第08講垂徑定理(原卷版+解析)

第08講垂徑定理【知識(shí)梳理】一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【考點(diǎn)剖析】一．垂徑定理（共9小題）1．（2023?荊州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）2．（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．3．（2022秋?杭州期末）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，DE．若DE＝3DO，，則△ODE的面積為（）A．4 B． C． D．4．（2023?杭州模擬）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，則⊙O的直徑為（）A．9 B． C． D．125．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm6．（2022秋?杭州期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．7．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（2023?天臺(tái)縣一模）如圖，AB是半圓O的直徑，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，CP⊥AB交半圓于點(diǎn)C，已知AB＝2，則OP+PC的最大值是．9．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點(diǎn)A為圓心，線段AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長(zhǎng)．二．垂徑定理的應(yīng)用（共12小題）10．（2023?武義縣一模）如圖，一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2023?杭州一模）為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm12．（2023?金華模擬）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．13．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖是一個(gè)管道的橫截面，圓心O到水面AB的距離OD是3，水面寬AB＝6．（1）求這個(gè)管道橫截面的半徑．（2）求∠AOB的度數(shù)．14．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖為一個(gè)指紋鎖的部分設(shè)計(jì)圖，尺寸如圖所示，求AB所在圓的半徑為（）A．50mm B．50.5mm C．51mm D．51.5mm15．（2023?沂南縣二模）如圖是美妝小鎮(zhèn)某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個(gè)弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點(diǎn)B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，則香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm16．（2023春?樂(lè)清市月考）如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由和矩形ABCD組成，且點(diǎn)B，?C也在所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點(diǎn)，此時(shí)隧道的最高點(diǎn)P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝m；在上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是m．17．（2023?長(zhǎng)興縣一模）石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝米．18．（2023?松陽(yáng)縣二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測(cè)量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過(guò)思考找到了測(cè)量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高CD＝12cm，底面內(nèi)徑BC＝8cm，球的最高點(diǎn)E到瓶底的距離為20cm，則球的半徑為cm．?19．（2023?南潯區(qū)一模）一根排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5cm，水面寬AB＝8cm，則截面圓心O到水面的距離為cm．20．（2023?瑞安市模擬）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)∠AFC＝90°．測(cè)得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，則所在圓的半徑為米，所在圓的半徑為米．21．（2022秋?溫州期末）根據(jù)素材解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)貨船通過(guò)圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測(cè)得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過(guò)圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過(guò)？

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)E，且，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，小明分別以點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)，作直線分別交弦和劣弧于點(diǎn)．小明量得．則劣弧所在圓的半徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）一個(gè)隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是中弦的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，隧道的高，則的半徑為（

）A．8 B．7 C．6 D．54．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長(zhǎng)度為8，半徑OC垂直AB于點(diǎn)D，，則橋拱高CD為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．26．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接交⊙O于點(diǎn)E，若，則（）A．20° B．2° C．25° D．30°7．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)8．（2023秋·浙江·九年級(jí)期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．159．（2021秋·九年級(jí)?？计谥校〢B和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或410．