專題17解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計算綜合題(原卷版+解析)

專題17解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計算綜合題1．（2023?安徽）已知四邊形內(nèi)接于，對角線是的直徑．（1）如圖1，連接，，若，求證：平分；（2）如圖2，為內(nèi)一點，滿足，．若，，求弦的長．2．（2022?安徽）已知為的直徑，為上一點，為的延長線上一點，連接．（1）如圖1，若，，，求的長；（2）如圖2，若與相切，為上一點，且．求證：．3．（2021?安徽）如圖，圓中兩條互相垂直的弦，交于點．（1）是的中點，，，求圓的半徑長；（2）點在上，且，求證：．4．（2020?安徽）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上不同于，的兩點，，與相交于點．是半圓所在圓的切線，與的延長線相交于點．（1）求證：；（2）若，求證：平分．5．（2023?瑤海區(qū)一模）如圖，是內(nèi)接三角形，是的直徑，點是弦上一點，連接，．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求．6．（2023?合肥一模）如圖1，為的直徑，為弦，過圓心作于，點為延長線上一點，是的切線．（1）求證：；（2）如圖2，取弧的中點，連接，，若，，求弦的長．7．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，已知是的外接圓，點是的內(nèi)心，的延長線與相交于點，過作直線．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，，求的長．8．（2023?合肥三模）如圖，是的直徑，點為半圓的中點，四邊形為平行四邊形．（1）請用無刻度直尺畫出圓心的位置，并說明理由；（2）點為中點，于，交于點，求的度數(shù)．9．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為，，．（1）求的半徑長；（2）連接，作于點，求的長．10．（2023?合肥模擬）如圖，在中，，以為直徑作交于點．過點作，垂足為，延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為5，求線段的長．11．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，為的直徑，為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，交于點，連接，．（1）求證：；（2）若，求的長．12．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知等腰，，且，連接交于點，以為直徑的上有一點，使得，連接交于點，若．（1）判斷與的關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的值．13．（2023?瑤海區(qū)二模）是的直徑，是的切線，連接交于點，連接．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，作的角平分線交于點，交于點，若，，求的值．14．（2023?包河區(qū)二模）已知：如圖1，為的直徑，點為外一點，，連接交于．（1）若為的切線，求證：；（2）如圖2，若時，請用尺規(guī)作圖在內(nèi)部選一點，使，以下是部分作圖步驟：第一步：過點作的垂線，交于點；第二步：連接、；問題：①請完成接下來的作圖，并保留作圖痕跡；②在操作中得到的依據(jù)是．15．（2023?廬陽區(qū)二模）如圖，在中，是直徑，點在圓上，、分別平分和，的延長線交于點，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長．16．（2023?廬陽區(qū)校級二模）如圖，內(nèi)接于，為直徑，射線于點，交于點，過點作的切線交射線于點．（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）當(dāng)，時，求的長．17．（2023?廬江縣模擬）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，求弧的長度．18．（2023?合肥二模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點，，分別平分和，的延長線交于點，連接．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長．19．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，，都是上的點，平分，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的值．20．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在中，直徑為，正方形的四個頂點分別在半徑、以及上，并且．（1）若，求的長度；（2）若半徑是5，求正方形的邊長．21．（2023?合肥一模）如圖，在中，為直徑，點、在上，交于點連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（2023?廬陽區(qū)校級一模）中，，為上一點，以為心，為半徑的與相切于點．（1）求證：平分；（2）連接，若，求的值．23．（2023?合肥模擬）如圖，是的直徑，，是上兩點，過點的切線垂直于的延長線，垂足為點，，相交于點．（1）求證：點是的中點；（2）若，，求的長．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖，是的直徑，是的一條弦，于點，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2），的延長線相交于點，是的切線，交于點，若，求證：．25．（2023?合肥模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，，對角線為的直徑，為外一點，平分，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）連接，求證：．26．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．27．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖，點為圓外一點，過點作圓的切線，切點為，點為上一點，連接并延長交圓于點，連接，若與垂直．（1）求證：；（2）若，圓的半徑為8，求的長．28．（2023?合肥二模）如圖，為的外接圓，直線與相切于點，弦，與相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．29．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，在中，，是邊上的一點，以為半徑的與邊相切于點．（1）若，的半徑為3，求的長．（2）過點作弦于，連接，若．求證：四邊形是菱形．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點是直徑延長線上一點，，點是上一個動點（不與點，重合），點為半徑的中點．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)時，求證：是的切線．31．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖，為的直徑，點是上一點，過點的直線交的延長線于點．作，垂足為點，已知平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．32．（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知為的直徑，為上一點，于，為弧的中點，連接，分別交、于點和點．（1）求證：；（2）如圖2，若，連接，求證：．33．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，且為的直徑，，延長到，使得，連接．（1）求證：；（2）若為的切線，且，求的長度．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．35．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖1，已知是的內(nèi)接三角形，是的直徑，是的弦，連接，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，連接、，若，且，，求的長．36．（2023?安慶一模）如圖，在中，以的邊為直徑作，交于點，是的切線，且，垂足為點．（1）求證：；（2）若，，求直徑長．37．（2023?合肥模擬）如圖，是外接圓的直徑，是延長線上一點，連接、，其中是的切線．（1）求證：．（2）若，，求的長．38．（2023?廬江縣三模）已知，如圖，四邊形內(nèi)接于，直線與相切，切點為，連接．（1）求證：；（2）若，點是劣弧的中點，，求．39．（2023?蜀山區(qū)模擬）如圖，是的直徑，點是延長線上一點，過作的切線，切點為，連接、．（1）若，求證：；（2）若，，求的長．40．（2023?蕪湖模擬）如圖，在中，，點在上，以點為圓心，長為半徑的圓與、分別交于點、，且．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的長．

