小例5.如圖，數(shù)軸上的點A，B，C，D，E分別對應的數(shù)是1，2，3，4，5，那么表示的點應在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上【分析】根據(jù)實數(shù)平方根的定義估算的大小，再結(jié)合數(shù)軸表示數(shù)的方法得出答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，∵數(shù)軸上的點C，D分別對應的數(shù)是3，4，∴表示的點應在線段CD上，故選：C．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的意義是正確解答的前提，估算出的大小是得出正確答案的關(guān)鍵．【變式1】絕對值小于的整數(shù)有13個．【分析】由題意可知，這個整數(shù)在﹣到之間，再由6＜＜7，即可求解．【解答】解：由題意可知，這個整數(shù)在﹣到之間，∵6＜＜7，∴滿足的整數(shù)有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共13個，故答案為13．【點評】本題考查無理數(shù)的大?。徽莆战^對值的意義，能夠準確估計無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【變式2】的整數(shù)部分是3．【分析】根據(jù)平方根的意義確定的范圍，則整數(shù)部分即可求得．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整數(shù)部分是3．故答案是：3．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．【變式3】如果一個正方形ABCD的面積為69．（1）求正方形ABCD的邊長a．（2）正方形ABCD的邊長滿足m＜a＜n，m，n表示兩個連續(xù)的正整數(shù)，求m，n的值．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積是69即可得出答案；（2）故選的范圍即可求出m，n的值；【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面積為69，∴正方形ABCD的邊長a＝；（2）∵64＜69＜81，∴8＜＜9，∴m＝8，n＝9；【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?嘉興期末）在實數(shù)3.14，，，中，屬于無理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【解答】解：3.14，，是有理數(shù)；是無理數(shù)．故選：D．【點評】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①π類，如2π，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0），0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個1）等．2．（2022秋?鄞州區(qū)期末）若整數(shù)a滿足，則整數(shù)a是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先計算，，然后看哪個平方數(shù)在7和15之間即可．【解答】解：∵7＜9＜15，∴＜3＜，∴如果整數(shù)a滿足，則a的值是：3．故選：B．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對值是﹣5 B．任何實數(shù)都有倒數(shù) C．任何實數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：A、5的絕對值是5，不符合題意；B、0沒有倒數(shù)，不符合題意；C、任何實數(shù)都有相反數(shù)，符合題意；D、﹣2的倒數(shù)是﹣，不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4．（2022秋?新昌縣期末）若實數(shù)a，b，c，d滿足，則a，b，c，d這四個實數(shù)中最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【分析】根據(jù)題目所給等式進行依次變形，然后進行比較即可得出答案．【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，∴b＝a﹣1+，即b＞a，∵a﹣1＝c+1，∴a＝c+2，∴a＞c，∵c+1＝d+2，∴c＝d+1，即c＞d，∴b＞a＞c＞d，∴b最大．故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)的加減及實數(shù)大小的比較，掌握實數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵．5．（2022秋?金華期末）若正數(shù)x滿足x2＝18，則下列整數(shù)中與x最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】估算的大小即可求解．【解答】解：∵正數(shù)x滿足x2＝18，∴，∵42＝16，4.52＝20.25，∴最接近4，∴x最接近的是4．故選：C．【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，正確的估算的大小是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間【分析】根據(jù)4＜7＜9，可得，即可求解．【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴的值大概在2到3之間．故選：D．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?南潯區(qū)期末）下列關(guān)于的說法中，正確的是（）A．是有理數(shù) B．是2的算術(shù)平方根 C．不是實數(shù) D．不是無理數(shù)【分析】利用實數(shù)，有理數(shù)無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根判斷即可．【解答】解：是實數(shù)，是無理數(shù)，是2的算術(shù)平方根．∴只有B選項正確．故選：B．【點評】本題考查了實數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握實數(shù)，有理數(shù)無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根．8．（2021秋?溫州期中）若有一個實數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡即可得出答案．【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的相反數(shù)，掌握一個數(shù)a的相反數(shù)是﹣a是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點所表示的數(shù)及AE間距離可得點E所表示的數(shù)．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵點A表示的數(shù)是1，且點E在點A右側(cè)，∴點E表示的數(shù)為1+．故選：B．【點評】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸及兩點間距離，根據(jù)兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數(shù)是關(guān)鍵．10．（2020秋?鄞州區(qū)期末）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．若實數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】根據(jù)點b在數(shù)軸上的位置可求．【解答】解：將﹣a，b在數(shù)軸上表示出來如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之間．選項中只有﹣1符合條件．故選：C．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關(guān)系．找到﹣a的位置是求解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?慈溪市期末）比較大?。海?．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】直接利用估算無理數(shù)的大小的方法得出2＜＜3，進而比較得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案為：＞．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?義烏市校級期中）比較大?。海?.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先比較它們的平方數(shù)，平方大的數(shù)就大．【解答】解：∵（）2＝7，2.52＝6.25，且7＞6.25，∴＞2.5，故答案為：＞．【點評】本題考查了實數(shù)的比較，計算平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?嘉興期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)﹣1和，則A、B兩點間的距離為+1．【分析】根據(jù)“線段AB的長＝|點B表示的數(shù)﹣點A表示的數(shù)|”列式計算即可．【解答】解：A、B兩點間的距離為．故答案為：．【點評】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，掌握“線段AB的長＝|點B表示的數(shù)﹣點A表示的數(shù)|”是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?杭州期中）＝4，1﹣π的相反數(shù)是π﹣1．【分析】利用算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義，進行計算即可解答．【解答】解：＝4，1﹣π的相反數(shù)是π﹣1，故答案為：4，π﹣1．【點評】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?宣恩縣校級期中）比較大?。憨仸校缉?.14（選填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】先比較π和3.14的大小，再根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”即可比較﹣π＜﹣3.14的大?。窘獯稹拷猓阂驗棣惺菬o理數(shù)所以π＞3.14，故﹣π＜﹣3.14．故填空答案：＜．【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較，實數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；（2）兩個負數(shù)，絕對值大的反而小．16．（2020秋?舟山期中）請寫出一個大于﹣4而小于﹣3的無理數(shù)﹣（答案不唯一）．【分析】先找出﹣16到﹣9之間的一個數(shù)，再把其相反數(shù)進行開方即可求解【解答】解：∵﹣16＜﹣10＜﹣9，∴﹣＜﹣＜﹣，即：﹣4＜﹣＜﹣3．故答案為：﹣（答案不唯一）．【點評】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，屬開放性題目，答案不唯一．17．（2022秋?越城區(qū)期中）設n為正整數(shù)，且，則n的值為8．【分析】估算出的取值范圍即可解答．【解答】解：∵64＜66＜81，∴，∵，∴n＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的