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)校考期中）如圖這是我市某跨海大橋正側(cè)面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面長(zhǎng)為800米，且與水面平行，小王用計(jì)算機(jī)根據(jù)照片對(duì)大橋進(jìn)行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點(diǎn)P，在橋面上取點(diǎn)C，作射線交?。ㄖ鳂蚬埃┯邳c(diǎn)D，右邊畫(huà)出了與關(guān)于長(zhǎng)的函數(shù)圖象，下列對(duì)此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點(diǎn)與橋面的實(shí)際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面的實(shí)際長(zhǎng)度約為500米C．拍攝照片時(shí)，橋面離水面的實(shí)際高度約為110米D．橋面上段的實(shí)際長(zhǎng)度約200米二、填空題11．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_(kāi)______．12．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）五水共治辦公室在一次巡查時(shí)測(cè)量一排水管的排水情況，如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為，半徑是，有水部分弓形的高為，則______．13．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O的半徑為5，弦，B是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．14．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)______．16．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是_________．17．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．18．（2020秋·浙江·九年級(jí)期中）在半徑為5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD間距離為_(kāi)___三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）我們?cè)趯W(xué)習(xí)了《浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》探究活動(dòng)，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現(xiàn)以水平方向?yàn)檩S，若小明同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是；探究一：(1)若小紅同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是__________．(2)在（1）條件下，求出該拋物線在水面中的倒影所在拋物線函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)___________．(3)一艘寬為米，高出水面米的貨船，能否從橋下通過(guò)？探究二：(4)若已知橋洞的拱形是圓的一部分，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面，該圓半徑為_(kāi)_________．20．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過(guò)圓心O的線段于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，已知半徑為5．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）若，且，求弦的長(zhǎng)；21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．22．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度為，拱高為．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出圓弧所在圓的圓心O，并計(jì)算圓的半徑；(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，水面離拱頂只有，即時(shí)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．23．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫(huà)圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖（1）中畫(huà)弦的弦心距；(2)在圖（2）中的圓上找一點(diǎn)，使點(diǎn)是的中點(diǎn)．24．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求．25．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．

第08講垂徑定理【知識(shí)梳理】一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．二．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【考點(diǎn)剖析】一．垂徑定理（共9小題）1．（2023?荊州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）【分析】本題可先設(shè)半徑的大小，由此得出A點(diǎn)的方程．連接AM、AN根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出AN的長(zhǎng)度，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可解出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)M、N作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥MN，連接AN，則BM＝BN，設(shè)⊙A的半徑為r，則AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，可得：r＝2.5，∴BN＝4﹣2.5＝1.5，則N到y(tǒng)軸的距離為：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，又點(diǎn)N在第三象限，∴N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．2．（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．【分析】連接OE、OC，OC交EF于D，由圓周角定理得出，如果連接OC交EF于D，根據(jù)垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的長(zhǎng)，即可得出EF的值．【解答】解：如圖所示，∵PC是∠APB的角平分線，∴∠APC＝∠CPB，∴弧AC＝弧BC；∴AC＝BC；∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°．即△ABC是等腰直角三角形．連接OC，交EF于點(diǎn)D，則OC⊥AB；∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．連接OE，根據(jù)勾股定理，得：DE＝＝2，∴EF＝2ED＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的中位線，綜合運(yùn)用了圓周角定理及其推論發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，再進(jìn)一步根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及中位線定理，求得EF的弦心距，最后結(jié)合垂徑定理和勾股定理求得弦長(zhǎng)．