專題17解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計算綜合題1．（2023?安徽）已知四邊形內(nèi)接于，對角線是的直徑．（1）如圖1，連接，，若，求證：平分；（2）如圖2，為內(nèi)一點，滿足，．若，，求弦的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，即平分；（2）延長交于，延長交于，，，，是的直徑，，，，，，四邊形是平行四邊形，，．2．（2022?安徽）已知為的直徑，為上一點，為的延長線上一點，連接．（1）如圖1，若，，，求的長；（2）如圖2，若與相切，為上一點，且．求證：．【答案】見解析【詳解】（1），，，，；（2）與相切，，即，，，，，，即．3．（2021?安徽）如圖，圓中兩條互相垂直的弦，交于點．（1）是的中點，，，求圓的半徑長；（2）點在上，且，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）連接，如圖：是的中點，，，，，中，，且，，即圓的半徑長為；（2）連接，延長交于，如圖：，，是的垂直平分線，，即是等腰三角形，，，，，，中，，，，，即．4．（2020?安徽）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上不同于，的兩點，，與相交于點．是半圓所在圓的切線，與的延長線相交于點．（1）求證：；（2）若，求證：平分．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是半圓的直徑，，在與中，，；（2）解：，由（1）知，，是半圓所在圓的切線，，，由（1）知，，，，，，，平分．5．（2023?瑤海區(qū)一模）如圖，是內(nèi)接三角形，是的直徑，點是弦上一點，連接，．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，；（2）解：是的直徑，，，，，，，，，，．6．（2023?合肥一模）如圖1，為的直徑，為弦，過圓心作于，點為延長線上一點，是的切線．（1）求證：；（2）如圖2，取弧的中點，連接，，若，，求弦的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，如圖1，是的切線，，，即，，，，，，；（2）解：連接交于，如圖2，是直徑，，，為弧的中點，，，，，在中，，即弦的長為．7．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，已知是的外接圓，點是的內(nèi)心，的延長線與相交于點，過作直線．（1）求證：是的切線；（2）連接，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，點是的內(nèi)心，，，，，，，，，為半徑，是的切線；（2）解：在中，由勾股定理得，，，，，，，在中，由勾股定理得，．8．（2023?合肥三模）如圖，是的直徑，點為半圓的中點，四邊形為平行四邊形．（1）請用無刻度直尺畫出圓心的位置，并說明理由；（2）點為中點，于，交于點，求的度數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖，點即為所求．理由：為直徑，，為平行四邊形，，為直徑，、交點為圓心；（2）設(shè)．為半圓的中點，，，．為中點，，，，．連接，則，，，，，，．9．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為，，．（1）求的半徑長；（2）連接，作于點，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）連接，如圖，設(shè)的半徑長為，，，，在中，，，，，解得，即的半徑長為5；（2）在中，，，，，，，在中，，即的長為．10．（2023?合肥模擬）如圖，在中，，以為直徑作交于點．過點作，垂足為，延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為5，求線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，是半徑，，是的切線；（2）解：連接，，為的直徑，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，為的直徑，，，，，．11．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，為的直徑，為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，交于點，連接，．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，是的切線，．，，．又，，，；（2）解：是直徑，，，，．，，，，即，，．在直角中，，．12．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知等腰，，且，連接交于點，以為直徑的上有一點，使得，連接交于點，若．（1）判斷與的關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）與相切，理由：連接，如圖，，．，．，．，，，，為的半徑，與相切；（2）連接，交于點，連接，，如圖，為的直徑，，，，點，，，四點共圓，，，，．為的直徑，．，，，為等腰直角三角形，，，，．，．為的直徑，，為等腰直角三角形，．，，，，，，．13．（2023?瑤海區(qū)二模）是的直徑，是的切線，連接交于點，連接．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，作的角平分線交于點，交于點，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，是的切線，，，，，是的直徑，，即，；（2）過點作于點，連接，如圖2，在中，，，，，，，，平分，，，，，．14．（2023?包河區(qū)二模）已知：如圖1，為的直徑，點為外一點，，連接交于．（1）若為的切線，求證：；（2）如圖2，若時，請用尺規(guī)作圖在內(nèi)部選一點，使，以下是部分作圖步驟：第一步：過點作的垂線，交于點；第二步：連接、；問題：①請完成接下來的作圖，并保留作圖痕跡；②在操作中得到的依據(jù)是．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，為切線，，為直徑，，，，，，；（2）解：①如圖第一步：過點作的垂線，交于點；第二步：連接、；第二步：以為圓心，以為半徑作，在上且在的內(nèi)部取一點連接，，則即為所求；②在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．15．（2023?廬陽區(qū)二模）如圖，在中，是直徑，點在圓上，、分別平分和，的延長線交于點，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：、分別平分和，，，，，，，；（2）解：與相交于點，如圖，為直徑，，在中，，平分，點到和的距離相等，，，，，，在中，，，，，，即，解得，即的長為．16．（2023?廬陽區(qū)校級二模）如圖，內(nèi)接于，為直徑，射線于點，交于點，過點作的切線交射線于點．