3．（2022秋?杭州期末）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，DE．若DE＝3DO，，則△ODE的面積為（）A．4 B． C． D．【分析】先根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD＝2，則BE＝2OD，再根據(jù)圓周角定理得到∠B＝90°，接著利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，從而可求出OD，然后利用三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，∵OA＝OE，∴OD為△ABE的中位線，∴BE＝2OD，∵AE為直徑，∴∠B＝90°，在Rt△BDE中，∵BD2+BE2＝DE2，∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，解得OD＝2，∴△ODE的面積＝OD?BD＝×2×2＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．4．（2023?杭州模擬）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，則⊙O的直徑為（）A．9 B． C． D．12【分析】作直徑AF，連BF、CF．證明CD＝BF＝6，利用勾股定理求出AF即可．【解答】解：作直徑AF，連BF、CF．∵AF是圓O的直徑，∴∠ACF＝∠ABF＝90°，∴CF⊥AC，又∵BD⊥AC，∵CF∥BD，∴∠DBC＝∠BCF，∴＝，∴BF＝CD＝2，∴AF＝＝＝2，∴⊙O的直徑為2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm【分析】連接OA，如圖，先計(jì)算出OD＝OA＝5，OE＝2，再根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理計(jì)算出AE，從而得到AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接OA，如圖，∵OE＝2cm，DE＝7cm，∴OD＝5cm，∴OA＝5cm，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝＝（cm），∴AB＝2AE＝2（cm）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．6．（2022秋?杭州期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）由垂徑定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，從而證明AC＝BD；（2）設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于r的方程，即可求出⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，∴CF＝DF，∵OA＝OB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵CO2＝CF2+OF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴⊙O的半徑是5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．7．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB過(guò)圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半徑長(zhǎng)是5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．8．（2023?天臺(tái)縣一模）如圖，AB是半圓O的直徑，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，CP⊥AB交半圓于點(diǎn)C，已知AB＝2，則OP+PC的最大值是．【分析】連接OC，由勾股定理得到OP2+PC2＝OC2＝1，由（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO?PC＝1+2PO?PC，得到OP+PC＝，當(dāng)PO?PC最大時(shí)，PO+PC的值最大，由（PC﹣PO）2≥0，得到2PC?PO≤PC2+PO2＝1，由此即可求出OP+PC的最大值．【解答】解：連接OC，∵AB＝2，∴OC＝AB＝1，∵PC⊥AB，∴OP2+PC2＝OC2＝1，∵（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO?PC＝1+2PO?PC，∴OP+PC＝，∴當(dāng)PO?PC最大時(shí)，PO+PC的值最大，∵（PC﹣PO）2≥0，∴PC2+PO2﹣2PC?PO≥0，∴2PC?PO≤PC2+PO2＝1，∴2PC?PO的最大值是1，∴PO+PC的最大值是＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是由PC2+PO2﹣2PC?PO≥0，得到2PC?PO≤PC2+PO2＝1．9．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點(diǎn)A為圓心，線段AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長(zhǎng)．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)定理證明DF＝DC即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，證明Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），求出，設(shè)AG＝x，在△ABG和△EBG中，利用勾股定理列出方程，求出x值，可得AG＝5，進(jìn)一步利用勾股定理求出結(jié)果即可．【解答】（1）證明：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，由作圖可知：AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF＝DC＝AB．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE，垂足為G，∵BE＝6，CE＝3，∴AD＝AE＝BC＝9，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴CE＝EF＝3，∴AF＝6，∴，設(shè)AG＝x，則FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，解得：x＝5，即AG＝5，∴，F(xiàn)G＝1，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相應(yīng)定理，找到線段之間的關(guān)系．二．垂徑定理的應(yīng)用（共12小題）10．（2023?武義縣一模）如圖，一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】因?yàn)镸是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，EM⊥CD，則CM＝DM＝3，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，可求得OM，進(jìn)而就可求得EM．【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，設(shè)OC是x米，則OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．11．（2023?杭州一模）為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【分析】連接AB、CD交于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：連接AB、CD交于點(diǎn)D，由題意得，OC⊥AB，則AD＝DB＝AB＝4，設(shè)圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得，R＝5，則該鐵球的直徑為10cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的市場(chǎng)價(jià)定理的應(yīng)用、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑，平分弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．12．（2023?金華模擬）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為16cm．【分析】連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直徑為52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），即水的最大深度為16cm，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖是一個(gè)管道的橫截面，圓心O到水面AB的距離OD是3，水面寬AB＝6．（1）求這個(gè)管道橫截面的半徑．（2）求∠AOB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可解；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，連接OA，∵AB＝6，OD⊥AB，∴AD＝3，∵OD＝3，∴△OAD是等腰直角三角形，在Rt△AOD中，，∴這個(gè)管道橫截面的半徑為；（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，∴∠AOB＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理．14．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖為一個(gè)指紋鎖的部分設(shè)計(jì)圖，尺寸如圖所示，求AB所在圓的半徑為（）A．50mm B．50.5mm C．51mm D．51.5mm【分析】如圖，設(shè)圓心為O，半徑為Rmm，作OD⊥AB與點(diǎn)C交⊙O于D．利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：如圖，設(shè)圓心為O，半徑為Rmm，作OD⊥AB與點(diǎn)C交⊙O于D．∵OD⊥AB，OD是半徑，∴AC＝CB＝10，在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，∴R2＝102+（R﹣1）2，∴R＝50.5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．15．（2023?沂南縣二模）如圖是美妝小鎮(zhèn)某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個(gè)弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點(diǎn)B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，則香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm【分析】作OG⊥BC于G，延長(zhǎng)GO交EF于H，連接BO、EO．根據(jù)垂徑定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根據(jù)h＝OH+OG+AB即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，作OG⊥BC于G，延長(zhǎng)GO交EF于H，連接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴，，∴；，∴h＝OH+OG+AB＝0.7+2.4+2.6＝5.7cm．即香水瓶的高度h為5.7cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（2023春?樂(lè)清市月考）如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由和矩形ABCD組成，且點(diǎn)B，?C也在所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點(diǎn)，此時(shí)隧道的最高點(diǎn)P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝8m；在上，離地面相同高度的兩點(diǎn)E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是（2+2）m．【分析】連接PM，作AB的垂直平分線OG，交PM于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)O是圓心，連接OB，可得半徑，在利用勾股定理求BM即可；連接PA、OE交于點(diǎn)N，作AH⊥PM于點(diǎn)H，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，交OG于點(diǎn)K，用勾股定理求出AP，進(jìn)而可求ON，在證明△EOK≌△OPN即可．【解答】解：連接PM，作AB的垂直平分線OG，交PM于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)G，則點(diǎn)O是圓心，連接OB，∴OM＝BG＝AB＝2m，∵M(jìn)P＝8m，∴圓的半徑為8﹣2＝6m，∴BM＝，∴BC＝2BM＝8m，連接PA、OE交于點(diǎn)N，作AH⊥PM于點(diǎn)H，EQ⊥BC于點(diǎn)Q，交OG于點(diǎn)K，∵M(jìn)P＝8m，MH＝AB＝4m，∴PH＝8﹣4＝4m，∵AH＝BM＝4m，∴PA＝m，∵E是的中點(diǎn)，∴OE垂直平分AP，∴PN＝AP＝2m，∴ON＝m，∵EQ⊥BC，PM⊥BC，∴EQ∥PM，∴∠OEK＝∠EOP，在△EOK和△OPN中，，∴△EOK≌△OPN（AAS），∴EK＝ON＝2m，∴EQ＝EK+KQ＝（2+2）m，故答案為：8m、（2+2）m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形求得的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023?長(zhǎng)興縣一模）石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝10米．【分析】利用直角三角形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解答．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝8米，設(shè)BO＝x米，則DO＝（x﹣4）米，在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，即橋拱所在圓的半徑是10米．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理求線段的長(zhǎng)．18．（2023?松陽(yáng)縣二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測(cè)量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過(guò)思考找到了測(cè)量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高CD＝12cm，底面內(nèi)徑BC＝8cm，球的最高點(diǎn)E到瓶底的距離為20cm，則球的半徑為5cm．?【分析】如圖，連接OA．設(shè)OE＝OA＝Rcm．利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：如圖，連接OA．