（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）當(dāng)，時，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）連接，如圖，為直徑，．，為的切線，，，，．，，．，．；（2），設(shè)，則，．，．，為的中位線，，，．，．，，，，，．．17．（2023?廬江縣模擬）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，求弧的長度．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是弧的中點，，在中，，，，，又是弧的中點，，，．（2）解：連接，，，，，，，是的中點，，，弧長．18．（2023?合肥二模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點，，分別平分和，的延長線交于點，連接．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下：平分，平分，，．，，，，為直徑，．為等腰直角三角形；（2）如圖：連接，，，交于點．，．，垂直平分．是等腰直角三角形，，．，．設(shè)，則．在和中，，解得，，．19．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，是的直徑，，都是上的點，平分，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，平分，，，，，，且在上，是的切線；（2）連接，交于，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．20．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在中，直徑為，正方形的四個頂點分別在半徑、以及上，并且．（1）若，求的長度；（2）若半徑是5，求正方形的邊長．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形為正方形，，，，，，連接，則為直角三角形，，即的半徑為，；（2）四邊形是正方形，，，，，，，，，，，在中，，即，解得：，則正方形的邊長為．21．（2023?合肥一模）如圖，在中，為直徑，點、在上，交于點連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，；（2）解：，，，，，，整理得，解得或，，．22．（2023?廬陽區(qū)校級一模）中，，為上一點，以為心，為半徑的與相切于點．（1）求證：平分；（2）連接，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）連接，切于，，，，，，，，平分；（2）設(shè)交于，連接，為的直徑，，由（1）得，，，，，，四邊形內(nèi)接于，，，，，，設(shè)，則，，．23．（2023?合肥模擬）如圖，是的直徑，，是上兩點，過點的切線垂直于的延長線，垂足為點，，相交于點．（1）求證：點是的中點；（2）若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接交于，切圓于，半徑，，，，，，，，是的中點；（2）解：設(shè)圓的半徑是，，，，，，，，，，，是的中位線，．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖，是的直徑，是的一條弦，于點，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2），的延長線相交于點，是的切線，交于點，若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，是的直徑，，，，故的度數(shù)為；（2）證明：連接，，是的切線，，，，，，，，，是的直徑，，，，，，．25．（2023?合肥模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，，對角線為的直徑，為外一點，平分，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）連接，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：連接，平分，，，，，，，，為的直徑，，，，；（2）證明：延長交于，連接，，是圓的直徑，，，由（1）知，，是等腰直角三角形，，，，，，，，．26．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的切線，，點是的中點，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，，的面積．即的面積為．27．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖，點為圓外一點，過點作圓的切線，切點為，點為上一點，連接并延長交圓于點，連接，若與垂直．（1）求證：；（2）若，圓的半徑為8，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，與圓切于，半徑，，，；（2）解：作于，，，，圓的半徑為8，，，，，，，，，，，，的長是．28．（2023?合肥二模）如圖，為的外接圓，直線與相切于點，弦，與相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】見解析【詳解】證明：（1）連接，交于，連接，直線與相切于點，，，，，；（2），，，，，，的半徑為．29．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，在中，，是邊上的一點，以為半徑的與邊相切于點．（1）若，的半徑為3，求的長．（2）過點作弦于，連接，若．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【詳解】（1）解：連接，，的半徑為3，，與邊相切于點，，，，是的切線，，在中，，即，解得：；（2）證明：由圓周角定理得：，，，，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，平行四邊形為菱形．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點是直徑延長線上一點，，點是上一個動點（不與點，重合），點為半徑的中點．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)時，求證：是的切線．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，連接．，，又，，，，；（2）證明：如圖2，連接，．點為半徑的中點，．，．，．又，是等邊三角形，，，，，，，是的半徑，是的切線．31．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖，為的直徑，點是上一點，過點的直線交的延長線于點．作，垂足為點，已知平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，平分，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)．，，，，，（負根已經(jīng)舍去），的半徑為．32．（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知為的直徑，為上一點，于，為弧的中點，連接，分別交、于點和點．（1）求證：；（2）如圖2，若，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）連接，為的直徑，，，，，，為弧的中點，，，，，，；（2）連接，，，，，，，，，，，，，，，．33．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，且為的直徑，，延長到，使得，連接．（1）求證：；（2）若為的切線，且，求的長度．【答案】見解析【詳解】（1）證明：連接，，，，，，；解：連接，，，，，為的直徑，，，為的中點，，為的切線，，，，，，，，，，，，，，的長度是．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的切線，，點是的中點，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，，即的