設(shè)OE＝OA＝Rcm．由題意AD＝BC＝8cm，EG＝20﹣12＝8（cm），∵EF⊥AD，∴AG＝DG＝4（cm），則有R2＝（8﹣R）2+42，∴R＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．19．（2023?南潯區(qū)一模）一根排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5cm，水面寬AB＝8cm，則截面圓心O到水面的距離為3cm．【分析】根據(jù)垂徑定理求出BC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【解答】解：過(guò)O作OC⊥AB于C，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4（cm），在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握垂徑定理，勾股定理．20．（2023?瑞安市模擬）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)∠AFC＝90°．測(cè)得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，則所在圓的半徑為5米，所在圓的半徑為米．【分析】如圖，連接BC，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于M，交BC于N，設(shè)所在圓的圓心為O，連接AO，設(shè)圓O的半徑為x米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理列方程可得x的值；設(shè)所在圓的圓心為O'，則O'在MN上，連接O'A，O'C，則O'A＝O'C，設(shè)O'M＝b米，再根據(jù)勾股定理可得O'A的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接BC，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于M，交BC于N，設(shè)所在圓的圓心為O，連接AO，∵AE＝ED，EM⊥AD，∴AM＝DM＝AD＝4.8米，∴點(diǎn)O在EM上，設(shè)圓O的半徑為x米，Rt△AEM中，AE＝8米，AM＝4.8米，∴EM＝＝＝6.4米，∴OM＝（6.4﹣x）米，在Rt△AMO中，由勾股定理得：AO2＝AM2+OM2，∴x2＝4.82+（6.4﹣x）2，∴x＝5，∴所在圓的半徑為5米；∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠EAD＝∠CBE，∠EDA＝∠ECB，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∵∠AED＝∠CEB，∴∠EAD＝∠ECB，∴AD∥BC，∴∠CNE＝∠AME＝90°，∵CF⊥AD，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＝∠CNE＝∠FMN＝90°，∴四邊形MNCF是矩形，∴MN＝CF，CN＝FM＝2.4+4.8＝7.2，∵∠AEM＝∠CEN，∴tan∠AEM＝tan∠CEN，即＝，即＝＝，∴EN＝9.6米，∴MN＝9.6+6.4＝16（米），設(shè)所在圓的圓心為O'，則O'在MN上，連接O'A，O'C，則O'A＝O'C，設(shè)O'M＝b米，由勾股定理得：O'A2＝4.82+b2＝（16﹣b）2+7.22，∴b＝8.9，∴O'A＝＝（米），即所在圓的半徑為米．故答案為：5，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理．勾股定理，三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．21．（2022秋?溫州期末）根據(jù)素材解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)貨船通過(guò)圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測(cè)得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過(guò)圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過(guò)？【分析】任務(wù)1，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O在CD延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CD，則CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，連結(jié)AO，設(shè)橋拱的半徑為rm，則OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂徑定理，列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問(wèn)題；任務(wù)2，由勾股定理得到貨船不能通過(guò)圓形橋拱，通過(guò)計(jì)算，即可得到需要增加的貨物的噸數(shù)．【解答】解：任務(wù)1，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O在CD延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CD，則CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，連結(jié)AO，如圖，設(shè)橋拱的半徑為rm，則OD＝（r﹣4）m，∵OC⊥AB，∴m，∵OD2+AD2＝OA2，∴（r﹣4）2+82＝r2，∴r＝10，∴圓形拱橋的半徑為10m．任務(wù)2，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過(guò)圓形橋拱，至少要增加噸的貨物才能通過(guò)．理由：當(dāng)EH是⊙O的弦時(shí)，EH與OC的交點(diǎn)為M，連接OE，OH，如圖，∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥FG，∵OC⊥AB，∴OM⊥EH．∴，∴m，∵OD＝6m，∴，∴根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過(guò)圓形橋拱，∴船在水面部分可以下降的高度m．∵，∴噸，∴至少要增加噸的貨物才能通過(guò)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)E，且，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，如圖，先計(jì)算出，再根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，小明分別以點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)，作直線分別交弦和劣弧于點(diǎn)．小明量得．則劣弧所在圓的半徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖即可得到直線是的垂直平分線，再利用垂徑定理及勾股定理即可解答．【詳解】解：∵直線是的垂直平分線，∴，∵，∴設(shè)，∴，，∴在中，，∴，∴圓的半徑為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）一個(gè)隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，M是中弦的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，隧道的高，則的半徑為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【詳解】解：連接，∵M(jìn)是中弦的中點(diǎn)，，∴，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理定理，解題的關(guān)鍵是掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長(zhǎng)度為8，半徑OC垂直AB于點(diǎn)D，，則橋拱高CD為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】連接，先根據(jù)垂徑定理求出，，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，半徑弦于點(diǎn)，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，過(guò)O作于C，并延長(zhǎng)交圓于D，則，，，

在在，，∴，即該截面中水的最大深度是2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理得到是解答的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接交⊙O于點(diǎn)E，若，則（）A．20° B．2° C．25° D．30°【答案】D【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)垂徑定理得到，則，再證明得到，利用三角形外角的性質(zhì)得到，再由三角形內(nèi)角和定理建立方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作，的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作的垂直平分線，作的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過(guò)，所以點(diǎn)為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，理解并掌握?qǐng)A心為弦垂直平分線的交點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江·九年級(jí)期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．15【答案】D【分析】連接，，根據(jù)，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，得到，，從而得到H、I分別是、的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，∵，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，∴，，∴H、I分別是、的中點(diǎn)，∴∵，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，根據(jù)垂徑定理得到，．9．（2021秋·九年級(jí)?？计谥校〢B和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或4【答案】A【分析】分兩種情況：①當(dāng)AB、CD在圓心兩側(cè)時(shí)；②當(dāng)AB、CD在圓心同側(cè)時(shí)；利用垂徑定理及勾股定理求出答案.【詳解】解：①當(dāng)AB、CD在圓心兩側(cè)時(shí)；過(guò)O作OE⊥CD交CD于E點(diǎn)，過(guò)O作OF⊥AB交AB于F點(diǎn)，連接OA、OC，如圖所示：∵半徑r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一條直線上，∴EF為AB、CD之間的距離在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE3，在Rt△OFA中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB與CD的距離為7；②當(dāng)AB、CD在圓心同側(cè)時(shí)；同①可得：OE＝3，OF＝4；則AB與CD的距離為：OF﹣OE＝1；綜上所述：AB與CD間的距離為1或7．故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查圓的垂徑定理、直角三角形的勾股定理，解題中注意運(yùn)用分類討論的思想避免漏解.10．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)?？计谥校┤鐖D這是我市某跨海大橋正側(cè)面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面長(zhǎng)為800米，且與水面平行，小王用計(jì)算機(jī)根據(jù)照片對(duì)大橋進(jìn)行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點(diǎn)P，在橋面上取點(diǎn)C，作射線交弧（主橋拱）于點(diǎn)D，右邊畫(huà)出了與關(guān)于長(zhǎng)的函數(shù)圖象，下列對(duì)此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點(diǎn)與橋面的實(shí)際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面的實(shí)際長(zhǎng)度約為500米C．拍攝照片時(shí)，橋面離水面的實(shí)際高度約為110米D．橋面上段的實(shí)際長(zhǎng)度約200米【答案】A【分析】由題意知，從0變化到8，米，橫坐標(biāo)一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為100米，函數(shù)圖象中與函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為橋拱與橋面的交點(diǎn)、，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為1、6，可求，進(jìn)而可判斷B的正誤；如圖，過(guò)最高點(diǎn)作，交于，由題意知，中點(diǎn)對(duì)應(yīng)最高點(diǎn)，根據(jù)時(shí)，，結(jié)合圖象可判斷A的正誤；縱坐標(biāo)最小時(shí)，，由函數(shù)圖象可得的值，進(jìn)而可判斷C的正誤；根據(jù)橋面上段的實(shí)際長(zhǎng)度約米，計(jì)算可判斷D的正誤．【詳解】解：由題意知，從0變化到8，米，∴橫坐標(biāo)一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為100米，函數(shù)圖象中與函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為橋拱與橋面的交點(diǎn)、，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為1、6，∴米，B正確，故不符合要求；如圖，過(guò)最高點(diǎn)作，交于，由題意知，中點(diǎn)對(duì)應(yīng)最高點(diǎn)，∴時(shí)，，由圖象可知，米，∴橋拱的最高點(diǎn)與橋面的實(shí)際距離小于180米，A錯(cuò)誤，故符合要求；縱坐標(biāo)最小時(shí)，此時(shí)，由函數(shù)圖象可知，米，C正確，故不符合要求；橋面上段的實(shí)際長(zhǎng)度約米，D正確，故不符合要求．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，垂徑定理．解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題意理解圖象信息．二、填空題11．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_(kāi)______．【答案】14cm或2cm【分析】根據(jù)垂徑定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于兩弦的位置不確定，因此需要分類討論．【詳解】解：如圖①，連接OA，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，交CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，因?yàn)锳B//CD，所以O(shè)E⊥CD，∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE=AB=6cm；OE==8cm；同理可得：OF=6cm；故EF=OE-OF=2cm；如圖②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；故EF=OE+OF=14cm；所以AB與CD的距離是14cm或2cm，故答案為：14cm或2cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，需注意弦AB、CD的位置關(guān)系有兩種，需分類討論，不要漏解．12．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）五水共治辦公室在一次巡查時(shí)測(cè)量一排水管的排水情況，如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為，半徑是，有水部分弓形的高為，則______．【答案】【分析】作于，交于，由垂徑定理得出，，，，求出，由勾股定理求出，即可得出．【詳解】解：作于，交于，連接，如圖所示：則，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O的半徑為5，弦，B是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】3【分析】連接，根據(jù)垂徑定理的推論得OB⊥AC，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵B是的中點(diǎn)，，∴，，∴在中，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論、勾股定理，熟練掌握垂徑定理的推論是解答的關(guān)鍵．14．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．【答案】【分析】連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計(jì)算．【詳解】如圖，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=EF=2，∵GB=5，∴OF=OB=，在△OHF中，勾股定理，得OH=，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)______．【答案】2或8【分析】根據(jù)作圖可知，為的中垂線，則必過(guò)圓心O，連接，利用垂徑定理求出的長(zhǎng)，分點(diǎn)在劣弧上和點(diǎn)在優(yōu)弧上兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：是弦的中垂線，為的中點(diǎn)，如圖，連接，則：，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，∴，∴；①當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)：；②當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)：；故答案為：2或8【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的作圖，垂徑定理．根據(jù)作圖方法得到是的中垂線，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．16．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是_________．【答案】【分析】先設(shè)的三邊長(zhǎng)為，，，其中為斜邊，設(shè)的半徑為，根據(jù)圖形找出，，，的關(guān)系，用含的式子表示和，即可求出比值．【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，則①取的中點(diǎn)為，是直角三角形圓心在和的垂直平分線上為圓心連接，，則，為半徑的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，在和中，由勾股定理得：②由①②得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即斜邊的中點(diǎn)為圓的圓心，解題關(guān)鍵在于找到圓心，用用含的式子表示和．17．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，先利用垂徑定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，則CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD與AB之間的距離是3．故答案為3．【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵．18．（2020秋·浙江·九年級(jí)期中）在半徑為5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD間距離為_(kāi)___【答案】1或7cm【分析】先作出圓心與兩弦的垂直距離，作圖后很容易可以用勾股定理算出AB弦與圓心的距離為3cm，CD弦與圓心的距離為4cm，若AB、CD位于圓心異側(cè)，則兩平行弦的距離為3+4=7cm，AB、CD位于圓心同側(cè)4-3=1cm．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE過(guò)圓心，OE⊥AB，∴EB=AB=3cm，∵OB=5cm，EO=4cm，同理，OF=3cm，∴EF=1cm，當(dāng)AB、CD位于圓心兩旁時(shí)EF=7cm，∴EF=1cm或EF=7cm．故答案為：1或7cm．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合勾股定理考查了垂徑定理解決與弦有關(guān)的問(wèn)題，往往要作弦的弦心距，構(gòu)造以弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，利用勾股定理解答問(wèn)題．三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校聯(lián)考期中）我們?cè)趯W(xué)習(xí)了《浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》探究活動(dòng)，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現(xiàn)以水平方向?yàn)檩S，若小明同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是；探究一：(1)若小紅同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是__________．(2)在（1）條件下，求出該拋物線在水面中的倒影所在拋物線函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)___________．(3)一艘寬為米，高出水面米的貨船，能否從橋下通過(guò)？探究二：(4)若已知橋洞的拱形是圓的一部分，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面，該圓半徑為_(kāi)_________．【答案】(1)(2)(3)貨船能順利通過(guò)此橋洞，理由見(jiàn)詳解(4)【分析】探究一：（1）根據(jù)題目中所示坐標(biāo)系設(shè)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)倒影與拱橋關(guān)于軸對(duì)稱，求出倒影的解析式即可；（3）把代入解析式求出即可；探究二：（4）設(shè)拱形所在圓的半徑為，根據(jù)已知條件和垂徑定理以及勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意設(shè)拋物線的